整数的性质(全)
整数的性质(全)
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整数的性质及其应用（1）
基础知识
整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质
在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作。
由整除的定义，容易推出以下性质：
(1)若且，则(传递性质)；
(2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。更一般，若都是的倍数，则
。或着，则其中；
(3)若，则或者，或者，因此若且
，则；
(4)互质，若，则；
(5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则；
(6)(带余除法)设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。注意：共有种可能的取值：0,1，……，。若，即为被整除的情形；
易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若是正整数，则；
若是正奇数，则；（在上式中用代）
(7)如果在等式中取去某一项外，其余各项均为的倍数，则这一项也是的倍数；
(8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数；
(9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；
2．奇数、偶数有如下性质：
(1)奇数奇数=偶数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝奇数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝偶数，奇数奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；
（2）奇数的平方都可以表示成的形式，偶数的平方可以表示为或的形式；
（3）任何一个正整数，都可以写成的形式，其中为负整数，为奇数。
（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具
必为偶数。
3．完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：
（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若（）＝1，则都是整数的次方
幂。一般地，设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若两两互素，则都是正整数的k次方幂。
4．整数的尾数及其性质
整数的个位数也称为整数的尾数，并记为。也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质：
（1）；（2）＝
；
（3）；（4）；
；
（5）若，则；（6）；
（7）；
（8）
5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论）
（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；
（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整
除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；
（3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；
（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能；
（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。
6．质数与合数及其性质
1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。
2．有关质（素）数的一些性质
（1）若，则的除1以外的最小正因数是一个质（素）数。如果，则；
（2）若是质（素）数，为任一整数，则必有或（）＝1；
（3）设为个整数，为质（素）数，且，则必整除某个（）；
（4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；
（5）任何大于1的整数能唯一地写成
①的形式，其中为质（素）数（）。上式叫做整数的标准分解式；
（6）若的标准分解式为①，的正因数的个数记为，则。
整数的性质及其应用（2）
基础知识
最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。
定义1.（最大公约数）设不全为零，同时整除的整数（如）称为它们的公约数。因为不全为零，故只有有限多个，我们将其中最大一个称为的最大公约数，用符号（）表示。显然，最大公约数是一个正整数。
当（）＝1（即的公约数只有）时，我们称与互素（互质）。这是数论中的非常重要的一个概念。
同样，如果对于多个（不全为零）的整数
，可类似地定义它们的最大公约数（）。若（）＝1，则称互素。请注意，此时不能推出两两互素；但反过来，若（）两两互素，则显然有（）＝1。
由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变的符号，不改变（）的值，即；（）可以交换，（）＝（）；（）作为的函数，以为周期，即对于任意的实数，有（）＝（）等等。为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质：
（1）设是不全为0的整数，则存在整数，使得；
（2）（裴蜀定理）两个整数互素的充要条件是存在整数，使得；
事实上，条件的必要性是性质（1）的一个特例。反过来，若有使等式成立，不妨设，则，故及，于是，即，从
而。
（3）若，则，即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数；
（4）若，则；
（5）若，则，因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的整数；
（6）若，则，也就是说，与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。并由此可以推出：若，对于有，进而有对有。
（7）设，若，则；
（8）设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若（）＝1，则都是整数的次方幂。一般地，设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若两两互素，则都是正整数的次方幂。
定义2.设是两个非零整数，一个同时为
