导数及偏导数计算
第四讲导数及偏导数计算
实验目的
１．进一步理解导数概念及其几何意义.
２．学习matlab的求导命令与求导法.
实验内容
１．学习matlab命令.
建立符号变量命令sym和syms调用格式:
x=sym('x')，建立符号变量x；
syms x y z ，建立多个符号变量x，y，z；
matlab求导命令diff调用格式:
diff(函数) ，求的一阶导数；
diff(函数， n) ，求的n阶导数(n是具体整数)；
diff(函数，变量名)，求对的偏导数；
diff(函数，变量名，n) ，求对的n阶偏导数；
matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式:
jacobian([函数；函数；函数]， [])给出矩阵:
２．导数概念.
导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率.
（１）点导数是一个极限值.
例3.1.设，用定义计算.
解:在某一点的导数定义为极限:
我们记，输入命令:
syms h；limit((exp(0+h)-exp(0))/h，h，0)
得结果:ans=１．可知
（２）导数的几何意义是曲线的切线斜率.
例 3.2.画出在处()的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势.
解:在曲线上另取一点，则的方程是:
.即
取，分别作出几条割线.
h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3;
plot(x,exp(x), 'r.');hold on
for i=1:5;
plot(h(i),exp(h(i)),'r.') plot(x,a(i)*x+1)
end
axis square
作出在处的切线
plot(x,x+1, 'r.')
从图上看，随着与越来越接近，割线越来越接近曲线的割线．３．求一元函数的导数.
（１）的一阶导数.
例3.3.求的导数.
解:打开matlab指令窗，输入指令:
>>syms x; dy_dx=diff(sin(x)/x)
得结果:
dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.
matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符，在这里我们用dy_dx表示
例3.4.求的导数.
解: 输入命令:
dy_dx=diff(log(sin(x)))
得结果:
dy_dx=cos(x)/sin(x).
在matlab中，函数用log(x)表示，而log10(x)表示
例3.5.求的导数.
解: 输入命令:dy_dx=diff((x^2+2*x)^20).得结果:
dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).
注意输入时应为2*x.
例3.6.求的导数.
解: 输入命令:
dy_dx=diff(x^x).
得结果:
dy_dx =x^x*(log(x)+1).
利用matlab 命令diff一次可以求出若干个函数的导数.
例3.7.求下列函数的导数:
1.
2.
3.
4.
解: 输入命令:
a=diff([sqrt(x^2- 2*x+5)，cos(x^2)+2*cos(2*x)，4^(sin(x))，log(log(x))]).
得结果:
a=
[1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2)，-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x)， 4^sin(x)*cos(x)*log(4)，1/x/log(x)].
dy1_dx=a(1)
dy1_dx=1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2).
dy2_dx=a(2)
dy2_dx=-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x).
dy3_dx=a(3)
dy3_dx=4^sin(x)*cos(x)*log(4).
dy4_dx=a(4)
dy4_dx=1/x/log(x).
由本例可以看出，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的，a(i)表示向量a的第i个分量.
（２）参数方程所确定的函数的导数.
设参数方程确定函数，则的导数
例3.8.设，求
解: 输入命令:
dx_dt=diff(a*(t-sin(t)))；dy_dt=diff(a*(1-cos(t)))；
dy_dx=dy_dt/dx_dt.
得结果:
dy_dx=sin(t)/(1-cos(t)).
其中分号的作用是不显示结果.
４．求多元函数的偏导数.
例3.9.设求 u的一阶偏导数.
解: 输入命令:
diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2)， x).
得结果:
ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x.
在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数:
ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y.
也可以输入命令:
jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2)，[x y]).
得结果:
ans=[1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x， 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y]给出矩阵
例3.10.求下列函数的偏导数:
1.
2.
解: 输入命令:
diff(atan(y/x).
得结果:
ans=-y/x^2/(1+y^2/x^2).
输入命令:
diff(atan(y/x)， y).
得结果:
ans=1/x/(1+y^2/x^2).
输入命令:
diff(x^y， x).
得结果:
ans=x^y*y/x.
输入命令:
diff(x^y， y).
得结果:
ans=x^y*log(x).
使用jacobian命令求偏导数更为方便.
输入命令:
jacobian([atan(y/x)，x^y]，[x，y]).
得结果:
ans=[ -y/x^2/(1+y^2/x^2)，1/x/(1+y^2/x^2)]
[x^y*y/x，x^y*log(x)].
５．求高阶导数或高阶偏导数.
例3.11.设，求.
解:输入指令:
diff(x^2*exp(2*x)，x，20).
得结果:
ans =
99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*x^2*exp(2*x)例3.12.设，求,,
解:输入命令:
diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，2)
可得到:
ans=30*x^4+4*y^2.
将命令中最后一个x换为y得:
ans=-36*y^2+4*x^2.
输入命令:
diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x)，y)
可得:
ans=8*x*y
同学们可自己计算比较它们的结果.
注意命令:diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，y)，是对y求偏导数，不是求６．求隐函数所确定函数的导数或偏导数
例3.13.设，求
解:，先求，再求
输入命令:
df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，x)
得到:
df_dx=1/x+y/x^2*exp(-y/x).
