超静定结构计算力法

第十章超静定结构计算力法

一．超静定次数确定

1、 超静定结构的特性：与静定结构比较，超静定结构有如下特性：

静定结构 超静定结构 几何特性 无多余约束的几何不变体系 有多余约束的几何不变体系

静力特性

满足平衡条件内力解答是唯

一的，即仅由平衡条件就可求出

全部内力和反力。

超静定结构满足平衡条件内力解

答有无穷多种，即仅由平衡条件求

不出全部内力和反力，还必须考虑

变形条件。

非荷载外因的影响 不产生内力 产生了自内力

内力与刚度的关系 无关

荷载引起的内力与各杆刚度的比值有关，非载载外因引起的内力与各杆刚度的绝对值有关。

内力超静定，约束有多余，是超静定结构区别于静定结构的基本特点。 2、超静定次数的确定： 结构的超静定次数为其多余约束的数目，因此上，结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去掉多余约束的数目。

在超静定结构上去掉多余约束的基本方式，通常有如下几种：

（1）断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联接、将一固定端改为固定铰支座，相当于去掉一个约束。

（2）断一根弯杆、去掉一个固定端，相当于去掉三个约束

（3）开一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座，相当于去掉两个约束。

3、几点注意：

①由图10-1结构的分析可得出结论：一个无铰闭合框有三个多余约束，其超静定次数等于三。对于无铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数。如图10-2 所示结构的超静定次数为3×5=15次；对于带铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数－结构中的单铰数（复铰要折算成单铰）如图10-3所示结构的超静 定次

数为3×5-（1+1+3）=15次。D点是连接四个刚片的复铰，相当于（4-1）=3个单铰。

②一结构的超静定次数是确定不变的，但去掉多余约束的方式是多种多样的。如图10-1结构。

③在确定超静定次数时，要将内外多余约束全部去掉。如图10-4结构外部1次超静定，内部6次超静定，结构的超静定次数是7。

④在支座解除一个约束，用一个相应的约束反力来代替，在结构内部解除约束，用作用力和反作用力一对力来代替。如图10-1结构所示。

⑤只能去掉多余约束，不能去掉必要的约束，不能将原结构变成瞬变体系或可变体系。如图10-4结构中A点的水平支杆不能作为多余约束去掉。如图10-5结 构中支杆a,b和链杆c不能作为多余约束去掉，否则就将原结构变成了瞬变体系。

二、力法基本概念

1、超静定结构的求解思路：欲求解超静定结构，先选取一个便于计算结构作为基本体系，然后让基本体系与原结构受力一致，变形一致即完全等价，通过这个等价 条件去建立求解基本未知量的基本方程。（基本未知量是超静定结构计算中必须首先求解的关键未知量）。由于求解过程中所选的基本未知量和基本体系不同，超静 定结构的计算有两大基本方法--力法和位移法。

2、力法基本概念：在力法中，以去掉多余约束得到的静定结构作为力法基本体系，以多余未知力作为力法的基本未知量，通过基本体系中沿多余未知力方向的位移 应等于原结构相应的位移来建立力法基本方程，解方程求出多余未知力；多余未知力求出以后，其它反力和内力的计算问题就转化为静定结构的计算问题，可按叠加 法或平衡条件计算。

三、力法典型方程

1、力法典型方程：力法典型方程是根据原结构的位移条件建立起来的。典型方程的数目等于结构的超静定次数。n次超静定结 构的基本体系有n个多余未知力，相应的有n个位移协调条件。利用叠加原理将这些位移条件表述成如下的力法典型方程：