倍数的数称为它们的公倍数，的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为的最小公倍数，记作，对于多个非零实数，可类似地定
义它们的最小公倍数［］。
最小公倍数主要有以下几条性质：
（1）与的任一公倍数都是的倍数，对于多于两个数的情形，类似结论也成立；
（2）两个整数的最大公约数与最小公倍满足：（但请注意，这只限于两个整数的情形，对于多于两个整数的情形，类似结论不成立）；
（3）若两两互素，则［］＝｜
｜；
（4）若，且两两互素，则
｜。
27.命题、证明及平行线的判定定理(提高)知识讲解
命题、证明及平行线的判定定理（提高）知识讲解 【学习目标】 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2.体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】 要点一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 要点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2．平行线的判定定理
整式的运算法则
整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=? ),(都是正整数）（n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n = 2 2))((b a b a b a -=-+ 2 222)(b ab a b a ++=+ 2 222)(b ab a b a +-=- 整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数 【注意】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 （2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数 相同。 （3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号。 （4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。 （6） ),0(1 );0(10为正整数p a a a a a p p ≠= ≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得 的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。 一、选择（每题2分，共24分）
1．下列计算正确的是（）． A．2x2·3x3=6x3B．2x2+3x3=5x5 C．（－3x2）·（－3x2）=9x5D．5 4 x n· 2 5 x m= 1 2 x m+n 2．一个多项式加上3y2－2y－5得到多项式5y3－4y－6，则原来的多项式为（）．A．5y3+3y2+2y－1 B．5y3－3y2－2y－6 C．5y3+3y2－2y－1 D．5y3－3y2－2y－1 3．下列运算正确的是（）． A．a2·a3=a5B．（a2）3=a5C．a6÷a2=a3D．a6－a2=a4 4．下列运算中正确的是（）． A．1 2 a+ 1 3 a= 1 5 a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0 二、填空（每题2分，共28分） 6．－xy2的系数是______，次数是_______． 8．x_______=x n+1；（m+n）（______）=n2－m2；（a2）3·（a3）2=______． 9．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时，?若坐飞机飞行这么远的距离需_________． 10．a2+b2+________=（a+b）2a2+b2+_______=（a－b）2 （a－b）2+______=（a+b）2 11．若x2－3x+a是完全平方式，则a=_______． 12．多项式5x2－7x－3是____次_______项式． 三、计算（每题3分，共24分）
指数的性质
四、指数函数和对数函数 （一）、指数 1、n 次方根和分数指数幂 一般地，如果a x n =，那么x 叫作a 的n 次方根，其中*∈>N n n 且,1。 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。这时，a 的n 次方根用符号n a 表示。 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数。正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示。 负数没有偶次方根。 0的任何次方根都是0，记作.00=n 0的0次方根没有意义。 式子n a 叫做根式，这里n 叫作根指数，a 叫做被开方数。 根据n 次方根的意义，可得 ()a a n =n 。 可以得出： 当n 是奇数时，()a a n n =； 当n 是偶数时，???<-≥==. 0,,0,a a a a a a n n 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。 整数指数幂的运算性质仍然适用于分数指数幂。 我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 )1,,,0(>∈>=n N n m a a a n m n m . 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 )1,,,0(11 ->∈>==n N n m a a a a n m n m n m 。 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。 规定了分数指数幂的意义后，幂a x 中指数x 的取值范围就从整数扩展到了有理数。 有理数整数幂的运算性质： （1）);,,0(Q s r a a a a s r s r ∈>=+ （2） );,,0(Q s r a a a rs s r ∈>=）（ （3）).,,0()(Q s r a b a ab r r r ∈>= 类似地，从有理数的指数幂来认识无理数指数幂。
极限四则运算法则
