生活中的数学奥妙

一、美妙的对称

教学目标：帮助学生发现并理解生活中无处不在的对称现象，能够区分对称的类型。培养学生善于从生活中发现数学问题，从而产生对数学浓厚的兴趣。

教学重点：对称的含义及分类，培养利用对称解决问题的数学思想。

教学难点：从生活中的对称联想到很多数学问题的解决。

教学过程：

在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美匀称的例子。它们引起人们的注意，令人赏心悦目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷；蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。仔细的观察表明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简单到最复杂的表现形式，是大自然形式的基础。

花朵具有旋转对称的性征。花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，花朵就自相重合。旋转时达到自相重合的最小角称为元角。不同的花这个角不一样。例如梅花为72°，水仙花为60°。“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两侧对称（如蝴蝶），辐射对称（放射虫，太阳虫等）。我国最早记载了雪花是六角星形。其实，雪花形状千奇百怪，但又万变不离其宗（六角星）。既是中心对称，又是轴对称。

很多植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的初始位置重合。例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。这种有趣的现象叫叶序。向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种

表现形式。

“晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。无怪乎在古典童话故事中，奇妙的宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。在王冠上，以其熠熠光彩向

世人炫耀，保持永久不衰的魅力。

在闹钟、屋架、飞机等的外形图中，可以找到一条线，线两边的图形是完全一样的。也就是说，当这条线的一边绕这条线旋转180度后，能与另一边完全重合。在数学上把具有这种性质的图形叫作轴对称图形，这条线叫作对称轴。电扇的叶子不是轴对称图形，不管怎么画线，都无法找到这条直线。但电扇的一个扇叶，如果绕这电扇中心旋转180度后，会与另一个扇叶原来所在位置完全重合。这种图形数学上称为中心对称图形，这个中心点称为对称中心。显然闹钟也是一个中心对称图形。所有轴对称和中心对称图形，统称为对称图形。

人们把闹钟、飞机、电扇制造成对称形状，不仅为了美观，而且还有一定的科学道理：闹钟的对称保证了走时的均匀性，飞机的对称使飞机能在空中保持平衡。

对称也是艺术家们创造艺术作品的重要准则。像中国古代的近体诗中的对仗，民间常用的对联等，都有一种内在的对称关系。如果说建筑也是一种艺术的话，那么建筑艺术中对称的应用就更广泛。中国北京整个城市的布局也是以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线(对称轴)两边对称的。

对称还是自然界的一种生物理象。不少植物、动物都有自己的对称形式。比如人体就是以鼻尖、肚脐眼的连线为对称轴的对称形体，眼、耳、鼻、手、脚、乳房都是对称生长的。眼睛的对称使人观看物体能够更加准确；双耳的对称能使所听到的声音具有较强的立体感，确定声源的位置，双手、双脚的对称能保持人体的平衡。

对称是数学研究的重要内容，但数学中的对称概念不仅限于图形的对称，也把数对(3，4)与(-3，4)称为平面上关于y轴对称；把数对(3，4)与(-3，-4)称为平面上关于坐标原点对称。另外还有对称方程、对称行列式、对称矩阵等概念。

二、蜘蛛网中蕴含的数学

教学目标：理解蜘蛛网构成的对数螺线，利用蜘蛛网的启示解决最短路径问题。培养学生善于从生活中发现数学问题，从而产生对数学浓厚的兴趣。

教学重点：蜘蛛网构成的对数螺线，利用蜘蛛网的启示解决最短路径问题。

教学难点：从蜘蛛网中联想探寻解决一些问题的办法。

教学过程：

（一）曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮，稳坐军中帐。摆下八卦阵，只等飞来将。”动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生

动情形。我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。而且，结网

是它的本能，并不需要学习。

你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有

一连串的疑问，好，下面就让我来慢慢告诉你吧。在结网的过程中，功勋最卓著的要

属它的腿了。首先，它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。然后，再吐出一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮

