(完整版)数列经典讲义(教师版)
Cxiaojun
数列和数列的练习
一、数列及其相关概念
1． 数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限．
2．数列的项及通项：
数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项． 数列的一般形式可以写成：123n a a a a L L ，，，，，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，又称为数列的通项． 3．数列的通项公式
如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式． 4．数列的分类
数列的分类方式一般有三种：
（1）项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列；
（2）从第2项起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都比它的前一项小的数列
称为递减数列；这两种数列统称为单调数列．各项都相等的数列称为常数列；既不是单调数列，又不是常数列的，称为摆动数列，即有些项小于它的前一项，有些项大于它的前一项；
（3）如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数，则称此数列为有界数列，否则称为无界数列． 5．数列的表示方法
数列是定义域为正整数集（或它的一个有限子集{123}n L ，，，，）的一类特殊的函数()f n ，数列的通项公式也就是函数的解析式．
数列的表示方法通常有三种：
（1）通项公式法（对应函数的解析式法）；
（2）图象法（无限多个或有限多个孤立的点，取决于是无穷数列，还是有穷数列）； （3）列表法．
6．数列和函数、集合的区别
（1）数列和函数：数列是以正整数集*N (或它的有限子集){}1234n L ，，，，，为定义域的函数()n a f n =． （2）数列和集合的区别和联系：集合是没有顺序的，数列是有顺序的
7．数列的递推公式
如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，1112(2)n n a a a n -==-，≥．
给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法． 8 数列的前n 项和
数列{}n a 的前n 项和定义为：123n n S a a a a =++++L ．
数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ，且11(1)
(2)n n
n S n a S S n -=?=?-?≥．
Cxiaojun
一、数列的基本概念
1. （2010年东城一模7） 已知数列{}n a 的通项公式3
log ()1
n n
a n n =∈+*N ，设其前n 项和为n S ，则使4n S <- 成立的最小自然数n 等于（ ）
A ．83
B ．82
C ．81
D ．80
2. （2011年海淀二模5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ ）
A.16 Ｂ.8 Ｃ.22 Ｄ.4
3. 数列{}n a 满足11
11
(2)3n n a a n n N a +-==-≥∈，，，则2008a 等于（ ）
A ．1
3
B ．3
C ． 13-
D ．-3
4. （2011年东城区期末理11）在数列{}n a 中，若12a =，且对任意的正整数,p q 都有
q p q p a a a =+，则8a 的值为 ．
5. （2010年东城二模6）已知函数6(3)3,7
(),
7.x a x x f x a x ---≤?=?>?，若数列{}n a 满足*()()n a f n n =∈N ，且{}n a 是递增数
列，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．9
[3)4
，
B ．9(3)4
，
C ．（2，3）
D ．（1，3）
6. 已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x y ∈R ，，
都有()()()f x y xf y yf x ?=+成立．数列{}n a 满足(2)n n a f =()n ∈*N ，且12a =．则数列的通项公式n a =__________________ ．
二、数列的递推公式
7. （2006年重庆12）在数列{}n a 中，若11123(1)n n a a a n +==+≥，，则该数列的通项n a =
8. 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ????=L ，求数列{}n a 的通项公式n a ．
9. 若数列{}n a 中，13a =，且2+1n n a a =（n 是正整数），则数列的通项公式时n a =
10. 已知数列{}n a ，满足112311+2+3+1)(2)n n a a a a a n a n -==-≥L ，（，则{}n a 的通项 11)
(2)
n n a n =?=?
≥?
（
11. 求满足下列条件的数列{}n a 的通项公式
（1）已知{}n a 满足+11
21
1
+
412
n n a a a n ==-，，求n a （2）已知{}n a 满足+13n n n a a =，且13a =，求n a
二、n a 与n S 的关系
12. （2011年四川9）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1113(1)n n a a S n -==≥，，则6a =（ ）
A ．3 ×44
B ．3 ×44+1
C ．44
D ．44+1
13. 设数列{}n a 的前n 项和为111
,1(1)3
n n n S a a S n +==≥，，
则n a =______
14. 已知下列个数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式 （1）=n n S n （-1)；（2）=32n n S -；（3）21=(2)1n n S n a n a ≥=，
15. 已知下列个数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式 （1）2=231n S n n --（2）2=10n S n n -
等差数列
二、等差数列
1．等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．．，那么这个数列就叫等差数列．．．．，这个常数叫做等差数列的公差．．
，公差通常用字母d 表示． 用递推公式表示为a n - a n - 1 = d (n ≥ 2)或a n + 1 - a n = d (n ∈ N *)． 2．等差数列的通项公式：a n = a 1 + (n - 1)d = a m + (n - m )d ． 3．等差中项的概念：
定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．．．．
．其中2
a b
A +=． 说明：a ，A ，b 成等差数列 ? 2a b
A +=． 4．等差数列的前n 和公式：11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-==+．
5．等差数列的性质：
(1) 在等差数列{a n }中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等差中项． (2) 在等差数列{a n }中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列． 如：a 1，a 3，a 5，a 7，…；a 3，a 8，a 13，a 18，…．
(3) 在等差数列{a n }中，对任意m ，n ∈ N *，a n = a m + (n - m )d ，n m
a a d n m
-=
-(n ≠ m )． (4) 在等差数列{a n }中，若m + n = s + t (m ，n ，s ，t ∈ N *)，则a m + a n = a s + a t ． (5) 等差数列{a n }中，公差为d ，
若d > 0，则{a n }是递增数列；若d = 0，则{a n }是常数列；若d < 0，则{a n }是递减数列． 6．数列最值：
(1) a 1 > 0，d < 0时，S n 有最大值；a 1 < 0，d > 0时，S n 有最小值． (2) S n 最值的求法：
