圆的基本性质练习(含标准答案)

圆的基本性质

考点1 对称性

圆既是________①_____对称图形，又是______②________对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的____③_________。它的对称中心是_____④_______。同时圆又具有旋转不变性。

温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。

考点2 垂径定理

定理：垂直于弦的直径平分______⑤______并且平分弦所对的两条___⑥________。

常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于______⑦_______，并且平分弦所对的两条_____⑧___________。

温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；

考点3 圆心角、弧、弦之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨______，所对的弦也_____⑩________。

常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___○11____________，所对的弦_____○12___________。

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____○13___________，所对的弧______○14 __________。

方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。

温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。

（2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。

考点4 圆周角定理及其推论

定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______○15__________，都等于这条弧所对的圆心角的______○16________。

推论：半圆或直径所对的圆周角是_______○17________，90°的圆周角所对的弦是______○18__________。

方法点拨：定理中的推论应用十分广泛，一般情况下用它来构造直角三角形，若需要直角或证明垂直时，通常作出直径就能解决问题。

温馨提示：定理中的“同弧或等弧”不能改为是“同弦或等弦”。因为在圆中一条弦所对的圆周角有两个，这两个圆周角互补。

<<名题精解>>

例1：如图1，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 在劣弧CD 上不同于点C 得到任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）

A ．

45 B ．

60 C ．75 D ．90 O 中，AOB ∠的

例2：如

图，在是ACB

m C ，上一点，D E ，是度数为

AB 上

与A B ，两点重

不同的

两点（不

合），则D E ∠+∠的度数为（ ）

A ．m

B ．1802

m

-

C ．902

m +

D ．

2

m 例3：高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10M ，净高CD =7M ，则此圆的半径OA =（ ）

A ．5

B ．7

C ．

375D ．377

训练

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（09年南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ．

3

cm 2

B ．3cm

C ．23cm

D ．9cm

2．（09年天津市）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ） A ．28° B ．56°

C ．60°

D ．62°

O P

D C B

A

例1图

A

B C

D

E

O

例2图

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 O D A

B

C

例3图

3．（09南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ．

3

cm 2

B ．3cm

C ．23cm

D ．9cm

4．（09年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

5．（09年安徽）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．135° D ．150°

6．（09年重庆）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径．若∠BOC ＝80°，则∠A 等于（ ） A ．60°

B ．50°

C ．40°

D ．30°

7．（09年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24M ，拱的半径为13M ，则拱高为( ) A ．5M B ．8M C ．7M D ．53M

8．（09年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8M ，最深处水深0.2M ，则此输水管道的直径是（ ） A ．0.4M

B ．0.5M

C ．0.8M

D ．1M

9．（09山西省太原市）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ） A ．53

B ．5

C ．52

D ．6

10.( 09年云南省)如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝35°，则∠OAC 的度数是（ ） A ．35°B ．55° C ．65°D ．70°

二、填空题（每小题3分，共30分）

11．（09年长沙）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠BOC ＝44°，则∠A 的度数为． 12．（09年长春）如图，点C 在以AB 为直径的O ⊙上，1030AB A =∠=，°，则BC 的长为．

B C

D A 第6题图 第7题图 第8题图

第9题图

第10题图 第11`题图 第12题图 第13题图

13. （09年福州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD ∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为

14．（09年北京市）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为BC 上一点，若∠CEA ＝28，则∠ABD ＝°.

D

A

B

C E

15．（09年山东青岛市）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，∠ACD ＝42°，则∠BAD ＝ __________°. 16．（09年新疆乌鲁木齐市）如图，点C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分ACB ∠，若AB ＝2,∠CBA ＝15°，则CD 的长为．

17．（09年广东省）已知⊙O 的直径AB ＝8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC ＝30则BC ＝______cm.

18．（09年山西省）如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，17040A ∠

=∠=°，°，

则C ∠=—度． A

B

C

D

O

19.( 09年上海市) 在⊙O 中，弦AB 的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA ＝．

20．(09成都)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么BD ＝_________． 三、解答题（共60分）

21．(本题6分)（09年广西钦州）已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为

5．求⊙O 1的半径．

22．(本题6分) (’09年四川省内江市)如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E 、F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC. 求证：（1）CD ⊥DF ；（2）BC ＝2CD.

23．(本题6分)（09年甘肃庆阳）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD 中，AC 是对角线，P 为边CD 的中点，

延长AP 交圆于点E ． ∠E ＝度；

25．(本题7分)（09年株洲市）如图，点A 、B 、C 是O 上的三点，//AB OC .

（1）求证：AC 平分OAB ∠.