廓固定住。为继续穿针引线搭好了脚手架。它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地

向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到中心。从中心往边上爬的过

程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的

辐线。一般来说，不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。丝蛛最多，42条；有带的

蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也达到21条。同一种蜘蛛一般不会改变辐线数。

到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的。现在，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。蜘蛛从中心开始，用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。这是一条辅助的丝。然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。这样半径上就有许多小球。从外面看上去，就是许多个小点。好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。

让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:从外圈走向中心的那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断。只有中心部分的辅助线一圈密似一圈，向中心绕去。小精灵所画出的曲线，在几何中称之为对数螺线。

对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。大家可别小看了对数螺线:在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状，抽水就均匀；在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好。

（二）爸爸出差前，留给小华一道题：图1是某地区的交通网。其中小圈代表城

镇，小圈间的连线代表道路，连线旁的表示该段道路的千米数，请你选择一条从A 到B的最短线路。

爸爸还特意交给小华一个“锦襄”，嘱咐他不到万不得已的时候不要拆开。小华是个要强的孩子，题目未解出来，他才不会去看什么“锦襄妙计”呢！

图1

可说说容易，做起来还真难。小华绞尽脑汁，想了一天还是没有眉目。吃过晚饭，他信步走进小树林，树林里比家里可有趣多了！他东瞅瞅、西瞧瞧，一眼落到一张硕大的蜘蛛网上。这张蜘蛛网，多象那张交通图呀！突然，一只小虫撞到网上，蜘蛛象触电一样，迅速出击，抓住了小虫。蜘蛛那美滋滋的样子，似乎在嘲笑小华。对了，蜘蛛一定是凭着它的本能沿着最短线路抓住小虫的，可蜘蛛是怎样选择最短线路的呢？正巧，又一只小虫撞到了网上。小华睁大了眼睛，这一下他看清楚了：原来，当小虫被网缠住后，奋力挣扎，于是便不断地拉紧连到网中心的蜘蛛的最短的那根丝，把被俘获的信息传给了蜘蛛，蜘蛛便立即沿着不断被拉紧的那根丝扑向小虫。小华不断地捶着自己的脑袋，口里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一种伸缩性很小的细线按交通网形状和各条道路的长短比例，编织一副真正的“交通网”，要求A、B两地的最短线路。只须把网上相当于A、B两地的网结各自向外拉，则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上。

小华高兴地打开锦囊，妙极了，他和爸爸的解法完全一样。爸爸的解法后面还有几行字：

“这种解法叫做模拟法，它是研究科学的一种重要方法，自然界中简单的现象往往孕育着深刻的道理，放开你的眼界打破学科的界限，努力去探索吧！”

三、张开飞行的翅膀

教学目标：帮助学生发现并理解生活中无处不在的数学问题，了解飞行的历史和原理。

培养学生善于从生活中发现数学问题，从而产生对数学浓厚的兴趣。

教学重点：飞行的历史和原理。

教学难点：飞行的历史和原理。

教学过程：

鸟类飞行的潇洒和闲适总是激起人们对飞行的欲望。来自多种文化的古老故事证实了对各种飞行生物的兴趣。人们在观察悬挂式滑翔机的时候，意识到代达罗斯（希腊神话中的建筑师和雕刻家。——译者注）和伊卡罗斯（希腊神话中代达罗斯之子，与其父双双以蜡翼粘身飞向空中。因飞得太高，蜡被阳光融化，坠爱琴海而死。——译者注）的飞行或许不仅是一个希腊神话而已。今天，大型飞行器把它们自己连同所载货物高举到了鸟类的领地。据我们现在所知道的，为实现飞行而跨过的历史脚步，确实是经历了成败兴衰的。多少年来，科学家、发明家、艺术家、数学家和其他各界的人们都曾经醉心于飞行的想望，并且为了能够飞行而作出过许多设计、模型和试验。