极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。 证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<- 七年级下册第五章 相交线与平行线的判定定理及应用 1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这 种关系的两个角，互为_____________. 2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两 边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为__________.对顶角的性质：______ _________. 3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______. 垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________. 4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________. 5.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个 角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________. 6.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关 系只有________与_________两种. 7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 8.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平 行.简单说成：_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： ________________________________________. 第一讲 整数与整除的基本性质（一） 一、整数 基本知识： 关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。 关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。 十进制整数的表示方法 正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示7106+?,四位数1254可以写成41051021012 3+?+?+?,同样地用字母表示的两位数ab b a +?=10,三位数f e d def +?+?=10102, n 位整数表示为121a a a a n n n --，（其中a i 是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a n 0≠）并且.1010 1211121a a a a a a a n n n n n n n ++?+?=----- 经典例题： 例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ） )A 1995 )B 1683 )C 1579 )D 1401 解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 )B 例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（ ） )A 26 )B 28 )C 36 )D 38 解：设这个两位数为ab ，由题意，得b a b a +=++102)(3， 227+=∴b a 即 )1(27+=b a 由于)1(2+b 为偶数，∴a 必须为偶数，排 学员姓名 年 级： 学科教师： 辅导科目： 授课日期 XX 年XX 月 XX 日 时 间 A / B / C / D / E / F 段 主 题 整数的运算性质 教学内容 1 d\7 施学习目标 1理解减法和除法运算性质，能运用减法和除法运算性质使一些计算更简便; 2.理解除法商不变性质，能运用商不变性质使一些计算更简便. 教法说明：上次课中的预习思考设置了三种巧算的方法，这里不需要讲解，本次课中的例题 对这三类巧算试题进行重点讲解. 、直接写出答案，看谁又快又准. 630 - 70 = 420 - 21 = 4X 23X 25 = 630 - 30 - 3 = 50 X 12 = 125 X 6X 8= 125X 16 = 24 X 25 = 350 - 25-2 = 35 - 7 X 5 = 640 - 32 = 42 X 7 - 42 = 教学设计：本部分设计的目的是想通过以上简单的题组训练，可以设置为学生相互间的 PK ，并检查学生对乘 除法运算中的巧算掌握如何。教师可以让学生分别分享下各自的计算方法，最后对每一题都整理出一个相对 简单的方法，重点是对乘除法运算中的运算律进行总结归纳，强调巧算的重要性。 参考答案：略 （此环节设计时间在 10—15分钟） 1到例题3分别 黃話精讲提升 (此环节设计时间在50—60分钟) 例题1:递等式计算(1) 687 —259—141 (2) 376 —( 176 + 27) 教法说明：首先让学生回顾上次课的预习思考第一小题，让学生总结下减法运算的性质：一个数连续减去两 个数，可以先把两个减数加起来，再从被减数里减去，用字母表示a-b-c = a- (b?c)。一个数减去两个数的和，可以从这个数里依次减去和中的每一个加数，用字母表示a-(b?c)=a-b-c 参考答案：(1)687—259—141 ( 2)376 —( 176+ 27) =687 —( 259 + 141) = 376 —176 —27 =687 —400 = 200—27 =287 =173 试一试：递等式计算(1) 765—254 + 135 —246 (2) 4509 —( 428 + 509)—572 参考答案：(1) 300; (2) 3000 例题 2 :计算(1) 6500- 25- 4 (2) 3700-( 25X 37) 教法说明：首先让学生回顾上次课的预习思考第二小题，让学生总结下除法运算的性质：一个数连续除以两个数，可以先把两个数乘起来，再去除被除数，用字母表示为：a“b“c = a“(b c)；一个数除以两个数的 积，就等于这个数连续除以积里的两个因数，用字母表示为: 参考答案：(1) 6500-25 - 4 =6500-( 25 X 4) =6500 - 100 =65 试一试：计算(1) 78000 - 8 - 125 参考答案：(1) 78000 - 8- 125 a" (b c) = a~- b-' c (2) 3700 -( 25 X 37) =3700- 25 - 37 =3700- 37 - 25 =100 —25= 4 (2) 12000- 48 (2) 12000- 48 2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时） 第一课时 根式 教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念； 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质； 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。 