（2）过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P .若2AB =，

第14题图 第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 第20题图

第22题图

第22题图 第21题图

B A

O 图2 x y

A B O 1

O

30AOE ∠=?，求PE 的长．

26. (本题9分) (09年潍坊)如图所示，圆O 是ABC △的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延

长AI 交圆O 于点D ，连结BD DC 、． （1）求证：BD DC DI ==；

（2）若圆O 的半径为10cm ，120BAC ∠=°，求BDC △的面积．

参考答案

基础知识回放

①轴 ②中心 ③对称轴 ④圆心 ⑤弦 ⑥弧 ⑦弦 ⑧弧 ⑨相等 ⑩相等 ○11相等 ○12相等 ○

13相等 ○14相等 ○15相等 ○16一半 ○17直角 ○18直径 例1、A 例2、B 例3、C 中考效能测试

1．B 【解读】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为∠ＣＤＢ＝300

，所以∠ＣＯＢ＝600

，所以在直角⊿ＣＯＥ中，ＯＥ＝

21ＣＯ＝23，根据勾股定理可得ＣＥ＝2

3

，所以ＣＤ＝2ＣＥ＝3 cm.

2．D 【解读】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以∠AOB=2∠C 。∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA, 又∵∠OAB=28°, ∴∠AOB=124°，所以∠C=62°.故选D.

3．Ｂ【解读】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为∠ＣＤＢ＝300

，所以∠ＣＯＢ＝600

，所以在直角⊿ＣＯＥ中，ＯＥ＝

21ＣＯ＝23，根据勾股定理可得ＣＥ＝2

3

，所以ＣＤ＝2ＣＥ＝3 cm.

4．B 【解读】由垂径定理，可得DH=

2,所以BH=221,BD BH -=又可得△DHB ∽△ADB.,所以有

22,(3)1,3BD BH BA BA AB =?=?=.本题考查了垂径定理及相似三角形判定与性质。

5．C 【解读】由CD

为腰上的高,I

为△ACD

的内心，则∠IAC+∠

ICA=

0000111

()(180)(18090)45222

BAC BCA ADC ∠+∠=-∠=-=, 所以0

180()18045135.AIC IAB ICA ∠=-∠+∠=-=又可证△AIB ≌△AIC,得 ∠AIB=∠AIC=0

135。

6．C 【解读】考查圆周角定理.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以∠A 是∠BOC 的一半，答案为C.

第27题图

7．B 【解读】本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用。因为跨度AB=24m ，拱所在圆半径为13m ，所以找出圆心O 并连接OB ，延长CD 到O ，构成直角三角形，利用勾股定理和垂径定理求出DO=5，进而得拱高CD=CO-DO=13-5=8。故选B 。

8．D 【解读】考查点：本题考查圆的垂径定理和解直角三角形的有关知识。解题思路：根据题意，我们可以通过添加辅助线得到如下图形：

设圆的半径为R ，则OA=R ，由垂径定理可得AC=

4.08.02

1

=?，OC=R-0.2，在OAC Rt ?中，利用勾股定理可得：2

2

2

)2.0(4.0-+=R R ，解得R=0.5，故该圆的直径为125.0=?（M ）。

9．A 【解读】本题考查圆中的有关性质，连接CD ，∵∠C＝90°，D 是AB 中点，AB ＝10，∴CD＝1

2

AB ＝5，∴BC ＝5，根据勾股定理得AC ＝53，故选A ．

10．B 【解读】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系。法1：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆角角的2倍，所以∠ＡＯＣ＝2∠Ｄ＝700

，而⊿ＡＯＣ中，ＡＯ＝ＣＯ，所以∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ，而1800

－∠ＡＯＣ＝1100

，所以∠ＯＡＣ＝550

.法2：因为ＢＣ是直径，所以∠ＢＡＣ＝900

，则∠ＯＡＣ＝900

－∠ＢＡＯ，而⊿ＡＯＢ中，ＡＯ＝ＢＯ，所以∠ＡＢＯ＝∠ＢＡＯ，而∠ＡＢＯ＝∠Ｄ＝350

，从而问题得解。

11．22°【解读】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以本题的答案为00

222

1

44=?

。 12．5【解读】因为AB 是圆的直径，则它所对的圆周角为直角，又1030AB A =∠=，°，根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，则BC=5。

13．2【解读】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质.因为AB 是直径,所以它所对的圆周角为直角,再根据两条直线平行,同位角相等,所以OD ⊥BD,根据垂径定理,可知,D 为BD 的中点,所以BC=2BD=2.

14．28【解读】本题综合考查了垂经定理和圆周角的求法及性质。由垂径定理可知弧AC=弧AD ，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD=28°.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解。

15．48【解读】连接OD ，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可得，0

84=∠AOD ,又因OD=OA ，

A

O

B

C D

所以000048)84180(2

1

)180(21=-?=∠-?=

∠=∠AOD ADO BAD 。

16．3【解读】本题考查了垂径定理的基本图形.连接OC ，过点O 作OE ，使OE ⊥CD ，垂足为点E ，因为∠ABC =15°，OB =OC ，所以∠OCB =

15°，∠OC E=∠BCD -∠OBC =45°-15°=30°，在Rt △OCE 中，CE = OC ×cos30°=1×

2

3

,所以CD =3. 17．4【解读】本题考察的是圆周角定理.根据直径所对的圆周角为直角可以得到∠C 为直角.再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半,所以BC=1

2

AB=4cm.