下面是飞行史的概要：

·中国人发明风筝（公元前400～前300）。

·伦纳多·达·芬奇对鸟类的飞行作了科学研究，并画出各种飞行机器的草图（1500）。

·意大利数学家乔伐尼·博雷利证明人的肌肉太弱，不足以支持飞行（1680）。

·法国人让·皮拉特尔·德罗齐埃和马奎斯·达尔朗德首次利用热气球升空（1783）。

·英国发明家乔治·凯莱爵士设计了机翼的翼面（截面），建造了第一架模型滑翔机并使之飞行（1804），从而创立了空气动力学这门科学。

·德国的奥托·利林塔尔设计出一套方法，用来测量试验机翼产生的上升力，并于1891～1896年间首次成功地实现了载人滑翔机飞行。

·1903年，莱特兄弟首次完成了利用机器做功并向推进器驱动的飞机飞行。他们用风洞和称重系统作试验，测量设计物的升力和阻力。他们完善了他们的飞行技术和机器，以致

到了1905年，他们的飞行已经长达38分钟，飞行距离达到20英里（英制长度单位，1英里合1.6093千米。——译者注）！

我们是怎样离地而起的呢？

为了起飞，我们必须使垂直力和水平力获得平衡。重力（向下的垂直力）使我们离不开地面。为了反抗重力的下拉作用，必须产生出升力（向上的垂直力）。机翼形状和飞机的设计都在产生升力方面具有本质意义。研究大自然是如何设计鸟翼的，鸟类是如何飞行的，就掌握了解决问题的钥匙。对鸟类飞行的优美姿势进行量的确定，看来几乎是一种亵渎，但是如果不对飞行的各个分量进行数学和物理分析，今天的飞机绝不能从地面飞起。人们往往不把空气当作物质，因为它是看不见的。然而空气是一种媒质，和水一样。飞机的机翼和飞机本身都在飞经空气时把它分开或切开。瑞士数学家丹尼尔·伯努利（1700～1782）发现，当气体或流体的速率增大时，它的压强减小。伯努利定律①说明机翼的形状如何产生升力。机翼的上表面是曲线形的。这曲线增大空气速率，从而减小在机翼上经过的空气的气压。因为机翼的底面不是曲线形的，所以在机翼下经过的空气的速率较慢，从而它的气压较高。机翼下的高气压向机翼上的低气压移动或推进，于是使飞机上升到空气中。重量（地球的拉力）是与飞机的升力作用相反的垂直力。

阻力和推力是在飞行中起作用的水平力。推力把飞机向前推进，而阻力则把它向后拉。鸟类产生推力的方法是拍打翅膀，飞机则依靠它的推进器或喷气发动机。为了使飞机维持同一水平面上的直线飞行，所有作用于飞机的力必须互相抵消，即合力必须是零。升力和重力的合力必须是零，推力和阻力必须互相平衡。在起飞过程中，推力必须大于阻力，但是在飞行中它们必须相等，否则飞机的速率将不断增大。

观察鸟类的猛扑和突降，揭示了另外两个飞行因素。当翼上空气速率增大时，升力也增大。使翼与迎面而来的空气之间的角即冲角增大，就能进一步增大翼上面的速率。如果这角增大到大约15度或更大，升力会突然停止，鸟或飞机就开始下降，而不是上升。发生这一现象时，这个角称做失速角。失速角使空气在翼上形成涡旋。涡旋使翼振动，结果升力减弱，重力超过升力。

