2020年高考数学(文)金榜冲刺卷(一)解析版

2020年高考金榜冲刺卷（一）

数学（文）

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数

2

1i

+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+ B ．1i -

C ．1i +

D ．i 1--

【答案】C

【解析】因为

2

1i i

1=-+,所以其共轭复数是1i +，故选C. 2．已知集合{}|110,P x N x =

∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ?等于（ ）

A ．

{}1,2,3 B ．

{}2,3

C ．

{}1,2

D ．

{}2

【答案】D

【解析】{}

{}2

|603,2Q x R x x =∈+-==-{}2P Q ∴?=

.故选D.

3．设:0p b a <<，11

:

q a b

<，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若0b a <<，则

11a b <成立，所以p 是q 的充分条件,若11

a b

<，则当00b a <<，时成立，不满足0b a <<，所以p 不是q 的必要条件,所以p 是q 的充分不必要条件,故选A.

4．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ）

A ．4

B ．8

C ．16

D ．32 【答案】C

【解析】执行如图程序框图：当n=1，b=1，当n=2，b=2，当n=3，b=4，当n=4，b=16，当n=5则输出b,故选C.

5．设数列

{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ）

A ．

98 B ．

158

C ．

198

D ．

278

【答案】C

【解析】当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，

整理得1231n

n a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2

=

，21323112a a ∴=+=+，得254a =，

321523114a a ∴=+=

+，得319

8

a =，故选C. 6．圆2

2

40x y +-=与圆2

244120x

y x y +-+-=的公共弦长为( )

A

B

C ．

D ．【答案】C

【解析】两圆的方程相减可得，两圆公共弦所在的直线方程为：-+20x y =，圆2

240x

y +-=的圆心到公共

弦的距离为=

d

l 故选C.

7．已知α

为第二象限角，sin 410

πα??

+

= ??

? ，则tan 2α 的值为（ ） A ．1

2

-

B ．

13

C ．2

D ．3-

【答案】C

【解析】由题意可得：

()

sin sin cos cos sin sin cos 444210πππα

αααα?

?+=+=+= ??

?， 则：1

sin cos 5

αα+=，据此有：

2

2

2

2

2

2

2sin

cos

cos sin 2tan

tan 1112

2

2

22

2

,

5

5

sin cos tan 1

2

2

2

α

α

α

α

α

α

α

α

α

+--+==

++， 解得：tan

22

α

=或1tan

23α

=-，α 为第二象限角，则tan 02

α>，综上可得：tan 2α

的值为2.故选C. 8．已知1e ，2e 是夹角为60o

的两个单位向量，若21e e +=，2124e e +-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30o

B ．60o

C ．120o

D ．150o

【答案】C

【解析】试题分析：因为 21e e a +=，2124e e b +-=，所以

2212121122()(42)422a b e e e e e e e e ?=+?-+=--?+r r u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r ，而012121

cos602

e e e e ?==u r u u r u r u u r ，所以

2211224224123a b e e e e ?=--?+=--+=-r r u r u r u u r u u r

，而12a e e =+===r u r u u r

1242b e e =-+===r u r u u r ，所以与的夹角的余弦值为

1

cos 2a b a b

θ→→?===-r r ，所以与的夹角为120o ，故选C ．

9．已知函数

()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）

A ．

()f x 的最小正周期为π，最大值为3

B ．

()f x 的最小正周期为π，最大值为4

C ．

()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．

()f x 的最小正周期为2π，最大值为4

【答案】B

【解析】根据题意有()1cos235

cos212cos2222

x f x x x -=+-

+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22

T π

π=

=，且最大值为()max 35

422

f x =+=，故选B. 10．如图所示的正方形123SG G G 中，E F ，

分别是12G G ，23G G 的中点，现沿SE ，SF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 重合为点G ，则有（ ）

A ． SG ⊥平面 EFG

B ．EG ⊥平面SEF

C ．

GF

⊥平面 SEF D ．SG ⊥平面SEF

【答案】A

【解析】由题意：SG FG ⊥，SG EG ⊥，FG EG G =I

，FG EG ?，平面EFG ,

所以SG ⊥平面EFG 正确，D 不正确；又若EG ⊥平面SEF ，则EG ⊥

EF ，由平面图形可知显然不成立；

同理

GF ⊥平面 SEF 不正确；故选A. 11．已知ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ?的面积为22

4

4

a b +-，则ABC

?面积的最大值为（ ）

A ．

B 1

C ．

D 1

【答案】D

【解析】∵2c =，22222444

ABC

a b a b c S ?+-+-==

2cos 1

sin 42ab C ab C ==.