输入命令:
df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，y)
得到:
df_dy=-1/x*exp(-y/x)
输入命令:
dy_dx=-df_dx/df_dy
可得所求结果:
dy_dx=-(-1/x-y/x^2*exp(-y/x))*x/exp(-y/x).
例3.14.设，求,
解:
输入命令:
a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(z*x)，[x，y，z])
可得矩阵
a=
[cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)^2)*z，cos(x*y)*x-sin(y*z)*z，-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x].
输入命令:
dz_dx=-a(1)/a(3)
得:
dz_dx=
(-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)^2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)
输入命令:
dz_dy=-a(2)/a(3)
得:
dz_dy=
(-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)
练习
1.求下列函数的导数. (1))11)(1(-+=x x y (2)x x x y ln sin = (3)
221
sin 2x y = (4))ln(22a x x y ++=
2.求下列参数方程所确定的函数的导数. (1)⎩⎨⎧==t y t x 44 (2)⎩⎨⎧-=+=arctgt t y t x )1ln(2
3.求下列隐函数的导数. (1)22ln y x x y arctg += (2)x y y x =
4.设x e y x cos =，求)4(y .
5.验证x e y x sin =满足关系式:
022=+'-''y y y
6.求下列函数的偏导数.
(1))sin(2xy x z = (2)z
y x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛= 7.设)ln(y x x u +=，求22x u ∂∂，22y u
∂∂，y x u ∂∂∂2.
8.求下列多元隐函数的偏导数y z
x z ∂∂∂∂,.
(1)1cos cos cos 222=++z y x (2)xyz
e z =
9.证明函数22)()(ln b y a x u -+-=(b a ,为常数)满足拉普拉斯方程: 02222=∂∂+∂∂y u x u
（提示：对结果用simplify 化简）
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）
偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法 偏导数是多元函数在其中一点上的变化率的一种度量，它描述了函数在其中一方向上的变化速率。偏导数的定义非常简单，它是将函数的其他自变量视为常数，而对其中一自变量求导得到的导数。 对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以用∂f/∂xi 或者 fxi 来表示，其中∂表示偏导数的符号，xi 表示自变量 xi 的偏导数。偏导数的计算方法基本与一元函数的导数计算类似，但在计算过程中需要将其他的自变量视为常数。 举个例子来说明偏导数的计算：假设有一个二元函数 f(x1,x2)=x1^2+x2^2，我们要计算该函数关于自变量x1的偏导数∂f/∂x1在计算过程中，我们将x2视为常数，即f(x1,x2)=x1^2+C^2，其中C 表示x2的常数值。然后我们对f(x1,x2)关于x1求导数，得到 f'(x1,x2)=2x1、最后得到∂f/∂x1=f'x1=2x1，即关于x1的偏导数。 在实际应用中，偏导数常常用于优化算法、极值问题的求解等方面。在多元函数中，偏导数的大小和符号可以用于判断函数的变化趋势和极值点的位置。 除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数。高阶偏导数描述的是函数对自变量一次、二次、三次...的变化率。例如，二元函数的二阶偏导数就是对一阶偏导数再次求导，即∂^2f/∂x1^2，表示f(x1,x2)对x1的变化率的变化率。 对于多元函数而言，偏导数的计算可以推广到n阶偏导数，并且可以使用偏导数的混合形式。例如，对于三元函数f(x1,x2,x3)，我们可以计算∂^2f/∂x1∂x2，表示对x1求偏导后再对x2求偏导。
总结来说，偏导数是多元函数关于其中一自变量的变化率的度量。计算偏导数的方法与一元函数的导数计算类似，但需要将其他自变量视为常数。偏导数在实际应用中具有广泛的用途，如优化算法、极值问题的求解等。除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数和混合偏导数。
偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法 偏导数是多元函数的导数概念的推广，它用于计算多元函数在其中一点处对一些自变量的变化率。 一元函数的导数表示函数在其中一点附近的局部变化率，而多元函数的导数则表示函数在其中一点附近关于一些自变量的变化率。 设函数 f(x₁, x₂, …, xn) 是一个 n 变量函数，其中 x₁, x₂, …, xn 分别表示自变量。若函数在其中一点处各个自变量的偏移量分别是 Δx₁, Δx₂, …, Δxn，则函数在该点处的偏导数表示函数在该点处关于一些自变量的变化率。偏导数用∂f/∂x 表示，其中∂表示该函数是多元函数的导数。 对于二元函数f(x,y)，其偏导数分为两种：对x的偏导数(∂f/∂x)，对y的偏导数(∂f/∂y)。偏导数计算公式如下： ∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x + Δx, y) - f(x, y)]/Δx ∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y + Δy) - f(x, y)]/Δy 其中，lim 表示极限。 对于 n 元函数 f(x₁, x₂, …, xn)，可以按照相同的原理通过对各个自变量的偏移量进行极限计算，得到相应的偏导数。 在实际计算中，依次计算各个自变量的偏导数来获得该函数在其中一点处的各个偏导数值。如果函数可微分，就可以通过偏导数找到该点处的切线方程，从而研究函数在该点的性质。 偏导数的计算需要使用导数的各种运算法则，例如线性性质、乘法法则、除法法则和复合函数法则等。
线性性质：若 f(x) 和 g(x) 是可导函数，c 是常数，则有∂/∂x [cf(x) ± g(x)] = c(∂f/∂x) ± (∂g/∂x)。 乘法法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有 ∂/∂x[f(x)g(x)]=g(x)(∂f/∂x)+f(x)(∂g/∂x)。 除法法则：若f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)≠0，则有 ∂/∂x[f(x)/g(x)]=[g(x)(∂f/∂x)-f(x)(∂g/∂x)]/[g(x)]²。 复合函数法则：若 f(x, y) 为可导函数，而 g(t) 和 h(t) 分别是 关于 t 的可导函数，则有∂/∂x [f(g(t), h(t))] = (∂f/∂x)(dg/dt) + (∂f/∂y)(dh/dt)。 需要注意的是，偏导数只是多元函数在其中一点的局部变化率，并不 能给出函数在全局上的变化趋势。因此，在实际中，通常需要结合偏导数 来进行全局性质的分析。 综上所述，偏导数是多元函数在其中一点处关于一些自变量的变化率。通过计算偏导数，可以研究函数在该点处的性质，并为计算高维函数的最值、测量误差传播、优化问题等提供有力工具。
偏导数的定义和计算方法
偏导数的定义和计算方法 偏导数是微积分中一个重要的概念，它用于描述多元函数在某一点上沿着特定方向变化的速率。在这篇文章中，我们将详细讨论偏导数的定义以及计算方法。 一、偏导数的定义 偏导数是多元函数在某一点上对某个独立变量的导数。与普通导数不同的是，它只考虑一个变量的变化对函数的影响，而将其他变量视为常数。 对于具有两个自变量的函数 f(x, y)，我们可以计算关于 x 的偏导数∂f/∂x 和关于 y 的偏导数∂f/∂y。偏导数可以用以下形式表示：∂f/∂x = lim(h→0) [f(x + h, y) - f(x, y)] / h ∂f/∂y = lim(h→0) [f(x, y + h) - f(x, y)] / h 其中 h 表示一个无限趋近于零的小量，表示自变量的微小变化。 二、偏导数的计算方法 1. 针对单变量求导法则 在计算偏导数时，我们可以运用单变量求导法则。当一个函数关于变量 x 进行偏导时，将其他自变量视为常数进行求导。 2. 一阶偏导数 若函数 f(x, y) 可以依照以下简化的方式进行求偏导数：
∂f/∂x = ∂z/∂x = fx，其中 fx 表示关于 x 的导函数 ∂f/∂y = ∂z/∂y = fy，其中 fy 表示关于 y 的导函数 3. 二阶偏导数 二阶偏导数可以通过在一阶偏导数的结果上再求一次偏导数得到。例如： ∂²f/∂x² = ∂(∂f/∂x)/∂x = ∂²z/∂x² = fxx，其中 fxx 表示关于 x 的二阶导函数 ∂²f/∂y² = ∂(∂f/∂y)/∂y = ∂²z/∂y² = fyy，其中 fyy 表示关于 y 的二阶导函数 4. 混合偏导数 在具有更多自变量的函数中，我们还可以计算混合偏导数。混合偏导数涉及对多个变量同时求导的情况。 ∂²f/(∂x∂y) = ∂(∂f/∂x)/∂y = ∂(∂z/∂x)/∂y = fxy，表示关于 x 和 y 的混合偏导数 5. 链式法则 当函数存在多个自变量时，我们可以利用链式法则来计算偏导数。链式法则是将函数的导数分解为几个部分并逐个求导。例如，对于函数 z = f(x, y) 和自变量 x = g(t)，我们可以使用以下公式计算 dz/dt：dz/dt = (∂z/∂x) * (dx/dt) + (∂z/∂y) * (dy/dt)
导数及偏导数计算
第四讲导数及偏导数计算 实验目的 １．进一步理解导数概念及其几何意义. ２．学习matlab的求导命令与求导法. 实验内容 １．学习matlab命令. 建立符号变量命令sym和syms调用格式: x=sym('x')，建立符号变量x； syms x y z ，建立多个符号变量x，y，z； matlab求导命令diff调用格式: diff(函数) ，求的一阶导数； diff(函数， n) ，求的n阶导数(n是具体整数)； diff(函数，变量名)，求对的偏导数； diff(函数，变量名，n) ，求对的n阶偏导数； matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式: jacobian([函数；函数；函数]， [])给出矩阵:
２．导数概念.
