《光波导理论与技术 李玉权版》第一、二章

——自学《光波导理论与技术李玉权版》笔记

第1章绪论 (2)

1.1 光通信技术 (2)

1.2 光通信的发展过程 (2)

1.3 光通信关键技术 (3)

1.3.1 光纤 (3)

1.3.2 光源和光发送机 (5)

第2章电磁场理论基础 (7)

2.1 电磁场基本方程 (7)

2.1.1 麦克斯韦方程组 (7)

2.1.2 电磁场边界条件 (8)

2.1.3 波动方程和亥姆霍兹方程 (10)

2.1.4 柱型波导中的场方程 (11)

2.2 各向同性媒质中的平面电磁波 (13)

2.2.1 无界均匀媒质中的均匀电磁波 (13)

2.2.2 平面电磁波的偏振状态 (13)

2.2.3 平面波的反射和折射 (15)

2.2.4 非理想媒质中的平面电磁波 (16)

2.3 各向异性媒质中的平面电磁波 (18)

2.3.1 电各向异性媒质 (18)

2.3.2 电各向异性媒质中的平面波 (18)

2.4 电磁波理论的短波长极限——几何光学理论 (22)

2.4.1 几何光学的基本方程——eikonal方程 (22)

2.4.2 光线传播的路径方程 (24)

2.4.3 路径方程解的两个特例 (25)

2.4.4 折射定律与反射定律 (28)

第1章 绪论

1.1 光通信技术

光通信的主要优势表现在以下几个方面：

（1） 巨大的传输带宽

石英光纤的工作频率为0.8~1.65m μ ，单根光纤的可用频带几乎达到了200THz 。即便是在1.55m μ 附近的低损耗窗口，其带宽也超过了15THz 。

（2） 极低的传输损耗

目前工业制造的光纤载1.3m μ 附近，其损耗在0.3~0.4dB/km 范围以内，在

1.55m μ波段已降至0.2/dB km 以下。

（3） 光纤通信可抗强电磁干扰，不向外辐射电磁波，这样就提高了这种通信手

段的保密性，同时也不会产生电磁污染。

1.2 光通信的发展过程

图 1.1.1 光纤通信发展的三个阶段

一个最基本的光纤通信系统的构成：

图 1.1.2 光纤通信系统原理框架图

1.3 光通信关键技术

1.3.1 光纤

光纤是构成光网络的传输介质，目前通信光纤全部都是以石英为基础材料制作的，它有纤芯、包层及保护层构成，横截面如图1.1.3所示。纤芯折射率1n 略大于包层折射率2n ，光纤对光波的导引作用主要由纤芯和包层完成，保护层的作用是防止光纤收到机械损伤。目前，通信用光纤主要有多模光纤和单模光纤两类，多模光纤纤芯直径主要有m μ50和m μ5.62两种规格，单模光纤芯径一般小于m μ10。

图 1.3.1 光纤的横截面

光纤的主要传输特性有：损耗、色散、非线性及双折射等。

1. 光纤的损耗特性

光纤的损耗导致光信号在传输过程中信号功率下降，用衰减系数α表示

)lg(10)/(in

out P P L km dB -=α (1.3.1) 其中in P 是注入功率，out P 是长为L 的光纤的输出功率，一般km dB /作为光纤损耗的使用单位。

光纤损耗主要有光纤的本征损耗、散射损耗、瑞丽损耗、杂质损耗等因素构成。

2. 光纤的色散特性

色散指介质中不同频率的电磁波以不同速度传播的物理现象。在光纤中色散的因素有材料色散、波导色散和模式色散。

模式色散是在光纤中，不同频率成分的光有不同的传播速度，而且不同传播模式之间也有不同的传播速度。多模光纤中光信号激励众多传播模式，不同传播模式到达输出端的时延不同，导致信号严重畸变，这就制约多模光纤只能用于短距离、低速率传输。单模光纤的偏振模色散(PMD)也是一种模式色散，它是由于单模光纤中两个正交的偏振态以不同传播速度传播造成。

材料色散是由于任何材料都是色散材料，折射率都是频率的函数，群速度随频率变化决定了包络的畸变，这就是所谓的群速度色散(GVD)。GVD 决定了折射率对频率的二阶导函数ω

