数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想

专题知识突破五数学思想方法（一）

（整体思想、转化思想、分类讨论思想）

一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲

考点一：整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 （2014?德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是．

思路分析：观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．．

考点二：转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 （2014?潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．

思路分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．

考点三：分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

例3 （2014?潍坊）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；

（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？

（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．

思路分析：（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；

（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；

（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．

四、中考真题演练

一、选择题

1．（2014?威海）已知x2－2=y，则x（x－3y）+y（3x－1）－2的值是（）A．－2 B．0 C．2 D．4

2．（2014?临沂）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（）

A．2π

2

cm B．4π2

cm C．8π2

cm D．16π2

cm

A ．）

B ．

C ．（2，

D ．（4）

4．（2014?青岛）如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上．若AB=6，BC=9，则BF 的长为（ ）

A ．4

B ．

C ．4.5

D ．5

5．（2013?菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为

12S S ， ，则12S S + 的值为（

）

A ．16

B ．17

C ．18

D ．19

6．（2014?临沂）在平面直角坐标系中，函数

22y x x =- （x ≥0）的图象为1C ，

1C 关于原点对称的图象为2C ，则直线y=a （a 为常数）与12C C 、 的交点共

有（ ）

A ．1个

B ．1个或2个

C ．1个或2个或3个

D ．1个或2个或3个或4个

7的值为（ ）

A ．－1

B ．12-

C ．12

D ．1

8．

面积为（ ）

A ．4

4

π-

B ．

4

π-

C ．24π-

D ．2

π-

二、填空题

9．（2014?枣庄）已知x 、y

是二元一次方程组23

245

x y x y -??+?＝＝的解，则代数式

224x y - 的值为为 ．

10．（2014

?枣庄）如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm ，

则中间阴影部分的面积为

2

cm ．

11．（2014?江西）若α、β是方程2230x x --= 的两个实数根，则22αβ+

13．

（2014?青岛）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC 平分∠BCD ，E ，F 分别是底边AD ，BC 的中点，连接EF ．点P 是EF 上的任意一点，连接PA ，PB ，则PA+PB 的最小值为 ．

14有一个交点，那么m 的值为 ．

15．（2014?烟台）如图，∠AOB=45°，点1O 在OA 上，1

7OO = ，⊙1O 的

半径为2，点2O 在射线OB 上运动，且⊙2O 始终与OA 相切，当⊙2O 和⊙1O 相切时，⊙2O 的半径等于 ．

16．（2014?济南）如图，将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A ′B ′C ′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA ′等于 ．

17．（2014?济南）如图，

△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，

2212OA AB -= ，则k 的值为 ．

18．（2014?东营）在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB=8cm ，

==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是 cm

AC CD BD

三、解答题

19．2014?台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．

（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；

（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入－经营总成本）．

①求w关于x的函数关系式；

②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？

（3）第二次，该公司准备投入132万元，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．

20．（2014?德州）问题背景：

如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的

．

24. （2014?宿迁）如图，已知△BAD 和△BCE

均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M 为DE 的中点，过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N ． （1）当A ，B ，C 三点在同一直线上时（如图1），求证：M 为AN 的中点；

（2）将图1中的△BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；

（3）将图1中△BCE 绕点B 旋转到

图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．

25. （2014?北京）对某一个函数给出如下定义：若

存在实数M ＞0，对于任意的函数值y ，都满足－M ≤y ≤M ，则称这个函数是

有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．

是有界函数，求其边界值；

（2）若函数y=－x+1（a ≤x ≤b ，b ＞a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围； （3）将函数

2 y x = （－1≤x ≤m ，m ≥0）的图象向下平移

m 个单位，得到的

专题五 数学思想方法（一）

（整体思想、转化思想、分类讨论思想）

【重点考点例析】 考点一：整体思想 例1

解：连接AD ．

∵△ABC 是正三角形，BD=CD=2， ∴∠BAC=∠B=∠C=60°，AD ⊥BC ．

考点二：转化思想 例

2. 解：如图： 解：如图，

一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5

×3=15（尺）， 故答案为25．

考点三：分类讨论思想 例3 解：（1）设车流速度v 与车流密度x 的函数关系式为v=kx+b ，由题意，得

8020 0220k b

k b

+??