导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率. （１）点导数是一个极限值. 例3.1.设，用定义计算. 解:在某一点的导数定义为极限: 我们记，输入命令: syms h；limit((exp(0+h)-exp(0))/h，h，0) 得结果:ans=１．可知 （２）导数的几何意义是曲线的切线斜率. 例 3.2.画出在处()的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势. 解:在曲线上另取一点，则的方程是: .即 取，分别作出几条割线. h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3; plot(x,exp(x), 'r.');hold on for i=1:5;
plot(h(i),exp(h(i)),'r.') plot(x,a(i)*x+1) end
偏导数公式和求导法则
偏导数公式和求导法则 让我们来了解一下偏导数的概念。在多元函数中，我们通常会遇到多个自变量同时变化的情况。偏导数就是用来描述这种情况下函数对于某个自变量的变化敏感程度的指标。简单来说，偏导数就是函数沿着某个特定方向的变化率。 对于一个二元函数，例如z = f(x, y)，我们可以用∂z/∂x来表示函数f对于变量x的偏导数，表示在y固定的情况下，函数z对于x的变化率。同样地，我们可以用∂z/∂y来表示函数f对于变量y的偏导数，表示在x固定的情况下，函数z对于y的变化率。 那么，如何计算偏导数呢？对于一个简单的函数，我们可以直接利用求导法则来求解。求导法则是微积分中常用的一组规则，可以帮助我们计算各种函数的导数。常见的求导法则包括常数法则、幂法则、和法则、积法则和商法则等。 举个例子，假设我们有一个函数z = 3x^2 + 2xy + y^2，现在我们来计算∂z/∂x和∂z/∂y。 根据求导法则，我们可以先对函数中的每一项进行求导，然后再将结果相加。对于3x^2，根据幂法则，我们可以将指数下降1，并将系数保留，得到6x。对于2xy，根据和法则，我们可以将两个变量的导数相加，得到2y。对于y^2，同样根据幂法则，我们可以得到
2y。 因此，我们得到∂z/∂x = 6x + 2y，∂z/∂y = 2x + 2y。 除了使用求导法则，我们还可以通过几何的方法来理解偏导数。对于函数z = f(x, y)，我们可以将其表示为三维空间中的一个曲面。在这个曲面上，我们可以选择一个点P，并画出曲面在这个点的切平面。切平面与x轴和y轴的交线就是函数在该点的偏导数。 通过偏导数，我们可以研究函数在不同方向上的变化情况。例如，在工程和物理学中，偏导数常常用来描述物理量之间的关系，如速度和加速度之间的关系。在经济学中，偏导数可以用来描述边际效应，帮助我们理解经济中的决策和变化。 总结一下，偏导数是用来描述函数在多个自变量同时变化的情况下的变化率的指标。我们可以通过求导法则来计算偏导数，同时也可以通过几何的方法来理解偏导数。偏导数在各个领域都有广泛的应用，帮助我们理解和分析复杂的函数关系。希望本文能够帮助读者更好地理解偏导数公式和求导法则，为进一步学习微积分打下坚实的基础。
多元函数的偏导数与全导数的概念及计算方法
多元函数的偏导数与全导数的概念及计算方 法 一、多元函数的偏导数概念及计算方法 多元函数的偏导数是指在多元函数中，固定其他变量而对某一个变量求导的结果。偏导数的计算方法可分为两种：使用基本的导数法则以及使用偏导数的定义。 1. 使用基本的导数法则计算偏导数 假设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，则可以通过以下导数法则来计算它的偏 导数： a. 对于一个与x1有关的函数，固定其他变量而对x1求导，得到偏导数∂f/∂x1。对于每一个变量，都可以类似操作。 b. 对于一个与x1和x2有关的函数，固定其他变量而对x1和x2分别求导，得 到偏导数∂f/∂x1和∂f/∂x2。 c. 继续对函数的其他变量进行相同的操作，直到计算得到所有的偏导数。 2. 使用偏导数的定义计算偏导数 使用偏导数的定义计算偏导数需要先确定一个变量为自变量，其他变量为常数。然后根据函数的定义，求出对应自变量的导数。 例如，对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。计算时，我们先固定y为常数，然后将f(x, y)看作只是关于x的函数，使用基本的导数法则 计算∂f/∂x。接着，我们再固定x为常数，将f(x, y)看作只是关于y的函数，使用基 本的导数法则计算∂f/∂y。 二、多元函数的全导数概念及计算方法
多元函数的全导数是指对于一个多元函数中的每个自变量，都求出对应的偏导数。全导数的计算方法与偏导数的计算方法类似。 假设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，则可以通过以下步骤来计算它的全导数： 1. 计算所有的偏导数 固定每个变量，分别对其求偏导数∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn。这一步的计算方 法可以使用上述的偏导数的计算方法。 2. 组合所有的偏导数 将所有的偏导数组合在一起，形成一个向量，即全导数的结果。如果函数有n 个自变量，全导数可以表示为向量(d1f, d2f, ..., dnf)。 需要注意的是，全导数不同于偏导数的一个重要特点是可以通过向量的方式来 表示。向量的每个元素对应一个变量的偏导数。这种方式的好处是，计算时可以一次性计算出所有的偏导数，从而减少计算量。 总结： 多元函数的偏导数是指固定其他变量而对一个变量求导的结果，可以使用基本 的导数法则和偏导数的定义来计算。全导数是对多元函数中的每个自变量都进行求导，并使用向量的方式表示所有偏导数的结果。全导数的计算方法与偏导数类似，即先计算所有的偏导数，然后组合成向量表示全导数的结果。
