圆的基本性质一
圆的基本性质1
1.如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（）
2.将一个含有60°角的三角板，按如图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO=（）。
3. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=54°，则∠1的大小为（）
4. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_____．
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是（）
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为__________
7. 如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为______
8. 如图,⊙O的半径为5,若OP=3,则经过点P的弦长可能是( )
9. 如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么△ABC的面积为（）
10. 如图，⊙O的半径为2，弦AB=23，E为弧AB的中点，OE交AB于点F，则EF的长为______．
11. 如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．
12. 如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为___________．
13. 如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则CED所在圆的半径为________ .
14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是 _______m．
15. 如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA=13，水面宽AB=24，则水的深度CD是______．
16. 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是_________cm．
17. 在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为________ ．
18.如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为______
19. 在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为 ( )
20. 如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=22cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为______cm．
21. 如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为__________
22. 如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O 在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径。
23. 如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（）
24. 如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，以直线AB为x轴，直线MN为y 轴建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，请写出⊙C上位于第二象限和第三象限的整数点的坐标______．
25.下面四个图中的角，为圆心角的是（）
A B C D
26.在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆心角为_____度
27．AB是圆O的直径，点C在圆O上，∠AOC=40°，D是弧BC的中点，求∠ACD的度数
28. 如图，∠AOB＝90°，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，
求证：AE＝BF＝CD．
29.如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，
则∠BCD=_______
30.如图所示，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点。
（1）连结AB、AD、AF，求证：AB+AF=AD；
（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连结PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系。（不必说明理由）
31. AB是⊙O的直径，AB=10，BC,CD,DA是○O的弦，且BC=CD=DA，
若点P是直径AB上的一动点，则PD+PC的最小值为______
32. 如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长。
33. 已知：如图，∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x，如图当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°。
34. 如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ∥OC （1）求证：AC 平分∠OAB ．
（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交AC 于点P ．若AB=2，∠AOE=30°，求PE 的长．
35.如图所示，M 为⊙O 内任一不与点O 重合的点，连接OM ，AB 为过点M 且与OM 垂直的一条弦，EF 为过点M 的一条直径，求证：在过M 点的所有弦中，AB 是最短的一条，EF 是最长的一条。
36.如图，在⊙O 中，2AB CD = ,则下列结论正确的是（ ） A AB>2CD B. AB=2CD C.AB<2CD D.无法判断 37. 如图所示，AB 是
所对的弦，AB 的中垂线CD 分别交
于C ，交
AB 于D ，AD 的中垂线EF 分别交于E ，交AB 于F ，DB 的中垂线GH
分别交
于G ，交AB 于H ，下列结论中①AC BC = ②AE CE = ③
AC=BC ④∠AOC=∠BOC 其中正确的有（ ）个 38. 如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，
的度数为60°，点B 为
的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA ＋PB 的最小值为________．
39.如图，点A （-1-2 ，0），B （0,1+2 ），过A,B 两点作直线l ，以点C （0，2 ）为圆心，2 为半径作圆C ，直线l 与圆C 相交于M,N 两点。
（1）求线段MN 的长度 （2）求∠MCN 的大小
B A E O
F
M
O C B
A
D x
y l
A
N
O M B C
40.如图，在半径为23的扇形AOB中，∠AOB=120°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=4时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
41.如图,⊙O的半径为5,若OP=3,则经过点P的弦长可能是__________
42.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶
端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为______mm．
43.如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为
44.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a ）(a>3),半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦
AB的长为，则a的值是 ________
45.如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，圆O的半径为1，求出AP＋BP最小值为_______
46. 形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的外端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐
标为（）A．(0，) B．(－1，) C．(，0) D．(1，)
47. 游乐园的大观览车半径为26米，如图所示，已知观览车绕圆心O顺时针作匀速运动，旋转一周用12分钟．小丽从观览车的最低处（底面A处）乘车，问经过4分钟后，
（1）试求小丽随观览车绕圆心O顺时针旋转的度数；
（2）此时，小丽距地面CD的高度是多少米？
48. 如图，已知在⊙O中，半径OA⊥OB，C是OB延长线上一点，AC交⊙O于D，求证：弧AD的度数是∠C的2倍．
49. P到圆上的最大距离为8cm，最小距离为6cm，求⊙O的半径，并说明如何找最大距离和最小距离．
50.下列说法中，正确的有（）
①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③平分一条弧的直径垂直平
分这条弧所对的弦；④圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径所在的直线。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
51. 如图：在同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,已知AB=2CD,AB的弦心距等于
CD的一半,那么同心圆大圆与小圆的半径之比是_______
52.下列说法正确的是（）
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C.相等的弦所对的圆心到弦的距离相等D圆心到弦的距离相等，则弦相等
53.已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB与CD之间的距
离为_______
54.如图，在⊙O中，弦AB=AC=5cm，BC=8cm，则⊙O的半径等于_______
55. 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱
顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5米时需要采取紧急措施，当
水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由。
56.P为⊙O内一点，且OP=4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（）
A.12 B .230 C.8 D.10.5
57.如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与点A,B重合），过点
O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD长为_______
58. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝
16厘米，则球的半径为_________厘米.