人类因为不具备鸟类的飞行器官，就利用数学和物理原理来使自己和别的东西离开地面上升。而一些工程上的设计和特色②不断地被用来改进飞行器的性能。

①适用于飞机的描述空气流的定律也适用于我们生活中的其他许多方面，例如摩天大楼、吊桥、某些计算机磁盘驱动器、水泵、气泵和涡轮机。

②襟翼和翼缝是装在翼上用来提高升力的调节器。襟翼是一个铰接的零件，当使用时，它改变机翼的曲率，使升力提高。翼缝是翼上的空隙，用来使失速延迟几度。

四、黄金分割

教学目标：帮助学生发现并理解生活中无处不在的黄金分割现象。培养学生善于从生活中发现数学问题，从而产生对数学浓厚的兴趣。

教学重点：黄金分割的含义及应用。

教学难点：从生活中的黄金分割联想到很多数学问题的解决。

教学过程：

（一）“黄金分割”点的自叙。

我叫“黄金分割”点，我的名字多美呀！在单位线段上的最佳位置是0．618处这一点即是我——“黄金分割”点。我的来历是中国数学家华罗庚教授推广的“优选法”的核心是我——0.618。

在生产和生活当中广泛应用了我的“美”这一特点。把一条线段按我（黄金分割）分成两段，再分别以长短两段为长和宽作成的矩形美观大方，匀称庄重。工程建筑方面，如楼堂馆所的门窗口、宅院内迎门的屏风等都利用了我这一特点。画家构思一幅画，常把这幅画的中心主体置于画面我（“黄金分割”点）的位置，即分别作出画面的长和宽的黄金分割点，并通过各“黄金分割”点，作长或宽的垂线，其垂线的各交点即是。这样位置的分割点共有四个：“上左黄金分割点”A；“下左黄金分割点”B；“上右黄金分割点”C；“下右黄金分割点”D。A D B C二胡演奏家的二胡有上下两个勾弦的千斤点，当为高音演奏时置于下千斤点的位置，当为低音演奏时置于上千斤点，这两个千斤点都是我——上、下黄金分割点，笛子演奏家的横笛模孔（贴苇模的笛孔）也是在笛身全长靠左边我的位置（右黄金分割点），这样使奏出的韵调优美，和谐动听在舞台上演出的独唱演员、报幕员或剧中的主要人物，一般不站在舞台中央（这样太呆板），也不站在舞台一角，因为这样太偏僻，不易被观众所注意。所以都站在舞台横宽靠左边我的位置（左黄金分割点），则颇有艺术之感，特别引人注目。

我国国旗上的正五角星，就是根据和应用了我的特点，先将圆周十等分，再每隔三个分点依次连结而成的。更有趣的是，正五角形中间是一个正五边形，再作这个正五边形的各对角线，则又作出一个小五角星，如此继续下去，可得到一个比一个小的无数个五角星。还可看到，若连结正五角星的相邻的各顶点，可得到一个正五边形，再延长这个正五边形的各边，又可得到一个较大的正五角星。如此继续下去，可得到一个比一个大的无数多个正五边形。

你们还可以看到，正五角星的各边的互分点都是我，如A′，B′，C′，D′，E′都是所在边的我（黄金分割点）。东方游乐园，有五盆红花和五盆白花，计划摆成五行，每行四盆（红、白各两盆）。如何摆呢？聪明的工人师傅，按照上图去摆，把问题解决了，摆出以后既美观大方，又漂亮．即把五盆红花放在A、B、C、D、E的位置；把五盆白花放在五角星每条边上我的位置即A′、B′、C′、D′、E′各点，这就是最佳的摆法。在这里我又起了重要作用。还有，科学工作者把顶角是36°的等腰三角形叫做黄金三角形。因为作底角∠ACB

的平分线交腰AB于D，则D点即为AB边上的我（黄金分割点），故而得名。同理CBD也叫黄金三角形。如此继续下去，可作出一个比一个小的无数个黄金三角形。另外，书本、杂志、报刊、纸张、照片、黑板和标语牌等，其长宽之比都是O．618。因为利用了我的特点，所以他们都显得那么美观大方。

（二）黄金数与优选法。

两千多年前，古希腊数学家欧多克斯发现：如果将一条线(AB)分割成大小两段(AP、PB)，若小段与大段的长度之比恰好等于大段的长度与全长之比的话，那么这一比值等于

0.618…，用式子表示就是：(PB)／(AP)=(AP)／(AB)=0.618……。

有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.168…；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618……的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。