偏导数的求法
偏导数的求法 偏导数是多元函数的导数的一种形式，它是用来衡量函数在不同自变量方向上的变化率。在数学和物理学中，偏导数广泛应用于求解方程组、优化问题以及描述物理过程等领域。 偏导数的求法可以通过求解单个变量的导数来实现。当一个函数有多个自变量时，可以通过将其他自变量视为常数来计算偏导数。偏导数的计算方法与一元函数的导数计算方法类似，只需将其他自变量视为常数即可。 下面我们将通过一个简单的例子来说明如何计算偏导数。假设有一个二元函数 f(x, y) = 3x^2 + 2xy + 5y^2，我们要计算关于 x 的偏导数。 首先，我们将 y 视为常数，即将 y 当做一个已知的常量。然后，我们对 x 进行求导。根据导数的定义，我们可以将常数项视为 0，并将指数下降一个单位。所以，偏导数的计算结果为 f/x = 6x + 2y。 同样的方法，我们也可以计算关于 y 的偏导数。这次，我们将 x 视为常数，并对 y 进行求导。根据导数的定义，我们将常数项视为 0，指数下降一个单位。所以，偏导数的计算结果为 f/y = 2x + 10y。
这个例子展示了如何通过将其他自变量视为常数来计算偏导数。对于具有多个自变量的函数，我们可以依次对每个自变量进行求导，从而得到它们的偏导数。 在实际应用中，偏导数经常用于优化问题和最小二乘法等数学建模中。通过计算函数在不同方向上的变化率，可以找到函数的最小值或最大值。此外，偏导数还在物理学中广泛应用于描述多变量系统的行为，例如热力学、流体力学和电磁学等领域。 总结起来，偏导数是多元函数的导数，用来衡量函数在不同自变量方向上的变化率。通过将其他自变量视为常数，我们可以通过求解单个变量的导数来计算偏导数。偏导数在数学和物理学中有着广泛的应用，对于求解方程组、优化问题和描述物理过程等领域起着重要作用。
偏导数求导公式
偏导数求导公式 偏导数是微积分中的一种重要概念，用于衡量一个函数在某一点 的变化率。当函数有多个自变量时，我们需要通过计算偏导数来确定 函数在不同自变量方向上的变化情况。 在多元函数中，每个自变量都有可能影响函数的值。为了研究某 个自变量对函数的影响，我们需要固定其他自变量不变，仅对某个特 定的自变量进行考察。这时，偏导数就派上了用场。 偏导数的定义很直观，它描述了函数在某个点上沿特定自变量方 向的变化率。对于函数f(x1, x2, ..., xn)来说，它的偏导数可以表 示为∂f/∂xi，其中∂表示“偏微分”的符号。偏导数可以理解为函数在 xi 方向上的变化率，而其他自变量则被视为常数。 求取偏导数的公式与一元函数求导公式相似，我们仅需要将其他 自变量视为常数即可。我们以一个具体的例子来解说明，考虑函数 f(x, y) = x^2 + y^2。 首先，我们需要确定求取哪个自变量的偏导数。若要求取∂f/∂x，则将 y 视为常数，将 x^2 称为一元函数。按照一元函数求导规则， 我们得出结果是 2x。 同理，若要求取∂f/∂y，则将 x 视为常数，将 y^2 称为一元函数。按照一元函数求导规则，我们得出结果是 2y。
从这个例子我们可以看到，求取偏导数的过程就是将其他自变量 视为常数，按照一元函数求导规则处理。对于包含多个自变量的函数，我们需要分别计算每个自变量的偏导数来了解函数在每个方向上的变 化情况。 在实际应用中，偏导数广泛用于优化问题、物理学、经济学等领域。通过求取偏导数，我们可以确定函数在不同自变量方向上的变化 趋势，进而帮助我们做出更准确的预测和决策。 需要注意的是，偏导数的存在与连续性相关。如果函数在某个点 上不连续，那么在该点处的偏导数可能不存在。因此，在进行偏导数 计算之前，我们需要确保函数在考察点处是连续的，否则偏导数并不 适用。 总结来说，偏导数是多元函数中用于衡量函数在特定自变量方向 上变化率的概念。通过将其他自变量视为常数，我们可以按照一元函 数求导规则求取偏导数。偏导数在实际应用中有着广泛的用途，可以 帮助我们更好地理解和分析函数的行为。但需要注意的是，偏导数的 存在与连续性相关。在使用偏导数之前，我们需要确保函数在考察点 处是连续的。
二元函数求偏导数公式
二元函数求偏导数公式 二元函数的偏导数是指在多元函数中，只针对其中一个变量求导的结果。对于一个二元函数，其自变量是两个变量x和y，因此求偏导数时需要分别对x和y求导。在本文中，我们将详细介绍二元函数的偏导数及其计算方法。 一、二元函数的偏导数定义 对于一个二元函数f(x,y)，它的偏导数表示为∂f/∂x和∂f/∂y，其中∂f/∂x表示对x求导，∂f/∂y表示对y求导。具体而言： 1.对x求导时，将y视为常数，只考虑关于x的导数； 2.对y求导时，将x视为常数，只考虑关于y的导数。 二、二元函数的偏导数计算方法 1.两个变量均可导的情况下 如果二元函数f(x,y)中的两个变量x和y均可导，则可以使用以下方法计算其偏导数： ∂f/∂x = lim (Δx→0) [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx ∂f/∂y = lim (Δy→0) [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy 其中，lim 表示极限运算，Δx 和Δy 是无穷小的增量。 2.只有一个变量可导的情况下