∴tan 14

C C

π

=?，由余弦定理得2222242cos c a b ab C a b ==+-=+2ab ≥，

∴4

ab ≤

=+(11sin 4222

ABC S ab C ?=≤?+?1=.故选D.

12．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( )

A ．1(0,)3

B ．15(,]34

C ．13(,]32

D ．53(,]42

【答案】B

【解析】设32

()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，

设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2

()36g x x x '=-，

所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数，

在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极大值1.而()h x 恒过定点(1,0)-，

两个函数图像如图，

要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥??

-+≥??-+

，解得15

34a <≤，

故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ． 【答案】2

【解析】因为ln y x x =，所以'

ln 1y x =+，所以它在x e =处的切线的斜率ln 12k

e =+=.

14． 若函数sin ()cos a x f x x

-=在区间ππ

(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．

【答案】[2,)+∞

【解析】因为函数sin ()cos a x f x x

-=

在区间ππ

(,)63上单调递增，

所以()0f x '≥在区间ππ

(,)63恒成立，22

cos sin (sin )(sin )sin 1

()cos cos x x a x x a x f x x x

-?--?--'=

= 因为2

cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63

恒成立，所以1

sin a x ≥

，

因为(

,)63x ππ

∈

，所以11

sin 2223sin x x <<

?<<，

所以a 的取值范围是[2,)+∞. 15．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则

4a b

a b c

+++的最小值为

___________.

【答案】2+

【解析】(),P

a b Q 在2x y c ++=上，2a b c ∴++=，20a b c +=->，

4422a b c a b c c c +-+=++-42

12c c =+--，设2c m c n -=??=?，则2m n +=，

424242

22m n c c m n m n +??+=+=?+ ?-??2333n m m n =++≥+=+

当222m n =，即2c =时，“=”成立，42

13122c c

∴

+-≥+=+-

即

4a b a b c

+++的最小值为2+，故答案为2+. 16．如图，公路MN 和PQ 在P 处交汇，且∠QPN ＝30°，在A 处有一所中学，AP ＝160m ，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h ，那么学校受影响的时间为________s.

【答案】24

【解析】学校受到噪音影响。理由如下：作AH ⊥MN 于H ，如图，

∵PA=160m,∠QPN=30°，∴AH=

1

2

PA=80m ， 而80m<100m ，∴拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受到噪音影响， 以点A 为圆心，100m 为半径作A 交MN 于B. C ，如图，∵AH ⊥BC ，

∴BH=CH ，在Rt △ABH 中，AB=100m ，AH=80m

，60BH m == ，∴BC=2BH=120m ，

∵拖拉机的速度=18km/h=5m/s ，∴拖拉机在线段BC 上行驶所需要的时间=120÷5=24(秒)， ∴学校受影响的时间为24秒。

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12分）设{}n a 是等比数列 ，其前n 项的和为n S ，且22a =, 2130S a -=.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）若48n n S a +>，求n 的最小值.

【解析】（1）设

{}n a 的公比为q ，因为2130S a -=，所以2120a a -=，所以2

1

2a

q a ==，

又22a =，所以11a =，所以1

112n n n a a q

--==. （2）因为(

)112

11n

n

n

a q S q

-=

=--，所以11

212321n n n n n S a --+=-+=?-，由132148n -?->，得

13249n -?>，即1

49

2

3

n ->

，解得6n ≥，所以n 的最小值为6. 18．(12分）如图，在三棱柱

111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面，1AB BC ==，12BB =，

13

BCC π

∠=

.

（1）求证：1C B ABC ⊥平面；

（2）求点1B 到平面11ACC A 的距离.

【解析】（1）因为侧面AB ⊥

11BB C C ,1BC ?侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥,

在1BCC △中, 1111,2,3BC CC BB BCC π

===∠=

，

由余弦定理得：

，

所以1BC 故22211BC BC CC +=,所以1BC BC ⊥, 而1,BC AB B BC ABC =∴⊥I 平面.

（2）点1B 转化为点B

，1

C ABC V -=

1ACC S ?=, 又111C ABC B ACC V V --=,所以点1B 到平面11ACC A 的距

. 19．(12分）贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对广东省内的6个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下：

已知6个站的平均得分为75分.