教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教案方法：学导式 教案过程： （I ）复习回顾 引例：填空 （1）*)n n a a a a n N =?∈个（； a 0=1（a )0≠； n n a a 1 = -)N n ,0a (*∈≠ (2)m n m n a a a +?= (m,n ∈Z)； ()m n mn a a = (m,n ∈Z)； ()n n n ab a b =? (n ∈Z) （3）_____9=； -_____9=； ______0= （4）)0a _____()a (2≥=； ________a 2= （II ）讲授新课 1.引入： （1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m n a a ÷可看作m n a a -?,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +?=；又因为n b a )(可看作 m n a a -?，所以n n n b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =?(n ∈Z)）,这是为下面学习分 数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。 （2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： 22=4 ，（-2）2=4 ?2，-2叫4的平方根 23=8 ? 2叫8的立方根；（-2）3=-8?-2叫-8的立方根 25=32 ? 2叫32的5次方根 … 2n =a ?2叫a 的n 次方根 分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。由此，可有： 2.n 次方根的定义：（板书） 一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根（n th root ）,其中1n >，且n N *∈。 问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 分析过程： 例1．根据n 次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a 6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程） 指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容 1．整数指数 ⑴正整数指数幂：n a a a a =???，是n个a连乘的缩写（N n + ∈），n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵整数指数幂：规定：01(0) a a =≠， 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N． 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲 2．分数指数 ⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算． ① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时， a 的n 表示． ② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 0)a >． ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根． 负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0 0． n 叫做根指数，a 3．根式恒等式： n a =；当n a =；当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥． 4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时 a =，n 为偶数时 a =． 7． m n a = m n a - =（0a >，,*m n N ∈，且1n >） 零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ） 9．无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立． 本科毕业论文(设计) 分类号学号 密级 题 目 （中、英文） 整数的若干性质及其应用 Some properties and applications of integers 作者姓名指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称学校代码成绩评定数学与信息科学学 摘要 整数的性质有很多。其在整个初等数论中是非常有研究意义的一部分。把对整数的研究深度剖析，细分到众多的性质研究当中。可以加深对整数性质及整数的认识。这里着重讨论的是数的整除特性及尾数特征、奇数与偶数、约数与倍数及带余除法。这四个性质在整数中是我们较为常见的、常用的，同时在整个数论中也具有相当重要的地位。并且在中学数学的教学中有着比较广泛的应用基础。文中阐述了以上性质的含义及对个别性质的证明，并通过实例讨论了整数的若干性质涉及到实际生活中的应用以及涉及到中学数学学习方面的应用,使我们对其更加熟悉并能熟练的应用它解决问题。所总结的解题方法在实际解题当中会更加方便快捷。 关键词:整数的性质；奇数与偶数；约数与倍数；带余除法；应用 Abstract There are many properties of integers. It is a very meaningful research in the elementary number theory. The depth analysis of the study of integer, subdivision into the nature of many of the study, you can deepen the understanding of the nature of integer and integer. It emphatically discusses the characteristics and features, the number of mantissa is divisible by odd and even number, and multiple and division. The four properties in the integer is we are more common, common, and it has a very important position in the theory of numbers. And has a wide range of applications in the teaching of