2021届宣化一中高三上学期阶段测试(三)数学试卷及答案
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知复数错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。
A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 1
D. 3
2.已知向量错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的夹角为错误!未找到引用源。，
且错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。
A. 错误!未找到引用源。
B. 1
C. 错误!未找到引用源。
D. 2
3.已知集合错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。
A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
4.“错误!未找到引用源。”是“错误!未找到引用源。”的错误!未找到引用源。
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.已知正四棱锥错误!未找到引用源。的高为错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用
源。，则正四棱锥错误!未找到引用源。的侧面积为错误!未找到引用源。
A. 错误!未找到引用源。
B. 4
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
6.已知错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。，则错误!
未找到引用源。的最小值是错误!未找到引用源。
A. 2
B. 6
C. 3
D. 9
7.德国心理学家艾宾浩斯错误!未找到引用源。研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而
且遗忘的进程并不是均匀的．最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”他用无意义音节错误!未找到引用源。由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节错误!未找到引用源。作为记忆材料．用节省法计算保持和遗忘的数量，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线错误!未找到引用源。如图所示错误!未找到引用源。若一名学生背了100个英语单词，一天后，该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词，以频率代替概率，不考虑其他因素，则该学生恰有1个单词不会的概率大约为错误!未找到引用源。
A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到
引用源。 D. 错误!未找到引用源。
8.已知函数错误!未找到引用源。有两个极值点，则a的取值范围是错误!未找到引用源。
A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到
引用源。 D. 错误!未找到引用源。
二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
9.已知函数错误!未找到引用源。是定义在错误!未找到引用源。上的奇函数，当错误!未
找到引用源。时，错误!未找到引用源。，则下列结论正确的是错误!未找到引用源。
A. 错误!未找到引用源。
B. 当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。图象的一条对称轴
D. 错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上单调递增
10.某工厂组织员工进行专业技能比赛，如图是7位评委对甲、乙两位员工评分错误!未找
到引用源。满分10分错误!未找到引用源。的雷达图．根据图中信息，下列说法正确的是错误!未找到引用源。
A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B. 甲得分的众数大于乙得分的众数
C. 甲得分的平均数与乙得分的平均数相等
D. 甲得分的极差小于乙得分的极差
11.设F是抛物线C：错误!未找到引用源。的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，
B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是错误!未找到引用源。
A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 若点错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。的最小值是3
D. 错误!未找到引用源。的面积的最小值是2
12.在正方体错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。，
E，F分别为错误!未找到引用源。，CD的中点，P是错误!
未找到引用源。上的动点，则错误!未找到引用源。
A. 错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。
B. 平面错误!未找到引用源。截正方体错误!未找到引用源。的截面面积为18
C. 三棱锥错误!未找到引用源。的体积与P点的位置有关
D. 过AE作正方体错误!未找到引用源。的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值
为错误!未找到引用源。
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。______．
14.在错误!未找到引用源。的展开式中，含错误!未找到引用源。项的系数为______．
15.若函数错误!未找到引用源。的图象在错误!未找到引用源。内恰有一条对称轴，则错
误!未找到引用源。的最小值是______．
16.已知双曲线C：错误!未找到引用源。的右焦点为F，过点F的直线l：错误!未找到引
用源。与双曲线C的右支交于点A，且与y轴交于点错误!未找到引用源。若错误!未找到引用源。的面积为错误!未找到引用源。，其中，O为坐标原点，则错误!未找到引用源。______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.在错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。这三个条件中
任选一个，补充在下面问题中，并求错误!未找到引用源。的面积．
问题：在错误!未找到引用源。中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，______？
18.甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中10，9，8环的概率分
别为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，乙一次射击命中10，9环的概率分别为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响．
错误!未找到引用源。在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；