① 若已知S n ，可用二次函数最值的求法(n ∈ N *)；
② 若已知a n ，则S n 取最值时n 的值(n ∈ N *)可如下确定100n n a a +≥??≤?或1
0n n a a +≤??≥?．
1. (1) 求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2) - 401是不是等差数列- 5，- 9，- 13，…的项？如果是，是第几项？ 解：(1) 由a 1 = 8，d = 5 - 8 = - 3，n = 20，得a 20 = 8 + (20 - 1) ? (- 3) = - 49． (2) 由a 1 = - 5，d = - 9 - (- 5) = - 4，得数列通项公式为：a n = - 5 - 4(n - 1)，
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得- 401 = - 5 - 4(n - 1)成立，解之得n = 100，即- 401是这个数列的第100项．
2. (2011湖南理12)设S n 是等差数列{a n }(n ∈ N *)，的前n 项和，且a 1 =1，a 4 = 7，则S 5 = ．
【答案】25
【解析】由a 1 =1，a 4 = 7可得a 1 =1，d = 2，a 5 = 9，所以5(19)5
252
S +?=
=．
3. (2012辽宁理6)在等差数列{a n }中，已知a 4 + a 8 = 16，则该数列前11项和S 11 = ( B )
A ．58
B ．88
C ．143
D ．176 【解析】在等差数列中，∵a 1 + a 11 = a 4 + a 8 = 16，∴1111111()
882
a a S ?+=
=，答案为B ．
4. (2012江西理12) 设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1 + b 1 = 7，a 3 + b 3 = 21，则a 5 + b 5 = ．
【答案】35
【考点】本题考查等差数列的概念和运算．考查等差中项的性质及整体代换的数学思想． 【解析】(解法一)因为数列{a n }，{b n }都是等差数列，所以数列{a n + b n }也是等差数列．
故由等差中项的性质，得(a 5 + b 5) + (a 1 + b 1) = 2(a 3 + b 3)，即(a 5 + b 5) + 7 = 2 ? 21，解得a 5 + b 5 = 35． (解法二)设数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，
因为a 3 + b 3 = (a 1 + 2d 1) + (b 1 + 2d 2) = (a 1 + b 1) + 2(d 1 + d 2) = 7 + 2(d 1 + d 2) = 21， 所以d 1 + d 2 = 7．所以a 5 + b 5 = (a 3 + b 3) + 2(d 1 + d 2) = 35．
5. 等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2 + a 4 + a 15的值是一个确定的常数，则数列{S n }中也为常数的项是
( C )
A ．S 7
B ．S 8
C ．S 13
D ．S 15
【解析】设a 2 + a 4 + a 15 = p (常数)，∴3a 1 + 18d = p ，即a 7 =31p ．∴S 13 =2
)(13131a a +?= 13a 7 =313
p ．
6.(2012浙江理7)设S n是公差为d (d≠ 0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是( C )
A．若d < 0，则数列{S n}有最大项
B．若数列{S n}有最大项，则d < 0
C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n > 0
D．若对任意n∈N*，均有S n > 0，则数列{S n}是递增数列
【解析】选项C显然是错的，举出反例：- 1，1，3，5，7，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n > 0不恒成立．故选C．
7.把正整数按下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设S n表示第n组
中所有各数的和，那么S21等于( B )
A．1113 B．4641 C．5082 D．53361
【分析】第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数．
解：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1 + 2 + 3 + … + 20 = 210个数，于是第21组的第一个数为
211，这组一共有21个数，S21 = 21 ? 211 +2120
2
?? 1 = 4641，故选B．
【说明】认真分析条件，转化为数列的基本问题．
8.已知数列{a n}的前n项和S n = 10n-n2 (n∈N*)，又b n = | a n |，求b n的前n项和T n．
解：由题可得：a1 = 9，当n > 1时a n = S n-S n- 1 = - 2n + 11，
若使a n = - 2n + 11 ≥ 0，则n≤ 5.5，即数列的前5项非负，以后各项均负，
∴当n≤ 5时，T n = S n = 10n-n2，
当n≥ 6时，
T n = a1 + a2 + … + a5- (a6 + a7 + … + a n)= 2(a1 + a2 + … + a5) - (a1 + a2 + … + a n)
= 2S5-S n = 50- (10n-n2)，
∴
2
2
10(05
10505
n
n n n
T
n n n
?-+<≤
?
=?
-+>
??
)
()
．
故第n组的第一个数是(n2-n- 1) + 2 = n2-n + 1．
9.设等差数列{a n}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为S n．
(1) 若a11 = 0，S14 = 98，求数列{a n}的通项公式；
(2) 若a1≥ 6，a11 > 0，S14≤ 77，求所有可能的数列{a n}的通项公式．
解：(1) 由S14 = 98，得2a1 + 13d = 14，
又a11 = a1 + 10d = 0，解得d = - 2，a1 = 20，
所以数列{a n}的通项公式是：a n = 22 - 2n．
(2) 由
14
11
1
77
6
S
a
a
≤
?
?
>
?
?≥
?
，得
1
1
1
21311
100
6
a d
a d
a
+≤
?
?
+>
?
?≥
?
，即
1
1
1
21311
2200
212
a d
a d
a
+≤
?
?
--<
?
?-≤-
?
①
②
③
由① + ②得- 7d < 11，即
11
7
d>-，① + ③得
1
13
d≤-，
∴
111
713
d
-<≤-，又d∈Z，∴d = - 1，
从而得10 < a1≤ 12，由a1∈Z，得a1 = 11或a1 = 12，
故所有可能的数列{a n}的通项公式是：a n = 12 -n和a n = 13 -n．
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等比数列
三、等比数列
1．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q 表示(q ≠ 0)，即：a n + 1∶a n = q (q ≠ 0)．
注意条件“从第2项起”、“常数”q ．由定义可知：等比数列的公比和项都不为零． 2．等比数列的通项公式为：a n = a 1q n - 1 (a 1 ≠ 0，q ≠ 0)．
说明：(1) 由等比数列的通项公式可知：当公比q = 1时，该数列既是等比数列也是等差数列； (2) 由等比数列的通项公式知：若{a n }为等比数列，则
n
m
a a = q n - m ，即a n = a m q n - m ． 3．等比中项：如果a ，G ，
b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．其中G 2 = ab ，即G ab = 说明：两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项，它们互为相反数．
4．等比数列前n 项和公式：11,1,(1), 1.1n n na q S a q q q
=??