如果二元函数f(x,y)中只有一个变量可导，而另一个变量不可导，则无法使用上述方法求偏导数。但我们可以将问题转化为单变量函数的导数计算。 例如，如果只有x可导，而y不可导，则可以将y视为x的函数 y(x)，然后使用链式法则计算偏导数∂f/∂x。具体而言： ∂f/∂x=∂f/∂y*∂y/∂x 其中，∂f/∂y是关于y的偏导数，∂y/∂x是y关于x的导数。 类似地，如果只有y可导，而x不可导，则可以将x视为y的函数x(y)，然后使用链式法则计算偏导数∂f/∂y。 三、例子 现在我们来看几个例子，以展示二元函数的偏导数计算方法。 1.例子一：f(x,y)=x^2+y^2 ∂f/∂x = d/dx(x^2 + y^2) = 2x ∂f/∂y = d/dy(x^2 + y^2) = 2y 2. 例子二：f(x, y) = xy^2 ∂f/∂x = d/dx(xy^2) = y^2 ∂f/∂y = d/dy(xy^2) = 2xy 3. 例子三：f(x, y) = sin(x)cos(y) ∂f/∂x = d/dx(sin(x)cos(y)) = cos(x)cos(y) ∂f/∂y = d/dy(sin(x)cos(y)) = -sin(x)sin(y)
偏导数公式大全24个
偏导数公式大全24个 偏导数是多元函数微分学中的重要概念，用于描述函数在特定方向上的变化率。在实际问题中，偏导数常常被用于求解最优化、梯度下降等问题。下面是24个常用的偏导数公式，每个公式都有它们的 特定应用场景。 1. 常数偏导数公式： 对于常数函数f(x)=c，其偏导数为0，即f/x = 0。 2. 幂函数偏导数公式： 对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其偏导数为f/x = n*x^(n-1)。 3. 指数函数偏导数公式： 对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数，其偏导数为f/x = a^x * ln(a)。 4. 对数函数偏导数公式： 对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0，其偏导数为f/x = 1/(x * ln(a))。 5. 三角函数偏导数公式： 对于三角函数f(x)=sin(x)，其偏导数为f/x = cos(x)。类似地，对于cos(x)和tan(x)函数，其偏导数分别为-sin(x)和sec^2(x)。
6. 反三角函数偏导数公式： 对于反三角函数f(x)=asin(x)，其中a为常数，其偏导数为f/x = a/sqrt(1-x^2)。类似地，对于acos(x)和atan(x)函数，其偏导数分别为-a/sqrt(1-x^2)，-1/sqrt(1+x^2)。 7. 求和公式： 对于多个函数的和f(x) = g(x) + h(x)，其偏导数为f/x = g/x + h/x。 8. 积函数公式： 对于两个函数的积f(x) = g(x) * h(x)，其偏导数为f/x = g(x) * h/x + h(x) * g/x。 9. 商函数公式： 对于两个函数的商f(x) = g(x) / h(x)，其偏导数为f/x = (h(x) * g/x - g(x) * h/x) / h(x)^2。 10. 复合函数公式： 对于复合函数f(g(x))，其中f和g是两个函数，其偏导数为f/x = f/g * g/x。 11. 矩阵-向量偏导数公式：
高考数学中的偏导数运算技巧
高考数学中的偏导数运算技巧在高中数学学科中，偏导数是一个非常重要的概念。在高考中，偏导数的考查频率也很高。因此，我们必须掌握偏导数的运算技巧。对于广大学生来说，掌握这些技巧不仅有利于在高考中获得 高分，还可以在未来的学习和工作中提高自己的数学能力。 一. 偏导数的基本概念 首先，我们来回顾一下偏导数的基本概念。偏导数是多元函数 在一个点上对于其中一个自变量的导数。也就是说，如果一个函 数有两个自变量，我们就可以求出该函数在某个点关于其中一个 自变量的导数。其数学符号表示为∂，例如： $$\frac{\partial f}{\partial x}$$ 其中，f是多元函数，x是自变量。上式表示f关于x的偏导数。 二. 偏导数的运算规则
有了偏导数的基本概念后，我们需要掌握偏导数的运算规则。下面是一些常见的偏导数运算规则： 1. 多元函数的偏导数运算可以交换次序，即： $$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$$ 2. 若多元函数f是由两个函数g和h相加得到，则f关于x的偏导数等于g和h关于x的偏导数之和，即： $$\frac{\partial(f(x,y))}{\partial x}=\frac{\partial(g(x,y))}{\partial x}+\frac{\partial(h(x,y))}{\partial x}$$ 3. 若多元函数f是由两个函数g和h相乘得到，则f关于x的偏导数等于g在该点的值乘以h关于x的偏导数，再加上h在该点的值乘以g关于x的偏导数，即： $$\frac{\partial(f(x,y))}{\partial x}=g(x,y)\frac{\partial(h(x,y))}{\partial x}+h(x,y)\frac{\partial(g(x,y))}{\partial x}$$
