介绍光阱力的数值计算方法

“校长基金”结题论文

用T矩阵方法

计算光阱中介质小球的散射场及受力

指导老师：叶安培

电子学系刘文俊

2003年10月12日

用T矩阵方法

计算光阱中介质小球的散射场及受力

信息学院电子学系2000级刘文俊

目录

摘要 (3)

第一章引言 (3)

第二章计算光镊中粒子受力的方案比较与选择 (5)

1：力的产生原理 (5)

2：光阱力的构成 (5)

3：粒子受力计算方案 (6)

第三章T矩阵算法的实现 (12)

1：高会聚型高斯光束的分解 (12)

2：用扩展边界条件法计算T矩阵 (16)

第四章计算光阱中的粒子散射及受力情况 (25)

1：散射场的计算 (25)

2：力的计算 (30)

第五章总结 (31)

致谢 (32)

参考文献 (32)

摘要

本文讨论了计算各种粒子在光阱中受力的计算方法。选择T矩阵的方案，论述了其原理，并利用其计算了回转椭圆体、圆柱体、切比雪夫粒子和一般性的切比雪夫粒子的散射场。在入射光为高会聚型高斯光束的情况下，计算了球状的粒子的受力，考虑了光腰位置和粒子半径对小球受力的影响。

第一章引言

近年来单分子探测技术（single molecule detection (SMD)）的发展开辟了生命科学的新领域。在对生物分子的宏观观测中，单个生物分子的动态特性和分子核心组织的运作机制被平均化，因而得不到单个生物分子的动态特性信息。随着近代物理特别是光学技术和生物技术的发展，生物单分子探测已成为可能，单分子探测技术则可以快速实时的记录单个生物分子的动态行为，将生命科学研究提高到更高的层次。

单分子探测包括单分子成像和单分子操纵。常用的单分子操纵工具有微针（glass-microneedle）,光镊（optical tweezers）和原子力显微镜（AFM）。采用这些技术可以精确的操纵单分子和探测单分子的动态行为。

由于光镊可以非接触、无损伤地操纵活体物质，并且其产生的皮牛顿（10-12N）量级的力适合于生物细胞、亚细胞以及生物大分子的力学性质的研究。所以光镊系统越来越广泛地应用于生物学领域，并显示出强大的生命力。

用高数值孔径的物镜把激光光束会聚成达到衍射极限的光斑，从而形成很大梯度的不均匀场。在焦点附近梯度力大于散射力从而介质小球受的力指向光强最大处：这就是单光束实心光镊。其示意图如图1-1所示。

图1-1 典型光镊系统的示意图

在该领域的先驱是AT&T(Bell) 实验室的A.Ashkin。1970年，通过一束会聚的激光，Ashkin成功的束缚住微小粒子例如几微米大小的聚苯乙烯小球。1978年Ashkin提出了单光镊梯度力势阱的方案。1986年Ashkin 等人把单束激光引入高数值孔径的物镜形成了一个三维梯度场，并证明了这种光镊可以无损伤地操纵活体物质。

在光镊系统中引入多光束则可以实现多个光阱，从而实现对多个微粒或生物分子的操控。采用一般化相衬法（generalised phase contrast）或者计算机生成全息图（computer-generated holograms（CGH））可以高效率地产生多光束，从而实现对多达数百个微粒或者生物分子的操控。

光镊还可以与许多其它的工具相结合。一个典型的例子是光镊与结合激光剪刀（laser scalpel）。激光剪刀比光镊更早问世。人们利用一束激光经过显微镜聚焦成微米量级的光点作用与细胞，就可以如生理学家那样通过损伤或者改变某一结构来研究细胞了。这种特异的光束能在不损伤细胞外部的情况下，穿入一个细胞或者一个细胞器官在内部实现手术，而决不像传统手术刀那样在到达手术部位的路径上把细胞统统切开，人们把这种紫外激光微束称为激光解剖刀。

光镊与光谱技术的结合可用于识别单分子的化学成分。从单粒子的化学成分的识别的角度研究单粒子无疑是极具吸引力的，例如研究单粒子的组成元素，结构和构造从而揭示在很小的空间尺度上的分子的行为。光镊可以与电化学仪器（electrochemistry）、荧光光谱仪（fuorescence pectroscopy）、拉曼光谱仪（raman spectroscopy）一起使用。

