灰色预测法

灰色预测法

1.介绍

灰色预测就是灰色系统所做的预测，灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授创立的一种兼具软硬科学特性的新理论。灰色系统的具体含义就是：部分信息已知，部分信息未知的某一系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素有很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

2.适用问题

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。比如说人口预测、气象预报、初霜预测、灾变预测（如地震时间的预测）、数列预测（如对消费物价指数的预测）。

灰色预测模型所需要的数据量比较少，预测比较准确，精确度比较高。样本分布不需要有规律性，计算简便，检验方便。灰色GM(1,1) 模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论进行预测的方法，对历史数据有很强的依赖性，没有考虑各个因素之间的联系，所以误差偏大，只适合做中长期的预测，不适合长期预测。

3.数学方法核心步骤

3.1数据的检验与处理

首先，为了确保建模方法的可行性，需要对抑制数据作必要的检验处理，设参考数据为

(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，计算数列的级比

(0)(0)(1)().2,3,...,()

x k k k n x k λ-== 如果所有的级比()k λ 都在可容覆盖2

212(,)n n e e -++ 内，则数列(0)x 可以

作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测，否则，需要对(0)x 做必要地变换处理，使其落入可容覆盖内，即取适当的c ，做平移变换 (0)(0)()(),1,2,...,y k x k c k n =+=

则是数列(0)(0)(0)(0)()((1),(2),...,())y k y y y n =的级比

(0)(0)(1)(),2,3,...,()

y y k k X k n y k λ-=∈= 3.2 建立模型

按照下面的办法建立模型GM （1,1）

（1） 由上面的叙述知道参考数据列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，对

其做一次累加（AGO ）生成数列(1)x

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(0)((1),(2),...,())((1),(1)(2),...,(1)())x x x x n x x x x n x n ==+-+

其中(1)

(0)1

()()(1,2,...,)k i x k x i k n ===∑ 。求均值数列 (1)(1)(1)=0.5()0.5(1)z x k x k +-，k=2,3,...,n

则(1)(1)(1)((2),(3),...,

n )z z z =（） 。于是建立灰微分方程为 (0)(1)()(),2,3,...,x k az k b k n +== 相应的白化微分方程为(1)

(1)()dx

dt ax k b += （2）记(1)(1)(0)(0)(0)(1)(2) 1(3) 1(,),((2),(3),...,()),...() 1T T z z u a b Y x x x n B z n ??- ?- ?=== ? ? ?-??

,则称Y 为数据向量，B 为数据矩阵，u 为参数向量，则GM （1,1）模型可以表示为矩阵方程Y Bu = ，由最小二乘法可以求出

^^^

1(,)()T T T B B B Y u a b -== ，代入白化微分方程得： (1)(0)(1)((1)),1,2...,1ak b b x k x e k n a a

-+=-+=- . (0)(1)(1)

^^^(1)(1)(),1,2,..., 1.k k k k n x x x +=+-=-

3.3 模型检验 （1） 残差检验：令残差为()k ε ，计算

(0)^(0)(0)()()(),1,2,...,()x k k k k n x k x ε-=

= 如果()k ε<0.2，则可认为达到一般要求；如果()k ε<0.1，则认为达到较高要求.

（2） 级比偏差值检验：首先由参考数据(0)(0)(1),(),

x k x k -(),a k λ计算的出级比再用发展系数求出相应的技术偏差

ρ(k)10.5=1-()(k)10.5a a

λ-+ 如果ρ(k)<0.2，则可认为达到一般要求；如果ρ(k)<0.1，则认为达到较高要求.

3.4预测和预报

由模型GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，实际问题的需要，给出相应的预测预报。

4.具体应用

中国人口增长预测(07年国赛优秀论文)

摘要

本文从中国的实际情况和中国的人口增长特点出发，参考相关数据，建立了中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出了分析和预测。

利用Logistic 曲线预测模型指出了未来几十年内中国人口总量的变化趋势:在未来段时间内，中国人口仍将处于增长阶段，并在21世纪的中叶中国人口总数将达到峰值Pm=15.4707(亿)。

根据过去10年来中国人口总量，利用GM(1,1)模型灰色预测法预测2006-2010年短期中国人口总量预测：131890，132803， 133722， 134647 和

135579 万人。通过残差检验，其平均相对误差仅为0.11%；对模型进行关联度检验和后验查检验，其结果均优于灰色预测精度检验等级标准。

4.1 问题重述

中国是一个发展中国家，又是世界上人口最多的国家，人口问题一直是制约中国经济和社会发展的首要因素，因此，能否对中国人口增长做出准确分析和预测，对于加速推进中国现代化建设有着极为重要的现实意义。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

