19.2新定义运算_中考真题(含参考答案)_全国中考数学真题分类特训

3.2 新定义运算

中考真题

1. 题型特点

新定义题是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新运算、新概念等．定义的新运算与已经学习过的运算有严格区别，不一定符合运算规律和运算顺序，定义的新概念有其自身的内涵和外延，且每个新定义只能在本题中使用的一类题目．

这类题主要考查考生的阅读理解能力，接受能力、应变能力和创新能力．

新定义题的呈现方式主要是：

(1)新运算定义型问题，是用某些特殊的符号如?，※，[]，…等表示算式的运算，解答时必须先理解定义的含义，将其转化为一般的加、减、乘、除、乘方、开方等运算，形成一种新的运算；

(2)新概念(规则)定义型问题，就是定义一个新的概念(规则)，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型；

(3)几何图形的新定义型问题，是指对某些满足一定条件的几何图形给以特定的名称，并探究其性质的一种题型．

2. 解题思路

解题时把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解题的关键：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据．即“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．

【例1】(2017·四川宜宾)规定：[x]表示不大于x的最大整数，(x)表示不小于x的最小整数，[x)表示最接近x的整数(x≠n＋0.5，n为整数)，例如：[2.3]＝2，(2.3)＝3，[2.3)＝2.则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)

①当x＝1.7时，[x]＋(x)＋[x)＝6；

②当x＝－2.1时，[x]＋(x)＋[x)＝－7；

③方程4[x]＋3(x)＋[x)＝11的解为1＜x＜1.5；

④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋(x)＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．

思路点拨根据题意可以分别判断各个结论是否正确，从而可以解答本题．

①当x＝1.7时，

[x]＋(x)＋[x)

＝[1.7]＋(1.7)＋[1.7)

＝1＋2＋2＝5，故①错误；

②当x＝－2.1时，

[x ]＋(x )＋[x )

＝[－2.1]＋(－2.1)＋[－2.1)

＝(－3)＋(－2)＋(－2)＝－7，故②正确； ③当1＜x ＜1.5时， 4[x ]＋3(x )＋[x ) ＝4×1＋3×2＋1 ＝4＋6＋1 ＝11，故③正确； ④∵－1＜x ＜1， ∴当－1＜x ＜－0.5时，

y ＝[x ]＋(x )＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1， 当－0.5＜x ＜0时，

y ＝[x ]＋(x )＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1， 当x ＝0时，

y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋0＋0＝0， 当0＜x ＜0.5时，

y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1， 当0.5＜x ＜1时，

y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1. ∵y ＝4x ，

则x －1＝4x 时，得x ＝－1

3；

x ＋1＝4x 时，得x ＝1

3；

当x ＝0时，y ＝4x ＝0，

∴当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋(x )＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有三个交点，故④错误．

故答案应为：②③. 完全解答②③.

归纳交流本例题属于定义新运算型问题，考查对新定义的理解以及有理数的运算、一次方程、不等式，以及一次函数知识．解答本题的关键是明确题意，根据题目中的新定义解答相关问题．

【例2】(2017·江苏南通)我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．

(1)等边三角形“内似线”的条数为________；

(2)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求证：BD 是△ABC 的“内似线”；

(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别在边AC ，BC 上，且EF 是△ABC 的“内似线”，求EF 的长．

备用图

图3.2-1

思路点拨 (1)过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案； (2)由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，证出△BCD ∽△ABC 即可； (3)分两种情况：①当CE CF ＝AC BC ＝4

3时，EF ∥AB ，由勾股定理求出AB ＝AC 2＋BC 2＝5，

作DN ⊥BC 于N ，则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，求出DN ＝1

2(AC ＋BC －AB )

＝1，由角平分线定理得出DE DF ＝CE CF ＝43，求出CE ＝7

3，证明△CEF ∽△CAB ，得出对应边成

比例求出EF ＝35

12

；

②当CF CE ＝AC BC ＝43时，同理，得EF ＝35

12即可．

完全解答 (1)3；理由如下：

过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图(1)所示：

图3.2-2(1)

则△AMN ∽△ABC ，△CEF ∽△CBA ，△BGH ∽△BAC ， ∴MN ，EF ，GH 是等边三角形ABC 的“内似线”． (2)∵AB ＝AC ，BD ＝BC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC .

∴△BCD ∽△ABC .