18．30【解读】∠1=∠A+∠B, ∠B=30°,又∵∠C=∠B=30°.（同弧所对的圆周角相等）本题主要考查同弧所对的圆周角相等及三角形的外角的性质.有的同学会错误地应用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半从而得到∠C=

2

1

∠1=35°. 19．5【解读】本题考查垂径定理与勾股定理。如图，在⊙O 中，AB=6，OC ⊥AB 于C ，则AC=1

2

AB=3，在Rt △AOC 中，2222435OA OC AC =+=+=.

20．33【解读】因为AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，则∠CAB=∠ACB=30°，又AD 为⊙O 的直径，则∠ABD=90°，又AD ＝6，AB=3，则BD=33。 提炼知识。

解：过点O 1作O 1C ⊥AB ，垂足为C ，

则有AC ＝BC ．

B A

O 图2

x y A B

O 1O C

由A （1，0）、B （5，0），得AB ＝4，∴AC ＝2． 在1Rt AO C △中，∵O 1的纵坐标为5， ∴O 1C ＝5．

∴⊙O 1的半径O 1A ＝22221(5)2O C AC +=+＝3． 22．证：（1）设∠DFC ＝θ，则∠BAD ＝2θ 在△ABD 中，∵AB ＝AD ， ∴∠ABD ＝∠ADB ∠ABD ＝12（180°-∠BAD ）＝90°-θ 又∠FCD ＝∠ABD ＝90°-θ ∴∠FCD+∠DFC ＝90° ∴CD ⊥DF

（2）过F 作FG ⊥BC 于G

在△FGC 和△FDC 中 ，∠FCG ＝∠ADB ＝∠ABD ＝∠FCD ∠FGC ＝∠FDC ＝90°,FC ＝FC ∴△FGC ≌△FDC

∴GC ＝CD 且∠GFC ＝∠DFC 又∠BFC ＝2∠DFC ∴∠GFB ＝∠GFC ∴BC ＝2GC ， ∴BC ＝2CD. 23．解：（1）45． （2）△ACP∽△DEP．

理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE， ∴ △ACP∽△DEP． （3）方法一：

∵ △ACP∽△DEP， ∴ .AP AC DP DE

=

又 AP ＝522=+DP AD ，AC ＝2222=+DC AD ， ∴ DE＝5

102．

方法二：

如图2，过点D 作DF AE ⊥于点F ． 在Rt ADP △中， AP ＝225,AD DP += 又

11

22

ADP S AD DP AP DF =

=△， ∴ DF＝5

52． ∴ 5

1022==DF DE ．

24．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°又∵CD⊥AB 于点D ，∴∠BCD ＝90°－∠ABC ＝∠A ＝∠F ∵∠BCD ＝ ＝∠F ，∠FBC ＝∠CBG ∴△FBC ∽△CBG ∴

CB

FB

BG BC = ∴BF BG BC ?=2

25．（1）∵//AB OC ， ∴C BAC ∠=∠；∵OA OC =，∴C OAC ∠=∠ ∴BAC OAC ∠=∠ 即AC 平分OAB ∠. （2）∵OE AB ⊥∴1

12

AE BE AB ==

= 又30AOE ∠=?，90PEA ∠=?∴60OAE ∠=?∴

1302

EAP OAE ∠=∠=?， ∴1

2PE PA =，设PE x =，则2PA x =，根据勾股定理得2221(2)x x +=，解

得33x =

（或者用tan PE

EAP AE

∠=） 即PE 的长是

3

3

. 26．（1）证明：

AI 平分BAC ∠

BAD DAC BD DC ∴∠=∠∴=， BI 平分ABC ABI CBI ∠∴∠=∠，

BAD DAC DBC DAC ∠=∠∠=∠，

BAD DBC ∴∠=∠，又DBI DBC CBI DIB ABI BAD ∠=∠+∠∠=∠+∠， DBI DIB BDI ∴∠=∠∴，△为等腰三角形 BD ID BD DC DI ∴=∴==，

（2）解：当120BAC ∠=°时，ABC △为钝角三角形，

∴圆心O 在ABC △外，

连结OB OD OC 、、，

2120DOC BOD BAD ∴∠=∠=∠=°， 60DBC DCB ∴∠=∠=°，

∴BDC △为正三角形．

又知10cm OB =，

3

2sin 60210103cm 2

BD OB ∴==??

=° 223

(103)753cm 4BDC S ∴=

?=△.

答：BDC △的面积为753cm 2

．