(完整版)暨南大学(内招a卷参考答案)0809概率统计

暨南大学12金工刘博

2008-2009暨南大学概率论试卷A

一、单选题 (请把正确答案填在题后的括号内, 每小题2分, 共10分)

1. 对事件,,A B 下列命题中正确的是 ( c ).

(a) 如果,A B 互不相容, 则,A B 也互不相容;

(b) 如果,A B 相容, 则,A B 也相容;

(c) 如果,A B 相互独立, 则,A B 也相互独立;

(d) 如果,A B 互不相容, 且(),()0,p A p B > 则,A B 相互独立.

2. 设12,,,,n ηηη??????是相互独立且具有相同分布的随机变量序列, 若0n E η=

(1,2,),n =??? 则1

lim ||2n

i n i n p η→∞=??<= ???∑( b ). (a) 0; (b) 1; (c) 1;2

(d) 无法确定. 3. 设12(),()F x F x 分别是随机变量12,ξξ的分布函数, 且

11()()3

F x F x =2()F x κ+ 是一个分布函数, 则κ= ( b ). (a) 2;3- (b) 2;3 (c) 1;3 (d) 1.3- 4. 从总体2(10,2)Y N :中随机抽取一个容量为16的样本, 则样本平均数10Y ≥ 的概率

为 ( c ).

(a) 0; (b) 1; (c) 0.5; (d) 0.8413.

5. 设一批滚珠的直径服从正态分布, 现从中随机抽取9个滚珠, 测得样本平均数为

10(),cm 样本标准差为1(),cm 则这批滚珠直径的期望值的置信度为0.9的置信区间为 ( d ). (a) 0.050.051110(9),10(9);33t t ??-+ ??? (b) 0.10.11110(9),10(9);33t t ??

-+ ???

(c) 0.050.051110(8),10(8);33t t ??-+ ??? (d) 0.10.11110(8),10(8).33t t ??-+ ???

二、填空题 (每空3分, 共36分)

1. 一射手对同一目标独立地进行四次射击, 若至多击中三次的概率为15,16

则该射手的击中率为 0.5 .

2. 10只灯泡中有3只坏的, 7只好的. 现从中随机抽取2只进行检验, 则2只灯泡中有1

只是坏的概率为 7/15 .

3. 假设12,A A 是两个相互独立的事件, 若11237(),(),1010

p A p A A =

+= 则2()p A = 4/7 . 4. 若随机变量ξ概率密度函数为22,0()0,0x e x x x ?-?>=?≤?,

令,e ξη-= 则方差D η=1/18.

5. 设随机变量ξ的概率密度函数为

2sin ,0(0)2()0,0,2x x x x x πρρρ?πρ?≤≤>??=??<>??

或则 ρ= 2 , ()8p πξπ≤≤=

2. 6. 设二元离散型随机变量12(,)ξξ的联合概率分布为

若事件2{0}ξ=与12{1}ξξ+=相互独立, 则 λ= 0.1 , μ= 0.4 .

7. 设12,,,,n ηηη??????为独立同分布的随机变量序列, 且服从参数为2的普哇松分

布, 记0()x Φ为标准正态分布函数, 则12lim n i n p x ξ→∞??- ??≤=???

∑0()x Φ. 8. 若随机变量,ξη相互独立, 且,(0,1),N ξη:43ξη+: 2(0,5)N .

9. 从总体2

(,0.3)X N μ:中随机抽取一个容量为9的样本, 其样本平均数为4, 则μ的置信度为0.95的置信区间为 (3.804, 4.196) .

10. 设总体ξ的分布密度为 ,0(0)(;)0,0,

x e x x x θθθ?θ-?≥>=?

现从中抽取n 个个体, 得数据分别为12,,,(0,1,2,,)n i x x x x i n ???>=???, 则参数θ的最大似然估计为 1/()n

i

i n x =∑. 三、计算题 (共24分, 其中第1小题8分, 第2小题16分)

1. 某手机生产厂断言, 该厂生产的某型号手机的合格率为0.9. 质检部门抽查了400部该

型号手机, 如果不少于350部手机合格, 就接受这一断言, 否则拒绝断言. 设实际上该型号手机的合格率为0.9. 试求接受这一断言的概率.