mathematics in secondary schools. This paper expounds the above nature of meaning and of individual nature of proof, and through example discussed some properties of integers related to real life application and relates to the middle school mathematics learning application, enable us to become more familiar with and skilled in it is applied to solve the problem. The summary of the problem solving method in the actual problem solving which will be more convenient and quick. Keywords: Properties of integers; Odd and even; And a few times; With complementary division; Application 运算法则 1. 整数加法计算法则： 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 2. 整数减法计算法则： 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 3. 整数乘法计算法则： 先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 4. 整数除法计算法则： 先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 5. 小数乘法法则： 先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 6. 除数是整数的小数除法计算法则： 先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 7. 除数是小数的除法计算法则： 先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 8. 同分母分数加减法计算方法: 同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 9. 异分母分数加减法计算方法: 先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 10. 带分数加减法的计算方法: 整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。 11. 分数乘法的计算法则: 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 12. 分数除法的计算法则: 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 指数运算的性质 【学习目标】 1.掌握指数的运算性质，会进行幂的运算; 2.感受数学推理的合理性与严谨性。 【学习重点】 指数的运算性质 【学习难点】 指数的运算性质的应用 【课前预习案】 一、预习问题设置 认真阅读课本P66—67的内容，完成下面的问题。 1.正整数指数幂的运算性质： (1)=?n m a a _______ (2)()n m a =______ (3)()n ab =_________ (4)当0≠a 时，有n m a a =?????<=>;_______,,_______,,_______,n m n m n m (5)n b a ??? ??=________(0≠b ) 其中∈n m ,+N . 2. 当a>0,b>0时，对任意实数m,n 都满足上述性质.我们将上述五条归纳为三条： (1)=?n m a a _______ (2)()n m a =_______ (3) ()n ab =_________ 二、预习自测 1.化简： （1） ;432 2? （2）);3(23 13 1 - -x x （3）2 346 22516- -???? ??r t s . 2.已知 ,210=α 310=β .求β α+10 ，β α-10 ，α 210 -，5 10β. 【课堂探究案】 一、探究问题 1.计算： （1）2 13 1 2 132 343161125??????? ?+? ?? ??+- ；（2）2 14 3 320016.050027.041- ????? ??????? ???+. 2.计算：（式中各字母均为正数） （1）;1 2112 12 121 -- +---a a a a （2）.22 22 2---+-b b b b 3.已知()031 >=+-x x x ，求下列各式的值： （1）;2 12 1- +x x （2）2 12 1- -x x ； （3）;2 32 3 -+x x （4）.2 32 3- -x x 二、课堂检测 1.课本68页A 组3（1）、（3）、（5）、（7）。 2.课本68页练习2。 【课后检测案】 1. 课本68页A 组3（2）、（4）、（6）、（8）。 2.已知 ,310,210==β α把下面的数写成底数是10的幂的形式： 49 ； （2）12； （3）72； （4）26. 3.比较大小 554433 3,4,5.a b c === 4．设,αβ是方程2 101x x ++=0的两根，则 22αβ?=____________；( ) 2 β α=_______________. 《平行线的性质定理》教案 学习目标 1、理解和总结证明的一般步骤、格式和方法. 2、探索平行线的性质定理的证明，培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力. 3、结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论. 教学重难点 平行线的性质公理及定理. 教学过程 【温故知新】 (一)、知识链接：(两条直线平行的判定定理) 1、同位角相等，两直线平行 2、内错角相等，两直线平行 3、同旁内角互补，两直线平行 4．下列不能使两直线平行的是( ) A.内错角相等 B.同旁内角互补 C.对顶角相等 D.同位角相等 (二)、导学释疑： 证明：已知：如图所示，直线a∥b，直线c和直线a、b相交. 求证：∠2=∠3. 平行线的性质1定理：两直线平行，同位角相等. 【合作探究】 探究一、已知：如图所示，直线a∥b，直线c和直线a、b相交. 求证：∠1=∠2. 平行线的性质2定理：两直线平行，内错角相等. 探究二、两直线平行，同旁内角互补 (1)根据这一定理的文字叙述，你能作出相关图形吗？ (2)你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ (3)你能说说证明的思路吗？