偏导数的定义与计算
偏导数的定义与计算 偏导数是微分学中的一个重要概念，它用于描述一个多变量函数在 某一点上对特定变量的变化率。在实际问题中，往往会遇到有多个自 变量的函数，而偏导数的概念和计算方法可以帮助我们深入理解函数 的变化规律。本文将详细介绍偏导数的定义与计算方法。 一、偏导数的定义 对于一个多变量函数，例如f(x, y)，我们可以对其中的某个自变量 进行变化，并观察函数在某一点上的变化率。因为多个自变量的存在，我们需要分别计算函数对不同自变量的变化率，这就是偏导数的含义。 形式上，偏导数可以用以下符号来表示： ∂f/∂x 或 df/dx 表示对f(x, y)对x的偏导数 ∂f/∂y 或 df/dy 表示对f(x, y)对y的偏导数 二、偏导数的计算方法 1. 对于单变量函数的偏导数计算 对于一个只有一个自变量的函数，例如f(x)，偏导数的计算就相当 于普通的导数计算，即计算函数在某一点上的切线斜率。 例如，对于函数f(x) = x^2，我们需要计算其关于x的偏导数。根据导数的定义： df(x)/dx = lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]
对于f(x) = x^2，可以得到： df(x)/dx = l im(h→0) [(x+h)^2 - x^2]/h = lim(h→0) (x^2 + 2xh + h^2 - x^2)/h = lim(h→0) (2xh + h^2)/h = lim(h→0) (2x + h) = 2x 因此，对于函数f(x) = x^2，它的偏导数关于x的结果为2x。 2. 对于多变量函数的偏导数计算 对于一个有多个自变量的函数，例如f(x, y)，我们需要分别计算其对不同自变量的偏导数。 例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们需要计算其对x和y的偏导数。 ∂f/∂x = 2x ∂f/∂y = 2y 函数f(x, y) = x^2 + y^2 对x求偏导数的结果是2x，对y求偏导数的结果是2y。 三、应用举例 偏导数在实际问题中有着广泛的应用。以下是一些例子： 1. 经济学中的边际效应分析
函数求偏导
函数求偏导 一、函数求偏导的基本概念 函数求偏导是多元函数微积分中的重要知识点。在多元函数中，每个自变量都会对函数的值产生影响，而函数求偏导则是把其中一个自变量视为常量，而将其他自变量作为自变量，从而求出函数对该自变量的导数。 对于一个二元函数 f(x,y)，如果要对其求关于 x 的偏导数，那么就需要将 y 视为 常量，而对 x 进行求导。表示该偏导数的符号是∂f/∂x，其中∂表示偏导数的符号。 二、函数求偏导的求解方法 1.先将函数对自变量逐一求导 ∂f/∂x = df/dx (y为常量) 2.将常数视为0 对于一些常量符号，比如常数1，变量1等，都需要视为0。如果有一个二元函数 f(x,y) = x + y，想要对其求偏导数，则： ∂f/∂x = 1 + 0 = 1 3.对合成函数求导 对于合成函数，需要使用链式法则进行求导。具体方法是，先对外层函数求导，再乘上内层函数对该自变量的导数。如果有函数 f(u,v)，u = g(x,y)，v = h(x,y)，想要对 f 对 x 求偏导数，则有： ∂f/∂x = ∂f/∂u * ∂u/∂x + ∂f/∂v * ∂v/∂x 同理，对于三元函数，也可以使用链式法则进行求导，公式如下： u，v，w 均为中间变量。 三、函数求偏导的实例应用 1.经济学中的边际分析 在经济学中，函数求偏导用于分析边际效应。全部生产成本 C(x) 是一个关于生产数量 x 的函数，那么单位成本是 C(x)/x。想要分析当生产数量 x 增加 1 个单位时，单位成本会发生怎样的变化，就需要求出该函数对 x 的偏导数∂C/∂x，即单位成本的边际成本。
2.物理学中的速度加速度 在物理学中，关于时间 t 的位置函数是一个多元函数，想要求出物体在某一时刻的 速度和加速度，就需要求出该函数对时间 t 的偏导数。二维空间内的位置函数为 r(t) = (x(t),y(t))，则该函数对时间 t 的偏导数就是速度 v(t) = dr/dt = (dx/dt,dy/dt)，而对速度 v(t) 求导数，就可以得到加速度 a(t) = dv/dt = (d^2x/dt^2,d^2y/dt^2)。 3.计算机科学中的机器学习算法 在计算机科学中，函数求偏导被广泛应用于机器学习算法中的梯度下降法。对于一个 由多个自变量确定的多元函数，可以用梯度下降法来求取该函数的最小值。而在梯度下降 法中，就需要对该函数分别对每个自变量进行求偏导，从而得到函数的梯度向量，再以此 为方向，逐步逼近最小值。 结论 函数求偏导作为多元函数微积分中的重要知识点，具有广泛的应用。本文介绍了函数 求偏导的基本概念、求解方法和实例应用，希望能够帮助读者更好地理解和应用函数求偏导。函数求偏导不仅在数学、物理、经济学等学科领域有广泛应用，同时也被应用于计算 机科学、工程学等领域。 在计算机科学中，函数求偏导被广泛应用于机器学习算法中的梯度下降法。梯度下降 法是一种优化算法，它通过对目标函数的梯度进行迭代来不断逼近函数极小值点或者鞍 点。 以线性回归为例，假设有 n 个变量和一个目标变量，那么就需要构建一个多元线性 回归模型。这个模型的目标是：对于给定的自变量值，预测出目标变量的值。