2、几点注意：

①力法方程的物理含义是：基本体系在外部因素和多余未知力共同作用下产生的多余未知力方向上的位移，应等于原结构相应的位移。实质上是位移协调条件。

②主系数δii表示基本体系仅由X i=1作用所产生的Xi方向的位移。

；

主

系数恒大于零，负系数可为正、负或零。力法方程的系数只与结构本身和基本未 知力的选择有关，是基本体系的固有特性，与结构上的外因无关。

③自由项 ， 分别表

示基本体系仅由荷载作用，支座移动，温度变化所产生的X i方向的位移，可为正、负或零。

④对于具有弹性支承和内部弹性约束的超静定结构，若取弹性约束力作为基本未

知力X i， 右端项为，若的计

两

⑵荷载的对称性：

对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直反向布置的荷载、与对称轴平行同向 布置的荷载、与对称轴重合的集中力是对称荷载。如图（b）所 示。 反对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置的荷载、与对称轴平行反 向布置的荷载、垂直作用在对称轴上的荷载、位于对称轴上的集中力偶是反对称荷载。如图（c） 所示。

任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载两部分。

2、取对称的基本体系计算：(荷载可以是任意，仅用于力法)。

不论在何种外因作用下，对称结构应考虑利用对称的基本体系计算。沿对称轴上梁的中央截面切开，三对多余未知力中，弯矩X1和轴力X2是 对称未知力，剪力X3是反对称未知力。 对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是对称的；反对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是反对称的。如下图所示。

因此，力法方程中的系数

于是，力法方程可简化为

（1）

力法方程分解为独立的两组，一组只包含对称未知 力，一组只包含反对称未知力。

如果荷载对称，M P对称，Δ3P=0，X3=0，对称未知力不为零；

如 果荷载反对称，M P反对称，Δ1P=0， Δ2P=0， X1= X2 =0，反对称未知力不为零。

一般地说，对称结构在对称荷载作用下，内力、反力和变形及位移是对称的。对称结构在反对称荷载作用下，内力、反力和变形及位移是反对称的。

3、取等代结构计算：利用上述对称结构在对称荷载和反对称荷载作用下的受力和变形特点，可以利用半刚架结构（即等代结 构）计算对称结构。

⑴对称结构在对称荷载作用下位于对称轴上的截面，水平位移和转角为零，只有竖向位移。

①奇数跨（无中柱）对称结构在对称荷载作用下的等代结构是将对称轴上的截面切开设置成定向支座，取半边结构。

②偶数跨（有中柱）对称结构在对称荷载作用下的等代结构取法：将对称轴上的刚结点、组 合结点化成固定端，铰结点化成固定铰支座，取半边结构。

⑵对称结构在反对称荷载作用下位于对称轴上的截面，竖向位移为零，水平位移和转角不为零。

①奇数跨（无中柱）对称结构在反对称荷载作用下的等代结构是将对称轴上的截面切开设置 成与对称轴重合的支杆，取半边结构。

②偶数跨（有中柱）对称结构在反对称荷载作用下的等代结构是将对称轴上的柱子的刚度折 半，取半边结构。

4、无弯矩状态判定：

在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下有时不产生弯矩、剪力，只产生轴力。 常见的无弯矩状态有以下三种：

1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。

2）一集中力沿一柱子轴线作用，只有该柱有轴力。

3）无结点线位移的结构， 受结点集中力作用，只产生轴力。

5、对称结构简化计算小结如下：

1）对称结构在对称（或反对称）荷载作用时的计算要点：

①选取等代结构； ②对等代结构进行计算，绘制弯矩图；

③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图；

2）对称结构在任意荷载作用时的处理方法：

①在对称轴上解除多余约束，取对称和反对称未知力直接计算。

②将荷载分为对称和反对称两组，选等代结构计算，再叠加。集中结点力作

用时常这样处理

五、荷载下力法计算

1、超静定梁和刚架：用力法计算荷载作用下的超静定梁和刚架时，通常忽略剪力和轴力对位移的影响，因此，力法方程中系数 和自由项的表达式

为：

（a）

2、选取恰当的基本体系：同一结构取不同的基本体系计算，力法典型方程代表的位移条件不同，力法方程中的系数、自由项不 同，计算过程的简繁程度不同，最后内力图相同。

因此，在保证基本体系是几何不变的前提下，尽量选择恰当的基本体系，使力法方程中的系数和自由项计算简单，并有较多的副系数和自由项等于零。另外，应使基 本体系是由几个独立的基本部分形成，荷载所在部分尽量是基本部分，这样可使各单位弯矩图和荷载弯矩图分布局部，减少它们之间的重叠，使副系数和自由项的计 算简单，也有可能为零。解力法方程也简单。