+

?＝＝ ，

解得：70＜x ＜120．

∴应控制大桥上的车流密度在70＜x ＜120范围

内； （3）设车流量y 与x 之间的关系式为y=vx ， 当0≤x ≤20时 y=80x ，

∴k=80＞0，

∴y 随x 的增大而增大， ∴x=20时，y 最大=1600； 当20≤x ≤220时

∴当x=110时，y 最大=4840．

∵4840＞1600，

∴当车流密

度是110辆/千米，车流量y 取得最大值时4840辆/小时． 【备考真题过关】 一、选择题 1．答案：B 2．答案：B 3．答案：A 4．答案：A 5．答案：B 6．答案：C 7．答案：A 8．答案：C 二、填空题 9．答案：

152

10．答案：4－π 11．答案：10 12．答案：7 13．答案：

14．答案：m=±2或m=0 15．答案：3或15° 16．答案：4或8 17. 答案：6 18. 答案：8 三、解答题 19. 答案：解：（1）①当2≤x ＜8时，如图， 设直线AB 解析式为：y=kx+b ，将A （2，12）、B （8，6）代入得：

212 86k b k b +??

+?＝＝ ，解得1

14

k b ?-??＝＝ ，

∴y=－x+14；

②当x ≥8时，y=6．

∴A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式为：

y=()

1428 6()8x x x -+≤??≥?＜ ． （2）设销售A 类杨梅x 吨，则销售B 类杨梅（20－x ）吨． ①当2≤x ＜8时， wA=x （－x+14）－x=2

13x

x -+ ；

wB=9（20－x ）－[12+3（20－x ）]=108－6x ∴w=wA+wB －3×20

=（－x 2

+13x ）+（108－6x ）－60 =2

748x

x -++ ；

当x ≥8时， wA=6x －x=5x ；

wB=9（20－x ）－[12+3（20－x ）]=108－6x ∴w=wA+wB －3×20

=（5x ）+（108－6x ）－60 =－x+48．

∴w 关于x 的函数关系式为：

w=()

274828)48(8x x x x x -++≤-+≥?????＜ ． ②当2≤x ＜8时，

274830

x x -++= ，解得x 1

=9，x 2

=－2，均不合题意； 当x ≥8时，－x+48=30，解得x=18．

∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18吨．

（3）设该公司用132万元共购买了m 吨杨梅，其中A 类杨梅为x 吨，B 类杨梅为（m －x ）吨，

则购买费用为3m 万元，A 类杨梅加工成本为x 万元，B 类杨梅加工成本为[12+3（m －x ）]万元，

∴3m+x+[12+3（m －x ）]=132，化简得：x=3m －60． ①当2≤x ＜8时， wA=x （－x+14）－x=2

13x

x -+ ；

wB=9（m －x ）－[12+3（m －x ）]=6m －6x －12 ∴w=wA+wB －3×m =（

213x x -+）+（6m －6x －12）－3m

=2

7312x

x m -++- ．

将3m=x+60代入得：w=2

2

848464x

x x -++=--+（）

∴当x=4时，有最大毛利润64万元，

②当x ＞8时，

wA=6x －x=5x ；

wB=9（m －x ）－[12+3（m －x ）]=6m －6x －12 ∴w=wA+wB －3×m

=（5x ）+

（6m －6x －12）－3m =－x+3m －12．

将3m=x+60代入得：w=48

∴当x ＞8时，有最大毛利润48万元．

最大毛利润，最大毛利润为64万元． 20. 答案：解：问题背景：EF=BE+DF ； 探索延伸：EF=BE+DF 仍然成立．

证明如下：如图，延长FD

到G ，使DG=BE ，连接AG ， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠B=∠ADG ，

在△ABE 和△ADG 中，

DG BE B ADG AB AD ?∠?∠?

??

＝＝＝ ， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD －∠EAF=∠EAF ，

∴∠EAF=∠GAF ，

在△AEF 和△GAF 中，

AE AG EAF GAF AF AF ?

∠??

∠??＝＝＝ ， ∴△AEF ≌△GAF （SAS

）， ∴EF=FG ，

∵FG=DG+DF=BE+DF ， ∴EF=BE+DF ；

实际应用：如图，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ， ∵∠AOB=30°+90°+（90°－70°）=140°， ∠EOF=70°，

又∵OA=OB ，

∠OAC+∠OBC=（90°－30°）+（70°+50°）=180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF=AE+BF 成立，

即EF=1.5×（60+80）=210海里．

答：此时两舰艇之间的距离是210海里．

21．答案：解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ， ∵AB ∥CD ，

∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°， ∴四边形ABFE 为矩形． ∴AB=EF ，AE=BF ．