现有2001至2005年的市、镇和乡人口不同性别的人在该类人口中所占的百分比，各类年龄段人口的死亡率，以及各类年龄段妇女生育率等数据，从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测:特别要指出模型中的优点与不足之处。

4.2 模型建立

4.21 GM(1，1)模型建立

GM（1,1）模型是基于累加生成的预测模型，建立模型的步骤：（1）x0(1),x0(2),…,x0(M)是所要预测的某项指标的原始数据，对原

始数据做一次累加生成处理，得到：(1)

(0)1()()M

i x M x t ==∑ 得到一个新数列。这个数列与原始数列相比，其随机程度大大弱化了而且平稳性大大增加。

（2）将新数列的变化趋势近似用微分方程描述(1)

(1)dx

dt ax u += 其中，a ，u 为待定参数，利用最小二乘法拟合得到：

^^1(,)()T T T M B B B Y a b -=

（3）构造数据矩阵。上一

步中(1)(1)(0)(0)(0)(1)(2) 1(3) 1((2),(3),...,()),...() 1T M z z Y x x x M B z n ??

- ?

- ?

== ?

? ?-??

（4）求出预测模型：

(1)(0)(1)((1))ak u

u

x t x e a a -+=-+

4.22 模型求解

人口增长主要有自然增长和机械增长两种方式，利用

1996

到2005年全中国人口统计资料表，对未来人口做出预测。

由表中可以看出，全国人口总量的时间序列为：(1)()x t ={122389,246015,370776,496562,623305,750932,879385,1008612,1138600,1269356}

由上一步得到代入调查数据

184202 1308395.5 1433669 1559933.5 1687118.5 1815158.5 1943998.5 11073606 11203978 1B -?? ?- ? ?- ?- ?

?=- ?- ? ?- ?- ? ?-??

M Y

={123626,124761,125789,123743,127627,128453,129227,129988,130756.

由上一步方程可得中国人口总货量预测模型：

()0.006896(1)71(1.797 1.779)10t

x t e +=-? }

4.3模型检验

残缺检验

将t=0,1,2,…,9代入预测方程中，得到1996~2005年全国人口总量的一次累加值，

^^^():():():():q t t t t t t t t x

x （0）

（0）（1）

第年预测值与实际值相对误差；

第年预测值与实际值的绝对误差；

第年原始预测值；第年第一次累加预测值。 即由

分析所求出预测值，绝对误差和相对误差，剪标

由表中数据可知，平均相对误差为0.11%，模型精度比较高。

4.4 模型评价

优点:由上述分析可知，GM(1,1)预测模型的数据量要求小，精度高，具有较强的实用性和有效性，是个比较好的预测方法，对于开放性，非线性的复杂系统，GM(1,1)预测模型能够从整体出发对外延不确定性系统变化进行动态的科学模拟与仿真。

局限性:灰色预测模型的可靠性及预测精度主要取决于原始数据列的光滑性，原始数据列的光滑性越好灰色模型的预测精度越高，如果原始数列的光滑性不够，那灰色预测就不很精确，效果不理想。

4.5参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊数学模型(第三版) [M]北京：高等教育出版社

2003年。

[2]中华人民共和国国家统计局中国统计年鉴[M]北京：中国统计出版社。

[3]周瑞平GM(1,1)模型灰色预测法预测城市人口规模[J] 内蒙古师范大学

(自然科学汉文版) 第34卷第一期 2003年5月。

[4] 屠小明，冯元珍等，基于发展方程的人口系统预测和分析[J]，南京人

口管理干部学院学报，第22卷第3期： 25-26页，2006年7月。

4.6数学方法和编程实现

clear

syms a b; %定义变量a，b。a 为发展系数，b 为灰作用量。

A=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]; %A 为参考数据列，根据需要修改数值即可

B=cumsum(A); %B 为由A 一次累加生成的生成数列 n=length(A); %求A 数列的长度

for i=1:(n-1)

C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; %C 为由B 生成的均值数列 end

D=A;D(1)=[]; %此时的D 为A 去掉第一个元素的矩阵，转置后即为前文提到的Y

D=D'; %对D 转置并赋值给D

E=[-C;ones(1,n-1)]; %构造E 矩阵，即前文的B 矩阵

c=inv(E*E')*E*D; %编写求解a ，b 的表达式即^^^1(,)

()T T T B B B Y u a b -==

c=c'; a=c(1);b=c(2); %求出a ，b 。

F=[];F(1)=A(1);

for i=2:(n+10)

F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a; %构造表达式

(1)(0)(1)((1)),1,2...,1ak b b x k x e k n a a

-+=-+=- .，即一次累加生成数列的表达式

end

G=[];G(1)=A(1);

for i=2:(n+10)