∴BD 是△ABC 的“内似线”． (3)设D 是△ABC 的内心，连接CD ， 则CD 平分∠ACB .

∵EF 是△ABC 的“内似线”， ∴△CEF 与△ABC 相似．

分两种情况：①当CE CF ＝AC BC ＝4

3时，EF ∥AB ，

∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.

作DN ⊥BC 于N ，如图(2)所示：

图3.2-2(2)

则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径， ∴DN ＝1

2(AC ＋BC －AB )＝1.

∵CD 平分∠ACB ， ∴

DE DF ＝CE CF ＝43

. ∵DN ∥AC ， ∴

DN CE ＝DF EF ＝37，即1CE ＝37

. ∴CE ＝73.

∵EF ∥AB ， ∴△CEF ∽△CAB . ∴EF AB ＝CE AC ，即EF 5＝7

34. 解得EF ＝3512

；

②当CF CE ＝AC BC ＝43时，同理，得EF ＝3512；

综上所述，EF 的长为3512

.

归纳交流本例题属于定义新概念型问题，理解新概念“内似线”是解题的基础，本例题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内心、勾股定理、直角三角形的内切圆半径等知

识．

【例3】(2017·浙江绍兴)定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

(1)如图(1)，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°，

①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长；

②若AC⊥BD，求证：AD＝CD.

(2)如图(2)，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．

(1)(2)

图3.2-3

思路点拨(1)①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；

②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；

(2)若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图(2)中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF＝AB时，如图(3)中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可．完全解答(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵AB＝BC，

∴四边形ABCD是菱形．

∵∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是正方形．

∴BD＝AC＝12＋12＝ 2.

图3.2-4(1)

②如图(1)中，连接AC，BD.

∵AB＝BC，AC⊥BD，

∴∠ABD＝∠CBD.

∵BD＝BD，

∴△ABD≌△CBD.

∴AD ＝CD .

(2)若EF ⊥BC ，则AE ≠EF ，BF ≠EF ，

∴四边形ABFE 表示等腰直角四边形，不符合条件． 若EF 与BC 不垂直，

①当AE ＝AB 时，如图(2)中，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，

图3.2-4(2)

∴AE ＝AB ＝5.

②当BF ＝AB 时，如图(3)中，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，

图3.2-4(3)

∴BF ＝AB ＝5. ∵DE ∥BF ，

∴DE ∶BF ＝PD ∶PB ＝1∶2. ∴DE ＝2.5. ∴AE ＝9－2.5＝6.5.

综上所述，满足条件的AE 的长为5或6.5.

归纳交流本例题属于几何图形新定义型问题，考查正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．

一、 填空题

1. (2017·河北)对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1,2}＝1，因此，min{－2，－3}＝________；若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝________.

2. (2017·四川成都)在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′????1x ，1y 称为点P 的“倒影点”，直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝k

x

的图象上．若AB ＝22，则k ＝________.

3. (2017·上海)我们规定：一个正n 边形(n 为整数，n ≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6＝________.

二、 解答题

4. (2017·浙江湖州)对于任意实数a ，b ，定义关于“?”的一种运算如下：a ?b ＝2a －b .例如：5?2＝2×5－2＝8，(－3)?4＝2×(－3)－4＝－10.

(1)若3?x ＝－2 011，求x 的值； (2)若x ?3＜5，求x 的取值范围．

5. (2017·湖南益阳)在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3,5)与(5，－3)是一对“互换点”．

(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

(2)M ，N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(m ，n )，求直线MN 的表达式(用含m ，n 的代数式表示)；

(3)在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有一对“互换点”A ，B ，其中点A 在反比例函数y ＝－2

x

的图象上，直线AB 经过点P ????12，12，求此抛物线的表达式．

6. (2017·江西)我们定义：如图(1)，在△ABC 中，把AB 边绕点A 顺时针旋转α(0°＜

α＜180°)得到AB ′，把AC 边绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B ′C ′.当α＋β＝

180°时，我们称△A ′B ′C ′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB ′C ′边B ′C ′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．

(1)

(2)

(第6题) 特例感知：

(1)在图(2)，图(3)中，△AB ′C ′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”．

①如图(2)，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD ＝________BC ；

②如图(3)，当∠BAC ＝90°，BC ＝8时，则AD 长为________．

(3)

(4)

(第6题) 猜想论证：

(2)在图(1)中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用：

(3)如图(4)，在四边形ABCD 中，∠C ＝90°，∠D ＝150°，BC ＝12，CD ＝23，DA ＝6.在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△P AB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△P AB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

7. (2017·江苏扬州)我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图(1)，在△ABC 中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“极化值”就等于AO 2－BO 2的值，可记为AB △AC ＝AO 2－BO 2.

