111变化率问题(1)

变化率问题

课前预习学案

预习目标：“变化率问题〞，课本中的问题1,2。知道平均变化率的定义。 预习内容： 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢

气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是3

3

4)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3

43)(π

V V r = 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水

在高台跳水运动中，,运发动相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后

的时间t 〔单位：s 〕存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运发动在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 问题3 平均变化率

函数()x f ，那么变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x ___________.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=___________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量〞，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________

提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

学习目标1.理解平均变化率的概念;

2.了解平均变化率的几何意义;

3.会求函数在某点处附近的平均变化率.

学习重点：

h t

o

平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 学习难点：

平均变化率的概念.

学习过程

一：问题提出

问题1气球膨胀率问题：

气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________. 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________. ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.

⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少 ___________.

问题2 高台跳水问题：

在高台跳水运动中，运发动相对于水面的高度h 〔单位：m 〕与起跳后的时间t 〔单位：s 〕存在怎样的函数关系

在高台跳水运动中,运发动相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t 〔单位：s 〕存在函数关系___________.

〕如何计算运发动的平均速度并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8

≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度. 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，___________.； 在21≤≤t 这段时间里，___________. 探究：计算运发动在49

65

0≤

≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运发动在这段时间内使静止的吗

⑵你认为用平均速度描述运发动的运动状态有什么问题吗

探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2

+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49

65

(

h h =， 所以___________.虽然运发动在49

65

0≤

≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运发动仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运发动的运动状态． 〔1〕计算和思考，展开讨论；

〔2〕说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.

〔3〕得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运发动的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运发动的运动状态； 二平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子 1

212)

()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化

率

h t

o

2．假设设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量〞可用

x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)

3． 那么平均变化率为

=∆∆=∆∆x

f x y ___________. 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率

=

∆∆x f

1

212)()(x x x f x f --表示什么 （1） 一起讨论、分析，得出结果；

（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率

2121

()()f x f x f x x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；

②x 2= x 1+Δx ； ③Δf=Δy=y 2-y 1； 三．典例分析

例1．函数f (x )=x x +-2

的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,那么

=∆∆x

y

． 解：

例2．求2

x y =在0x x =附近的平均变化率。

解：

四．有效训练

1．质点运动规律为32

+=t s ，那么在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为．

2.物体按照s (t )=3t 2

+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.

3.过曲线y =f (x )=x 3

上两点P 〔1，1〕和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率.

反思总结：1、平均变化率的概念

2、如何求函数在某点附近的平均变化率 当堂检测

1、函数()2

x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是〔 〕

A 、4

B 、2

C 、

41

D 、4

3 2、经过函数2

2x y -=图象上两点A 、B 的直线的斜率〔1,5.1==B A x x 〕为_______;函数

22x y =在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________

3、如果质点M 按规律2

3t s +=运动，那么在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______

课后练习与提高

1、 函数1)(2

+-=x x f ，分别计算()x f 在以下区间上的平均变化率

〔1〕[1，1.01] (2)[0.9,1]

2、 一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点〔0，2〕，试求此

一次函数的表达式。

3、函数12)(2

-==x x f y 的图象上一点〔1，1〕及邻近一点〔1+x ∆，+1(f x ∆〕〕，求

x

y

∆∆ 4、将半径为R 的球加热，假设球的半径增加R ∆，那么球的体积增量

()________________)(3

4

)(432+∆+∆=∆R R R V ππ

1.1.1变化率问题

教学目标：

1.理解平均变化率的概念;

2.了解平均变化率的几何意义;

3.会求函数在某点处附近的平均变化率. 教学重点：

平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 教学难点：

平均变化率的概念. 教学过程： 一、创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:

一、物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;

三、求函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等.

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.

导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二、新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的

半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢

气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33

4)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π

V V r = 分析: 3

43)(π

V V r = (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-

气球的平均膨胀率为)/(62.00

1)

0()1(L dm r r ≈--

(2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-

气球的平均膨胀率为)/(16.01

2)

1()2(L dm r r ≈--

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少 1

212)

()(V V V r V r --

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运发动相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2

++-=t t t h .如何用运发动在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态 思考计算:5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v

在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.405.0)

0()5.0(s m h h v =--=

在21≤≤t 这段时间里,)/(2.81

2)

1()2(s m h h v -=--=

探究: 计算运发动在49

65

0≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:

(1)运发动在这段时间内使静止的吗

(2)你认为用平均速度描述运发动的运动状态有什么问题吗 探究过程: 如图是函数105.69.4)(2

++-=t t t h 的图像,

结合图形可知,)0()49

65

(

h h =,所以)/(0049

65)0()4965

(

m s h h v =--= 虽然运发动在49

65

0≤

≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运发动仍然运动,并非静止,

可以说明用平均速度不能精确描述运发动的运动状态.

(二)平均变化率概念

1.上述问题中的变化率可用式子

1

212)

()(x x x f x f --表示,

h

t

o

称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.

2.假设设12x x x -=∆,)()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量〞可用

x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)

那么平均变化率为=

∆∆=∆∆x

f

x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象

平均变化率=

∆∆x

f

1212)()(x x x f x f --表示什么 三、典例分析

例1函数x x x f +-=2

)(的图象上的一点)2,1(--A 及

临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-那么

=∆∆x

y

. 解: )1()1(22

x x y ∆+-+∆+--=∆+-

∴x x

x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2求2

x y =在0x x =附近的平均变化率.

解: 2

020)(x x x y -∆+=∆

所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2

20)(x x x x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 所以2

x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02

四、课堂练习

1.质点运动规律为32

+=t s ,那么在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为. 2.物体按照43)(2

++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率. 3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线, 求出当1.0=∆x 时割线的斜率. 五、回忆总结 1.平均变化率的概念.

2.函数在某点处附近的平均变化率. 六、布置作业

求函数2

x y =在,2,31=x 附近的平均变化率，取x ∆都为

3

1

，哪一点附近的平均变化率最大