能灵活的研究生物分子的动态特性的本领使得光镊的应用几乎涵盖所有的生物学领域。以下列出其在生物学和医学方面的主要应用领域：1.分子马达类蛋白（Molecular motors）。涵盖肌浆球蛋白、动力原蛋白、

F1旋转马达

2.DNA的复制过程

3.酶化反应过程

4.蛋白质动力学

5.蛋白质折叠

6.细胞内信号传递

7.细胞鞭毛的机制

8.有丝分裂中的染色体操纵

9.染色体切割

10.受控细胞融合

为了使光阱获得较好的捕获力，我们有必要从理论上研究影响光阱中粒子受力的因素。

第二章计算光镊中粒子受力的方

案比较与选择

1：力的产生原理

利用光镊来捕获和操纵微小介质小球的技术是基于光的辐射压力的。这种力来源于光的动量变化量。早在17世纪，德国天文学家开普勒就猜想彗星的尾巴背向太阳是因为受到太阳的辐射力。1873年麦克斯韦发表的电磁场理论表明：光本身可以产生光学力或者叫辐射压力。但直到上个世纪70年代该结论才被实验所证明。从猜想到验证历经3个世纪左右的一个重要原因是：光学辐射压力是极其微小的。利用非相干光源观察不到光辐射压力的存在。毫瓦的光（非常强的光）只能产生皮牛顿量级的力[3]。上个世纪60年代高强度的相干光源----激光的发明，使得研究光的辐射压力成为可能。

2：光阱力的构成

介质小球在光镊中主要受到两种力：梯度力(Gradient Force) 和散射力(Scattering Force)：

◆梯度力

梯度力来自介质小球中的电偶极矩在不均匀电磁场中受到的力。它正比与光强的梯度，指向光场强度的最大处。它的作用效果使得粒子朝向光功率密度最大的点运动。如图2-1所示。

◆散射力

散射力来自光在散射过程中与光子交换动量而获得，被散射的光子动量改变来自于介质对光子的作用力。它的方向沿着光的传播方向，作用效果使得粒子沿着光束的传播方向运动。如图2-1所示

图2-1 梯度力和散射力的示意图

3：粒子受力计算方案

将粒子按尺度分类，有不同的计算方法。

1）第一类粒子Mie Particle

A）定义：

当粒子半径R远远大于入射光波在真空中的波长λ（实际应用中，λ5

>

R）时，可以认为此粒子属于Mie Particle。

B）所采用的计算方法

计算此种粒子的受力，可以采用几何光学的近似算法（Geometrical approximate method ）。

C）原理

此方法是通过单条光线作用力的叠加得到光阱的作用力（A.Ashkin 提出）。

图 2-2 计算具有功率Ｐ的单根入射光线在介质球上产生的力的几

何模型,其上标明了反射光线PR 及无穷多的折射光线PT 2R n

在几何光学范围内,光可以被分解为具有强度、方向和极化状态大致相同的一根根光线,它们在同一种介质内沿直线传播或者说每根光线都可以被看作具有波长为零的平面波的性质。它们在介质交界处的反射、折射和极化的规律遵循菲涅耳公式,在这个范围内衍射效应可以被忽略。首先考虑功率为P 的单根光线,其单位时间的入射功率为c P n /1,以θ角入射在介质球上的力,见图2-2。作用于球上的力来源于功率为PR 的反射光线及从球内出来的无穷多的折射光线PT2, PT2R …PT2Rn …的总和。其中R,T 是菲涅耳在入射角为θ时的表面反射和折射系数。Roosen 及其合作者[4,5]计算出了过圆心O 的合力最后可分解为Fz 和Fy 分量:

[]?

?????+++--+==r R R R r T R c P n Fs Fz 2cos 212cos )22cos(2cos 1*221θθθ（2-1） []?

?????+++--==r R R R r T R c P n Fg Fy 2cos 212sin )22sin(2sin *221θθθ （2-2）

其中θ和ｒ分别是入射角和反射角。由于以上公式是对所有的散射光线求和,所以公式是精确的;因为Ｒ和Ｔ是与极化有关的,所以力也和极化有关。

对单根光线,在公式(1)中,我们定义沿着入射光线方向的Ｆｚ分量叫作这根光线的散射力分量Ｆｓ; 同样在公式(2)中我们定义垂直于入射光线方向的Fy 分量为这根光线的梯度力分量Fg 。几何光学范围内光束的散射力和梯度力就是光束中每根光线的散射力和梯度力分量的矢量和。