错误!未找到引用源。记一轮射击中，甲乙命中的环数之和为X，求X的分布列；
错误!未找到引用源。进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率．
19.在如图所示的几何体中，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用
源。，错误!未找到引用源。均为等边三角形，且平面错误!未找到
引用源。平面ABC，平面错误!未找到引用源。平面ABC．
错误!未找到引用源。证明：错误!未找到引用源。．
错误!未找到引用源。求二面角错误!未找到引用源。的余弦值．
20.在数列错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。．
错误!未找到引用源。证明：数列错误!未找到引用源。是等差数列；
错误!未找到引用源。若错误!未找到引用源。，求数列错误!未找到引用源。的前n项和错误!未找到引用源。．
21.已知点错误!未找到引用源。为椭圆C：错误!未找到引用源。上一点，且直线错误!未
找到引用源。过椭圆C的一个焦点．
错误!未找到引用源。求椭圆C的方程．
错误!未找到引用源。直线l与椭圆C相交于A，B两点，记直线AP，BP的斜率分别为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。，直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．
22.已知函数错误!未找到引用源。．
错误!未找到引用源。求错误!未找到引用源。的最大值；
错误!未找到引用源。当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。恒成立，求a 的取值范围．
答案
23. 1.【答案】B
24.【解析】解：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
则错误!未找到引用源。．
故选：B．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a 与b的值，则答案可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
2.【答案】A
25.【解析】解：由已知可得：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
则错误!未找到引用源。，
故选：A．
由已知可得错误!未找到引用源。的模的大小，然后根据数量积公式即可求解．
本题考查了平面向量数量积公式的应用，属于基础题．
3.【答案】C
26.【解析】解：错误!未找到引用源。集合错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。．
故选：C．
求出集合M，N，由此能求出错误!未找到引用源。．
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】A
27.【解析】解：若错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用
源。，
若错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。，
故错误!未找到引用源。”是“错误!未找到引用源。”的充分不必要条件，
故选：A．
由错误!未找到引用源。算出错误!未找到引用源。，即可知错误!未找到引用源。的值；
再由错误!未找到引用源。可知错误!未找到引用源。，即可由二倍角公式算出错误!未找到引用源。，进而作出判断．
本题考查三角函数的诱导公式和二倍角公式，同时考查简易的逻辑关系，属于基础题．
5.【答案】D
28.【解析】解：设P在底面ABCD上的射影为O，则O为
底面正方形ABCD的中心，
取CD的中点E，连接OE，则错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。正四棱锥错误!未找到引用源。的
侧面积为错误!未找到引用源。，
故选：D．
利用勾股定理计算侧面三角形的高，再计算侧面积．
本题考查棱锥的结构特征与侧面积计算，属于基础题．
6.【答案】D
29.【解析】解：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。，
则错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
当且仅当错误!未找到引用源。时，上式取得等号，
则错误!未找到引用源。的最小值为9，
故选：D．
错误!未找到引用源。，展开后运用基本不等式即可得到所求最小值．
本题考查基本不等式的运用，注意乘1法和等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题．
7.【答案】B
30.【解析】解：由著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线得到一天后忘记错误!未找到引用源。，
一名学生背了100个英语单词，一天后，该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词，
以频率代替概率，不考虑其他因素，则该学生恰有1个单词不会的概率大约为：
错误!未找到引用源。．
故选：B．
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】D
31.【解析】解：错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
令错误!未找到引用源。，得错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。有2个极值点，故方程错误!未找到引用源。有2个不同的实根，即错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的图象有2个交点，
画出函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的图象，如图示：
当错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。时，直线错误!未找到引用源。与错误!
未找到引用源。的图象相切，
由图可知当错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的图象有两个交点，
即a的范围是错误!未找到引用源。，
故选：D．
求出函数的导数，问题转化为错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的图象有2个交点，从而求出a的范围即可．
本题考查了函数的零点问题，考查图象的交点问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道常规题．
9.【答案】ABD
32.【解析】解：当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。为奇函数，
错误!未找到引用源。，即B正确；
函数错误!未找到引用源。的简图如下，
由图可知，
错误!未找到引用源。，即A正确；
错误!未找到引用源。不是错误!未找到引用源。图象的对称轴，即C错误；
错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上单调递增，即D正确．
故选：ABD．
当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，代入错误!未找到引用源。的解析式中，并利用错误!未找到引用源。为奇函数，可求出错误!未找到引用源。时，错误!
