二维波动方程的一种高精度紧致差分方法

8-高阶紧致格式

§10. 高阶紧致差分格式 先考虑导数的差分近似。若某一差分近似的精度是 p 阶的，则近似的误差就是 () p h O 。要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 h （h -version ）或是提高 p （p -version ）。但由于计算机资源的限制，h 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。 通常情形，构造高阶格式需要更多的点。例如：两点差分近似 ()()() f x h f x f x h +-￠? 只有一阶精度。而使用三个点，就可以构造出二阶近似 ()()()() 2432f x h f x h f x f x h -+++-￠? 精度越高，需要的点就更多。对于中心差分近似也有类似的结果。 但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。 例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。设 0a > 。 0du au dx += （01x < ） ， ()0u =α 取 M 个网格，空间步长 1 h M = ，网格点记作 j x jh =（0,1,2,,j M =L ），网格点上的近似解记作 () j j u u x ? 。

因 0a > ，导数采用向后差分近似，就有 1 0j j j u u au h --+= （1,2,3,,j M =L ） 实际的计算方案为 0u =α ， 11 1j j u u ha -= + （1,2,3,,j M =L ） 上述格式用到两个点，但只有一阶精度。如果采用二阶差分近似，则成为 12 340j j j j u u u au h ---++= （2,3,,j M =L ） 这个格式具有二阶精度。可是由于涉及三个点，所以只能从 2j = 开始计算。而初始条件只提供了 0u =α 。因此 1u 的计算就需要补充另外的等式。对于更为复杂的流动控制方程以及更复杂、精度更高的数值格式，这种问题就更加严重。 现在我们从另外一个角度来考察上述问题。将导数的近似值记作 j j du u dx ￠? ，则差分格式就可写成 0j j u au ￠+= 我们刚才所做的不过是用不同的差分来代替 j u ￠ 。因此，我们遇到的困难就是：用高阶差分代替 j u ￠ ，就会涉及更多的点。而我们的问题也就是：有没有不涉及更多点的高阶差分？

10-高阶紧致格式

§10. 高阶紧致差分格式 10.1 高阶差分 先考虑导数的差分近似。若某一差分近似的精度是 p 阶的，则近似的误差就是 () p h O 。要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 h （h -version ）或是提高 p （p -version ）。但由于计算机资源的限制，h 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。 构造高阶格式需要用到导数的高阶差分近似。通常情形，这需要更多的点。例如：两点差分近似 ()()() f x h f x f x h +-￠? 只有一阶精度。而使用三个点，就可以构造出二阶近似 ()()()() 2432f x h f x h f x f x h -+++-￠? 精度越高，需要的点就更多。对于导数的中心差分近似，也有类似的结果。 但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。 例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。设 0a > 。 0du au dx += （01x < ） ， ()0u =α

取 M 个网格，空间步长 1 h M = ，网格点记作 j x jh =（0,1,2,,j M =L ），网格点上的近似解记作 () j j u u x ? 。 因 0a > ，导数采用向后差分近似，就有 1 0j j j u u au h --+= （1,2,3,,j M =L ） 实际的计算方案为 0u =α ， 11 1j j u u ha -= + （1,2,3,,j M =L ） 上述格式用到两个点，但只有一阶精度。如果采用二阶差分近似，则成为 12 340j j j j u u u au h ---++= （2,3,,j M =L ） 这个格式具有二阶精度。可是由于涉及三个点，所以只能从 2j = 开始计算。而初始条件只提供了 0u =α 。因此 1u 的计算就需要补充另外的等式。对于更为复杂的流动控制方程以及更复杂、精度更高的数值格式，这种问题就更加严重。 现在我们从另外一个角度来考察上述问题。将导数的近似值记作 j j du u dx ￠? ，则差分格式就可写成 0j j u au ￠+=