解: 设事件"ξ=400部手机中的合格数", 则~(,)(400,0.9),B n p B ξ= 且E ξ=

4000.9360,(1)3600.136,np D np p ξ=?==-=?= …………3分 于是接受这一断言的概率为

(350400)536020

()363

p p p ξξ≤≤=≤≤-=-≤≤ 从而由拉普拉斯定理得

00002055(350400)(

)()1(1())3335 =()0.9525.3p ξ≤≤≈Φ-Φ-≈--ΦΦ= …………8分

2．在广东省某次高一数学统考中, 考生的成绩(百分制)服从正态分布2(72,12).N 成绩在90及90分以上、60及60分以上且90分以下、60分以下的考生中, 来自重点中学的考生的概率分别是0.6、0.3、0.05.

(1) 求考生中, 来自重点中学的考生的概率;

(2) 对来自重点中学的考生, 求考生成绩在90及90分以上的概率.

解: 设考生的成绩为,ξ 则2(72,12),N ξ: 于是

72(0,1).12N ξ-: 令 事件1"A =成绩在90及90分以上";

事件2"A =成绩在60及60分以上且90分以下";

事件3"A =成绩在60分以下"; 事件"B =来自重点中学的考生".

则 123(|)0.6,(|)0.3,(|)0.05,p B A p B A p B A === 1072

()(90)( 1.5)1(1.5)10.93320.0668,12p A p p ξξ-=≥=≥=-Φ=-=

2000072()(6090)(1 1.5)(1.5)(1)12

(1.5)(1)10.93320.841310.7745,

p A p p ξξ-=≤<=-≤<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-= 30072()(60)(1)(1)1(1)12

10.84130.1587.

p A p p ξξ-=<=<-=Φ-=-Φ=-= …………8分

(1) 由全概率公式知, 考生中来自重点中学的考生的概率为

31()()(|)

0.06680.60.77450.30.15870.050.28037.

i i i p B p A p B A ===?+?+?=∑

…………12分

(2) 由贝叶斯公式知, 对来自重点中学的考生, 考生成绩在90及90分以上的概率为

111()(|)0.06680.6(|)0.14295.()0.28037

p A p B A p A B p B ?=

== …………16分 四、证明题 (8分) 设12,X X 和12,Y Y 分别来自总体2(,2)X N μ:和2(,3)Y N μ:的两个样本, 令

1212()()Z a X X b Y Y =+++(其中,a b 为常数). 证明:

(1) 当122

a b -=时, Z 是μ的无偏估计; (2) 在μ的具有形式1212()()Z a X X b Y Y =+++的无偏估计中, 取92,2613

a b =

= 时的Z 是最有效的.

证明: 由于12,X X 和12,Y Y 分别来自总体2(,2)X N μ:和2(,3),Y N μ: 故

1212(1)()()

()()2(),

EZ a EX EX b EY EY a b a b μμμμμ=+++=+++=+

当122

a b -=时, ,EZ μ= 从而Z 是μ的无偏估计; …………3分 2212122222(2)()()

1 (44)(99)8()18,2

() 4(132), DZ a DX DX b DY DY a b b b d DZ b db

=+++=+++=-+=- 令()0d DZ db

=解得2,13b = 由于22/132()80,b d DZ db ==> 故当219,13226

b a b ==-=时, DZ 最小, 从而结论成. …………8分

五、应用题 (共22分, 其中第1、2小题各7分, 第3小题8分)

1. 从一批火箭推力装置中抽取10个进行试验, 测得燃烧时间的样本平均数X =51.89, 样

本方差2S =111.14. 设该燃烧时间服从正态分布. 试以90%的置信度对燃烧时间的标准差σ进行区间估计.

