(整理)学习电动力学的数学准备.
学习电动力学的数学准备
2012-05-31 11:57:04| 分类：默认分类|举报|字号订阅
知识前提
1.普通物理（主要是电磁学），初等微积分，矢量代数—应很熟悉
2.矢量分析，场论基础—作为本课程的第0章
3.数理方法（程），特殊函数—提到时应该能理解
第0章数学准备
第一节矢量分析与场论基础
在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格.
一、矢量代数
1.两个矢量的点乘、叉乘
若
则, 的点乘(也称标量积)
()
,的叉乘(也称矢量积)
，为, 的夹角
方向：既垂直于，又垂直于,与满足右手螺旋关系。
叉乘的不可交换性
2.三个矢量的混合积
=
几何解释:以为棱的平行六面体的体积
性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变.
(2)若只把两个矢量对调,混合积反号。
(3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序)。
3.三个矢量的叉乘
令
则
同理
故
而
二者都是：把括号外的矢量与离它较远的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取正号,把括号外的矢量与离它较近的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取负号。两者取和。("远正近负，再取和")
二、场的概念
在许多科学技术问题中，常常要考虑某种物理量（如温度、密度、电势、力、速度）在空间的分布和变化规律。这是需要引入场的概念。如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。
1.数学上，场是空间时间的函数
时间坐标
空间坐标，构成右手系。
标量场空间的每一个点对应一个标量
矢量场空间的每一个点对应一个矢量
张量场空间的每一个点对应一个张量
2.物理上，描述某一物理客体，具有一定分布规律的物理量
3.记号标量场
矢量场
张量场
4.场中的物理量在各点处的对应值随时间变化的，这个场称为稳定场；否则称为不稳定场。
三、场分析及其微分特征量（矢量微分）
整体上来看分析场的奇异性，敛散性
局域上来看函数某点附近的性质，微分特征量。
1.梯度
在标量场中，标量的分布情况，可以将借助等值面或等值线来进行了解。但是这只能大致地了解到标量在场中总的分布情况，是一种整体性的了解。而研究标量场的另一个重要方面，就是还要对它作局部性的了解，即还要考察标量在场中各个点的邻域内沿每个方向的变化情况。为此，引入方向导数，梯度的概念。
(1)方向导数
方向导数给出了函数在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿哪个方向的变化率最大呢？最大变化率为多少呢？带着这些问题，我们来看方向导数。
函数在点方向上的方向导数为（场的空间坐标为）
方向上的单位矢量。，，在点方向上的方向余弦。其余三个数，，也可视为某一矢量的坐标
。
(2)梯度
在直角坐标系下，定义梯度(gradient)：。
这样上式可以表示为。
从该式可以看出梯度是方向导数的一种，方向为标量函数上升最快的方向，大小为其改变率数值。
(3)梯度的性质
（1）梯度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布；
（2）方向导数是梯度在该方向上的投影；
（3）梯度的方向为指向增加最快的方向。
2.散度：
(1)通量
通量的定义，设有矢量场，沿某一有向曲面的某一侧面的曲面积分
叫做矢量场向积分所沿一侧穿过曲面的通量。
说明：1.积分号无论几重积分都用单重记号，看变量而定几重积分;
2.通量可以叠加;
3.若为闭合面，，一般约定以球面的外法线方向为正方向，穿出曲面为正，穿入曲面为负，相切为零。
根据通量的正负可以得知内有产生通量的正源（源）或负源（汇、壑、闾）。但仅此还不能了解源在内的分布情况以及源的强弱程度等问题。为了描述上述问题，我们引入散度的概念。
(2)散度
散度(divergence)的定义
散度表示在场中一点处通量对体积的变化率，又称为通量体密度。也就是在该点处对一个单位体积来说所穿过的通量，称之为该点处源的强度（散发通量或吸收通量的能力）。其符号的正负表示在该点处有散发通量之正源或有吸收通量之负源，其绝对值就相应的表示在该点处散发通量或吸收通量的强度。对于流