3、超静定排架：铰接排架由屋架和柱组成。当对排架柱进行内力分析时，通常可将屋架简化为轴向刚度为无穷大的链杆。用力 法计算排架时，切断链杆，代以一对等值反向的多余未知力。因链杆的轴向刚度为无穷大，计算系数和自由项时仍用（a）式。

4、超静定桁架：桁架是铰接链杆体系，在结点荷载作用下，各杆只有轴力。力法方程中得系数和自由项及最后轴力叠加公式 为：

（b） 5、超静定组合结构：在组合结构中，链杆只受轴力，梁式杆既受弯矩，也承受轴力和剪力。在计算位移时，对链杆只考虑轴力 项的影响，对梁式杆只考虑弯矩项的影响。因此，力法方程中得系数和自由项及最后内力叠加公式

为：

（b）

六、非荷载下力法计算

由于超静定结构有多余约束，所以在无荷载作用时，只要有发生变形的因素，如温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等，都可以产生内力（自内力）。 用力法分析这些非荷载因素作用下的超静定结构，其基本原理及步骤与荷载作用下相同，力法典型方程中的系数是基本体系的固有特性，不随外界作用因素而变，所 不同的是力法典型方程中的自由项不再是由荷载所产生，而是由上述因素产生的基本体系在多余未知力方向的位移。

1、温度改变时内力的计算。

温度改变时的力法计算特点：

1）温度改变引起的自内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度 EI的绝对值成正比；

2）力法典型方程的形式、系数与荷载作用时相同，自由项不同；

3）当杆剪截面内外边缘由温差时，自内力使得温度低的一面产 生拉应力，温度高的一面产生压应力。因此，在钢筋混凝土结构 中要特别注意降温可能出现的裂缝。

2、温度改变时的内力计算。

支座移动时的力法计算特点：

1）取不同的基本体系计算时，不仅力法方程代表的位移条件不同，而且力法方程的形式也可能不一样，方程的右边可不为零（＝±与多余未知力对应的支座位 移）。

2）系数计算同前；自由项 ΔiC=－∑R·c ，c是基本体系的支座位移。 所以，基本体系的支座位移产生自由项。与多余未知力对应的支座位移出现在方程的右边。 3）内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度EI的绝对值成正比 七、超静定位移计算

因为原结构在外因作用下产生的受力情况和位移情况，与基本体系在外因和多余未知力作用下产生的受力情况和位移情况相同。因此求原结构的位移可转化为求基本 体系的位移。

为了求基本体系的位移，要先求出基本体系产生位移的弯矩图（即原结构的弯矩图M）； 另外，由于是求基本体系的位移，所以在基本体系加单位力，画出虚拟的单位弯矩图，于是，基本体系的位移（亦即原结构的位移）为

虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上，单位弯矩图虽然不同，但求得的位移相同。所以，应选一个便于计算的基本体系虚拟单位荷载。

八、力法计算校核

超静定结构的最后内力图校核要从平衡条件和变形条件两方面进行。

一、平衡条件的校核：从结构中任意取出一部分，都应满足平衡条件。

二、变形条件的校核：计算超静定结构内力是，要同时考虑平衡条件和变形条件。因此，校核工作必须包括变形条 件校核。由于力法方程是变形条件，力法计算主要是围绕着力法方程的建立和求解进行的，所以，力法校核的重点是演算变形条件。