=-?≠?-?
(错位相减法)．
说明：(1) a 1，q ，n ，S n 中已知三个可求第四个；
(2) 注意求和公式中是q n ，通项公式中是q n - 1，不要混淆； (3) 应用求和公式时，必要时应分q ≠ 1和q = 1的情况讨论． 5．等比数列的性质：
(1) 等比数列任意两项间的关系：
如果a n 是等比数列的第n 项，a m 是等比数列的第m 项，公比为q ，则有a n = a m q n - m ． (2) 对于等比数列{a n }，若m + n = s + t (m ，n ，s ，t ∈ N *)，则a m ? a n = a s ? a t ．
(3) 若{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，m ∈ N *，那么当q ≠ -1或m 为奇数时，S m ，S 2m - S m ，S 3m - S 2m 成等比数列．
(4) 等比数列{a n }中，a n + 1 = a n q ，a n + 12 = a n a n + 2． (5) 等比数列{a n }中，若公比为q ，则
① 当a 1 > 0，q > 1或a 1 < 0，0 < q < 1时为递增数列； ② 当a 1 < 0，q > 1或a 1 > 0，0 < q < 1时为递减数列；
③ 当q < 0时为摆动数列； ④ 当q = 1时为常数列．
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10. 求下列各等比数列的通项公式：
(1) a 1 = - 2，a 3 = - 8； (2) a 1 = 5，且2a n + 1 = - 3a n ． 解：(1) a 3 = a 1q 2 ? q 2 = 4 ? q = ± 2，
∵a n = a 1q n - 1，∴a n = - 2n ，或a n = (- 2)n ． (2) ∵132n n a q a +=
=-，又a 1 = 5，∴13
5()2
n n a -=?-．
11. 已知a 1，a 2，a 3，…，a 8是各项均为正数的等比数列，公比q ≠ 1，则( A )
A ．a 1 + a 8 > a 4 + a 5
B ．a 1 + a 8 < a 4 + a 5
C ．a 1 + a 8 = a 4 + a 5
D ．a 1 + a 8与a 4 + a 5的大小关系不确定 【分析】比较两数大小用到作差比较法．
解：a 1 + a 8 = a 1 + a 1q 7 = a 1(1 + q 7)，a 4 + a 5 = a 1q 3 + a 1q 4 = a 1(q 3 + q 4)，
a 1 + a 8 - (a 4 + a 5) = a 1(1 + q 7) - a 1(q 3 + q 4) = a 1(1 + q 7 - q 3 - q 4) = a 1(1 - q 3) (1 - q 4)．
∵a 1，a 2，a 3，…，a 8的各项均为正数，∴a 1 > 0，q > 0． 当q > 1时有q 3 > 1，q 4 > 1，a 1(1 - q 3) (1 - q 4) > 0； 当0 < q < 1时有q 3 < 1，q 4 < 1，也有a 1(1 - q 3) (1 - q 4) > 0，
∴对任意正数q ≠ 1都有a 1 + a 8 - (a 4 + a 5) > 0，即a 1 + a 8 > a 4 + a 5，故选A ．
12. (2012浙江理13)设公比为q (q > 0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2 = 3a 2 + 2，S 4 = 3a 4 + 2，则q =
______________．
【答案】32
【解析】将S 2 = 3a 2 + 2，S 4 = 3a 4 + 2两个式子全部转化成用a 1，q 表示的式子，
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即111233
111113232
a a q a q a a q a q a q a q +=+??+++=+?，两式作差得：a 1q 2 + a 1q 3 = 3a 1q (q 2 - 1)， ∵a 1 ≠ 0，q ≠ 0，∴q + q 2 = 3(q 2 - 1)，又q > 0，∴可得q = 3(q - 1)，解之得：32
q =
． 13. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6 = 9，则log 3a 1 + log 3a 2 + …+ log 3a 10 = ( B )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2 + log 35
【解析】log 3a 1 + log 3a 2 + …+ log 3a 10 = log 3(a 1a 2…a 10) = log 3(a 5a 6)5 = log 395 = 10．
14. 若等比数列{a n }的公比q < 0，前n 项和为S n ，则S 8a 9与S 9a 8的大小关系是( A )
A ．S 8a 9 > S 9a 8
B ．S 8a 9 < S 9a 8
C ．S 8a 9 = S 9a 8
D ．不确定 【解析】由等比数列通项公式与前n 项和公式得
S 8·a 9 - S 9·a 8 = -q q a --1)1(81·a 1q 8 -q q a --1)1(91·a 1q 7
=q
a q q q a ----1)]()[(1671682
1
=q
q q a --1)
(782
1= - a 12q 7．
又q < 0，则S 8·a 9 - S 9·a 8 > 0，即S 8·a 9 > S 9·a 8．
15. (2012辽宁理14)已知等比数列{a n }为递增数列，且2
5a = a 10，2(a n + a n + 2) = 5a n + 1，则数列{a n }的通项公式
为a n = ______________．
【答案】2n
【考点】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力，属于中档题． 【解析】∵2
5a = a 10，∴ (a 1q 4)2 = a 1q 9，∴a 1 = q ，故a n = q n ，
∵2(a n + a n + 2) = 5a n + 1，∴2a n (1 + q 2) = 5a n q ，∴2(1 + q 2) = 5q ，解得q = 2或q =1
2
(舍去)，∴a n = 2n ．
16. (2011北京理11) 在等比数列{a n }中，若11
2
a =
，a 4 = - 4，则公比q = ；| a 1 | + | a 2 | + … + | a n | = ．
【答案】- 2；1122
n --
． 【解析】由{a n }是等比数列得a 4 = a 1q 3，又112
a =
，a 4 = - 4，所以- 4 =1
2q 3 ? q = - 2，
{| a n |}是以
1
2
为首项，以2为公比的等比数列， | a 1 | + | a 2 | + … + | a n | 11
(12)
1
2
2122
n n --==--．
17.(2011江西理18) 已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1 = a (a > 0)，b1-a1 = 1，b2-a2 = 2，b3-a3 = 3．
(1) 若a = 1，求数列{a n}的通项公式；
(2) 若数列{a n}唯一，求a的值．
解：(1) 当a = 1时，设{a n}的公比为q，
则b1 = 1 + a = 2，b2 = 2 + aq = 2 + q，b3 = 3 + aq2 = 3 + q2，
又{b n}为等比数列，则b1，b2，b3成等比数列，得(2 + q)2 = 2(3 + q2)，即q2- 4q + 2 = 0，
解得q12，或q2 = 2 2，
所以：a n2)n- 1，或a n = (2 2)n- 1．
(2) 设{a n}的公比为q，则由(2 + aq)2 = (1 + a)(3 + aq2)，得aq2- 4aq + 3a- 1 = 0，
∵a > 0，∴△ = (4a)2- 4a(3a- 1) = 4a(a + 1) > 0，故方程有两个不同的实根，
∵{a n}唯一，∴方程必有一根为0，
将q = 0代入方程得，
1
3
a=．
等差、等比数列综合
18. (2010北京文16) (本小题共13分) 已知{a n }为等差数列，且a 3 = - 6，a 6 = 0．
(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)若等比数列{b n }满足b 1 = - 8，b 2 = a 1 + a 2 + a 3，求{b n }的前n 项和公式． 解：(Ⅰ) 设等差数列{a n }的公差为d ．
因为a 3 = - 6，a 6 = 0，所以11
26
50a d a d +=-??+=?，解得a 1 = - 10，d = 2，
所以a n = - 10 + 2(n - 1) = 2n - 12．
或：由a 6 = a 3 + 3d ，及a 3 = - 6，a 6 = 0，得d = 2， a n = a 6 + 2(n - 6) = 2n - 12．或a n = a 3 + 2(n - 3) = 2n - 12． (Ⅱ) 设等比数列{b n }的公比为q ，