59. 如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动
点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A?B?A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t
＜3），连接EF，当t为______s时，△BEF是直角三角形．
60.已知点A的坐标为（2，0），点P在直线y=x上运动，当以点P为圆心，PA的长为半径的圆的面积最小时，点P的坐标为（）
61. 如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，
AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小
值为________
62. 如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在
AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的
面积为_______
63.如图,直线l经过⊙O的圆心O,且与⊙O交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠
AOC=30°,点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合）,直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P,使得QP=QO；若存在,求出相应的∠OCP的大小；若不存在,请简要说明理由．
64已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（
A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm
65．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，-7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（）个
66.如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN 于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为（）
67. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C 两点，则弦BC的长的最小值为________．
68. 如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，过A作AE∥CD交⊙O于E，则∠AOE的度数为（）
69. 如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交于点D，连
结DC，AC，则∠DCB=（）。
70. 如图，圆O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=80°，求∠BOC的度数
71.如图，半径为6cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为 cm2
72已知如图所示，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB=∠EPB；（1）求证：CE DF
（2）求证：CE=DF．
73.如图,已知AB是半圆O的直径,C为半圆周上一点,M是AC的中点.MN⊥
AB于N.求MN和AC的数量关系.
74. 在半径为13的⊙O中,弦AB∥CD,弦AB和CD的距离为7,若AB=24,则CD的长为________
75.已知圆内接△ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，则腰AB的长为_____
76.在半径为1的○O中，弦AB,AC的长分别为3和2，则∠BAC的度数为_______
77. 如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60o，则BC的长
为 _______
M
A B
C
圆的基本性质知识点
圆的基本性质 复习总标 1．知道圆及有关概念，确定圆的条件。三角形的内心和外心。 2．能灵活运用弧、弦、圆心角和圆心角的关系解决问题；掌握圆的轴对称性、中心对称和旋转不变性；探索并理解锤径定理。 3.会用垂径定理进行有关计算。 知识梳理 1.圆的有关概念 （1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。 （2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。 2.圆周角与圆心角 （1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 90圆周角所对的弦是圆的直径。（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角； （3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同源或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 3.圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。 （3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。 易错知识点
1.弧是圆的一部分，直径是圆中最长的弦，半径不是弦。 2.垂径定理的推论:平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3.理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，应注意“同圆或等圆中”或“等弧”这个条件。 4.同一条弦所对的圆周角有两个，它们互补。 中考规律盘点及预测 本讲点内容在中考中，圆的基本性质在淡化与降低，证明难度成了考查知识的重点。旗本性质的应用 主要有两个方面，一是应用弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角各对量之间的关系进行证明；二是应用半径、半弦和弦心距构成直角三角形进行相关计算。多数以填空题、选择题或中等难度解答题等基本题型出现，难度一般不大。 1、（2009年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且 CD=， ，则AB 的长为…【 】 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 【解析】主要考察：垂径定理、勾股定理或相交弦定理.用垂径定理得 ，由勾股定理得HB=1 ，则()2 2 2 1R R =+-由此得2R=3 或由相交弦定理得 ()2 121R =?-，由此得2R=3，所以AB=3.选 B 2、（2008 绍兴）如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表 示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【解析】主要考察：弧的度数与它所对的圆周角度数之间的关系。一条弧所对的圆周角 等于它所对圆心角的一半。()?=?-?==∠2030702 1 21Q P PAQ 选B 3、（2008年海南） 如图, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段 OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 . 第9题图