评价：此方法计算简便。粒子尺度合适时，可以很方便讨论所关心因素对光阱的影响。但是几何近似较为粗糙，用此方法计算，可以得到光阱作用力与粒子半径无关的错误结论。同时，它也不能计算粒子形状对光阱的影响。另外，它还忽略了光阱焦点处的衍射斑的大小。

2） 第二类粒子Rayleigh Particles

A ）定义：

当粒子半径R 远远小于入射光波在真空中的波长λ（实际应用中，

λ20

1

所采用的计算方法：用瑞利散射的理论进行近似计算（Rayleigh Scattering Theory ）[9]

B ）步骤：

◆ 将粒子视为电偶极子（electric dipole ）。

感应多极矩的第一阶的表达式为： ),,()2(4),,(211232t r z E a t r z P εεεεπε+-= （2-3）

其中，a 为粒子的半径，1ε为周围环境的介电常数，2ε为小球的介电常数。),,(t r z E 为入射光的表达式。

◆ 应用电偶极子对电磁波的散射理论计算散射力。

T scat r z S m m a k c n r z F ),(2138),(222642???? ??+-=π （2-4）

◆ 应用感应电偶极子受洛仑兹力计算梯度力。

22022232218),(R grad z Pw m m c a n r z F ???? ??+--=()

?????-+?-226/202)(22r w w e z z i i w r i

+)sin(2222//2φρi r w r w r R w w e e Z k r i --()}22622022/)(2r w w w e z z r r r r --+-ρ （2-5）

评价：此方法在计算过程中采取了种种近似，如：认为粒子不影响光波的传播，光波的表达式中不考虑散射光；认为瞬间的入射光在粒子的各个边界上是常量等等。这些近似都是建立在粒子足够小的前提下的。因此，此方法仅适用于小粒子（几十纳米尺度），目前的应用还不太广泛。但随着生命科学的发展，对单分子的捕捉的研究蓬勃发展，对此类问题的研究将会是很有意义的。

3） 第三类粒子 （λ~R 的粒子）

以上我们讨论了粒子尺寸远大于或者远小于入射光波波长的情况。而在实验中，由于尺度与波长相近的粒子易被很牢固地捕捉，所以我们经常用这样的粒子作为探测对象，去研究我们感兴趣的微观现象。但很不幸，在此尺度内，我们缺少与之相配的理论，这就给我们带来了数值计算上的困难。近年来理论发展的方向是，将光阱中光的散射过程视为电磁散射问题，则通过求解麦克斯韦方程就可以求解光的散射场。

在电磁场计算领域，求解麦克斯韦方程有多种数值方法：有限元法（Finite Element Method ) ，有限微分时域算法(FDTD)，离散偶极子近似算法(Discrete Dipole Approximation)，T 矩阵算法（T-matrix method ）等等。

A ）有限元法(FEM) [1][2]

由于麦克斯韦方程可以表达为一系列的微分方程，因此可以应用有限元法。

计算步骤：

◆ 将产生光阱的激光束等效为随时间变化的电磁场源。

◆ 将空间分割为离散的格子，再取一定的时间步长计算各个格子

的场变化。（注意每个格子的尺度不能超过λ/20 ，时间步长也

不能过大。）如图2-3所示。

图 2-3 Sample hexahedral grid of a dielectric sphere embedded in a spherical volume

◆ 对介质小球积分

x d B E P f i e l d 30??=ε （2-6）

◆ 计算出的力是时间的函数；但实际中，电介质小球的响应达不

到光的频率，所以要对时间求平均值。

B ）有限微分时域算法(FDTD)[3]

在电磁场计算领域，有限微分时域算法也是用来求解麦克斯韦方程的一种常用算法。它将空间分割为离散的栅格，取连续的时间步长计算电磁场的分布。

对上述两种方法的评价：这两种方法通过数值求解麦克斯韦方程来解决散射问题，它的理论上很简单，可以计算任意形状和由任意成分构成的粒子。计算精度也很高（不扣除光束模型的理论近似，与实验误差不超过14%[6]）。

缺点：

◆ 但是，由于要对空间分割到很小（每个格子的尺度不能超过

λ/20），时间步长也不能过大，所以我们只能计算体积相对较小

的粒子，若体积增大，则计算量会增长得很快。若需要较精确

的结果，就需要精细划分空间，计算量也会增长得很快。

◆ 由于只能对有限体积的空间进行这种划分，所以边界条件的选

取很重要。如果远场的作用不能忽略，则要通过适当的变换将

其影响计入近场中。

C ）离散偶极子近似算法(DDA)