(1)

(2) (3)

(第7题)

(1)在图(1)中，若∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，AO 是BC 边上的中线，则AB △AC ＝________，OC △OA ＝________；

(2)如图(2)，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝120°，求AB △AC ，BA △BC 的值； (3)如图(3)，在△ABC 中，AB ＝AC ，AO 是BC 边上的中线，点N 在AO 上，且ON ＝1

3AO .

已知AB △AC ＝14，BN △BA ＝10，求△ABC 的面积．

8. (2017·江苏无锡)操作：“如图(1)，P是平面直角坐标系中一点(x轴上的点除外)，过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q.”我们将此由点P得到点Q 的操作称为点的T变换．

(1)(2)

(第8题)

(1)点P(a，b)经过T变换后得到的点Q的坐标为________；若点M经过T变换后得到点N(6，－3)，则点M的坐标为________．

(2)A是函数y＝

3

2x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B.

①求经过点O，点B所在直线的函数表达式；

②如图(2)，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．

9. (2017·山东济宁)定义：点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外)，在△P AB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．

(第9题(1))

例如：如图(1)，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠PCB ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 是△ABC 的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点M 是曲线C ：y ＝33

x (x ＞0)上的任意一点，点N 是x 轴正半

轴上的任意一点．

(1)如图(2)，点P 是OM 上一点，∠ONP ＝∠M ，试说明点P 是△MON 的自相似点；当点M 的坐标是(3，3)，点N 的坐标是(3，0)时，求点P 的坐标；

(第9题(2))

(2)如图(3)，当点M 的坐标是(3，3)，点N 的坐标是(2,0)时，求△MON 的自相似点的坐标；

(第9题(3))

(3)是否存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

10. (2017·江苏常州)如图(1)，在四边形ABCD 中，如果对角线AC 和BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

(1)

(2)

(第10题)

(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________一定是等角线四边形(填写图形名称)； ②若M ，N ，P ，Q 分别是等角线四边形ABCD 四边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，当对角线AC ，BD 还要满足________时，四边形MNPQ 是正方形．

(2)如图(2)，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，D 为平面内一点． ①若四边形ABCD 是等角线四边形，且AD ＝BD ，则四边形ABCD 的面积是________； ②设点E 是以C 为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED 是等角线四边形，写出四边形ABED 面积的最大值，并说明理由．

中考真题

1. 题型特点：“新定义”试题是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号等，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．

2. 命题呈现方式：

(1)新运算定义型问题，就是在代数式中对某些相同的结构或某种特定的操作用特定的算式符号来表示，形成一种新的运算；

(2)新概念(规则)定义型问题，就是给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，要求学生运用其去创造性地思考并解决问题；

(3)几何图形的新定义型问题，是指对某些满足一定条件的几何图形给以特定的名词等． 3. 解题方法：

解题时把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解题关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据．即“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．

【例1】(2016·浙江杭州)设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a @b ＝()a ＋b 2－()

a －

b 2则下列结论：

①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；

②a@(b＋c)＝a@b＋a@c；

③不存在实数a，b，满足a@b＝a2＋5b2；

④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．

其中正确的是________．

A. ②③④

B. ①③④

C. ①②④

D. ①②③

思路点拨根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．

①根据题意，得a@b＝(a＋b)2－(a－b)2

∴(a＋b)2－(a－b)2＝0.

整理，得(a＋b＋a－b)(a＋b－a＋b)＝0，

即4ab＝0，

解得a＝0或b＝0，正确；

②∵a@(b＋c)＝(a＋b＋c)2－(a－b－c)2＝4ab＋4ac，

a@b＋a@c＝(a＋b)2－(a－b)2＋(a＋c)2－(a－c)2＝4ab＋4ac，

∴a@(b＋c)＝a@b＋a@c正确．

③a@b＝a2＋5b2，a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，

令a2＋5b2＝(a＋b)2－(a－b)2，

解得，a＝0，b＝0，故错误；

④∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，

(a－b)2≥0，则a2－2ab＋b2≥0，即a2＋b2≥2ab，

∴a2＋b2＋2ab≥4ab.