圆的基本性质
第3章圆的基本性质试卷分析——二探 嘉善县天凝中学盛伟峰 1. 测试信息的统计与呈现 总体难度适中符合中考要求，试题在第5,8,9,12,17,19,21题设置难点 2. 讲评重点的选定与分析： 通过小组学习，组内讲评试卷找出存在的疑难问题汇总到教师处，教师制定讲授教学目标和教学策略。 一、本节课的教学目标： 1.解决学生小组讨论后反馈的试卷遗留问题（通过探一、探二）。 2.引导学生二次探索这两方面的题型和解题技巧（老题新作、新题复做、夯实提高）。 3.引导学生总结归纳本节内容。 重点：探一、探二 难点：二探提高 二、教学过程 3. 讲评难点的解析与突破 探一：圆中求度：（将圆中关于度数和角度计算的汇总分析，找出一般的解题技巧和易错题分析） 1.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）
3.（2014·浙江温州中考）如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，为优弧，下列选项中与 ∠AOB 相等的是（ ） A.2∠C B.4∠B C.4∠A D.∠B +∠C 5.如图，在⊙中，直径垂直弦 于点，连接 ，已知⊙的半径为2 ， 32,则∠ 的大小为( ) A. B. C. D. 19.(5分)如图所示，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD .求∠D 的度数. 探二：圆中求长：（将圆中关于线段或边长计算的汇总分析，找出一般的解题技巧和易错题分析） 8.如图，在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A.点P 在⊙O 内 B.点P 在⊙O 上 C.点P 在⊙O 外 D.无法确定 9. （2015·浙江温州中考）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连接AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ，， 的中点分别是M ，N ，P ， Q .若MP +NQ =14，AC +BC =18，则AB 的长是（ ） A. 29 B. 7 90 C. 13 D. 16 12. （2015?浙江绍兴中考）在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AC =4，点P 在以点C 为圆心， 5为半径的圆上，连接P A ，PB .若PB =4，则P A 的长为_________. 17.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O 是这段弧的圆心，C 是 上一点， ，垂足为 ， 则这段弯路的半径是_________． 第9题图
24。1圆的基本性质
24．1《圆的基本性质》复习题 24.1.1圆的基本概念 1. _________确定圆的位置,________确定圆的大小. 2.已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ） A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 3．如图所示，AB 和CD 是⊙O 的直径，图中有几条优弧？几条劣弧？把它们表示出来。 4．如图所示，以平行四边形的一边AB 为直径的⊙O 经过点C ，若∠BOC=50°，求∠BAD 的度数。 24．1．2垂直于弦的直径 1．如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，?则下列结论中不正确的是（ ） A 、A B ⊥CD B 、∠AOB=4∠ACD C 、A D ⌒=BD ⌒ D 、PO=PD 2．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A 、4 B 、6 C 、7 D 、8 3．如图，将半径为4cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ） O B C A D 第4题 D A B O C 第3题 B A C P O 第1题材 B A O M 第2题材 第3题材 O A B P 第4题 材
A B O A 、43cm B 、23cm C 、3cm D 、2cm 4．如图所示，⊙O 的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB 上的一动点，则OP 长的取值范围是________________. 5．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm.求：⊙O 的半径. 6．某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图3所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm ，则修理人员应准备多少cm 内径的管道（内径指内部直径）？ 24.1.3弧、弦、圆心角 1.在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 2.如图，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______．（只需写一个正确的结论） 3. 在⊙O 中，AB ⌒=AC ⌒，且∠A=80°则∠B=__________． B C E D O F
圆的基本性质练习题一
圆的基本性质练习 一、看准了再选 1．.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（） A.110° B.70° C.55° D.125° 2．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G且EF⊥CD，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（） A.80° B. 50° C.40° D. 20° 3.直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线ａ与⊙O的位置关系是（） Ａ、相离Ｂ、相切Ｃ、相切或相交Ｄ、相交 4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于（） A.30° B.120° C.150° D.60° 5．如图，⊙O的半径OA=3，以点A为圆心，OA的长为半径画弧交⊙O于B，C?则BC=（）． A．32 B．33 C． 3 2 3 D ． 33 2 6．．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）． A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1 7．．如图，已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O?与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的圆O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（） A．0