ωd n d )(2。 波导色散是因光波导中某一特定的传播模式的纵向相位常数与频率之间的非线性关系决定。单模光纤工作模式的波导色散总是正常色散，且单模光纤的总色散由材料色散和波导色散组成，在m μλ27.1>时，波导色散与材料色散符号相反，部分抵消，使得零色散波长向长波长方向移动。色散位移光纤(DSF)是改变单模光纤结构，可以使得零色散波长移至m μ55.1的光纤。

3. 单模光纤的非线性

非线性是指光纤对大信号的响应特性，光纤纤芯中的电场强度达到

m V /10~1065量级，在如此强大的电场作用下，石英的非线性极化导致光纤的折射率有一个与外加光强成比例的非线性修正项，即

221||E n n n += (1.3.2)

这就是所谓光克尔效应。

4. 单模光纤的双折射

单模光纤中的传播模式并非严格意义上的单一模式，光纤的主模式是一对偏振态相互正交的简并模，而在非理想状态下，这一对模式将不再是理想的简并模，两者传输特性将会略有差别，两者等效折射率并不相同，这就是单模光纤的双折射。

双折射导致光信号在单模光纤的传输过程中偏振态的不稳定，这种不稳定对相干光通信系统产生严重的影响。另一方面，双折射会导致偏振模色散(PMD 。为了克服双折射的影响，会人工的加大两个偏振态传输特性的差别，使得其中一个处于截止状态，这就是所谓的偏振保持光纤或保偏光纤。

1.3.2 光源和光发送机

1. 光源

短距离低速率传输系统可以用半导体发光二极管(LED)作光源，长距离高速率传输系统都是用半导体激光器(LD)作为光源。

根据LD 内部频率选择机构，可以分为F-P 型LD 、DFB 型和DBR 型的LD ，以及多量子阱(MQW)LD 。

F-P 型LD 利用半导体PN 结的解理面形成F-P 型光纤谐振腔，作为频率选择机构，见图 1.3.2。DFB 型LD ，即分布反馈型LD ，采用制作在激光器有源区上的反射光栅作为频率选择机构，见图1.3.3。而DER 型LD ，即分布不喇格反射型LD ，如图 1.3.4所示，与DFB 型LD 类似都是采用反射光栅作为频率选择机构，不同于DER 型LD 的反射光栅位于有源区的两端。两者也被统称为动态单纵模激光器。MQW 结构的LD ，其有源区由多层极薄的薄膜层构成，薄膜层界面层势垒将其隔成多个量子阱，载流子和光子被束缚在薄层之中，因此光能量损耗小。

2. 光源调制技术

对光源的调制分为直接调制和间接调制两种方式来实现。直接调制又称内调

制，意为采用信号直接控制光源的注入电流，是光源的发光强度随外加信号变化。间接调制又称外调制，光源发出稳定的光束进入外调制，利用介质的电光效应、声光效应或磁光效应实现调制。

在对光源采用直接调制中，由于半导体光源有源区载流子浓度快速变化，这导致有源区等效折射率快速变化，从而导致输出光束的频率不稳定，这就是所谓的高速调制时的频率啁啾现象。

3.光发送端机

其功能是将电端机送来的电信号转换为光信号，然后注入光纤传输。

第2章 电磁场理论基础

2.1 电磁场基本方程

2.1.1 麦克斯韦方程组

宏观电磁现象可以用电场强度矢量E 、电位移矢量D 、磁场强度矢量H 、磁感应强度矢量B 等四个空间位置和时间的函数矢量来描述，四个场矢量之间的关系由麦克斯韦方程组描述，即 ρ

=??=????-=????+

=??D B t

B E t

D

J H 0 (2.1.1) 式中，J 是媒质中的传导电流密度，ρ是自由电荷密度。且式(2.1.1)中四个方程式并非独立的，如果认为电流连续方程

0=??+??t

J ρ (2.1.2) 是独立方程，则式(2.1.1)中后两个方程可以用前两个方程推导。且物质特性方程（本构关系）为

M H B P

D E

J +=+==00μεσ (2.1.3)

式中，P 为媒质的极化强度矢量，M 称为磁化强度矢量，σ为媒质的电导率，对良好的介质可以近似为0，0ε、0μ为真空中的介电常数和磁导率。

对于非磁性介质，0=M ，从而

H B 0μ= (2.1.4)

电极化强度P 可以写成

...:)3(0)2(0)1(0+++?=EEE EE E P χεχεχε (2.1.5)

其中)(i χ是1+i 阶张量，若除)1(χ以外，所有的)(i χ的元都为0，则媒质是线

性媒质，否则媒质是非线性的。对于各向同性的线性媒质

????