∴4ab的最大值是a2＋b2＋2ab.

此时a2＋b2＋2ab＝4ab，

解得a＝b，∴a@b最大时，a＝b，故④正确．

故答案应选C.

完全解答C.

归纳交流本例题属于新运算定义问题，考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

【例2】(2016·湖北荆州)阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M(1,3)的特征线有：

x＝1，y＝3，y＝x＋2，y＝－x＋4.

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A ，C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线y ＝1

4

(x －m )2＋n 经过B ，C 两点，顶点D 在正方形内部．

(1)直接写出点D (m ，n )所有的特征线；

(2)若点D 有一条特征线是y ＝x ＋1，求此抛物线的解析式；

(3)点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的点D 的特征线上时，满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？

思路点拨(1)根据新概念“特征线”的意义直接求出点D 的特征线；

(2)由点D 的一条“特征线”和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； (2)分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可． 完全解答(1)∵点D (m ，n )，

∴点D (m ，n )的特征线是x ＝m ，y ＝n ，y ＝x ＋n －m ，y ＝－x ＋m ＋n . (2)点D 有一条特征线是y ＝x ＋1， ∴n －m ＝1. ∴n ＝m ＋1.

∵抛物线解析式为y ＝1

4(x －m )2＋n ，

∴y ＝1

4

(x －m )2＋m ＋1.

∵四边形OABC 是正方形，且点D 为正方形的对称轴，D (m ，n )， ∴B (2m,2m )．

∴(2m －m )2＋n ＝2m ，将n ＝m ＋1带入得到m ＝2，n ＝3. ∴D (2,3)．

∴抛物线解析式为y ＝1

4

(x －2)2＋3.

(3)如图(1)，当点A ′在平行于y 轴的点D 的特征线时，

(1)

根据题意可得，D (2,3)， ∴OA ′＝OA ＝4，OM ＝2. ∴∠A ′OM ＝60°. ∴∠A ′OP ＝∠AOP ＝30°. ∴MN ＝OM 3

＝23

3.

∴抛物线需要向下平移的距离＝3－233＝9－23

3

.

如图(2)，当点A ′在平行于x 轴的点D 的特征线时，设A ′(p,3)，

(2)

则OA ′＝OA ＝4，OE ＝3，EA ′＝42－32＝7. ∴A ′F ＝4－7. 设P (4，c )(c ＞0)．

在Rt △A ′FP 中，(4－7)2＋(3－c )2＝c 2， ∴c ＝16－47

3

.

∴P ? ??

??4，16－473. ∴直线OP 解析式为y ＝4－73

x .

∴N ?

????2，8－273. ∴抛物线需要向下平移的距离 ＝3－8－273＝1＋273

.

即抛物线向下平移9－233或1＋27

3

距离，其顶点落在OP 上．

归纳交流本例题属于定义新概念问题，理解新概念“特征线”是解题的基础. 本例题通过二次函数背景，考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点D 的坐标．

【例3】(2016·山东德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

(1)如图(1)，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；

(1)

(2)如图(2)，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足P A ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；

(2)

(3)若改变(2)中的条件，使∠APB ＝∠CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)

思路点拨(1)如图(1)中，连接BD ，根据三角形中位线定理只要证明EH ∥FG ，EH ＝FG 即可．

(2)四边形EFGH 是菱形．先证明△APC ≌△BPD ，得到AC ＝BD ，再证明EF ＝FG 即可．

(3)四边形EFGH 是正方形，只要证明∠EHG ＝90°，利用△APC ≌△BPD ，得∠ACP ＝∠BDP ，即可证明∠COD ＝∠CPD ＝90°，再根据平行线的性质即可证明．完全解答(1)如图(1)中，连接BD .

(1)

∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点， ∴EH ∥BD ，EH ＝1

2

BD .

∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点， ∴FG ∥BD ，FG ＝1

2BD .

∴EH ∥FG ，EH ＝GF .

∴中点四边形EFGH 是平行四边形． (2)四边形EFGH 是菱形．证明如下： 如图(2)中，连接AC ，BD . ∵∠APB ＝∠CPD ，

∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD . 即∠APC ＝∠BPD ， 在△APC 和△BPD 中， ????

