高中数学必修二同步练习题库：空间直角坐标系(一般)

空间直角坐标系（一般）

1、一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）

A． B． C． D．

2、一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）

A． B． C． D．

3、在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（）

A． B． C． D．

4、空间两点，之间的距离为

A． B． C． D．

5、如图在一个的二面角的棱上有两个点，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，则的长为( )

A． B． C． D．

6、在三棱柱中，若，则等于( )

A． B． C． D．

7、如图，棱长为的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴

上，则定点的坐标为（）

A． B． C． D．

8、空间两点，之间的距离为

A． B． C． D．

9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）

A． B． C． D．

10、关于空间直角坐标系中的一点，有下列说法：

①点到坐标原点的距离为；

②的中点坐标为；

③点关于轴对称的点的坐标为；

④点关于坐标原点对称的点的坐标为；

⑤点关于坐标平面对称的点的坐标为.

其中正确的个数是

A． B． C． D．

11、空间两点，之间的距离为

A． B． C． D．

12、如图，棱长为的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴上，则定点的坐标为（）

A． B． C． D．

13、关于空间直角坐标系中的一点，有下列说法：

①点到坐标原点的距离为；

②的中点坐标为；

③点关于轴对称的点的坐标为；

④点关于坐标原点对称的点的坐标为；

⑤点关于坐标平面对称的点的坐标为.

其中正确的个数是

A． B． C． D．

14、在空间直角坐标系，给出以下结论：①点关于原点的对称点的坐标为

；②点关于平面对称的点的坐标是；③已知点与点

，则的中点坐标是；④两点，间的距离为5.其中正确的是（）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

15、在空间直角坐标系中，点，则关于平面的对称点坐标为（）

A． B． C． D．

16、空间中两点,之间的距离为（）

A． B． C． D．

17、在空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为的点共有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

18、已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为 ( )

A．(6,0,0) B．(6,0,1)

C．(0,0,6) D．(0,6,0)

19、在空间直角坐标系中，与点，，等距离的点的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．无数

20、如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO﹣A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为（）

A． a B． a C．a D． a

21、设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）

A.10

B.

C.

D.38

22、点P（x，y，z）满足=2，则点P在（）

A．以点（1，1，﹣1）为圆心，以2为半径的圆上

B．以点（1，1，﹣1）为中心，以2为棱长的正方体上

C．以点（1，1，﹣1）为球心，以2为半径的球面上

D．无法确定

23、若A、B两点的坐标是A（3cosα，3sinα），B（2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（）

A.[0，5]

B.[1，5]

C.（1，5）

D.[1，25]

24、以棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）

A.（0，）

B.（）

C.（）

D.（）

25、设圆的一条切线与轴、轴分别交于点, 则的最小值为( )

A．4 B． C．6 D．8

26、在空间直角坐标系中,已知.若

分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（）

A． B． C． D．

27、已知三角形的三个顶点为A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），则BC边上的中线长为．

28、点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|= ．

29、已知，点在轴上，且，则点的坐标为____________.

30、在空间直角坐标系中，已知，，则_____________.

31、点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，则点P的坐标是

________．

32、已知x，y，z满足（x﹣3）2+（y﹣4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是．

33、如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是

的中点，是的中点，点在直线上，且满足．

（1）当取何值时，直线与平面所成的角最大？

（2）若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置．

34、已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．

(1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；

(2)若xOz平面内的点M到点A的距离与到点B的距离相等，求点M的坐标满足的条件．

35、如图所示为一个正方体裁下的一角P－ABC.|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，则△ABC的重心G的坐标为________.

参考答案1、B

2、D

3、A

4、B

5、A

6、D

7、A

8、B

9、B

10、A

11、B

12、A

13、A

14、C

15、D

16、B

17、C

18、A

19、D

20、B

21、A

22、C

23、B

24、B

25、

26、C

27、2

28、2

29、

30、

31、(1,0,0)或(－1,0,0)

32、27﹣10．

33、（1）（2）点在的延长线上，且

34、(1)P(1,0,0) (2)x＋3z－1＝0

35、

【解析】

1、将四面体放在如图正方体中，得到如图四面体，得到如图的左视图，故选B.