??????=χχχχ0000

00)(i 它可以用张量χ表示，从而得到

)

1()1(r 000χεεεχεχε+==+==其中E E D E

P r (2.1.5)

一般说来，所有场量都是空间坐标和时间的任意函数，一个时域函数可以用福利叶变换表示

?∞

∞-ψ=ψωωωd e z y x t z y x t j ),,,(),,,( (2.1.6a) ?∞

∞--ψ=ψωπωωd e t z y x z y x t j ),,,(21

),,,( (2.1.6b)

式中),,,(t z y x ψ代表所有场分量的时域表达式，而),,,(ωz y x ψ则是其频域表达式。

在良好介质中，电流密度和电荷密度都为0，频域中的麦克斯韦方程组可以写作

000=??=??-=??=??E H H

j E E

j H r r εεωμεωε (2.1.7)

2.1.2 电磁场边界条件

式(2.1.1)描述的是电磁参数με、为位置坐标的连续函数的媒质中的电磁量的基本规律，在媒质的电磁参数发生突变，则以微分方程形式出现的麦克斯韦方程组不再适用，改写为积分形式，即 ????????+?=S l S ds t

D ds J Hdl (2.1.8a) ??????-=?l S ds t

B dl E (2.1.8b) ??=?S

ds B 0 (2.1.8c)

?????=?S V

d ds D υρ (2.1.8d)

将式(2.1.8c)和式 (2.1.8d)应用于如下图2.1.1所示的扁平区域，可得

0)(21=-?B B n (2.1.9a)

S D D n ρ=-?)(21 (2.1.9b)

由此得到，在两种介质的分界面的两侧磁感应强度B 的法向分量连续，而电位移矢量D 的法向分量的突变决定于界面上面电荷密度S ρ。

图 2.1.1 法向边界条件

将式(2.1.8a)和式(2.1.8b)应用于如图2.1.2所示的窄条形路径，可得

s J H H n =-?)(21 (2.1.10a)

0)(21=-?E E n (2.1.10b)

由此可得，磁场强度H 的切向分量在边界面的突变决定于界面的面电流密度s J ，而电场强度的切向分量则是连续的。

图 2.1.2切向边界条件

对于非导电的介质，其表面电荷密度0=s ρ，表面电流密度，因而可以把式(2.1.9)和是(2.1.10)合并写作

0)(21=-?B B n (2.1.11a)

0)(21=-?D D n (2.1.11b)

0)(21=-?H H n (2.1.11c)

0)(21=-?E E n (2.1.11d)

式中n 为界面上由媒质1指向媒质2的法线方向的单位矢量。

2.1.3 波动方程和亥姆霍兹方程

良好介质中0=J 、0=ρ，如果媒质是均匀的各向同性的线性介质，即r ε为常数，对方程(2.1.1)中的前两个方程取旋度，并注意到00=??=??E D r εε，00=??=??H B μ，则可以得到

022222

=??-?t E c n E (2.1.12a) 022222

=??-?t H c n H (2.1.12b) 上式中，001

εμ=c 是真空中的光速度，r n ε=是媒质的折射率，上式

(2.1.12)是线性、均匀、各项同性媒质的电磁波动方程，它的解释以速度n c v =传播的电磁波。

在频域中，所有的场量都是以角频率ω振荡的正弦量，因而其波动方程则为

02202=+?E n k E (2.1.13a)

02202=+?H n k H (2.1.13b)

式中

00220εμω=k (2.1.14)

式(2.1.13)成为亥姆霍兹方程，对于非均匀的各向同性线性媒质，则因为0000=??+?=??=??E E E D r r r εεεεεε，可得

E E r

r ??-=??εε 从而得到

0)(2202=???++?r r

E E n k E εε (2.1.15a)

0)(2202=????++?H H n k H r r

εε (2.1.15b)

式(2.1.15)中r n ε=2是位置的函数，如果媒质的折射率或相对介电常数随位置的变化较为缓慢，即满足条件

1<

可以简化为

02202=+?E n k E (2.1.16a)

02202=+?H n k H (2.1.16b) 式(2.1.16)与式(2.1.15)形式相同，但是式(2.1.16)中折射率n 是空间位置的函数，求解更难。

2.1.4 柱型波导中的场方程

光波在柱型波导中传播时，其电磁场量可以写作纵向分量和横向分量之和，即

?