A ．65° B ．115° C ．65°或115° D ．130°或50° 9如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等 的角有（ ）个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为（ ）． A ．1：5 B ．2：5 C ．3：5 D ．4：5 11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m ，拱高CD=4m ，则拱桥的直径为（ ）． A ．6.5m B ．9m C ．13m D ．15m 二．想好了再规范的写画 12．如图所示，线段AD 过圆心O 交⊙O 于D ，C 两点，∠EOD=78°，AE 交⊙O 于B ，? 且AB=OC ，求∠A 的度数． O E D C B A 13．如图AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 于O ，交AC 于D ，OD=2，∠A=30°,求CD 。 14．如图，已知在Rt △ABC 中，AC=12，BC=9，D 是AB 上一点，以O 为圆心，BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 的长。 15．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ， D ， E 在⊙O 上，说明BD=DE C E A D O B · B A C D O
1.圆的基本性质
（分类）第22讲 圆的基本性质 知识点1 圆的有关概念及性质 知识点2 垂径定理及其推论 知识点3 圆心角、弧、弦之间的关系 知识点4 圆周角定理及推论 知识点5 圆内接四边形的性质 知识点1 圆的有关概念及性质 知识点2 垂径定理及其推论 （2018襄阳）如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上，若OA ⊥BC ， ∠CDA =30°，则弦BC 的长为( D ) A ．4 B ． C D ． （2018枣庄）8．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，6,2==BP AP ，0 30=∠APC ，则CD 的长为（ C ） A ．15 B ．52 C ．152 D ．8 （2018衢州）如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，若BD=8cm ，AE=2cm ，则OF 的长度是（ D ） A ．3cm B ．2.5cm D （2018广州）7.如图4，AB 是圆O 的弦，OC ⊥AB,交圆O 于点C ，连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°，则∠AOB 的度数是（ D ）
A. 40° B. 50° C. 70° D. 80° （2018威海）10.如图，O ☉的半径为5，AB 为弦，点C 为AB 的中点，若30ABC =∠°，则弦AB 的长为( D ) A.12 B.5 D. （2018?自贡）如图，若△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，且∠A=60°，连接OB 、OC ，则边BC 的长为（ D ） A ． B ． C ． D ． （2018武汉）10．如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ D ） A ．32 B ．23 C ． 2 3 5 D ． 2 65 （2018安顺）9.已知O 的直径10CD cm =，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，且8AB cm =，则AC 的长为（ C ） A ． B ． C ．或 D ．或
人教版初三数学圆的基本性质和函数综合
圆的基本性质和函数综合 圆部分： 姓名 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ． 变：1.已知⊙O 的弦 AB 所对的圆心角等于140O ，则弦AB 所对的圆周角的度数为__________. 2.已知⊙O 是?ABC 的外接圆，OD ⊥BC 且交BC 于点D ，∠BOC=40O ，则∠ 3.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AB=2，CO ⊥AB, 在图中画出弦AD ，使AD=1，并求∠CAD 的度数= 。 4.点p 到⊙O 的最大距离为6cm ，最小距离为2cm ，则⊙O 的半径.= 5.⊙O 的半径为5，已知平面上一点P 到圆周上的点的最短距离为3 6.已知半径为5cm 的⊙O 内有两条平行弦AB 、CD ，且AB=6cm ，CD=8cm ， 则AB 、CD 间的距离为= . 【例2】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ， 求证：AM=DC+CM ． 1．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根．求线段OA 、OB 的长； 2. 如图平面直角坐标系中，半径为5的⊙O 过点D 、H ， 且DH ⊥x 轴，DH=8． （1）求点H 的坐标； (2)如图，点A 为⊙O 和x 轴负半轴的交点，P 为弧AH 上任意一点，连接PD 、PH ， AM ⊥PH 交HP 的延长线于M ，求 PM PH PD -的值； ⌒
3．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为 ． 4.如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°， 动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为 ． 函数部分： 中考二次函数代数型综合题 题型一、抛物线与x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧 例1．已知二次函数y ＝x 2＋(m －1)x ＋m －2的图象与x 轴相交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2． （1）若x 1x 2＜0，且m 为正整数，求该二次函数的表达式； （2）若x 1＜1，x 2＞1，求m 的取值范围； （3）是否存在实数m ，使得过A 、B 两点的圆与y 轴相切于点C （0，2），若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由； 题型二、抛物线与x 轴两交点之间的距离问题 例2 已知二次函数y= x 2 +mx+m-5， （1）求证：不论m 取何值时，抛物线总与x 轴有两个交点； （2）求当m 取何值时，抛物线与x 轴两交点之间的距离最短． 题型三、抛物线方程的整数解问题 例1． 已知抛物线()2212m x m x y ++-=与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且m ＜5， 则整数m 的值为_____________ 例2．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋4m －8． （1）当x ≤2时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围； （2）以抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正AMN ?（M ，N 两点在拋物线上）， 请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）若抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8与x 轴交点的横坐标均为整数， 求整数．．m 的最小值．
人教版九年级数学上册圆的基本性质练习题一.doc