2、试题分析：求出P关于平面xoy的对称点的M坐标，然后求出MQ的距离即可．

解：点P（1，1，1）平面xoy的对称点的M坐标（1，1，﹣1），一束光线自点P（1，1，1）发出，

遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，

那么光所走的路程是：=．

故选D．

点评：本题考查点关于平面对称点的求法，两点的距离公式的应用，考查计算能力．

3、依据空间直角坐标系中点的对称性可知：点关于平面的对称点的坐标为，应选答案A。

4、选B.

5、∵= + + ，

∴=+ ++2?+2?+2?,

∵⊥,⊥，

∴?=0,?=0，

?=||||cos120°=?×1×2=?1.

∴=1+1+4?2×1=4，

∴||=2，

故选：A.

6、∵直三棱柱ABC?A1B1C1中,，

∴= + =+=.

故选：D.

7、棱长为的正四面体可以放到正方体中，已知D点、O点的连线是正方体的体对角线，故D 点坐标为，选A.

8、选B.

9、将四面体放在如图正方体中，得到如图四面体，得到如图的左视图，故选B.

10、由空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），知：

在①中，点P到坐标原点的距离为d=，故①错误；

在②中，由中点坐标公式得，OP的中点坐标为，故②正确；

在③中，由对称的性质得与点P关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3），故③不正确；

在④中，由对称的性质得与点P关于坐标原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），故④错误；

在⑤中，由对称的性质得与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，﹣3），故⑤正确．

故选：A．

11、选B.

12、棱长为的正四面体可以放到正方体中，已知D点、O点的连线是正方体的体对角线，故D 点坐标为，选A.

13、由空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），知：

在①中，点P到坐标原点的距离为d==，故①错误；

在②中，由中点坐标公式得，OP的中点坐标为（，1，），故②正确；

在③中，由对称的性质得与点P关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3），故③不正确；

在④中，由对称的性质得与点P关于坐标原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），故④错误；

在⑤中，由对称的性质得与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，﹣3），故⑤正确．

故选：A．

14、①错，点关于原点的对称点的坐标为，②对，点关于平面对称的点的坐标是，只需y变-y,而x,z坐标不变。③对，由中点坐标公式得，点与点，则的中点坐标是。④错，两点，间的距离

。综上所述②③对，选C.

15、由于点的的值不变，故点关于平面的对称点坐标为，故应选答案D 。

16、。故选B。

17、设满足条件的点的坐标为(a,0,0)，则，即(a－4)2＝25，解得a＝9或a＝－1，所以满足条件的点为(9,0,0)或(－1,0,0)．故选C.

考点：空间两点间的距离.

18、设P(x,0,0)，，，

由|PA|＝|PB|，得x＝6.

考点：空间两点间的距离.

19、由两点间距离公式可得|AB|=，|BC|=，|AC|=.易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面，在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C的距离相等，过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等.

考点：空间两点间的距离.

20、试题分析：由在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO﹣A′B′C′D′，A（a，0，0），B

（a，a，0），C（0，a，0），A′（a，0，a），A′C的中点E与AB的中点F，知F（a，，0），E（，

，），利用两点间距离公式能求出A′C的中点E与AB的中点F的距离．

解：如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO﹣A′B′C′D′，

∵A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A′（a，0，a），

A′C的中点E与AB的中点F，

∴F（a，，0），E（，，），

|EF|=

=

=．

点评：本题考查空间中两点间距离公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．

21、试题分析：点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，写出点B的坐标，根据这条线段与z轴平行，得到A、B两点距离．