未找到引用源。的解析式，再画出函数错误!未找到引用源。的简图即可得解．
本题主要考查利用奇偶性求函数的解析式，还涉及分段函数、二次函数的图象与性质，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】CD
33.【解析】解：由图可知，甲的得分为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。；乙的得分为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!
未找到引用源。，10，
甲得分的中位数为错误!未找到引用源。，众数为错误!未找到引用源。，平均数为错误!未找到引用源。，极差为错误!未找到引用源。；
乙得分的中位数为错误!未找到引用源。，众数为错误!未找到引用源。，平均数为错误!未找到引用源。，极差为错误!未找到引用源。，
所以选项A、B错误，选项C、D正确．
故选：CD．
根据中位数、众数、平均数和极差的概念或计算方法即可得解．
本题考查统计中的数字特征，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
34.【解析】解：错误!未找到引用源。，不妨设A在第一象限，
错误!未找到引用源。若直线l无斜率，则错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，显然B错误；
错误!未找到引用源。若直线l存在斜率，设直线l斜率为k，则直线l的方程为：错误!
未找到引用源。，显然错误!未找到引用源。，
联立方程组错误!未找到引用源。，消元得：错误!未找到引用源。，
设错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
原点O到直线l的距离错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
综上，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，故A正确，D正确，
过A向准线作垂线，垂足为N，则错误!未找到引用源。，
又错误!未找到引用源。在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，错误!未找到引用源。取得最小值3，故C正确．
故选：ACD．
讨论直线l是否有斜率，分别计算错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的面积或其范围，判断A，D，举特例判断B错误，根据抛物线性质和三点共线判断C．
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的简单性质，属于中档题．
12.【答案】AB
35.【解析】解：对于A，以A为坐标原点建立空间坐
标系，如图所示：
则错误!未找到引用源。0，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。4，错误!未找到引用源。，错
误!未找到引用源。2，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，又
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，故A正确；
对于B，取过E作错误!未找到引用源。，则G为错误!未找到引用源。的中点，
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。截正方体错误!
未找到引用源。的截面为等腰梯形错误!未找到引用源。，
由勾股定理可求得错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。截面梯形的高为错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。截面梯形的面积为错误!未找到引用源。，故B正确；
对于C，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，故不论P在错误!未找到引用源。的任何位置，P到平面错误!未找到引用源。的距离都是定值，而错误!未找到引用源。的面积是定值，
故三棱锥错误!未找到引用源。的体积是定值，与P点位置无关，故C错误；
对于D，连接错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。的中点O为正方体外接球球心，当截面最小时，AE必经过截面圆的圆心，
错误!未找到引用源。2，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。4，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。最小截面圆的半径为错误!未找到引用源。，故最小截面面积为错误!未找到引用源。，故D错误．
故选：AB．
建立空间坐标系，利用向量数量积判断错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。、AE是否垂直判断A，做出截面梯形，计算面积判断B，根据错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。判断C，令AE过截面圆的圆心，计算截面半径判断D．
本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，棱柱与球的位置关系，属于中档题．
13.【答案】2
36.【解析】解：根据题意，函数错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，
则错误!未找到引用源。，
故答案为：2
根据题意，由函数的解析式可得错误!未找到引用源。，进而计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的定义和性质，属于基础题．
14.【答案】60
37.【解析】解：错误!未找到引用源。展开式的通项为错误!未找到引用源。，
令错误!未找到引用源。，可得错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。含错误!未找到引用源。的项的系数是错误!未找到引用源。．故答案为：60．
利用二项展开式的通项公式求出第错误!未找到引用源。项，令x的指数为4，即可得含错误!未找到引用源。的项的系数．
本题考查二项展开式的通项公式及二项展开式的特定项系数的求法，属于基础题．
15.【答案】错误!未找到引用源。
38.【解析】解：由已知令错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
解得错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
又错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。，错误!