初中数学试卷 鼎尚图文**整理制作 圆的基本性质知识点（一） 知识点一: 圆的定义 第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转_______，_______所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫做________，线段 OA 叫做_______。 第二种：圆心为 O ，半径为 r 的圆可以看成是所有到________的距离等于_______的点的集合。 知识点二: 圆的相关概念 1. 弦：连接圆上任意两点的______叫做弦，经过______的弦叫作直径。如图：____ 2. 弧：圆上_________的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆_________，每一条弧都叫做半圆。如图：____,____,_____, 3. 等圆：_____________的两个圆叫做等圆。 4. 等弧：在同圆或等圆中，____________的弧叫做等弧。 注： 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只 有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 5. 圆心角：顶点在_______, 两边_________的角叫做圆心角。如图：____ 6. 圆周角：顶点在_______且_________的角叫做圆周角。如图：_______ 知识点三： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的____也相等，所对的________相等,所对的________也相等,； 即：∵AOB ∠=∠DOE ∴_________ , ___________ , ____________ 2. 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的______相等、 所对的___相等, 所对的________也相等； 。 推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的________相等、所对的_____相等,所对的_____也分别相等。 3. 圆周角与圆心角的关系 （1）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______，都等于这条弧所对的圆心角的_________； 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴_________________ （2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是_______，90度的圆周角所对的 弦是_______,弧是________； 即：在⊙O 中, ∵ AB 是直径 ∴_________ , 或∵90C ∠=? ∴___________ B A B A
初中数学竞赛——圆1.圆的基本性质
第1讲圆的基本性质 知识总结归纳 一?圆的定义： (1)描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A随之 旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点0叫做圆心，0A叫做半径. (2)集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径. (3)圆的表示方法：通常用符号O表示圆，定义中以0为圆心，0A为半径的圆记作“ O O ”读作“圆 0 ” (4)同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心 圆；能够重合的两个圆叫做等圆?注意：同圆或等圆的半径相等. 二. 弦和弧： (1)弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. (2)直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍. (3)弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距. (4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧?以A、B为端点的圆弧记作AB，读作弧AB . (5)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. (6)半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆. (7)优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧. (8)弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 三. 垂径定理： (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. (2)推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且 平分弦所对的另一条弧. (3)推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等. 四. 圆心角和圆周角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角， 我们也称这样的弧为1的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. (2)圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. (3)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：半圆(或 直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.
数学人教版九年级上册圆的基本性质复习课教案
圆的基本性质复习课教案 学习目标： 1．进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性； 2．进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理，以及圆心角定理、 圆周角定理. 3．通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解 决问题的能力。 学习重点：圆的对称性、垂径定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论。 学习难点：相关性质的应用 学习过程： 一基础过关 1、圆的对称性 （1）、圆是______图形,圆的对称轴是______________,它有_____条对称轴. （2）、圆是___________图形，它的对称中心是________. （3）、圆具有_____________. 垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径弦，并且平分弦所对的两条弧． 中考链接（2015遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm， OC⊥AB于点C，则OC=_______ 变式训练：一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径 OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是 （） A.16 B.10 C.8 D.4 3、圆心角、弧、弦之间的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等． (2)推论：同圆或等圆中,两个_____、两条___、两条___中有一组量相等,它们所 对应的其余各组量也相等. 