?

AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，

∴△APC ≌△BPD . ∴AC ＝BD .

∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点， ∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD .

∵四边形EFGH 是平行四边形， ∴四边形EFGH 是菱形．

(3)四边形EFGH 是正方形．证明如下：

如图(2)中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .

(2)

∵△APC ≌△BPD ， ∴∠ACP ＝∠BDP . ∵∠DMO ＝∠CMP ， ∴∠COD ＝∠CPD ＝90°. ∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，

∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°. ∵四边形EFGH 是菱形， ∴四边形EFGH 是正方形．

归纳交流本例题属于几何图形新定义问题．考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

一、 选择题

1. (2016·湖南岳阳)对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b }的意义为：当a ≥b 时，max{a ，b }＝a ；当a ＜b 时，max{a ，b }＝b ；如：max{4，－2}＝4，max{3,3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max{x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )．

A. 0

B. 2

C. 3

D. 4

2. (2016·广东广州)定义运算：a ★b ＝a ()1－b .若a ，b 是方程x 2－x ＋1

4m ＝0(m ＜0)的两

根，则b ★b －a ★a 的值为( )．

A. 0

B. 1

C. 2

D. 与m 的有关

3. (2016·广东梅州)对于实数a ，b ，定义一种新运算“?”为：a ?b ＝1

a －

b 2

，这里等式

右边是实数运算．例如：1?3＝11－32＝－18.则方程x ?(－2)＝2

x －4

－1的解是( )． A. x ＝4 B. x ＝5 C. x ＝6 D. x ＝7

4. (2016·山西)宽与长的比是m ＝－3(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H .则图中下列矩形是黄金矩形的是( )．

(第4题)

A. 矩形ABFE

B. 矩形EFCD

C. 矩形EFGH

D. 矩形DCGH 二、 填空题

5. (2016·四川宜宾)规定：log a b (a >0，a ≠1，b >0)表示a ，b 之间的一种运算． 现有如下的运算法则：log a a n ＝n ，log N M ＝log a M

log a N (a >0，a ≠1，N >0，N ≠1，M ＞0)，

例如：log 223＝3，log 25＝log 105

log 102，则log 1001 000＝

________.

6. (2016·四川乐山)高斯函数[]x ，也称为取整函数，即[x ]表示不超过x 的最大整数． 例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2. 则下列结论： ①[－2.1]＋[1]＝－2； ②[x ]＋[－x ]＝0；

③若[x ＋1]＝3，则x 的取值范围是2≤x <3； ④当－1≤x <1时，[x ＋1]＋[－x ＋1]的值为0,1,2. 其中正确的结论有________(写出所有正确结论的序号)．

7. (2016·四川成都)实数a ，n ，m ，b 满足a

8. (2016·甘肃兰州)对于一个矩形 ABCD 及⊙M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形 ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等，那么称这个矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l: y ＝x －3交 x 轴于点 M ，⊙M 的半径为 2，矩形 ABCD 沿直线 l 运动(BD 在直线 l 上)，BD ＝2，AB ∥y ，当矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时，点 C 的坐标为________．

(第8题)

三、解答题

9. (2016·江苏扬州)如图(1)，△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D .

(第9题(1)

(1)求证：BC AB ＝EF

DE

；

(2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的对边(即底边BC )与邻边(即腰AB 或AC )的比值也就确定，我们把这个比值记作T (A )，即T (A )＝∠A 的对边底边∠A 的邻边腰

＝BC

AB ，如T (60°)＝1. ①理解巩固：T (90°)＝________，T (120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T (α)的取值范围是________；

②学以致用：如图(2)，圆锥的母线长为9，底面直径PQ ＝8，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．

(参考数据：T (160°)≈1.97，T (80°)≈1.29，T (40°)≈0.68)

(第9题(2))

10. (2016·重庆A)我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝p

q .例如12可以分解成1×12,2×6或3×4，因为

12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝3

4

.

(1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝1；

(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所得“吉祥数”中F (t )的最大值．

11. (2016·浙江绍兴)对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5)．已知点A的坐标为(1,0)．

(1)分别写出点A经1次、2次斜平移后得到的点的坐标．

(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C.

①若A，B，C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由，

②若点B由点A经n次斜平移后得到t且点C的坐标为(7,6)，求出点B的坐标及n的值，

(第11题)