建筑师们对数学0.168…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.168…有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.168…处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.168…处，能使琴声更加柔和甜美。

数字0.168…更为数学家所关注，它的出现，不仅解决了许多数学难题(如：十等分、五等分圆周；求18度、36度角的正弦、余弦值等)，而且还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在1000克与2000克这个区间中进行试验。通常是取区间的中点(即1500克)作试验。

然后将试验结果分别与1000克和2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做试验，再比较端点，依次下去，直到取得最理想的结果。这种实验法称为对分法。但这种方法并不是最快的实验方法，如果将实验点取在区间的0.618处，那么实验的次数将大大减少。这种取区间的0.618处作为试验点的方法就是一维的优选法，也称0.618法。实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次试验就可以完成“对分法”做2500次试验所达到的效果。因此大画家达·芬奇把0.618…称为黄金数。

五、斐波那契数列

教学目标：帮助学生发现并理解生活中无处不在的数学现象，象美丽的花中包含斐波那契数列。培养学生善于从生活中发现数学问题，从而产生对数学浓厚的兴趣。

教学重点：有趣的斐波那契数列现象，以及相继的斐波那契数的比与黄金比的关系。教学难点：用联系的观点发现生活中的很多数学问题及其探究解决办法。

教学过程：

斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。

（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。

（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：

3………………………百合和蝴蝶花

5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草

8………………………翠雀花

13………………………金盏草

21………………………紫宛

34，55，84……………雏菊

（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

（4）斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中。这种情况在向日葵的种子盘中也会看到。此外，你能发现一些连续的鲁卡斯数吗？

（5）菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。对于菠萝，我们可以去数一下它表面上六角形鳞片所形成的螺旋线数。

（6）斐波那契数列与黄金比值

相继的斐波那契数的比的数列：

它们交错地或大于或小于黄金比的值。该数列的极限为。这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。

六、龟背上的学问

教学目标：帮助学生发现并理解生活中无处不在的数学现象，象龟背上的组合数学理论。培养学生善于从生活中发现数学问题，从而产生对数学浓厚的兴趣。

教学重点：数学是从实际生活问题中抽象出来，再抽象的数学问题也是来源于生活。

教学难点：用联系的观点发现生活中的很多数学问题及其探究解决办法。

教学过程：

传说大禹治水时，在一次疏通河道中，挖出了一只大龟，人们很是惊讶，争相观看，只见龟背上清晰刻着图1所示的一个数字方阵。

这个方阵，按《孙子算经》中筹算记数的纵横相间制：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。六不积算，五不单张。”可译成现代的数字，

如图2所示。

方阵包括了九个数字，每一行一与列的数字和均为15，两条对角线上的数也有相同的性质。当时，人们以为是天神相助，治水有望了。后来，人们称刻在龟背上的方阵为“幻方”(国外称为“拉丁方”)，属于组合数学范畴。使用整数1—9构成的3×3阶“拉丁方”唯一可能的和数是15，这一点只要把这“拉丁方”中所有数加起来便可证明，1十2十3十4十5十6十7十8十9＝45，要把这几个数分配到三行(或列)使得每行(或列)有同样的和，那么，每行(或列)的和应为45／3＝150

组合数学是数学中的一个分支，在实际生活中应用很广泛，请看下面的例子。

5名待业青年，有7项可供他们挑选的工作，他们是否能找到自己合适的工作呢?由于每个人的文化水平、兴趣爱好及性别等原因，每个人只能从七项工作中挑选某些工种，也就是说每个人都有一张志愿表，最后根据需求和志愿找到一个合适的工作。

组合数学把每一种分配方案叫一种安排。当然第一个问题是考虑安排的存在性，这就是存在问题；第二个问题是有多少种安排方法，这就是计数问题。接下去要考虑在众多的安排中选择一种最好的方案，这就是所谓的“最优化问题”。

存在问题、构造问题、计数问题和最优化问题就构成了全部组合数学的内容。如果你想了解更多的组合数学问题，那就要博览有关书籍，你会得到许多非常有趣的知识，会给你许多的启发和教益。