??+=+=z z t z z t H e H H E e E E (2.1.17) 式中z e 为柱型系统中的纵向的单位矢量。如图 2.1.3所示，沿z 轴方向传播的光波，所有的场分量必有z j e β-这样的传播因子，因此亥姆霍兹方程可以写作

0)(22202=???

? ??-+???? ???t t t t t H E n k H E β (2.1.18a) 0)(22202=???

? ??-+???? ???z z z z t H E n k H E β (2.1.18b) 式中2t ?是横向Laplace 算子。

图 2.1.4分析柱型系统所用的坐标系

在z 向均匀的柱型传输系统，可以使用矢量亥姆霍兹方程中分离的纵向分量z E 、z H 所满足的标量亥姆霍兹方程，即式(2.1.18b)。横向场量t E 、可以从麦克斯韦方程组(2.1.7)直接得到。

将式(2.1.7)中额梯度算子写成z

ez t ??+?=?，展开后的 z t z z t t c H e j E j E k ??+?-=02ωμβ (2.1.19a)

z t z r z t t c E e j H j H k ??-?-=ωεβ2 (2.1.19b)

式中

22202β-=n k k c (2.1.20)

2.2 各向同性媒质中的平面电磁波

2.2.1 无界均匀媒质中的均匀电磁波

均匀平面电磁波的场量用下式表示

r jk e E E ?-=0 (2.2.1a)

r jk e H H ?-=0 (2.2.1b)

对于均匀平面波而言，k 为波矢量，方向即为波的传播方向，大小n k k 0=，即为波的相位常数。令

C z k y k x k r k z y x =++=? (2.2.2)

上式在空间描述一组平面，称为波的等相位面。

将式(2.2.1)代入式(2.1.7)，可得

00H e E n ?-=η (2.2.3a)

001E e H n ?=η

(2.2.3b) 00=?E k (2.2.3c)

00=?H k (2.2.3d) 式中，εμη0=是媒质的波阻抗。上式说明，均匀无界媒质中的均匀平面电磁波是TEM 波。

平面电磁波的相速度和群速度分别定义为

β

ωβωd d v v g p ==, (2.2.4) 对于均匀平面波，n n k 000εμωβ==。如果媒质的折射率n 是与频率无关的常数，则

n

c n v v p g ==

=001εμ (2.2.5) 2.2.2 平面电磁波的偏振状态 平面电磁波的偏振状态是指电场强度矢量或磁场强度矢量的空间取向随时

间的变化情况。所谓线偏振波是指如果对于一个确定的观察点，场矢量始终在一个确定方向振动，矢量的尖端的轨迹是一个线段。圆偏振波就是的场矢量的尖端的轨迹是一个圆。椭圆偏振波的场矢量的尖端轨迹就是一个椭圆。

任意场矢量都可以写作沿着啷个特征方向的分矢量之和，即

212211φφj j e E e e E e E += (2.2.6)

式中，1e 、2e 为波传播的横方向上两个相互正交的单位矢量，而n e e e =?21，n e 是波传播方向上的单位矢量。1φ、2φ分别是两个分量的相位因子。

当πφφδ,021=-=时为线偏振波。 当23,221ππφφδ=-=时，而且21E E =。当2πδ=时，称为右旋圆偏振波；而23πδ=时，称为左旋偏振波。对于椭圆偏振波的定义类似，此外，这里的旋向定义与一般光学教材书中相反，这样定义是为了与工程电磁理论中的规定一致。

与式(2.2.6)类似，任何一种偏振状态的平面波都可以看出1e 、2e 方向偏振的两个有确定相位关系的线偏振波的叠加，这里我们把任意的一个平面波看成两个旋向相反的圆偏振波的叠加，即

)()(2121je e E je e E E R L -±+= (2.2.7)

式中，L E 、R E 分别是左旋和右旋圆偏振波的振幅，对于R L E E =时，代表线偏振波；R L E E ≠代表椭圆盘偏振波；如果L E 、R E 两者中任意一个为零，则为圆偏振波。

引入斯托克斯参数来描述偏振状态时，定义四个斯托克斯参数：

)sin(2)

cos(2122131221222

21122

210φφφφ-=-=-=+=E E S E E S E E S E E S (2.2.8)

四个参数之间满足：

23

222120S S S S ++= (2.2.9)

如果以1S 、2S 、3S 与直角坐标系中的x 、y 、z 坐标对应，当0S 为常数，则决定一个球面，该球面称为邦加球。任何偏振状态都与邦加球面的点一一对应，只要测得斯托克斯参数的变化规律，就可以确定光波的偏振态变化规律。