未找到引用源。，
所以令错误!未找到引用源。，得错误!未找到引用源。的最小值为错误!未找到引用源。，故答案为：错误!未找到引用源。．
先求出函数所有的对称轴，解出x满足已知区间，进而得出错误!未找到引用源。的范围，然后再给k赋值即可求解．
本题考查了三角函数的对称性以及最值问题，属于基础题．
16.【答案】错误!未找到引用源。
39.【解析】解：错误!未找到引用源。直线l：
错误!未找到引用源。过右焦点错误!未找到
引用源。，错误!未找到引用源。，
把错误!未找到引用源。代入直线l方程可得
错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用
源。，
故错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用
源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
故双曲线方程为错误!未找到引用源。，显然直线l与双曲线的一条渐近线平行，
联立方程组错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。，故A点横坐标为错误!
未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
故答案为：错误!未找到引用源。．
求出双曲线方程和直线方程，解出A点横坐标，利用相似比求出答案．
本题考查双曲线的简单性质，属于基础题．
17.【答案】解：选错误!未找到引用源。：
错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
由正弦定理知，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。的面积错误!未找到引用源。．
选错误!未找到引用源。：
错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
由正弦定理知，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。的面积错误!未找到引用源。．
选错误!未找到引用源。：
由正弦定理知，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，化简得错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。的面积错误!未找到引用源。．
40.【解析】选错误!未找到引用源。：把错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。，
求得cos A的值，进而得sin A的值，再由正弦定理可得c，由错误!未找到引用源。，根据正弦的两角和公式展开后，代入数据可得sin B，最后由错误!未找到引用源。即可得解；
选错误!未找到引用源。：易知错误!未找到引用源。，根据同角三角函数的关系式可得sin A和cos A的值，下面的过程与错误!未找到引用源。相同；
选错误!未找到引用源。：由正弦定理可得错误!未找到引用源。，代入错误!未找到引用源。中，化简后求出tan A的值，下面的过程与错误!未找到引用源。相同．
本题考查解三角形和三角恒等变换的综合运用，涉及正弦定理、正弦的面积公式、两角和公式，考查学生灵活运用知识的能力，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：错误!未找到引用源。当甲射击高于乙击中的环数时，只有一种情况：
甲击中10环，且乙击中9环，这时概率为错误!未找到引用源。；
所以甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率错误!未找到引用源。；
错误!未找到引用源。甲乙命中的环数之和为随机变量X的可能值17，18，19，20，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。；
所以随机变量X的分布列为：
41.错误!未找到引用源。甲、乙命中的环数之和低于52环，甲乙每轮之和都是17，其概
率为错误!未找到引用源。，
所以甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率为错误!未找到引用源。．
42.【解析】错误!未找到引用源。先求甲命中的环数高于乙命中的环数的概率，只有一种
情况，再由对立事件的概率可得甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；
错误!未找到引用源。由题意可得一轮射击中，甲乙命中的环数之和为X的可能值，分别取出相对应的概率，再求分布列；
错误!未找到引用源。由错误!未找到引用源。可得进行三轮射击，求甲、乙命中的环
数之和低于52环的只有一种情况甲乙每轮之和都是17，由错误!未找到引用源。可得其概率，再由对立事件的概率可得所求的概率．
本题考查相互独立事件的概率及对立事件的概率，属于中档题．
19.【答案】错误!未找到引用源。证明：分别取AC、BC的中点M、N，连接MN、ME、ND，则错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。平面ABC，平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。平面ABC，
同理可得，错误!未找到引用源。平面ABC，
错误!未找到引用源。，
又错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。均为等边三角形，
错误!未找到引用源。≌错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。四边形MNDE是平行四边形，
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。．
错误!未找到引用源。解：过M作错误!未找到引用源。于点O，连接BM、OB，
错误!未找到引用源。为等边三角形，且M为AC的中点，
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。平面ABC，平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。平面ACE，
故错误!未找到引用源。即为二面角错误!未找到引用源。的平面角．
设等边错误!未找到引用源。的边长为2，则错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
在错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
故二面角错误!未找到引用源。的余弦值为错误!未找到引用源。．
43.【解析】错误!未找到引用源。分别取AC、BC的中点M、N，连接MN、ME、ND，由
面面垂直的性质定理可推出，错误!未找到引用源。平面ABC，错误!未找到引用源。
平面ABC，进而得错误!未找到引用源。；易知错误!未找到引用源。≌错误!未找到引用源。，有错误!未找到引用源。，故四边形MNDE是平行四边形，错误!未找到引用源。，而错误!未找到引用源。，得证；
错误!未找到引用源。过M作错误!未找到引用源。于点O，连接BM、OB，则错误!