由题意可知：AE=BF=1100－200=900米，CD=1.99×104

米=19900米． 在Rt △AEC 中，∠C=60°，AE=900米．

tan603

=，∠BDF=45

22答案：解：（1）由表格中数据可猜测，y 1是x 的一次函数．

设y 1=kx+b

则56258

k b k b +??+?＝＝ 解得：2

54

k b ???＝＝

∴

1254y x =+ ，

经检验其它各点都符合该解析式， ∴

1254y x =+ （1≤x ≤7，且x 为整数）．

（2）设去年第x 月的利润为w 万元． 当1≤x ≤7，且x 为整数时，111008()w p y =-- =（0.1x+1.1）（92－2x

－54）=2

2

0.2 1.641.80.2445x

x x -++=--+（） ，

∴当x=4时，w 最大=45万元；

当8≤x ≤12，且x 为整数时，

()()()()

2

22210080.1392620.16900.130w p y x x x x x =--=-+--=-+=-，

∴当x=8时，w 最大=48.4万元．

∴该厂去年8月利润最大，最大利润为48.4万元． 23．答案：证明：（1）∵点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点， ∴DE 、EF 都是△ABC 的中位线， ∴EF ∥AB ，DE ∥AC ，

∴四边形ADEF 是平行四边形；

（2）∵四边形ADEF 是平行四边形， ∴∠DEF=∠BAC ，

∵D ，F 分别是AB ，CA 的中点，AH 是边BC 上的高， ∴DH=AD ，FH=AF ，

∴∠DAH=∠DHA ，∠FAH=∠FHA ， ∵∠DAH+∠FAH=∠BAC ，

∠DHA+∠FHA=∠DHF ，

∴∠DHF=∠BAC ， ∴∠DHF=∠DEF ． 24．答案：（1）

证明：如图1， ∵EN ∥AD ，

∴∠MAD=∠MNE ，∠ADM=∠NEM ． ∵点M 为DE 的中点， ∴DM=EM ．

在△ADM 和△NEM 中， ∴

MAD MNE

ADM NEM DM EM ∠∠??

∠∠???

＝＝＝ ∴△ADM ≌△NEM ． ∴AM=MN ．

∴M 为AN 的中点．

（2）证明：如图2，

∵△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形， ∴AB=AD ，CB=CE ，∠CBE=∠CEB=45°． ∵AD ∥NE ，

∴∠DAE+∠NEA=180°． ∵∠DAE=90°， ∴∠NEA=90°．

∴∠NEC=135°．

∵A ，B ，E 三点在同一直线上， ∴∠ABC=180°－∠CBE=135°． ∴∠ABC=∠NEC ．

∵△ADM ≌△NEM （已证）， ∴AD=NE ． ∵AD=AB ， ∴AB=NE ．

在△ABC 和△NEC 中，

AB NE ABC NEC BC EC ??

??∠?

∠＝＝＝ ∴△ABC ≌△NEC ．

∴AC=NC ，∠ACB=∠NCE ． ∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN 为等腰直角三角形．

（3）△ACN 仍为等腰直角三角形．

证明：如图3，此时A 、B 、N 三点在同一条直线上． ∵AD ∥EN ，∠DAB=90°， ∴∠ENA=∠DAN=90°． ∵∠BCE=90°，

∴∠CBN+∠CEN=360°－90°－90°=180°． ∵A 、B 、N 三点在同一条直线上， ∴∠ABC+∠CBN=180°． ∴∠ABC=∠NEC ．

∵△ADM ≌△NEM （已证）， ∴AD=NE ． ∵AD=AB ， ∴AB=NE ．

在△ABC 和△NEC 中，

AB NE ABC NEC BC EC ??

??∠?

∠＝＝＝ ∴△ABC ≌△NEC ．

∴AC=NC ，∠ACB=∠NCE ． ∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN 为

等腰直角三角形．

25y=x+1（－4≤x ≤2）是有界函数．边界值为：2+1=3； （2）∵函数y=－x+1的图象是y 随x 的增大而减小， ∴当x=a 时，y=－a+1=2，则a=－1 当x=b 时，y=－b+1．则

212 1b b a

a -≤-+≤??

??-?

＞＝ ∴－1＜b ≤3；

（3）若m ＞1，函数向下平移m 个单位后，x=0时，函数值小于－1，此时函数的边界t ≥1，与题意不符，故m ≤1． 当x=－1时，y=1 即过点（－1，1） 当x=0时，

0y =

最小 ，即过点（0，0），

都

向下平移m 个单位，则

（－1，1－m ）、（0，－m ）