4、圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对 的圆心角的． 推论：半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是． 中考链接： 1、（2015湖南娄底）如图4，在⊙O中，AB为直径，CD为 弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=__________度. 2、（2016湖南娄底）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°， 则∠CAB的度数为（） A．20° B．40° C．50° D．70° 二典例精析 例1、如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。求证： CD=BD （学生以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明 这两条弦相等分组交流，派学生代表汇报成果。）
圆的基本性质
个性化教学辅导教案 学科：数学 年级：九年级 任课教师： 授课时间： 2017 年 春季班 第1周 教学 课题 圆的基本性质 教学 目标 1、掌握圆及与圆有关的概念，掌握圆的对称性。 2、掌握点与圆的位置关系。 3、掌握垂径定理，并利用垂径定理求线段的长度。 教学 重难点 圆及与圆有关的概念，垂径定理及其应用。 垂径定理及其应用。 教学过程 【知识要点】 1、圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点称为圆心，定长称为半径的长（通常也称为半径），以点O 为圆心的圆记作⊙O ， 读作“圆O ”。 注意：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆。 2、圆有关的概念 ①弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 ②弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 ③弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧分为半圆、优弧、劣弧三种。 自我检测：如图所示，线段AB 、CD 是⊙O 的_____；CD 经过点O ，是⊙O 的 ______，在一个圆中，_____是最长的弦,CD ⌒ 是______，AB ⌒ 和AC ⌒ 是_____，ACD ⌒ 和BDC ⌒ 是______。 ④能够完全重合的两个圆叫做________，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做__________。 3、点和圆的位置关系 点和圆的位置关系：设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种: ①点在圆外?r d >；②点在圆上?r d =；③点在圆内?r d <。 4、圆的对称性 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心。 注意：①圆有________条对称轴。 ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的的弧________，所对的弦_________。 ③在同圆或等圆中，如果两个___________，两条_________，两条_________中有一组量 _________，那么他们所对应的其余各组量都分别_________。 自我检测：如图D C B A 、、、是⊙O 上的四点，
圆的基本性质知识点总结
《圆的基本性质》知识点总结 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，以点O 为圆心的圆，记作☉O ，读作“圆O ” 2、与圆有关的概念 （1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC 叫做弦，经过圆心的弦AB 叫做直径） （2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条 弧，每一条弧都叫做半圆） （3）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆） 3、点和圆的位置关系： 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则： （1）d
人教版九年级上册圆的基本性质练习题一
圆的基本性质知识点（一） 知识点一: 圆的定义 第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转_______，_______所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫做________，线段 OA 叫做_______。 第二种：圆心为 O ，半径为 r 的圆可以看成是所有到________的距离等于_______的点的集合。 知识点二: 圆的相关概念 1. 弦：连接圆上任意两点的______叫做弦，经过______的弦叫作直径。如图：____ 2. 弧：圆上_________的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆_________，每一条弧都叫做半圆。如图：____,____,_____, 3. 等圆：_____________的两个圆叫做等圆。 4. 等弧：在同圆或等圆中，____________的弧叫做等弧。 注： 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只 有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 5. 圆心角：顶点在_______, 两边_________的角叫做圆心角。如图：____ 6. 圆周角：顶点在_______且_________的角叫做圆周角。如图：_______ 知识点三： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的____也相等，所对的________相等,所对的________也相等,； 即：∵AOB =∠DOE ∴_________ , ___________ , ____________ 2. 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的______相等、所对 的___相等, 所对的________也相等； 。 B A
【人教部编版】2021年中考数学专题《圆的基本性质和圆的有关位置关系》(含解析)
【人教版】中考数学精选真题 专题1 圆的基本性质和圆的有关位置关系 学校：___________姓名：___________班级：___________ 1.【辽宁阜新中考数学试卷】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C． 【解析】 考点：圆周角定理． 2．【湖北襄阳中考数学试卷】点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100° 【答案】C． 【解析】 试题分析：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选C．