因为b 2 = a 1 + a 2 + a 3 = - 24，b 1 = - 8，所以- 8q = - 24，即q = 3，
所以{b n }的前n 项和公式为1(1)
1n n b q S q
-=-= 4(1 - 3n )．
19. 等差数列{a n }中，a 4 = 10且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20．
解：设数列{a n }的公差为d ，则
a 3 = a 4 - d = 10 - d ，a 6 = a 4 + 2d = 10 + 2d ，a 10 = a 4 + 6d = 10 + 6d ． 由a 3，a 6，a 10成等比数列得a 3a 10 = a 62，
即(10 - d )(10 + 6d ) = (10 + 2d )2，整理得10d 2 - 10d = 0，解得d = 0或d = 1． 当d = 0时，S 20 = 20a 4 = 200．
当d = 1时，a 1 = a 4 - 3d = 10 - 3 ? 1 = 7，于是2012019
202
S a d ?=+= 20 ? 7 + 190 = 330．
20. (2012广东理19) (本小题满分14分)
设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n = a n + 1 - 2n + 1 + 1，n ∈ N *，且a 1，a 2 + 5，a 3成等差数列． (1) 求a 1的值；
(2) 求数列{a n }的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有
1211132
n a a a +++ (1) 解：2S n = a n + 1 - 2n + 1 + 1，2S n + 1 = a n + 2 - 2n + 2 + 1，相减得：a n + 2 = 3a n + 1 + 2n + 1， 2S 1 = a 2 - 3 ? a 2 = 2a 1 + 3，a 3 = 3a 2 + 4 = 6a 1 + 13， a 1，a 2 + 5，a 3成等差数列? a 1 + a 3 = 2(a 2 + 5) ? a 1 = 1． (2) 解：a 1 = 1，a 2 = 5，得a n + 1 = 3a n + 2n 对?n ∈ N *均成立， a n + 1 = 3a n + 2n ? a n + 1 + 2n + 1 = 3(a n + 2n )， ∴{a n + 2n }是以a 1 + 21 = 3为首项，以3 为公比的等比数列， ∴a n + 2n = 3n ，即a n = 3n - 2n ． (3) 证明：当n = 1时， 11312 a =<， 当n ≥ 2时，233 ()()222 n ≥> ? 3n > 2 ? 2n ? 112n n a <． ∴23121111111131122222 2n n n a a a +++<++++=+- 2 n a a a +++ 或：∵a n = 3n - 2n = 3 ? 3n - 1 - 2n = 3n - 1 + 2(3n - 1 - 2n - 1) ≥ 3n - 1， ∴ 111 3 n n a -≤， ∴21121 111111131331(1)132233313 n n n n a a a -- + ++<++++==-<-L L ． 五年级奥数－数列与数表 1.计算：（2+5+8+......+194）÷（4+7+ (196) 2.一本600页的书，小明每天都比前一天多读一页，16天刚好读完这本书，那 么他最后一天读了多少页？ 3.有一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数 的和：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。那么这个数列的第2005个数除以8所得的余数是多少？ 4.把自然数按照下列规则排列，那么2008应该排在左起第几列？ 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 25 24 23 22 26 27 28 29 …… …… 5.观察下面的一列有规律的算式：5+3，7+6，9+9，11+12，……则按照规律第 2008个算式的结果应该是多少？ 五年级奥数－数列与数表答案 1.解析： 2，5，8，......，194是以3为公差的等差数列，共有（194-2）÷3+1=64项，则2+5+8+......+194=（2+194）×64÷2=98×64。4，7，10， (196) 每一项都比上面的等差数列中每一项多2，因此4+7+10+……+196=98×64+2×64=100×64。因此原式=98÷100=0.98。 2.解析： 设小明最后一天读了x页，则第一天读了x-15页，由题意可得方程：（x-15+x）×16÷2=600，解得，x=45。 3.解析： 这串除以8所得的余数依次是：0，1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，……。余数数列从第1个开始，以0、1、1、2、3、5、0、5、5、 2、7、1这12个数为一组依次循环出现的，又2008=12×167+4，所以第2008 个数除以8所得的余数与第4个余数相同，即为2。 4.解析： 观察数列可知，除了前5个数之外，后面的数以8为周期，由2008=8×250=8+8×249，所以2008与8在同一列，即2008在左边第2列。 5.解析： 通过观察可以发现，题目中出现的算式的规律是：每一个算式的第一个加数比上一个算式的第一个加数多2，而每一个算式的第二个加数比上一个算式的第二个加数多3。以此推断，第2008个算式的两个加数分别是5+2×2007和3+3×2007，所以该算式的结果为5+2×2007+3+3×2007=10043。 高中数学数列综合专项 练习讲义 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 专题数 列综合 考点精要 会求简单数列的通项公式和前n 项和． 热点分析 数列的通项和求和，历来是高考命题的常见考查内容．要重点掌握错位相减法，灵活运用裂项相消法，熟练使用等差和等比求和公式，掌握分组求和法． 知识梳理 1.数列的通项求数列通项公式的常用方法： （1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、 数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。 （2）公式法：等差数列与等比数列。 （3）利用n S 与n a 的关系求n a ：则???≥-==-2111 n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ） （4）逐项作差求和法（累加法）；已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，则求n a 可用累加法 （5）逐项作商求积法（累积法）;已知 )2)((1 ≥=-n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，求n a 用累乘法. （6）转化法 2几种特殊的求通项的方法 （一）1n n a ka b +=+型。 （1）当1k =时，{}1n n n a a b a +-=?是等差数列，1()n a bn a b =++ （2）当1k ≠时，设1()n n a m k a m ++=+，则{}n a m +构成等比数列，求出{}n a m +的通项，进一步求出{}n a 的通项。 例：已知{}n a 满足111,23n n a a a +==-，求{}n a 的通项公式。 数列与数表 一、知识与方法归纳 1、等差数列的有关知识. （1）通项公式:末项=首项+(项数-1) ×公差 （2）项数=(末项-首项)÷公差+1 （3）求和公式:和=(首项+末项) ×项数÷2 2、本讲主要包括两部分内容：规律较复杂的数列以及简单的数表 二、经典例题 例1.1，100，2，98，3，96，2 ，94，1，92，2 ，90，3 ，88，2，86，1， 84，…，0。请观察数列的规律并回答一下问题： （1）这个数列中有多少项是2？ （2）这个数列所有项的总和是多少？ 解： 例2. 1，2，3，4, 4, 5, 6, 7，7, 8，9 ，10，…，97, 98, 99, 100.请观察数列的规律并回答一下问题： （1）这个数列一共有多少个数？ （2）50在数列中是第几个数？ 解： 体验训练1 1, 2, 2， 4， 3， 6， 1， 8， 2， 10， 3， 12，…，100.观察数列的规律，请问：（1）数列中有多少个2？ （2）数列中所有数的总和是多少？ 解： 例3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数。从这列数中取出连续的50个数，它们的和最大是多少？ 解： 例4. 如图所示，将从5开始的连续自然数按规律填入下面的数阵中，请问： （1）123应该排在第几列？ 第1列 第2列 第3列 … （2）第2行、第20列的数是多少？ 