2.2 算子和算子方程

2.2 算子和算子方程

2.2.1 线性算子

1. 定义：设A D 和A D '都是线性函数集，且H D A ?，若元素A D ∈φ经算子A 映射得唯一的确定的元素A D '∈ψ，其映射关系为

φψA =

并满足线性运算律(α、β为任意常数)

2121)(φβφαβφαφA A A +=+

则称A 为线性算子。其中：A D 是A 的定义域，A D '是A 的值域。

若对于任意的A D ∈φ，都有

i i

φφφφA A =→lim 成立，则称A 为线性连续算子。

若对于任意的A D ∈φ，都有

φφC ≤A (C 为有限常数)

成立，则称A 为线性有界算子。

可以证明：线性连续算子等价于线性有界算子。

2. 运算性质

设A 、B 为线性算子，A D 、B D 分别为其定义域

(1) 算子的和——若B A D D ?∈φ

φφφφ)()(A B B A B A +=+=+

(2) 算子的积——若B D ∈φ，A D ∈φB

)A (B )B (A )B (A φφφ≠=

(3) 算子的逆——若φφ=)(AB ，则

1-=A B ，1-=B A

称A 与B 互为逆算子。ψψ=-)(1AA 。

3. 线性算子方程：

可分为两种类型：

(1) 设A 是已知线性算子，若其值域中的已知点A D '∈ψ由定义域中相应未知点A D ∈φ映射而得，即

ψφ=A

则称之为确定性算子方程。

由算子方程的运算性质：

ψφφφ111)()(---===A A A A A

确定性算子方程的求解任务：算子求逆运算。若1-A 存在，则解答是唯一的，1-A 连续，则解答是稳定的。

(2) 设A 为已知线性算子，其值域等于定义域A A D D ='，且λφψ=(λ为待定常数)在值域中也是未知点，则

λφφ=A

称为本征值算子方程。

本征值算子方程的求解任务：

①确定n λ所取的待定的值{

} ,2,1=n n λ； ②求出n λ所对应的解{}

,2,1=n n φ。 2.2.2对称算子和正定算子

1. 对称算子

定义1：设)()(),()(22E L D x V E L D x U A ?∈?'∈A ，则

?>=<)(*)(,x E dx V U V U A A

称为含算子的内积，也即是交集上的线性泛函。

定义2：若函数集)(2E L D ?中的任何两个元素U 和V 所构成含算子的内积都满足

>>=<

则称A 为D 上的对称算子。

定义3：若凡D U ∈都有

实数>=

则A 亦称为D 上的对称算子。

2. 正定算子

(1) 定义：若凡)(2E L D U ?∈都有

2,U a U U >≥

称A 为D 上的下有界算子。当a =0时，称A 为D 上的非负算子。

(2) 定义：若凡)(2E L D U ?∈都有

0>>

则称A 为D 上的正算子。

(3) 定义：若凡)(2E L D U ?∈都有

2,U

k U U >≥

则称A 为D 上的正定算子。

由以上定义可知： 正定算子 ? 正算子 ? 非负算子 ? 下有界算子 ? 对称算子 ? 线性算子。

2.2.3自伴算子

1. 伴随算子

定义：设A 是H 空间的线性连续算子，若存在B ，使对于任何H V U ∈、都有： >>=<

则称B 为A 的伴随算子，记为+A =B 。

2. 自伴算子

基于上面的定义，当B = A 时，

>>=<

则称A 为自伴算子，即A A =+。

由上可知，自伴算子就是定义在H 空间的对称算子。可以严格证明：凡自伴算子都能求逆，其逆算子亦为自伴算子。

3. Lagrange 意义下的自伴算子

通常求解电磁场问题，所要求解的场函数既要满足算子方程，又要满足边界条件。这就是说：要求算子的自伴性，只要在符合边界条件的函数集H D b ?上是线性连续对称

算子，就能保证方程存在唯一、稳定的解，这种线性连续自伴算子就是Lagrange 意义下的自伴算子。

限定算子自伴性的边界条件——自伴边界条件 ? 自伴边值问题。

4. 自伴边值问题

(1) Poisson 边值问题 []??

???∈=+??∈-=?V S r r U n r U V r r f r U b b 02)()()()( βα ()()r f r U =?-?=A A 2

(2)Helmholtz 边值问题

标量形式 ()()()()()[]??

???∈=+??∈-=+?V S r r U n r U V r r f r U k b b 022 βα ()()()r f r U k =?+?-=A A 2

2 ()()()r U r U r f k λλ=?==-?=A A 022，，

矢量形式

()()()[]()[][]

???∈=?+???∈=-????V S r r u n j r u n V r r u k b b b 002βα 若????=A ，2k =λ ? )()(r u r u λ=A

(3) Fredholm 边值问题

第一类 ()()()V r r f V r U r r G V

∈'='''? ,d 第二类 ()()()?∈'='''V

V r r U V r U r r G ,λd ()?''=?V r r G V d A ()()()()r U r U r f r U λ==A A