2.2.3 平面波的反射和折射

平面电磁波在不同媒质的平面分界面上将发生反射和折射，如图2.2.1所示。两种介质中入射波、反射波、折射波之间存在如下运动学特性：

（1）入射光线、反射光线、折射光线共面或波矢量i k 、r k 、t k 共面；

（2）反射角等于入射角，即r i θθ=；

（3）斯涅耳定律：t i n n θθsin sin 21=。

图 2.2.1平面电磁波的反射和折射

根据入射波的偏振状态，可以得到如下动力学性质：

（1）对于垂直偏振波，即电场矢量和入射面垂直的线偏振波，其反射系数和折射系数分别为

t

i t i i r n n n n E E R θθθθcos cos cos cos 2121+-==⊥ (2.2.10a) t i i i t n n n E E T θθθcos cos cos 2211+==

⊥ (2.2.10b) （2）对于平行偏振波，即电场矢量和入射面平行的线偏振波，其反射系数和折射系数分别为

t

i t i i r n n n n E E R θθθθcos cos cos cos 1212+-==∥ (2.2.11a) t i i i t n n n E E T θθθcos cos cos 2121+==

∥ (2.2.11b) 式(2.2.10)和式(2.2.11)中的四个关系式统称为菲涅尔公式。

由菲涅尔定律可知，当21n n >时，折射角大于入射角。平面波从媒质1到媒质2的界面上发生全反射的条件是 1

21

sin n n c i -=>θθ (2.2.12) 显然，仅当21n n >时，才可能发生全反射。

由式(2.2.11a)，如果入射条件满足 1

21n n tg B -=θ (2.2.13) 则平行偏振波的反射系数为零，因而入射的平行偏振波产生全折射。B θ称为布儒斯特角，又称起偏角，此时无论入射波的偏振状态如何，反射波都是线偏振波。

2.2.4 非理想媒质中的平面电磁波

对光波系统，我们关心的是损耗极低、色散很弱的良好介质中的电磁波，在这种介质中，沿z 轴方向传播的平面波可以表示为

nz jk z e e E E 00--=α (2.2.14a)

nz jk z e E E H 00--=αη

(2.2.14b) 式中α称为衰减常数，而βω=)(0n k 为相位常数。

对于非理想介质的平面波，其相速度和群速度为

)

(ωβωn c v p == (2.2.15a) ω

ωβωd dn n c d d v g +== (2.2.15b) 所谓群速度，假设一个被调制的电磁信号在色散媒质中传播，将电磁信号看

着沿z 传播的但在y x -平面内均匀的脉冲信号，假设损耗可以忽略，则此信号可以表示为

?∞

∞--=βωβωβd z t j A t z A )])((exp[)(),( (2.2.16) 式(2.2.16)说明一个空间长度为有限的信号可以再频域中表示为单色平面波的叠加，式中)(βA 是与ω、)(ωβ相对应的振幅函数，显然

?∞

∞-==dz z j t z A A ])(exp[)0,(21

)(ωβπβ (2.2.17)

对于色散媒质，)(ωβ和ω之间存在复杂的函数关系，将)(ωβ在载波相位常数0β附近展开为泰勒级数：

?+-+-+=222200)(21)()(βββ

ωβββωωωβd d d d (2.2.18) 将其代入式(2.2.16)忽略与22β

ωd d 成比例的项以及高阶项，可以得到 βββ

ωβββωωd z t d d j A z d d t j t z A ])(exp[)()](exp[),(00--??∞∞- (2.2.19) 将式中的积分式与式(2.2.16)比较，可知积分刚好是)0,(t d d z A β

ω-，因而得到 )](exp[)0,(),(00z v t j t v z A t z A g g βω--= (2.2.20)

因此，已调制的信号沿着z 轴传播时其信号包络以群速度β

ωd d v g =传播，在忽略与22β

ωd d 成比例的项的情形下，信号包络形状不变，所以群速度就是信号包络的传播速度，如图2.2.2所示。

图 2.2.2群速度示意图

2.3 各向异性媒质中的平面电磁波

2.3.1 电各向异性媒质

媒质在电磁场作用下，可根据其惦记化和磁极化特性把媒质分为各向同性、电各向异性、磁各向异性和双各向异性几种类型。电各向异性是其介电常数为二阶张量；磁各向异性是指其磁导率为二阶张量；所有媒质在运动状态下，根据狭义相对论都是呈双各向异性。

电各向异性媒质的介电常数，必须用一个二阶张量表示，即

????