考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论． 3.【浙江省杭州市中考模拟】如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（） A．35° B．55° C．65° D．70° 【答案】B. 【解析】 考点：圆周角定理． 4.【湖南省邵阳市中考二模】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，EA是⊙O的切线．若∠EAC=120°，则∠ABC的度数是（） A．80° B．70° C．60° D．50° 【答案】C.
【解析】 试题解析：∵EA是⊙O的切线，AD是⊙O的直径， ∴∠EAD=90°， ∵∠EAC=120°， ∴∠DAC=∠EAC-∠EAD=30°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∴∠ADC=180°-∠A CD-∠DAC=60°， ∴∠ABC=∠ADC=60°（圆周角定理）， 故选：C． 考点：切线的性质． 5.【辽宁沈阳中考数学试题】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm 为半径作⊙A，当AB= cm时，BC与⊙A相切． 【答案】6． 【解析】 考点：切线的判定． 6.【黑龙江牡丹江中考数学试题】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．
第1讲 圆的基本性质讲义
第1讲圆的基本性质 一、【教学目标】 1.理解圆、弦、弦心距、直径、弧、圆心角、圆周角等有关的概念． 2. 理解圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是旋转对称图形． 3. 掌握圆中“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”的性质，以及“弧、弦、弦心距、圆心角”四量之间的“等对等”关系，并能运用这些性质进行有关的计算与证明． 4. 理解圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活运用于有关问题的解决． 二、【教学重难点】 1.教学重点：“垂径定理”、圆周角与圆心角的关系的灵活运用 2.教学难点： 三、【考点聚焦】 考点一.圆的基本元素 1．弦和直径： 连结圆上任意两点的线段叫弦，如图，线段AC、AB、BC都是⊙O的弦，其中AB是直径，直径是圆中最长的弦．圆心到弦的距离叫此弦的弦心距，如图中的线段OM的长，表示圆心到弦AC的弦心距． 注意：直径是过圆心的弦，凡直径都是弦，但弦不一定都是直径． 2．弧和半圆： 圆心任意两点间的部分叫做弧，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种．一条直径把圆分成了两个半圆，大于半圆的弧叫优弧，在表示时必须用三个大写字母表示，如图中的优弧 ，小于半圆的弧叫劣弧，如图中的劣弧．
注意： (1)半圆是一种特殊的弧； (2)在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧成立的前提首先是存在于“同圆或等圆中”． 3．圆周角和圆心角． 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫圆周角；顶点在圆心上的角叫圆心角；如图中的∠ABC是圆周角，∠AOD是圆心角． 注意：圆周角具备两大特征： (1).顶点在圆周上， (2).角的两边都与圆相交，二者缺一不可，如图中的∠ABE就不是圆周角． 考点二. 圆的基本性质 1．弧、弦、弦心距与圆心角之间的关系： 圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，其旋转中心即为圆心．根据圆的这一特性，可以得出关于“弧、弦、弦心距与圆心角”之间的“等对等”关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等． 注意： (1)运用本知识点时，应注意其成立的条件：“同圆或等圆中”． (2)本知识是证明弦相等、弧相等的常用方法． 2．圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，利用“圆是轴对称图形”可以得到：“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．” 注意： (1)此性质必须具备两个条件：直径；此直径垂直于弦，两者缺一不可． (2)常用此知识点进行一类计算题：在弦长、弦心距、半径三个量中，只需知道其中任意两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，利用勾股定理求解． 3．圆周角的性质： (1)一条弧所对的圆周角等于该弦所对的圆心角的一半；
圆的基本性质知识点整理
3.1 圆（1） 在同一平面内，线段0P 绕它固定的一个端点C 旋转一周，所经过的圭寸闭曲线叫做 圆，定点C 叫做，线段OF 叫做。 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，那么就有: d v r 0点P 在圆； dr 点；P 在圆上； d > r :-点P 在圆； 如图，在 ABC 中，/ BAC= Rt Z ，AO 是BC 边上的中线, 为一 C 的直径. (1) 点A 是否在圆上？请说明理由. (2) 写出圆中所有的劣弧和优弧. 如图，在A 岛附近，半径约250knm 勺范围内是一暗礁区， 往北300kn 有一灯塔B,往西400km 有一灯塔C.现有一渔船 沿CB 亢行，问：渔船会进入暗礁区吗？ 3.1 圆(2) (1) 经过一个已知点能作个圆； (2) 经过两个已知点A,B 能作个圆；过点A,B 任意作一个圆 圆心应该在怎样的一条直线上？ (3) 不在同一条直线上的三个点一个圆 经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆 的； 三角形的外心是的交点。 锐角三角形的外心在; 直角三角形的外心在; 钝角三角形的外心在。 BC
作图：已知△ ABC，用直尺和圆规作出△ ABC的外接圆 3.2图形的旋转 图形旋转的性质 图形经过旋转所得的图形和原图形； 对应点到的距离相等，任何一对对应点与连线所成的角度等于。 1、如图，射线0P经过怎样的旋转，得到射线0Q ? 3、如图，以点0为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转60° ,作出经旋 转所得的线段AB，并求直线AB与直线AB所成的锐角的度数 -B 径定理（1） 圆是图形，它的对称轴是。 2、如图，以点O为旋转中心，将A ABC按顺时针方向旋转60° ,作出经旋 转所得的图形 根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：V CD是直径，CD丄AB
九年级数学 圆的基本性质 单元测试题