算法思路： 将介电小球划分为小体积元，每个体积元代表一个极化产生电偶极子，其极化率由其所在空间位置决定。

计算步骤：

◆ 计算出所要计算力的位置上的散射场情况

◆ 计算出每个偶极子的力和力矩，叠加所有的偶极子，得到合力。 评价：应用此方法时，要先对整个电磁场的分布有大致的猜想，然后经迭代计算出一个收敛的值。此方法有成熟的软件及程序代码可用[4][5]。

D ）T 矩阵算法（T-matrix method ）

在光阱的计算中，我们经常会遇到这样的情况：对同一个粒子，我们

需要计算它位于不同的位置，方位发生变化的情况。在这种情况下，上述方法存在一个共同的缺陷，它们需要重新进行全部的计算过程。但T 矩阵算法就不存在这个问题，无论粒子的位置和方位如何改变，无论入射光的特性如何改变，它只需要计算一次T 矩阵[7]，就可以多次使用以计算任意方向的入射和散射光束的振幅和向量矩阵。从而大大减少了计算量。

T 矩阵算法的原理[10]：

◆ 在所要计算的位置及方向上，将入射光束分解为球面矢量波

(Vector Spherical Wave Function (VSWF))。

[]

∑∑∞=-=+=1)()()(n n n m mn mn mn mn inc kr RgN b kr RgM a r E （2--7）

其中，

)()()exp()1()(θφm n n n m m n C kr j im d kr RgM -= （2--8）

????????????-++?-=-)()()()()()1()

e x p ()1()(1θθφmn n n mn n n m mn B kr j kr n kr j P kr j kr n n im d kr RgN （2--9）

)(s i n ?)(?)(00θθφθθθθn m n m mn d im d d d B += （2-10）

)(sin ?)(?)(00θθφθθθθn m n m mn d im d d d C -=

（2-11） )(?)(0θθn m m n d r P = （2-12）

2/1)1(412???? ??++=n n n d n π （2-13）

)(kr j n 为球贝塞尔函数，)(0θn m d 为魏格纳d 函数。

◆ 同样，散射矩阵也可以用球面矢量波来表达，在光阱中，远场

必定是向外辐射的。

[]∑∑∞

=-=+=1)()()(n n n m mn mn mn mn scat kr N q kr M p r E （2-14）

其中，)(kr M mn ，)(kr N mn 是用第一类球汉克尔函数

)()1(kr h n 取代)(kr RgM mn ，)(kr RgN m n 中的球贝塞尔函数得到的。

c) 由于麦克斯韦方程具有线性，所以入射场和散射场之间存在线性关系：

n m n m mn n m n m n m mn mn b T a T P '

'''''''''∑+=)12()11( （2-15）

n m n m mn n m n m n m mn mn b T a T q '

'''''''''∑+=)22()21( （2-16）

T 矩阵即传输矩阵,理论上的推导论证可以参看参考文献[8]中的第八章第三，第四节。T 矩阵表征粒子在光阱中各个位置及方向的特性，与入射光无关，它可以用扩展边界条件法（extended boundary condition method (EBCM)）求出。

对粒子表面进行积分，求出力。

评价：T 矩阵算法对于力的计算，是一种理想的方法。计算快，计算量不是很大，可利用计算机实现。因此，我们选择T 矩阵算法进行光阱中粒子受力的计算。

程序编写语言的选择：

常用来做数值计算的语言有VC ，Matlab 和Fortran 。

VC 和Matlab 的功能强大，使较为流行的语言。但目前，就计算速度而言，

Fortran 〉VC 〉Matlab

在某些计算量庞大的情况下，Fortran 的速度要比VC 和Matlab 高出一到两个数量级。对本文的应用而言，选择Fortran 作为程序编写语言是较为理想的。

第三章 T 矩阵算法的实现

1： 高会聚型高斯光束的分解

由于平面波容易理解和计算，散射问题中，一般研究以平面光波入射的情况。因此，我们采用平面波光谱的方法[11]，把高斯光束分解为平面波：

假设光束沿x 方向极化，则光波的矢势可表达如下：

x e iwt r A t r A )exp()(),(= （3-1） )(r A 满足如下方程：

0)()(22=+?r A k r A （3-2） 对一个会聚型高斯光束如果，光腰中心定位在),,(000z y x 处，则矢势

)(r A 可表达如下：

)](exp[),,()(00000z z ik z z y y x x k iE r A ----=ψ （3-3） 其中，)(r ψ是一个渐变函数，满足如下方程：