并试着写出证明过程. 平行线的性质3定理：两直线平行，同旁内角互补. 【做一做】 已知：如图所示，直线a∥b，a∥c，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角. 求证：b∥c. 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 【总结提升】 总结规律：根据本节课的学习，你能说说命题证明的一般步骤吗？ (1)根据题意画出图形；(若已给出图形，则可省略) (2)根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证； (3)经过分析，找出已知退出求证的途径，写出证明过程； (4)检查证明过程是否正确完善. 【当堂检测】 完成课本50页随堂练习. 教学准备 1. 教学目标 1、通过举例、类比，归纳得出减法、除法的运算性质。 2、会运用减法、除法运算性质，使一些计算简便。 3、初步掌握运用观察、猜想、验证等方法来发现减法、除法的性质。培养学生分析、概括的能力。 2. 教学重点/难点 理解和归纳减法、除法的运算性质，并运用性质进行简算。 灵活运用减法、除法运算性质简便运算。 3. 教学用具 课件 4. 标签 教学过程 一、复习引入 递等式计算： 354＋79－54 4800×7÷4 小结：加减法或乘除法的同级运算中，可以交换运算的顺序来进行简便计算。 354－46－54 4800÷25÷4 师：与前面两题比较，有什么不同？ 尝试计算 交流算法，可以怎样简便运算？ （每题均有2种巧算方法） 师：今天我们就来学习一下减法和除法的运算性质。 （出示课题：减法、除法的运算性质。） 一、探索交流，学习新知 探究一：减法的性质 一、初步感知减法的运算性质 1、出示例题 师：我们来看一个生活中的问题，小丁丁在这个假期中，选择了自己喜欢的书阅读。 出示：小丁丁看一本书，共231页。第一天看了21页，第二天看了19页，还剩多少页没看？ 2、交流 师：要求这个问题可以怎样思考？怎样列式呢？ 出示： A还剩下的页数=这本书的总页数－第一天看的页数－第二天看的页数 算式：231－21－19 B还剩下的页数=这本书的总页数－已经看过的页数 算式：231－（21+19） 3、计算结果： 板书：231－21－19 231－（21+19） ＝210－19 =231－40 ＝191（页）=191（页） 4、观察比较 观察这两个算式，算法上有什么不同？你有什么发现？ 小结：这两个算式含义不同，……………，而他们的计算结果却是相同的。（师演示媒体：231－21－19＝231－（21＋19）） 5、枚举、归纳 第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完 全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |， 并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)； (2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若 反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。更一般，若 n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。或着i b a |，则∑=n i i i b c a 1|其中 n i Z c i ,,2,1, =∈； (3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=； (4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |； (5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是 质数，若n a p |，则a p |； (6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b 。若0=r ，即为 a 被 b 整除的情形； 易知，带余除法中的商实际上为??????b a （不超过b a 的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r <≤0。证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在 较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个 高一数学衔接教学一 指数性质及运算 知识要点: 1．指数概念的扩充 当n ∈N 时， a n n a a a a 个???= 当n ∈Q 时，⑴零指数 a 0=1 (a≠0)；⑵负整数指数 a –n =n 1a (a≠0)； ⑶分数指数 n m a = (a>0，m 、n 为正整数) ①根式 如果有x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 为大于1的整数． 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，用符号 3=–2． 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数． 用符号表示．例 2 负数没有偶次方根． =0表示． 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 根据n 次方根的意义，可得n =a ．例如2=5，3= –2 不一定等于a ．当n =a ，例如3= –2．但当n 为偶 数时，如果a =a ，例如4=3，但如果a = –a –(–3)=3．这就是说， 当n =a ；当n 为偶数时， { a (a 0)a a (a 0) ≥==-< ②分数指数幂 当时根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以同被开方数的指数能被 23 a =，54 b =． 我们规定正数的正分数指数幂的意义是m n a =(a>0，m ，n ∈N ，且n>1) 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，就是规定 n m n m a a 1=- (a>0，m ，n ∈N ，且n>1) 注:零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义． 规定了分数指数幂的意义以 后，指数从整数推广到了有理数． 分数指数的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此根式运算可以转化为分数指数幂的运算 2．幂运算法则 ⑴a m ?a n =a m+n (m ，n ∈Z); ⑵(a m )n =a m ?n (m ，n ∈Z); ⑶(ab)n =a n b n (n ∈Z)． 