九年级数学《圆的基本性质》单元测试 班级 姓名 学号 得分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若一个圆的半径是3cm ，则此圆的最长弦的长度为（ ） A. 3cm B. 4cm C.5cm D. 6cm 2. 以下命题：(1)同圆中等弧对等弦；(2)圆心角相等，它们所对的弧长也相等；(3)三点确定一个圆；(4)平分弦的直径必垂直于这条弦．其中正确的命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOB =80°，则∠ACB =（ ） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 4. 如图，正方形ABCD 的边长为6cm ，则它的外接圆的半径长是（ ） A.2cm B. 22cm C. 32cm D. 42cm 第6题 第7题 5、在⊙O 中，∠AOB=120°，弧AB 的长为 6，则⊙O 的半径是（ ） （A ）6； （B ）9； （C ）18； （D ）4.5。 6、如图，⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC 的度数是（ ） （A ）110°； （B ）70°； （C ）55°； （D ）125°。 7、如图3，在⊙O 中，直径CD=5，CD ⊥AB 于E ，OE= 0.7，则AB 的长是（ ） （A ）2.4； （B ）4.8 ； （C ）1.2； （D ）2.5。 8. 如图，在半径为5的⊙O 中，如果弦AB 的长为8，那么它的弦心距OC 等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 9. 已知⊙O 中,弦AB 的长等于半径,P 为弦AB 所对的弧上一动点,则∠A PB 的度数为（ ） A. 30o B. 150o C. 30o 或150o D. 60°或120o 10．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ．则OM 的长为（ ) 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 一条弧的度数是1080 ，则它所对的圆心角是 ，所对的圆周角是 . 12.P 为⊙O 内一点，⊙O 的半径为5cm ，PO =3cm ，则过P 点的最长的弦长等于 cm ，最短的弦长等于 cm 。 13.如图，在⊙O 中，∠B =10o，∠C =25o，则∠A =__________。 O A B C 图1图2第3题第4题 第8题图
圆的基本性质
圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等初中英语. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 三角形基本概念与性质： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形（人教版教材）.常见的三角形按边分有等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）、不等腰三角形；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。 1、三角形的边、角关系 (1)三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (2)三角形的内角和等于180°，外角和等于360°； (3)三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
2、三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线. (1)内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等； (2)外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等； (3)三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 3、等腰三角形性质： (1)两底角相等(等边对等角)； (2)顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合 一)； (3)等边三角形的各角都相等，且都等于60°。 判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。 4、多边形的内角和等于 多边形的外角和等于360°
圆的基本性质 知识点整理
3.1 圆（1） 在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做，线段OP叫做。 如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：d＜点P在圆； d r 点P在圆上； d＞点P在圆； 如图，在ABC中，∠BAC＝Rt∠，AO是BC边上的中线，BC 为O的直径. （1）点A是否在圆上？请说明理由. （2）写出圆中所有的劣弧和优弧. 如图，在A岛附近，半径约250km的范围内是一暗礁区， 往北300km有一灯塔B，往西400km有一灯塔C.现有一渔船 沿CB航行，问：渔船会进入暗礁区吗？ ====================================================================== 3.1圆（2） （1）经过一个 ．．已知点能作个圆； （2）经过两个已知点A,B 能作个圆；过点A,B任意作一 个圆,圆心应该在怎样的一条直线上？ （3）不在同一条直线上的三个点一个圆 经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆的； 三角形的外心是的交点。 锐角三角形的外心在； 直角三角形的外心在； 钝角三角形的外心在。
作图：已知△ABC ，用直尺和圆规作出△ABC 的外接圆 3.2图形的旋转 图形旋转的性质 图形经过旋转所得的图形和原图形 ； 对应点到 的距离相等，任何一对对应点与 连线所成的角度等于 。 1、如图，射线OP 经过怎样的旋转，得到射线OQ ？ 2、如图，以点O 为旋转中心，将线段AB 按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的线段B A ''，并求直线B A ''与直线AB 所成的锐角的度数。 3、如图,以点O 为旋转中心,将△ABC 按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的图形。
一元一次方程的基本概念和性质
第三章 一元一次方程 第一节 一元一次方程的基本性质 1、方程的相关概念 （1）方程：含有未知数的等式叫做方程。 （2）方程的已知数和未知数，例1 （3）方程的解：使方程左、右两边的式子相等的未知数的值叫做方程的解。 （4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 （5）方程解的检验 2、一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的概念 只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。 （2）一元一次方程的形式 标准形式：ax+b=0（其中a 不等于0，a ，b 是已知数）。 最简形式：ax=b （其中a 不等于0，a ，b 是已知数）。 注：一元一次方程的判断标准（首先化简为标准形式或最简形式） A 、只含有一个未知数（系数不为0）. B 、未知数的最高次数为1. C 、方程是整式方程. 3、等式的概念和性质 （1）等式的概念：用“=”来表示相等关系的式子，叫做等式。 （2）等式的性质 等式性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式 等式性质2：等式两边同时乘以或者除以同一个数或者同一个式子（除数不能是0），所得结果仍是等式。 （3）等式的其他性质 A 、对称性：若a=b ，则b=a B 、传递性：若a=b ，b=c 则a=c 例1、判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数 （1）x x =-95 （2）x y 322=- （3）1152+x （4）211-=-- （5）x x -=-24 （6）12 5=-x x 练习题： 判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数 1、3+x 2、1432+=+ 3、x x +=+44 4、21=x 5、312=++x x 6、32=x 7、x x -=-44 8、3)2(2++=+x x x x