02)(2=??+?z ik r ψψ （3-4）

此方程的解可以用一系列2s 的多项式来描述：

???++=)()()(220r s r r ψψψ （3-5） 其中，s 是表征光束的腰半径0w 与衍射波长l 的比值

001kw l w s == （3-6） 最低阶的函数0ψ和2ψ表达式如下：

)exp(20iQp iQ -=ψ,0342)2(ψρψQ i iQ += （3-7） 222ηξρ+=，ζ21-=

i Q ，

0w x =ξ，0w y =η，0w z s l z ==ζ （3-8） 将式（3-6），（3-7）代入式（3-3）中，对)(r A 在任意给定的平面1z z =上做傅立叶变换，得到：

[]

[]()()[]()???? ??+-+-???

???????? ??+-++-??? ??=+-=??∞∞-∞

∞-2220002

22202220202004exp )(exp 161)(exp )(exp ),,(),(~y x y x y x y x y x y x k k Q i w k y k x i k k Q i w k k w s z z ik w k iE dxdy yk xk i z y x A k k A π（3-9） 其中，l z z i Q )(2101--=

由于代入)(r A 中的)(r ψ只取了前两阶，并不是真正的)(r ψ，所以我

们必须要检验这样得到的)(r A 的误差。如图3-1(a)所示，当16.0=s 时，计算得到的)(r A 与理论上的高斯光束的轮廓相差较远，尤其是R 较大时。当11.0=s 及当08.0=s 时（见图3-1(b)和图3-1(c)），计算得到的)(r A 与理论上的高斯光束的轮廓已经较为接近了。当032.0=s 时（见图3-1(d)），两条曲线已经很接近了。一般情况下，认为当1.0

图3-1（a ）在0=z 平面上用戴维斯二阶近似和理论Gauss 计算得到的矢势|)(|R A 值的对比。其中星号标志为16.0=s 时的戴维斯二阶近似。

图3-1（b ）在0=z 平面上用戴维斯二阶近似和理论Gauss 计算得到的矢势|)(|R A 值的对比。其中星号标志为11.0=s 时的戴维斯二阶近似。

图3-1（c ）在0=z 平面上用戴维斯二阶近似和理论Gauss 计算得到的矢势|)(|R A 值的对比。其中星号标志为08.0=s 时的戴维斯二阶近似。

图3-1（d ）在0=z 平面上用戴维斯二阶近似和理论Gauss 计算得到的矢势|)(|R A 值的对比。其中星号标志为032.0=s 时的戴维斯二阶近似。

光束的电场可以用),(~y x k k A 表达如下：

y x z y x k k k z y x dk dk z ik k k A k k k V ik

z y x E y x )exp(),(~),,(41),,(102222--=??<+π

（3-10） 其中： z z x y y x x x z y x e k k k e k k k e k k k k k V 222201),,(--???? ??-= （3-11）

2： 用扩展边界条件法计算T 矩阵

1） 参照系和粒子的方位

为描述入射平面波被任意方位的粒子散射的散射情况，我们必须知道入射波，散射波和粒子相对于实验室参照系的方位，为此建立右手笛卡尔

坐标系L ，原点位于粒子内部。如图3-2示： 横向电磁波的传播方向用n

来表示，或者用（L L ?θ,）来表示，其中[]πθ,0∈L ，[]π?2,0∈L 。电场L

E 分解为两个分量，θθ?L E 和?? L E 。θ?位于由光束的传播方向和Z 方向组成

的平面中，? 位于与之垂直的平面中。且有关系：

?θ ?=n （3-12）

图3-2 用来描述横向电磁波的传播方向和偏振方向的球坐标

系

为了描述粒子相对于实验室参照系的方位，引入右手螺旋坐标系P ，它固定在粒子上，和坐标系L 有共同的原点。为描述坐标系L 和坐标系P 之间的转化关系，引入欧拉角γβα,,。如图3-3所示。