解：点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，

∴B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，

∴B（2，﹣3，﹣5）

∴AB的长度是5﹣（﹣5）=10，

故选A．

点评：本题看出空间中点的坐标和两点之间的距离，本题解题的关键是根据关于坐标平面对称的点的特点，写出坐标，本题是一个基础题．

22、试题分析：通过表达式的几何意义，判断点P的集合特征即可得到选项．

解：式子=2的几何意义是动点P（x，y，z）到定点（1，1，﹣1）的距离为2的点的集合．

故选C．

点评：本题考查空间两点间距离公式的应用，空间轨迹方程的求法．

23、试题分析：把要求的式子|AB|化为，根据﹣1≤cos（α﹣β）≤1 求出|AB|的取值范围．

解：由题意可得

|AB|==

=．

∵﹣1≤cos（α﹣β）≤1，∴1≤13﹣12cos（α﹣β）≤25，

∴1≤≤5，

故选B．

点评：本题主要考查两点间的距离公式，余弦函数的值域，同角三角函数的基本关系的应用，把要求的式子化为是解题的关键，属于中档题．

24、试题分析：画出图形，可以直接借助中点坐标公式求解．

解：由题意如图，平面AA1B1B对角线交点是横坐标为AB的中点值，

竖坐标为AA1的中点值，纵坐标为0，

所以平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）．

故选B．

点评：本题考查空间直角坐标系点的坐标的求法，基本知识的应用，注意建系正确是解题的关键．

25、设切线方程为，即，

由圆心到直线的距离等于半径得

所以

令，即，则，得

即最小值为4

故选.

【考点】点到直线的距离；基本不等式.

26、根据点在面上的投影，D,B在xoy面上投影分别为（1,1,0），（2,，2，0），所以投影三角形面积

，在面yoz面上的投影分别为（,，），（），投影梯形面积

，在面xoz面上的投影分别为，，投影梯形的面积

，故，选C.

27、试题分析：根据B，C两点的坐标和中点的坐标公式，写出BC边中点的坐标，利用两点的距离公式写出两点之间的距离，整理成最简形式，得到BC边上的中线长．

解：∵B（3，2，﹣6），C（5，0，2），

∴BC边上的中点坐标是D（4，1，﹣2）

∴BC边上的中线长为=，

故答案为：2．

点评：本题考查空间中两点的坐标，考查中点的坐标公式，两点间的距离公式，是一个基础题．

28、试题分析：由题意求出P关于坐标平面xOz的对称点为P2的坐标，即可求出|P1P2|．

解：∵点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，所以P1（﹣1，2，﹣3），P关于坐标平面xOz的对称点为P2，所以P2（1，﹣2，3），

∴|P1P2|=

=2．

故答案为：2

点评：本题是基础题，考查空间点关于点、平面的对称点的求法，两点的距离的求法，考查计算能力．

29、设P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z?1)2=4+4+(z?2)2，解得z=3，故点P的坐标为(0,0,3).

30、由两点之间距离公式可得： .

31、点P在x轴上，则可设点P(x,0,0)，

则，.

∵|PP1|＝2|PP2|，∴，解得x＝±1.

∴所求点的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．

考点：空间两点间的距离.

32、试题分析：利用球心与坐标原点的距离减去半径即可求出表达式的最小值．

解：由题意可得P（x，y，z），在以M（3，4，0）为球心，为半径的球面上，

x2+y2+z2表示原点与点P的距离的平方，

显然当O，P，M共线且P在O，M之间时，|OP|最小，

此时|OP|=|OM|﹣=﹣=5，

所以|OP|2=27﹣10．

故答案为：27﹣10．

点评：本题考查空间中两点间的距离公式的应用，考查计算能力．

33、试题分析：（1）以分别为轴,建立关于轴,轴，建立空间直角坐标系,可得向量的坐标关于的表达式，而平面的法向量，可建立关于的式子，最后结合二次函数的性质可得当时，角达到最大值；（2）根据垂直向量的数量积等于，建立方程组并解之可得平面的一个法向量为，而平面与平面所成的二面角等于向量所成的锐角，由结合已知条件建立的方程并解，即可得到的值，从而确定点的位置。（1）以分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，

，，，，，，

∵，∴，

则，易得平面的一个法向量为，

则直线与平面所成的角满足：（*），于是问题转化为二次函数求最值，

而，当最大时，最大，

所以当时，，此时直线与平面所成的角得到最大值．

（2）已知给出了平面与平面所成的锐二面角为，

易知平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，．

由，得，解得

令，得，于是

∵平面与平面所成的锐二面角为，

∴

解得，故点在的延长线上，且．

34、(1)由于点P在x轴上，故可设P(a,0,0)，

由|PA|＝|PB|，得，

即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，

解得a＝1，所以点P的坐标为(1,0,0)．

(2)由于点M在平面xOz内，故可设M(x，0，z)，

由|MA|＝|MB|，得，

整理得，x＋3z－1＝0.

所以点M的坐标满足的条件为x＋3z－1＝0.

考点：空间两点间的距离.

35、△ABC的重心G在xOy平面上的射影G′是△PAB的重心，其坐标为，而|G′G|＝|PC|，

∴G．

考点：空间三角形的重心坐标.