备用材料：

七、欺骗眼睛的几何问题

生活中我们常常相信亲眼所见，但又常常为自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术，请看下面问题1这两个图形，如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2，我们将会发现，与图1相比，图2多出了一个洞！这怎么可能呢？理性会提出这样的疑问。奥妙何在我们姑且按下不表，让喜欢思考的同学先动动脑子。

我们还是来看一个更简单的问题2吧，将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成图４，计算可知长方形的面积为8×21＝168，比正方形少了一个单位的面积，真不可思议！

这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解，值得我们花费一些时间动手按照所说的剪裁方法做一做。以问题2为例，我们在白纸上将正方形量好画出，剪成四块，重新安排后拼成长方形，除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确，我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。

问题２中涉及到四个数据5、8、13和21，有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程，无论选取哪四项，都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的，有时正方形的面积比长方形多一个单位面积，有时则正好相反。多做几次上述实验，我们就会得出斐波那契数列的一个

重要性质：这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减1。用公式表示就是：

。其中表示正方形的面积，表示长方形的面积。知道了这个事实，我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。

上面的这个斐波那契数列是以1，1两数开始的，广义的斐波那契数列可以从任意两数开始。比如说，用广义斐波那契数列2，2，4，6，10，16，……做上述试验，就会多得或丢失四个单位的面积。如果用a、b、c表示广义斐波那契数列的相邻三项，以x表示“得”或“失”

的数字，则下列两式成立：我们还可以来研究这样一个有趣的问题：把正方形按上述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？要回答这个问题，可以令

方程组中的x等于零，再解之得唯一正解是：。其中恰是著名的黄金分割比，通常用来表示，它是一个无理数，等于1.618033……。这就是说，唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的斐波那契数列是：1，，，，，……。要证明它的确是斐波那契数列，只要证明它等价于数列1，，+1，2+1，3+2，……就可以了。只有用这个数列相邻项数表示的长度来分割正方形，才可以拼出面积不变的长方形。

我们再回到问题1，题中涉及到的数据1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契数列的前七项，因此问题１实际上是问题２的一个复杂化版本，计算一下图中两个大小三角形斜边的斜率，那么一开始的疑问已不讲自明。

最后再给喜欢思考的同学提出一个与前两个问题略有不同的问题3，图5这个正方形按图中标出的数据分割成了五块几何图形，剪开后重新拼接成图６，奇怪，又多出了一个洞！这次斜线处并无叠合，少掉的一个单位面积哪里去了呢？这个问题最初是由美国魔术师保罗?卡瑞提出的，虽然它曾经难倒了许多美国人，但相信它难不倒聪明的中国学生。为帮助大家思考，提示一下：不要忘了计算！最后送给大家一句华罗庚教授的话作为本文的结束，“数缺形时少直观，形少数时难入微”。

八、让数学帮你理财

某银行为鼓励小朋友养成储蓄习惯，提供一个颇有心思的储蓄计划。参加者除可有较高年息优惠外（见附表），更可以特价换取手表一只。先不论以低价换表是否真的超值，但这种宣传方法颇具心思。手表与户口连在一起，正好意味着利息随时间递增的关系。

银行的宣传小册子更注明十一岁至十七岁小朋友已可开个人户口。这群“准客户”大致是接受中学教育的适龄儿童。无论有兴趣参加与否，总希望他们或早或迟懂得储蓄计划背后的数学原理。

这个储蓄计划是以每月存入定额存款来计算利息，而存款期限愈长，利率则愈高。为了更有效理解表中“到期本息金额”如何计算出来，且让我们设为每月存款的金额，而则为月息利率。月息利率是由“每年复息利率”除以12而来的。譬如说，存款期限为9个月，从表中得知每年复息利率是6.625%，因此月息利率为6.625%÷12，即约是0.5521%。

存款1个月后，到期本息金额：