平行线的判定定理和性质定理 [一]、平行线的判定 一、填空 1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ． 2．若a⊥c，b⊥c，则a b ． 3．如图２，写出一个能判定直线a ∥b 的条件： ． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。 6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ． 7．如图５，填空并在括号中填理由： （1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）； （3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ） 8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ． 9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 10．如图８，推理填空： （1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）； 二、解答下列各题 11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥C F ． A C B 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A B C E D 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 A F C D B E 图８ E B A F D C 图９ A D C B O 图５ 图６ 5 1 2 4 3 l 1 l 2 图７ 5 4 3 2 1 A D C B 第三节 整数的性质及其应用（2） 基础知识 最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。定义1.（最大公约数）设不全为零，同时整除的整数（如）称为它们的公约数。因为不全为零，故只有有限多个，我们将其中最大一个称为的最大公约数，用符号（）表示。显然，最大公约数是一个正整数。 当（）＝1（即的公约数只有）时，我们称与互素（互质）。这是数论中的非常重要的一个概念。 同样，如果对于多个（不全为零）的整数，可类似地定义它们的最大公约数（）。若（）＝1，则称互素。请注意，此时不能推出两两互素；但反过来，若（）两两互素，则显然有（）＝1。 由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变的符号，不改变（）的值，即；（）可以交换，（）＝（）；（）作为的函数，以为周期，即对于任意的实数，有（）＝（）等等。为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质：（1）设是不全为0的整数，则存在整数，使得； （2）（裴蜀定理）两个整数互素的充要条件是存在整数，使得； 事实上，条件的必要性是性质（1）的一个特例。反过来，若有使等式成立，不妨设，则，故及，于是，即，从而。 （3）若，则，即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数；（4）若，则； （5）若，则，因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的整数； （6）若，则，也就是说，与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。并由此可以推出：若，对于有，进而有对有。 （7）设，若，则； （8）设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若（）＝1，则都是整数的次方幂。一般地，设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若两两互素，则都是正整数的次方幂。 定义2.设是两个非零整数，一个同时为倍数的数称为它们的公倍数，的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为的最小公倍数，记作，对于多个非零实数，可类似地定义它们的最小公倍数［］。 最小公倍数主要有以下几条性质： （1）与的任一公倍数都是的倍数，对于多于两个数的情形，类似结论也成立； 1．理解减法和除法运算性质，能运用减法和除法运算性质使一些计算更简便； 2．理解除法商不变性质，能运用商不变性质使一些计算更简便． （此环节设计时间在10—15分钟） 教法说明：上次课中的预习思考设置了三种巧算的方法，这里不需要讲解，本次课中的例题1到例题3分别对这三类巧算试题进行重点讲解． 一、直接写出答案，看谁又快又准． 630÷70＝420÷21＝4×23×25＝ 630÷30÷3＝50×12＝125×6×8＝ 125×16＝24×25＝350÷25÷2＝ 35÷7×5＝640÷32＝42×7÷42＝ 教学设计：本部分设计的目的是想通过以上简单的题组训练，可以设置为学生相互间的PK，并检查学生对乘除法运算中的巧算掌握如何。教师可以让学生分别分享下各自的计算方法，最后对每一题都整理出一个相对简单的方法，重点是对乘除法运算中的运算律进行总结归纳，强调巧算的重要性。 参考答案：略 （此环节设计时间在50—60分钟） 例题1：递等式计算 （1）687—259—141 （2）376—（176＋27） 教法说明：首先让学生回顾上次课的预习思考第一小题，让学生总结下减法运算的性质：一个数连续减去两 个数，可以先把两个减数加起来，再从被减数里减去，用字母表示()a b c a b c --=-+。一个数减去两个数 的和，可以从这个数里依次减去和中的每一个加数，用字母表示()a b c a b c -+=-- 参考答案：（1）687—259—141 （2）376—（176＋27） ＝687—（259＋141） ＝376—176—27 ＝687—400 ＝200—27 ＝287 ＝173 试一试：递等式计算 （1）765—254＋135—246 （2）4509—（428＋509）—572 参考答案：（1）300； （2）3000 例题2：计算 （1）6500÷25÷4 （2）3700÷（25×37） 教法说明：首先让学生回顾上次课的预习思考第二小题，让学生总结下除法运算的性质：一个数连续除以两个数，可以先把两个数乘起来，再去除被除数，用字母表示为：()a b c a b c ÷÷=÷?；一个数除以两个数的积，就等于这个数连续除以积里的两个因数，用字母表示为：()a b c a b c ÷?=÷÷ 参考答案：（1）6500÷25÷4 （2）3700÷（25×37） ＝6500÷（25×4） ＝3700÷25÷37 ＝6500÷100 ＝3700÷37÷25 ＝65 ＝100÷25＝4七年级下册平行线的判定定理习题精选
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