模型需要在 训练数据集上进行训练，通过调整模型的参数，使得在训练数据集上的损失函数最小。 损失函数是用来衡量模型在训练数据集上的拟合度的。损失函数的值越小，说明模型 在训练数据集上的拟合度越好。梯度下降法就是通过对损失函数的梯度进行迭代来逐步逼 近最小值。 对于线性回归问题，目标函数通常是均方误差（MSE），定义为： $MSE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2$ n 是数据集大小，$y_i$ 是第 i 个样本的实际值，$\hat{y}_i$ 是第 i 个样本的预 测值。 为了使用梯度下降法求解线性回归问题，需要对均方误差函数对模型参数进行求导数，从而得到梯度。梯度的每个分量，即偏导数，表示了该参数对模型的影响程度。
多元函数的偏导数与方向导数计算
多元函数的偏导数与方向导数计算 在多元函数中，偏导数与方向导数是常用的求导工具，可以帮助我们研究函数在不同方向上的变化率和导数值。本文将介绍计算多元函数的偏导数和方向导数的方法和公式，并通过实例进行说明。 一、多元函数的偏导数 多元函数是指含有多个自变量的函数，其偏导数表示在各个自变量上的变化率。 1. 一阶偏导数 对于二元函数 $z = f(x, y)$，其一阶偏导数表示对每个自变量的偏导数值。分别记作 $\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$ 和 $\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$，计算方法如下： $$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}}{{\Delta x}}$$ $$\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = \lim_{{\Delta y \to 0}} \frac{{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}}{{\Delta y}}$$ 2. 高阶偏导数 如果一阶偏导数存在，我们还可以继续求解二阶、三阶乃至更高阶的偏导数。对于二阶偏导数，我们可以通过对一阶偏导数再次求导得到，记作 $\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x^2}}$、$\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x \partial y}}$ 和 $\frac{{\partial^2 z}}{{\partial y^2}}$。计算方法如下：
偏导数公式大全范文
偏导数公式大全范文 一元函数的偏导数公式： 1.对于一元函数f(x)，它的偏导数是函数f(x)对自变量x的变化率。偏导数通常用∂f/∂x表示。 2. 常数的导数为零，即 d(c)/dx = 0 ，其中 c 为常数。 3. 幂函数的导数 d(x^n)/dx = nx^(n-1) ，其中 n 为常数。 4. 对数函数的导数 d(ln(x))/dx = 1/x ，其中 ln(x) 表示以自然 对数为底的对数函数。 5. 指数函数的导数 d(e^x)/dx = e^x ，其中 e 是自然对数的底。 6. 三角函数的导数： d(sin(x))/dx = cos(x)，d(cos(x))/dx = - sin(x)，d(tan(x))/dx = sec^2(x)，其中 sec(x) 表示 secant 函数。 7. 反三角函数的导数：d(arcsin(x))/dx = 1/√(1-x^2)， d(arccos(x))/dx = -1/√(1-x^2)，d(arctan(x))/dx = 1/(1+x^2)。 多元函数的偏导数公式： 1. 多元函数 f(x1, x2, ..., xn) 的偏导数∂f/∂xi 表示函数 f 对 变量 xi 的变化率。 2. 偏导数的定义是通过将其他自变量固定而对其中一个自变量进行 微分，即∂f/∂xi = lim(h→0)(f(x1, ..., xi+h, ..., xn) - f(x1, ..., xi, ..., xn))/h。 3.二元函数的偏导数：
∂f/∂x表示函数f对变量x的变化率，将y视为常数； ∂f/∂y表示函数f对变量y的变化率，将x视为常数。 4.常见的二元函数的偏导数公式： 对数函数的偏导数： ∂(ln(x))/∂x = 1/x ，其中 ln(x) 表示以自然对数为底的对数函数。幂函数的偏导数： ∂(x^n)/∂x = nx^(n-1) ，其中 n 为常数。 三角函数的偏导数： ∂(sin(x))/∂x = cos(x)，∂(cos(x))/∂x = -sin(x)，∂(tan(x))/∂x = sec^2(x)，其中 sec(x) 表示 secant 函数。 反三角函数的偏导数： ∂(arcsin(x))/∂x = 1/√(1-x^2)，∂(arccos(x))/∂x = -1/√(1-x^2)，∂(arctan(x))/∂x = 1/(1+x^2)。 指数函数的偏导数： ∂(e^x)/∂x=e^x，其中e是自然对数的底。 以上只是一些常见的偏导数公式，实际上有很多其他函数的偏导数公式，它们的具体形式和计算方法可能会有所不同。在实际问题中，我们经 常需要使用链式法则、乘法法则和加法法则等数学原理来计算更为复杂的 多元函数的偏导数。