??????=3332312322

211312

11εεεεεεεεεε (2.3.1) 对于无损耗的电各向异性媒质，利用能量守恒定律，可以证明式(2.3.1)中的张量为实对称张量，即：ji ij εε=。再根据线性代数理论，任何一个实对称矩阵都存在一个正交线性变换，将这个实对称矩阵转换为一个对角矩阵，这就相当于一个坐标系的旋转。在新的坐标系中，即主轴坐标系中，介电常数张量可表示为

????

??????=z y

x

εεεε0000

00 (2.3.2)

若z y x εεε≠=。则媒质为单轴媒质，z 轴为光轴；若z y x εεε≠≠，则称为双轴媒质；在z y x εεε==时，称为各向同性媒质。

对于电各向异性媒质，在主轴坐标系中

E D ε=

写作分量形式：

E D x x ε=，E D y y ε=，E D z z ε=

因此定义主轴坐标系中的折射率

2εεi i n = (2.3.3) 2.3.2 电各向异性媒质中的平面波

电各向异性媒质中的均匀平面电磁波，所有的场矢量均可表示为r jk e A A ?-=00，0A 为振幅矢量，将其代入麦克斯韦方程组，即式(2.1.7)中，可得

??

?

????

=?=?=?-=?000D k H k H E k D H k ωμω (2.3.4) 上式说明，电各向异性媒质中的平面波矢关于场矢量D 和B 的TEM 波，但考虑D 与E 不一定平行，所以不一定是关于E 和H 的TEM 波。

讨论单轴媒质中的平面波，将式(2.3.4)中的第二个方程左乘矢量k ，并利用第一个方程，则

D H k

E k k 020μωωμ-=?=??

即

E E k E k k ?-=-?εμω022)(

对单轴媒质而言，在主轴坐标系中

????

??????=z y

x

εεεε0000

00

因而

z z y y x x E k E k E k E k D k εεεε++=??=?

所以存在

z z z E k E k )1(ε

ε-=? 从而得到

E E k E k k z z z ?-=--εμωε

ε022)1( (2.3.5) 表示为矩阵形式为

000)1(0)1(022*********=??

???????????????

?????????-------z y x z z y x z z z y z z x E E E k k k k k k k k k εεεμωεεεμωεεεμω (2.3.6)

为了使得式(2.3.6)中x E 、y E 、z E 存在非零解的必要条件是与上述方程对应的行列式为零，从而得到

εμω022=k (2.3.7a)

z z z y x k k k εμωε

ε02222=++ (2.3.7b) 上式(2.3.7)即为单轴媒质中平面波传播的特征方程，在z εε=时，两式一致。

在单轴媒质中，由式(2.3.7a)所决定的相位常数n k n k 000==εμω与k 的方向无关，即为由式(2.3.7a)决定的特征相位常数及相应的平面波与各向同性媒质中的平面波具有相同特点，该波称为寻常波（O 波）。而由式(2.3.7b)决定的特征相位常数则与波矢量k 的方向有关，因而称第二个因为方向而异的特征相位常数所决定的平面波是非寻常波（e 波）。

假设k 与光轴z 之间的夹角为θ，则可将式(2.3.7)写作

z z k εμωθε

εθ02222)cos (sin =+ (2.3.8a) )cos sin (22022θεθεεμωz z k += (2.3.8b)

从而得到寻常波和非寻常波的相速度分别是

0001n c v ==

εμ (2.3.9a) 21222221022)cos sin (cos sin θθεεμθεθεe o e o z z e n n n n c v +=???

? ??+= (2.3.9b) 由式(2.3.9b)可知，非寻常波的相速度与θ有关，仅当0=θ时，即传播方向与光轴一致时才与寻常波一致。

对于寻常波，将式(2.3.7a)代入式(2.3.6)中，得到0=z E ，从而得到0=z D 。考虑εεε==y x ，所以D 与E 同方向，且B 与H 同方向，这样得到寻常波即是关于D 、B 的TEM 波，也是关于E 、H 的TEM 波。

对于非寻常波，将式(2.3.7b)代入式(2.3.6)可以决定场矢量的偏振状态。假设k 矢量在yoz 平面内，由于非寻常博得特点仅由θ决定，其他子午面的情景与yoz 一致，故