变形条件的一般校核方法是：任选一基本体系，任选一多余未知力X i， 由最后内力图计算出X i方向的位移，并 检查是否与原结构对应位移相等。在荷载作用下，超静定结构的最后弯矩图，与任意基本体系的任一多余未知力的单位弯矩图图乘结果如果等于零， 则满足变形条件。

如果在变形条件的校核使用力法计算时没有使用的单位弯矩图进行计算，可以在一代程度上代替与力法计算中各个单位弯矩图相乘，可以检查出各个单位弯矩图是否 正确。

单元测试

一、填空题

1.1 无荷载就无内力，这句话只适用于静定结构，不适用于超静定结构。

1.2 图示结构截断三根链杆，可以变成一个简支梁，故它有三次超静定。

1.3 图示两次超静定结构，可以选图（b）为基本体系进行力法计算。

1.4 判定下列各超静定结构的弯矩图的形状是否正确。

(a) (b)(c)(d)

(e) (f)(g)(h)

1.5 在图示两结构中，（a）中拉杆的轴力N与（b）中的水平反力X B的关系是：当拉杆的刚度EA=有限值时，N＜X B； 当拉杆的刚度EA=无穷大时，N=X B。

1.6 图（a）示对称结构在支座移动下的弯矩图形状如图（b）所示。

1.7 图（a）示对称结构，内部温度升高t，其弯矩图形状如图（b）所示。

1.8 在题1.7中由于弯矩图不满足，所

1.9 在力法计算时，多余未知力由位移条件来求，其它未知力由平衡条件来求。

1.10 在图示结构中若增大柱子的EI值，则梁跨中截面弯矩值减少。

1.11 对图(a)所示结构，选(b)为基本体系，则力法典型方程为。

1.12 图（a）和图（b）为同一结构的两种外因状态，若都选图（c）为基本体系计算，则它们的力法方程中的主系数相同，付系数相同，自由项不同，右端项不同。

1.13 在图示结构中，如将刚结点A化成铰结点，相当于去掉了两个约束。

二、单项选择题

2.1 力法计算的基本未知量是

A 多余未知力

B 支座反力

C 角位移

D 独立的结点线位移

2.2 打开联接三刚片的复铰，相当于去掉几个约束。

A 2

B 3

C 4

D 5

2.3 力法方程中的系数δki表示的是基本体系由

A X i产生的Xk方向的位移

B X i=1产生的X k方向的位移

C X i=1产生的Xi方向的位移

D X k=1 产生的X i方向的位移

2.4 力法基本结构决不能取

A 静定结构

B 超静定结构

C 可变体系

D 不变体系

2.5 力法方程的实质是

A 平衡条件

B 位移条件

C 物理条件

D 互等定理

2.6 图（a）结构如选图（b）为基本体系，其力法方程为

2.7 关于图示对称结构，下列论述正确的是

A A点线位移为零

B AB杆无弯矩

C AB杆无剪力

D AB杆无轴力

2.8 图示对称结构C截面不为零的是

A 竖向位移

B 弯矩

C 剪力

D 轴力

2.9 图示对称结构最少可以简化成几次超静定计算

A 1

B 2

C 3

D 4

2.10 在图示结构中，针对a,b,c,d四杆而言，不能作为多于约束去掉的是

A a

B b

C c

D d

2.11 在图示结构中，若增大拉杆的刚度EA，则梁内D截面弯矩如何？

A 不变

B 增大

C 减小

D 可能会下侧受拉

2.12 图（a）结构如选图（b）为基本体系，其力法方程为

2.13 图示十字架超静定刚架，各杆EI相同，在图示荷载作用下，Q AB为

A 0.5P

B 0.25P

C －0.25P

D 0

2.14 图示两结构中跨中点截面的弯矩之间的关系是

A 跨中点截面的弯矩相等

B C截面弯矩大于D截面弯矩

C 当n很大时C截面弯矩小于D截面弯矩

D 当n很小时C截面弯矩小于D 截面弯矩