图3-3 实验室坐标系xyz 与粒子参照坐标系x ’y ’z ’之间的转化

2） 实验室坐标系下的振幅矩阵

在以下的理论过程中，我们省略时间因子)exp(iwt -，考虑一个矢量平面电磁波，其电场分量如下：

)exp()?()(R n ik E E R E inc inc L inc L inc L inc L inc ?θ?θ+= （3-13）

以inc n 的方向入射到一个非球状的粒子上，其中πλ2/=k 是自由空间的波数，R 是从实验室坐标系原点出发的位置坐标矢量。

在远场区域（1>>kR ），散射波为球面波，表达如下：

sca L sca inc L sca L sca sca L sca n R E n R E R E ?θ?θ ),(),()(+= （3-14）

0)(=?R E n sca sca （3-15）

由于麦克斯韦方程和边界条件的线性，所以散射场跟入射场之间存在线性的关系。

????????=????????inc L inc L inc sca L sca L sca L E E n n S R ikR E E ?θ?θγβα),,;,()exp(

（3-16） 其中，L S 是一个22?的振幅矩阵，在实验室参考系中，它将入射场

转化为散射场，它依赖于粒子尺度，方位，位置和粒子相对于在实验室参考系的方位（用γβα,,描述）。

3） 坐标系变换

假设我们用解析或者数值的方法[12]得到在粒子坐标系中的振幅矩阵，用P S 表示，它将入射场转化为散射场：

????????=????????inc P inc P inc sca P sca P sca P E E n n S R ikR E E ?θ?θ),()exp( （3-17）

假设有一个22?的矩阵P ，将电场分量从实验参考系转化为粒子坐标

系：

()()()()()????????=????????P P P P P P P P P P P P E E n P E E ?θ?θγβα?θ?θ?θ?θ,,,,;,,

（3-18）

其中，n 为单位矢量，指向光传播的方向。P 矩阵依赖于光的传播方

向和粒子相对于在实验室参考系的方位（用γβα,,描述）。

则我们可以得到，两个不同坐标系下的振幅矩阵之间的变换关系：

()

()γβα?θ?θγβαγβα?θ?θ,,;),?,,?(,,;),,;,?,,?(1inc inc P inc P sca P sca P P sca inc L inc L sca L sca L L n P S n P S ?=- （3-19）

角P θ和P ?用L θ和L ?表达如下：

)cos(sin sin cos cos cos α?βθβθθ-+=L L L P

（3-20） ]cos cos sin )sin(sin sin )cos(sin cos [cos sin 1cos L L L L L P

P θγβα?γθα?θγβθ?--+-=

（3-21） ]cos sin sin )sin(cos sin )cos(sin sin cos [sin 1sin L L L L L P

P θγβα?γθα?θγβθ?+-+--=

（3-22） 为了得到矩阵P 的表达式，假设一个23?的矩阵α

?，它将电场的?θ,分量转化为z y x ,,分量：

??????=????????????θαθE E E E E z y x ),(

（3-23） 再假设一个33?的矩阵β ，它将电场的在实验室坐标系中的z y x ,,分量转化为在粒子坐标系中的z y x ,,分量：

??????????=??????????zL yL xL zP yP xP E E E E E E ),,(γβαβ （3-24）

这样，就得到了矩阵P 的表达式：

),(),,(),(),,;(1L L P P n P ?θαγβαβ?θαγβα -=

（3-25）

其中，在右手坐标系下，每个矩阵的表达式如下[13]：

??????????--=0sin cos sin cos sin cos cos ),(θ??

θ??θ?θα （3-26）

????

??--=-0cos sin sin sin cos cos cos ),(1??θ?θ?θ?θα （3-27）

?????

?????+----+-=ββ

αβαγβγαγβαγαγβαγβγαγβαγαγβαγβαβcos sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos ),,( （3-28）

可以很方便地检验，当在实验室坐标系和粒子坐标系重合时，得到： ??????====1001)0,0,0;(γβαn P

（3-29）

于是， ),?,,?()0,0,0;,?,,?(inc P inc P sca P sca P P inc L

inc L sca L sca L L S S ?θ?θγβα?θ?θ ====

（3-30）

对于旋转对称的粒子，可以将粒子坐标系的Z 轴选在粒子的对称轴上，这样粒子相对于实验室坐标系的方位，就与欧拉角γ无关。因此，可以令0=γ，对式（3-21），（3-22），（3-28）进行简化，得到：

]cos sin )cos(sin [cos sin 1cos L L L P P θβα?θβθ?--=

（3-31） P L L P θα?θ?sin )

sin(sin sin -=

（3-32）

??????????--==ββαβααα

ββαβ

αγβαβcos sin sin sin cos 0cos sin sin cos sin cos cos )0,,( （3-33）

4） 粒子参考坐标系中的振幅矩阵

在粒子参考坐标系下，对于旋转对称的粒子，T 矩阵是对于下角标m 和m '对角化的：