5 10 15 … 6 11 16 … 7 12 17 … 8 13 18 … 9 14 19 … 解： 体验训练2 将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问： （1）66在第几行、第几列？ （2）第33行、第4列的数是多少？ 解： *例5.如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问： 第二讲 数列与数表 知识要点： 数列与数表这一类题目种类繁多，其中数列包括了等差数列、周期数列等，数表中有我们比较常见的三角数表和一些行列数表，这些题目初看比较复杂，但其中都包含了一些规律性的变化，只要认真观察，并将其中的规律找出，那么解决起来就会变得简单许多，通常还会用到余数原理和等差数列相关公式和性质，方便我们找出数列、数表与余数之间的关系。 一、基础应用： 【例1】 有一张纸片，第一次将它撕成6小片，第二次将其中的一张又撕成6小片，以 后每一次都将其中的一小张撕成更小的6片，撕了五次后一共得到多少张纸片？ 【解析】 每撕一次，把一张纸片撕成6小片，增加了5张； 撕了六次后一共得到15526+?=张纸片。 【例2】 一列数1，4，7，10，13，…，从第二项起，后项减去它的前面一项的差都 相等，从左往右数，第几个数是196？ 【解析】 这是个等差数列，公差是3；从左往右数，第()19613166-÷+=个数是196。 【例3】 计算：6463626160595857565432-++-++-++++-+ 【解析】 6463626160595857565432-++-++-++++-+ ()()()()()646362616059585756765432=-++-++-+++-++-+ ()()121216360576312192021336932 +?=+++ ++=++ +++?=?= 【例4】 有一列数：2、3、6、8、8、……从第三个数开始，每个数都是前两个数 乘积的个位数字，那么这列数的第60个数应是多少？ 【解析】 因为从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，根据题意将 接下来的数字表示出来，有2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、……，后面会发现数列具有周期现象，且周期从第三个数字开始为6、8、8、4、2、 8，六个数字为一个周期，根据周期问题， (602)694-÷=……，第60个数为周期内的第4个数字，即为4。 二、拓展训练： 【例5】 由三个数组成的数组按某种规律排成一列：(1,2,3)，(2,3,5)，(3,4,7)，(4,5,9)，……，那么其中第几个数组中的各数之和为1234？ 【解析】 此题如果由数组中单一一个数去考虑，题目会变得比较复杂，因为问题是 数列求和 数列求和这类问题在初中、高中乃至大学的课本里都占有一定的比例，我们在小学学习数列求和问题的目的旨在发散思维，断炼学生观察事物的能力，通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律。 【知识要点】 数列：若干个数排成一列称为数列。 项：数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。特殊的数列——等差数列：数列中任意相邻两项的差相当 公差：等差数列中相邻两项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 【例题讲解及思维拓展训练题】 例1：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项 列表分析找规律： 解：第100项=3+（100－1）×4=399. 总结：通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 思维拓展训练一： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2，6，10，14……的第100项。 例2：有一个数列：4，10，16，22，…，52.这个数列共有多少项？ 分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52. 总结例1：要求一列数有多少项，可以先求出末项比首项多的公差的个数，再加1.解：项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。 总结：项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 思维拓展训练二： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2，5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11，16，21，26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 第2课时 数列的综合应用 题型一 数列和解析几何的综合问题 例1 (2004·浙江)已知△OBC 的三个顶点坐标分别为O (0,0)，B (1,0)，C (0,2)，设P 1为线段BC 的中点，P 2为线段CO 的中点，P 3为线段OP 1的中点，对于每一个正整数n ，P n ＋3为线段 P n P n ＋1的中点，令P n 的坐标为(x n ，y n )，a n ＝1 2 y n ＋y n ＋1＋y n ＋2. (1)求a 1，a 2，a 3及a n 的值； (2)求证：y n ＋4＝1－y n 4 ，n ∈N * ； (3)若记b n ＝y 4n ＋4－y 4n ，n ∈N * ，求证：{b n }是等比数列． (1)解 因为y 1＝y 2＝y 4＝1，y 3＝12，y 5＝3 4， 所以a 1＝a 2＝a 3＝2， 又由题意可知y n ＋3＝ y n ＋y n ＋1 2 ， 所以a n ＋1＝1 2y n ＋1＋y n ＋2＋y n ＋3 ＝12y n ＋1＋y n ＋2＋y n ＋y n ＋12 ＝1 2y n ＋y n ＋1＋y n ＋2＝a n ， 所以{a n }为常数列， 所以a n ＝a 1＝2，n ∈N * . (2)证明 将等式12y n ＋y n ＋1＋y n ＋2＝2两边除以2得14y n ＋y n ＋1＋y n ＋2 2＝1. 又因为y n ＋4＝ y n ＋1＋y n ＋2 2 ， 所以y n ＋4＝1－y n 4，n ∈N * . (3)证明 因为b n ＋1＝y 4n ＋8－y 4n ＋4 ＝? ????1－ y 4n ＋44－? ?? ?? 1－y 4n 4 ＝－14(y 4n ＋4－y 4n )＝－1 4b n ， 又因为b 1＝y 8－y 4＝－1 4 ≠0， 2，100，3，98，5，96，4，94，1，92，2，90，3，88，5，86，4，84，1，…，0。 请观察上面数列的规律，请问： ⑴这个数列有多少项是2？ ⑵这个数列所有项的总和是多少？ 下面的算式是按规律排列的：5＋1，3＋4，1＋7，5＋10，3＋13，1＋16，…，请观察上面数列的规律。请问：是否存在算式的运算结果是2012？是第几个？ 下面是按规律排列的三角形数阵：那么此数阵第2012行左起第三个数是多少？ 把正整数依次排成以下数阵：求 ⑴第20行第10列是哪个数？ ⑵第10行第20列是哪个数？ 数列与数表综合（一） (★★★) (★★★) (★★★) (★★★★) 从1开始的自然数按图所示的规则排列，并用一个正方形框出九个数，能否使这九个数的和等于：⑴2012；⑵2007；⑶2160。 若能，请写出正方形的中心数；若不能，说明理由。 本讲总结 多重数列——拧麻花 数表——行列联合，从问题入手 等差数列家族——差等差 整体考虑；快速判断 时刻要谨慎；细节定成败 重点例题：例1；例3；例5 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！ 1．3，100，4，96，5，92，3，88，4，84，5，…，0请观察上面数列的规律，那么这个数列有( )项是4，所有项的总和是( )。 A．9，1303 B．9，1403 C．10，1303 D．10，1403 2．下面的各算式是按规律排列的：1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……，那么其中第( )个算式的结果是2008。 A．997 B．1003 C．2005 D．2006 3．如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，那么136在第( )行。 A．14 B．15 C．16 D．17 (★★★★) 第五节 数列的求和 掌握等差数列、等比数列的前n 项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法，并能灵活地运用这些方法解决相应问题． 知识梳理 一、直接用等差、等比数列的求和公式求和 1．等差数列{}a n 的前n 项和公式． S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2 d . 