未找到引用源。，由平面错误!未找到引用源。平面ABC，知错误!未找到引用源。平面ACE，故错误!未找到引用源。即为所求，设等边错误!未找到引用源。的边长为2，求出BM和OM的长后，在错误!未找到引用源。中，由错误!未找到引用源。即可得解．本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：错误!未找到引用源。证明：错误!未找到引用源。，
可得错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
则数列错误!未找到引用源。是首项为2，公差为3的等差数列；
错误!未找到引用源。由错误!未找到引用源。可得错误!未找到引用源。，
即有错误!未找到引用源。，
错误!未找到引用源。，
则前n项和错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。．
44.【解析】错误!未找到引用源。将已知等式两边同除以错误!未找到引用源。，运用等
差数列的定义即可得证；
错误!未找到引用源。由等差数列的通项公式可得错误!未找到引用源。，求得错误!未找到引用源。，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
本题考查等差数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：错误!未找到引用源。由椭圆的方程错误!未找到引用源。可得，焦点在x轴上，
点错误!未找到引用源。在椭圆上，所以错误!未找到引用源。，又因为直线错误!未找到引用源。过椭圆C的一个焦点．
令错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，
而错误!未找到引用源。，
所以椭圆C的方程：错误!未找到引用源。；
错误!未找到引用源。恒过定点，证明过程如下：
错误!未找到引用源。当直线l的斜率不为0时，设直线错误!未找到引用源。，设错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
将直线l的方程与椭圆联立错误!未找到引用源。整理可得：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
因为错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。，
而错误!未找到引用源。，所以可得错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，所以直线l的方程为错误!未找到引用源。，
即错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
即直线过错误!未找到引用源。；
错误!未找到引用源。当直线l的斜率为0时，设直线l的方程错误!未找到引用源。，设错误!未找到引用源。，设错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
将错误!未找到引用源。，代入椭圆的方程可得错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，
所以错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
所以错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，
因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。，
即直线AB的方程为：错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。也在直线错误!未找到引用源。，
综上所述：直线l恒过错误!未找到引用源。．
45.【解析】错误!未找到引用源。由题意可得错误!未找到引用源。，由直线错误!未找到
引用源。可得焦点的坐标，即c的值，由a，b，c的关系求出a的值，进而求出椭圆的方程；
错误!未找到引用源。讨论直线l的斜率为0和不为0的情况，设直线l的方程，与椭圆方程联立求出两根之和及两根之积，求出直线AP，BP的斜率之和，由题意可得参数的关系，可得直线l恒过定点．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．
22.【答案】解：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，令错误!未找到引用源。，
故错误!未找到引用源。，
注意到错误!未找到引用源。，故当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。；
当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，
故函数错误!未找到引用源。的单调递增区间为错误!未找到引用源。，单调递减区间为错误!未找到引用源。，
故错误!未找到引用源。；
错误!未找到引用源。由错误!未找到引用源。得：错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，
故错误!未找到引用源。，
当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。恒成立，
即错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。恒成立，
而错误!未找到引用源。，
故只需求出错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。的最小值即可，
而错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。恒成立，
故错误!未找到引用源。，
故错误!未找到引用源。．