解: 因燃烧时间的期望值未知且燃烧时间服从正态分布, 故统计量2222(1)(1),n S n χχσ-=

-: …………2分 由2220.050.9510,

111.14,(9)16.9,(9) 3.33n S χχ====得2σ的置信度为90%的

置信区间为: 22220.050.95(1)(1),(59.187,300.378),(9)(9)n S n S χχ??--= ???

…………6分 于是σ的置信度为90%的置信区间为: (7.693,17.331). …………7分

2. 某工厂生产的一种铜丝的折断力ξ(单位: kg)服从正态分布2(,8).N μ 现采取了一种新

生产工艺, 从用新生产工艺生产的一批铜丝中随机抽取10根, 测其折断力, 算得样本平均数X =575.2, 样本方差2S =75.73. 从抽测结果来看, 能否认为新生产工艺生产的铜丝的折断力的方差与原铜丝的相同(0.05)?α=

解: 设新生产工艺生产的铜丝的折断力2

(,),N ημσ: 检验程序如下.

(1) 建立待检假设220:8;H σ= (2) 选取样本的统计量2

2

2(1),8

n S χ-= 在0H 成立的条件下, 22(1);n χχ-: (3) 对于给定的检验水平0.05,α= 查表确定临界值2a χ及2b χ使 222222(1)(1)()0.025,()0.025,8282

a b n S n S p p ααχχ--<==>== 查表得22220.9750.025(9) 2.7,(9)19.0;a b χχχχ==== …………5分

(4) 利用10n =及样本方差275.73S =计算统计量2

χ的观察值为: 22975.7310.65;8

χ?=≈

(5) 由于10.65(2.7,19.0),∈ 则可认为新生产工艺生产的铜丝的折断力的方差与原铜

丝的相同. …………7分

3. 要鉴定一种国内生产的针织品的断列强度(单位: kg)是否已达到国外同种产品的标准,

需要对国内外相同类型产品进行抽样试验, 现独立地随机抽取容量均为8的样本, 根据实验数据算得样本平均数分别为X =20.4, Y =19.4, 样本方差分别为

22120.8857,0.8286.S S == 假定此种针织品的断列强度服从正态分布, 且国内外生

产的此种针织品的断列强度具有相同的方差. 试问能否认为国内生产的此种针织品的断列强度指标已达到国外同种产品的标准(0.05)?α=

(附本试卷的参考数据如下: 0.05 1.96,u = 0.025 2.24,u = 0(0)0.5,Φ=

0(1)0.8413,Φ= 0(1.5)0.9332,Φ= 05()0.9525,3

Φ= 0(1.96)0.975,Φ= 0(2)0.9773,Φ= 0(2.24)0.9875,Φ= 0(2.5)0.9938,Φ= 020()1,3

Φ≈ 0(60)1,Φ≈ 0.05(14) 2.145,t = 0.05(16) 2.120,t = 0.1(14) 1.761,t = 0.1(16) 1.746,t = 20.05(9)16.9,χ= 20.05(10)18.3,χ= 20.95(9) 3.33,χ= 20.95(10) 3.94,χ=

20.025(9)19.0,χ= 20.025(10)20.5,χ= 20.975(9) 2.7,χ= 20.975(10) 3.25.χ=)

解: 设国内生产的这种针织品的断列强度2111(,),N ξμσ: 国外生产的这种针织品的断列

强度2222(,),N ξμσ: 在条件2212σσ=下, 检验程序如下.

(1) 建立待检假设012:;H μμ=

(2)

选取样本的统计量X Y

T = 由于2212

,σσ= 故(22)(T t n -:这里 8);n =

(3) 对于给定的检验水平0.05,α= 查表确定临界值a t 使(||)0.05,p T t α>=

查表得0.05(14) 2.145;t t α== …………5分

(4) 利用8n =及样本平均数20.4,19.4,X Y == 样本方差210.8857,S =

220.8286S =计算||T 的观察值为:

|| 2.1603;T =

= (5) 由于0.052.1603 2.145(14),t >= 故应拒绝0H , 即认为国内生产的此种针织品的断列强度指标没达到国外同种产品的标准. …………8分