2．等比数列{}a n 的前n 项和公式． S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. (注意：公比含字母时一定要分类讨论) 二、错位相减法求和 例如{}a n 是等差数列，{}b n 是等比数列，求a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的和就适用此法．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q ，然后将两式相减，相减后以“q n ”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)． 三、分组求和 把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和． 四、并项求和 例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和可用此法． 五、裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项． 1．特别是对于???? ??c a n a n ＋1，其中{}a n 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即 利用c a n a n ＋1＝c d ??? ?1a n －1a n ＋1(其中d ＝a n ＋1－a n )． 2．常见的拆项． 1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ???12n －1－12n ＋1； 1n (n ＋1)(n ＋2)＝12? ???1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)； 六、公式法求和 ∑k ＝1n k ＝n (n ＋1)2；∑k ＝1n ()2k －1＝n 2；∑k ＝1n k 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6； ∑k ＝1n k 3＝????n (n ＋1)22. 七、倒序相加法求和 如果一个数列{a n }多与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和就是用此法推导的． 八、其他求和法 如归纳猜想法、奇偶分拆法等． 基础自测 1．(2012·南阳一中考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 解析：由等差数列的性质知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，∴9,36－9，S 9－36成等差数列，即54＝9＋S 9－36.∴S 9＝81.∴a 7＋a 8＋a 9＝81－36＝45.故选B. 答案：B 2．(2013·三亚质检)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100 解析：由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1) 第17讲数列与数表 内容概述 通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题，注意数表形式的多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算. 典型问题 兴趣篇 1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，…，100．请观察上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项? (2)这个数列所有数的总和是多少? 答案：67；1783 解析：间隔是是等差数列。 2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求： (1)第20组中三个数的和； (2)前20组中所有数的和． 答案：120；1260 解析：（39，40，42），运用等差数列求和公式。 3．一个数列的第一项是l，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问： (1)第100项是多少? (2)前100项的和是多少? 答案：8；975 解析：按规律写：1,2,4,8,16,12,4,8,16,12……四个数为一个周期 4. 如图17-1，方格表中的数是按照一定规律填人的．请观察方格表，并填出“?”处的数． 答案：105 解析：四周数的差是一个等差数列。 5．如图17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问： (1)100在第几行、第几列? (2)第20行第3列的数是多少? 答案：（1）第25行第6列；（2）79 解析：两行为一个周期。观察除以8的余数与在第几列之间的关系。 6．如图17-3，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问： (1)100在第几行，第几列? (2)第5行第20列的数是多少? 答案：（1）第1第25列；（2）81 解析：两列为一个周期。 7. 如图17-4所示，把偶数2、4、6、8，排成5列．各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问： (1)100在第几行，第几列? (2)第20行第2列的数是多少? 答案：（1）第15行第2列；（2）138 解析：八个数为一个周期，可以把每个数先除以2转化成简单数列。 8．如图17-5，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问： (1)100在第几行?100是这一行左起第几个数? (2)第25行左起第5个数是多少? 答案：（1）第14行左起第9个数；（2）321 解析：观察1，6，15…这样的数都是1加到行数之和。 3，10也是1一直加到行数之和。 9. 如图17-6，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放人一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于： (1)1997；(2)2016；(3)2349． 如果可以，请写出方框中最大的数． 答案：只有2349是可以的，最大为269. 第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) 第二讲数列与数表 例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项? 例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。 例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。 例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？ 例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。 例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？ A 1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。 B 6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 8.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？ 9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？ 10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次? C 11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？ 12.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒? 13.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了? 14.学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？ 15.在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？ 