（1）求广州南站的满意度得分x ，及这6个站满意度得分的标准差；

（2）从广东省内前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率．

【解析】（1）由题意，得

1

(7076727072)756

x +++++=，解得90x =

. 7s =

==. （2）前5个站中随机选出的2个站，基本事件有 （怀集站，广宁站），（怀集站，肇庆东站），（怀集站，三水南站），（怀集站，佛山西站），（广宁站，肇庆东站），（广宁站，三水南站），（广宁站，佛三西站），

（肇庆东站，三水南站），（肇庆东站，佛山西站），（三水南站，佛山西站）共10种， 这5个站中，满意度得分不在区间（68，75）中的只有广宁站.

设A 表示随机事件“从前5个站中，随机地选2个站，恰有1个站得分在区间（68，75）中”，则A 中的基本事件有4种，则42

()105

P A =

=. 20．(12分）已知抛物线2

2y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段

AB 、CD 的中点．

（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；

（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标． 【解析】（1）设()11,A

x y ，()22,B x y ，则2112y

x =①，2

222y x =②．

①－②，得

()()()1212122y y y y x x -+=- ．又因为()1,1P 是线段AB 的中点，所以122y y +=

所以，2112121

2

=1y y k x x y y -=

=-+．又直线AB 过()1,1P ，所以直线AB 的方程为y x =.

（2）依题设(),M M M

x y ，直线AB 的方程为()111y k x -=-，即111y k x k =+-，

亦即

12y k x k =+，代入抛物线方程并化简得 ()222

1122220k x k k x k +-+=．

所以，12121222112222k k k k x x k k --+=-

= ,于是，12

21

1M k k x k -=，1212122

1111M M k k y k x k k k k k -=?+=?+=． 同理，122

21N k k x k -=

，2

1

N y k =．易知120k k ≠，所以直线MN 的斜率21211M N M N y y k k k x x k k -==--． 故直线MN 的方程为211221211111k k k k y x k k k k ??--

=- ?-??

，即21

2111k k y x k k =+-．此时直线过定点()0,1． 故直线MN 恒过定点

()0,1．

21．(12分）已知()()2

1x f x ax e x =-+.

（1）当1a =时，讨论函数

()f x 的零点个数，并说明理由；

（2）若0x =是

()f x 的极值点，证明()()2ln 11f x ax x x ≥-+++.

【解析】（1）当1a =时，

()()21x f x x e x =-+，()2

3

240f e -=-

>，()010f =-<，()110f =>， ()()

200x f x x e x =+>?>'，()00f x x <'?<，∴()f x 在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增，∴

()f x 恒有两个零点.

（2）∵

()()12x f x e ax a x -'=++，∵0x =是()f x 的极值点，∴()0101f a a =-=?='；∴

()()21x f x x e x =-+,故要证：()()1ln 11x x e x x -≥-++，令1x t -=，即证1ln 2t te t t +≥++，

设()()ln 20x h

x ex e x x x =?--->，即证()0h x ≥，

()()()11111x x h x e e x e x e x ex ?

?=?+-

-=+- ?

'??，令()1x u x e ex =-，()210x u x e ex =+>'， ∴()u

x 在()0,+∞上递增，又()110u e e

=->，()2

20e

u e e e --=-<,

故()0u

x =有唯一的根()00,1x ∈，0

1x e ex =

， 当00x x <<时，()()00u

x h x '时，()()00u x h x '>?>，

∴()()0

010000000

1

ln 2ln 2x x h x h x ex e x x ex e x ex +≥=?---=?

+-- 001120x x =++--=. 综上得证.

(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）

设A 为椭圆1C ：22

1424

x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的

极坐标方程为2

10cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点.

（1）写出1C 参数方程和2C 普通方程；

（2）求

AB 最大值和最小值.

【解析】（1）由题意可得1C

的参数方程为：2cos ,

,

x y αα=???=??（α为参数），

又∵210cos 240ρρθ-+=，且222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴2C 的普通方程为22

10240x y x +-+=，

即()2

251x y -+=.

（2）由（1

）得，设()

2cos A

αα，圆2C 的圆心()5,0M ，

则

||

AM =

==

∵[]cos 1,1α∈

-，∴当1cos 2

α=-时，max ||AM =

当cos 1α

=时，min ||3AM =.当1

cos 2

α=-时，max max ||||11AB AM =+=；

当cos 1α

=时，min min ||||12AB AM =-=.

23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知函数

()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈.

（1）解不等式()()f x g x a <+；

（2）任意x ∈R ，2

()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.

【解析】（1）不等式

()()f x g x a <+即24x x -<+，两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-，

所以原不等式的解集为

()1,-+∞.

（2）不等式

()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++，

又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<，

所以a 的取值范围为()2,3-.