2020届高三第一轮复习讲义【22】-数列综合1（参数范围问题） 一、同步知识梳理 1、数列求单调性； 令()n f a n =，若()()01>-+n f n f ，则{}n a 递增；()()01<-+n f n f ，递减； 同理，已知0>n a ，令()n f a n =，若()()11>+n f n f ，则{}n a 递增；()() 11<+n f n f ，递减； 2、数列凸凹性； 若221+++≥ n n n a a a ，则{}n a 称之为上凸数列；若2 2 1+++≤n n n a a a ，则{}n a 称之为下凸数列； 上凸数列满足：()* +-∈<<≥≥≥≤≤≤≤N k n k a a a a a a n k k k ,11121ΛΛ，则k a 为最大值； 下凸数列满足：( ) * +-∈<<≤≤≤≥≥≥≥N k n k a a a a a a n k k k ,11121ΛΛ，则k a 为最小值； 3、数列周期性； 对于数列{}n a ，如果存在一个常数T （*T N ∈），使得对任意的正整数0n n >，恒有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列。若01n =，则称数列{}n a 为纯周期数列，若02n ≥，则称数列{}n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。周期数列主要有以下性质： ①周期数列是无穷数列，其值域是有限集； ②周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）； ③如果T 是数列{}n a 的周期，则对于任意的*k N ∈，kT 也是数列{}n a 的周期； ④如果T 是数列{}n a 的最小正周期，M 是数列{}n a 的任一周期，则必有|T M ，即M kT =，*k N ∈； ⑤已知数列{}n a 满足n t n a a +=（,*n t N ∈，t 为常数），,n n S T 分别为{}n a 的前n 项的和与积，若n qt r =+，0r t ≤<， ,*q r N ∈，则n t r S qS S =+，()q n t r T T T =； 常见形式：可参照函数周期性进行类比！ 例如：) (1 1)(x f a x f - =+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数. 则数列：n k n a a 1 1-=+，则{}n a 是以k T 3=为周期的周期数列； 数列求和与综合（讲义） 知识点睛 一、数列求和 1． 公式法： （1）等差数列前n 项和公式； （2）等比数列前n 项和公式． 2． 错位相减法： 适用于形如{}n n a b ?的数列，其中{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比q ≠1的等比数列． 方法： 设1122n n n S a b a b a b =+++… ① 则12231 n n n qS a b a b a b +=+++… ② ①-②得：11231(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++-…，转化为公式法求和． 3． 裂项相消法： 把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法．常见类型有： （1） 1111 ()()n n k k n n k =-++； （2） 21 111()4122121 n n n =---+； （31 k =； （4）1 log (1)log (1)log a a a n n n +=+-． 4． 其他方法： （1）分解法：分解为基本数列求和，比如数列{}n n a b +，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列． （2）分组法：分为若干组整体求和，经常分为偶数项之和与奇数项之和， 比如通项公式为(1)n n a n =-的数列{}n a ． （3）倒序相加法：把求和式倒序后两和式相加，适用于具有对称性质的数列求和． 二、 数列综合 1. 已知n S 求n a 的三个步骤： （1）先利用11a S =，求出1a ； （2）用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系式， 利用1(2)n n n a S S n -=-≥求出当2n ≥时n a 的表达式； （3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写，即 11 1 2n n n a n a S S n -=?=?-?≥， ，． 2. 非等差或等比数列的转化： （1 ）转化为1{} n a 2 {}n a 、1{}n n a a +-等形式的等差、等比数列； （2）形如1=(010)n n a pa q p q ++≠≠，，的数列，转化为等比数列，设1+=()n n a p a λλ++，可解得= 1 q p λ-，则数列{}n a λ+为等比数列； （3）形如11=(010)n n n a pa qp p q +++≠≠，，的数列，转化为等差数列，两端同时除以1n p +，即得11n n n n a a q p p ++-=，则数列{}n n a p 为等差数列． 精讲精练 1. 在数列{}n a 中，1(1)n a n n = +，若它的前n 项和为2 014 2 015 ， 则项数n 为（ ） A ．2 013 B ．2 014 C ．2 015 D ．2 016 第十讲 数列与数表 1. 观察数组（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），…的规律。求： （1） 第10组中三个数的和； （2） 前10组中所有数的和。 2. 请观察下列数列的规律： 1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3,…,100. 问：（1）这个数列一共有多少项？ （2）这个数列所有数的总和是多少？ 3. 一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一 项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍。请问：（1）第100项是多少？ （2）前100项的和是多少？ 4. 如图，方格表中的数是按照一定规律填入的。请观察方格表，并填出“？”处的数。 5. 如图，数阵中的数是按一定规律排列的。请问： （1）100在第几行、第几列？ （2）第20行第3列的数是多少？ 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第1行 1 2 3 4 第2行 5 6 7 8 第3行 9 10 11 12 第4行 13 14 15 16 91 78 66 55 ？ 6 3 45 120 10 1 36 136 15 21 28 第5行 17 … … … … … … … … 6. 如图，从4开始的自然数是按某种规律排列的。请问： （1）100在第几行第几列？ （2）第5行第20列的数是多少？ 7. 如图，把偶数2,4,6,8…排成5列，各列从左到右一次为第1列、第2列、第3列、第4 列和第5列。请问： （1）100在第几行第几列？ （2）第20行第2列的数是多少？ 8.如图，从1开始的连续奇数按某种方式排列起来。请问：（1）第10行左起第3个数是多 少？（2）99在第几行左起第几个数？ 9.如图。从1开始的自然数按某种方式排列起来。请问：（1）100在第几行？100是这一行左起第几个数？（2）第25行左起第5个数是多少？ 1 2 3 6 5 4 7 8 9 10 15 14 13 12 11 … … … … … … … … … 4 11 12 19 20 ... 5 13 ... 6 10 14 18 ... 7 15 ... 8 9 16 17 ... 2 4 6 8 14 12 10 16 18 20 22 28 26 24 ... ... (1) 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 … … … 第二讲数列与数表 1.等差数列： 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 计算等差数列的相关公式: 通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这个以1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。 3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。 例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6…… 这是一个周期数列，周期为6。 4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法： 1寻找各项与项数间的关系。 2考虑此项与它前一项之间的关系。 3考虑此项与它前两项之间的关系。 4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。 5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。（“分组”是难点） 6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。 1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。 2.在解题中应用数列相关知识。 例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项? 分析：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。 解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。 例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答 解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)× 5=497,所以这个等差数列的第100项是497。 例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。 分析：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出2+4+6+8+…+1990=(2+1990)×995÷2=991020。 例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 分析：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后， 知识要点 幻方与数表 一、 如果一个n n ?的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方 阵称为n 阶幻方。 二、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。 对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2 n S n =个数。 用1、2、……、2n 这2 n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2 n n n n ++++= ……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方， 其幻和为21234567893(13) 1532 ++++++++?+==。 三、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中 心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。 中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平 均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数2 2n S n =个数n = 幻和 。 用1、2、……、2n 这2 n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212 n +。 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为2 1352 +=。 四、 在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++==== ，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2 b d i +=。 i h g f e d c b a 幻方 【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的 空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。（只要构造出一种） 200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014 【分析】 （方法一）第一步——求幻和： 幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=； 第二步——求中心数：中心数为603932013÷=； 第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。 答案如图所示。 （方法二）与1~9的3阶幻方相比，每个空格上的数都增加2008； 根据1~9的3阶幻方的8个图可以求出原题的答案。答案如图所示。 五、 若一个n n ?的方阵1111n n nn a a a a K M O M K 是n 阶幻方，则方阵 1111n n nn a b c a b c a b c a b c ?+?+?+?+K M O M K 也是n 阶幻方。 数表 中心数 幻和 三阶幻方的性质 幻方的构造 幻方 幻方与数表 （本讲） 2018届高三第一轮复习讲义【24】-数列综合3（简单的参数取整问题） 一、同步知识梳理 1、2个连续正整数的乘积一定是偶数； 2、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数?偶数＝偶数，奇数?偶数＝偶数，奇数?奇数＝奇数； 3、若正整数n k >，则1+≥n k ，同理：若n k <，则1-≤n k ； 4、若p 、q 、r 分别为三个正整数，且r q p <<，1≥-p q ，2≥-p r ； 5、奇数的平方都可以表示成18+m 的兴衰，偶数的平方可以表示成m 8或48+m 的形式； 6、若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。 7、平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9； 8、偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1 9、任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。 10、1°0,1122==→+=n m n m ；2°1,2222==→+=n m n m ；以此类推…… 同理，3的指数也如此：1,2633==→+=y x y x 。 11、()( )1 2 111-++++-=-n n a a a a a ； 12、()() 121212 2+-=-n n n ； 13、质素：有且只有2个素因数，1和身；合数：除了1和本身之外还有第三个因素； 14、被2整除，末尾是2的倍数； 15、被3整除，数字之和是3的倍数； 16、被5整除，末尾数字是0或者5，或者最后2位数字组合为（00,25,50,75）； 17、被7整除，①割尾法： 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 ②末三法： 这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（反过来也行）能被7、11、13整除。这个数就能被7、11、13整除。 第四讲数列与数表综合 【知识点】 一、等差数列 1.首项：a1 =a n-(n-1)×d 2.末项：a n =a1+(n-1)×d 3.公差：d=( a n – a1 )÷(n-1) 4.项数：n=( a n – a1 )÷d+1 5.和：Sn=( a1 + a n )×n÷2 二、特殊数列 1.山顶数列：1+2+3…+n+…+3+2+1=n2 2.奇数数列：1+3+5+…+(2n-1)=n2 3.平方数列：12 + 22+ 32… +n2=n×(n+1)×(2n+1)÷6 4.立方数列：13 + 23+ 33… +n3=（1+2+3…+n）2 三、等比数列 1.公比：q=a2÷a1 2.求和：Sn=(末项×公比-首项)÷（公比-1） 复习： 1.完全平方公式：（a±b）2=a2+b2±2ab 2.平方差公式：a2-b2=(a+b)×(a-b) 【周周测】 练习1 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、……，该数列中的前101项和是（），2010是数列中的第（）项 练习2 昊昊从1开始写了若干个连续奇数，并对它们列竖式求和.因为粗心，昊昊把一个数多加了，最后得到的和是2011.请问：昊昊从1写到哪个数？多加了哪个数？ 练习3 我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中（不包括自然数0），去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是（）。 练习4 1×3+2×4+3×5+…+97×99+98×100= 练习5 在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656，且第一名得分数超过了90分（满分100分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是（）。五年级奥数-数列与数表
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