体来说，散度表示稳定流动的不可压缩流体在源点处的源头强度，（单位时间单位体积内所产生的流体质量）。
(3)散度的性质
（1）与坐标系的选取无关，取决于场的分布。
（2）在直角坐标系下有
3．旋度
（1）环量的定义：设有矢量场，则沿场中某一闭合的有向曲线的曲
线积分
称为此矢量场按积分所取方向沿曲线的环量。
我们已知磁场中有
由上式可以知道，磁场的环量，为通过磁场中以为边界的一块面积的总的电流强度。显然，仅此还不能了解磁场中任一点处通向任一方向的电流密度（即在点处沿的方向，通过与垂直的单位面积的电流强度）。为了研究这一类问题，我们引入环量面密度的概念。
（2）环量面密度。
设为矢量场中的一点，在点处取定一个方向，再过任作一微小曲面，以为其在点处的法矢，对此曲面，我们同时又以表其面积，其周界之正向取作与构成右手螺旋关系。则矢量场沿之正向的环量与面积之比，当曲面在保持点于其上的条件下，沿着自身缩向点时，若的极限存在，则称其为矢量场在点处沿方向的环量面密度（就是环量对面积的变化率），记作，即，
例如，在磁场强度所构成的磁场中的一点处，沿方向的环量面密度，
(电流密度) 。
又如在流速场中的一点处，沿方向的环量面密度为
即为在点处与成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，称为环流密度（或环流强度）。单位时间单位面积流走的电荷电量。
从上面我们可以看出，环量面密度是一个和方向有关的概念，正如标量场中的方向导数与方向有关一样。然而在标量场中，梯度矢量，在给定点处，它的方向表出了最大方向导数的方向，其模即为最大方向导数的数值，而且它在任意方向的投影，就给出该方向上的方向导数。这种情况，给我们一种启示，能否找到这样一种矢量，它与环量面密度的关系，正如梯度与方向导数之间的关系一样。这个矢量我们称之为旋度.
下面，我们给出旋度的定义，
（3）旋度
若在矢量场中的一点处存在这样的一个矢量，矢量场在点处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是，则称矢量为矢量场在点处的旋度(rotation, curl)，记作，即
简言之，旋度矢量在数值和方向上标出了最大的环量面密度。
(4)旋度的性质
（1）旋度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布；
。
中，旋度是在给定处，它的方向乃是最大电流密度的方向，电流密度。在电学上称为
在流速场中，旋度是在给定处，它的方向是最大环流密度的方向，
（3）在直角坐标系中
例题：设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为，则刚体上的每一点处都具有线速度，从而构成一个线速度场。由运动学知道，矢径为的点的线速度为
，求线速度的旋度。
解：由速度场的雅可比（Jacobi）矩阵
得
这说明，在刚体转动的线速度场中，任一点的旋度，除去一个常数因子外：恰恰等于刚体转动的角速度（旋度因此得名）。
注，对于一个矢量，雅可比矩阵可以表示为
其中对角元，，之和为，其余六个正好是旋度的公式中所需要的。按照逆顺序排列，每两个作为一组求和，其中后面的偏导数前面加负号，并且按照的顺序排列。
四、几个重要定理
1．牛顿—莱布尼兹定理
（由方向导数的公式，得，从到取积分得到
）
2．奥斯特罗格拉得斯基公式（或称高斯（Gauss）公式，奥高公式）：
闭曲面S为V的表面，等于乘以外法线方向单位矢量。
（在矢量场中任取体积，包围这个体积的闭合面为，用垂直于坐标轴的三组平行面把体积分割成许多无限小的六面体（分割足够细，可以看成六面体），
由散度的定义可知，通过每个六面体表面的通量是
，在所围的体积中，
部的面，它们是面的一部分，而且只是六面体的一个表面，所以求和时只剩下这部分通量的和，由此可见，上式的右边就是通过面的通量即
）
闭曲线为的边界。方向与成右手螺旋关系。
（在矢量场中，任取一个非闭合面，它的圆周界长度为，把任意分割为无数多的面积元，的边界为，绕行的方向与的绕行方向相同，
义式，
对于每个面积元矢量的线积分为，
将此结果求和，沿小面积元的边界取线和时这两部分互相抵消，结果只剩下外边与重合部分的积分值，因而得到，于是最后得到）
五、微分算符（
1.的性质
（1）算符性（约定被作用量放在算符的右侧）
（2）矢量性
（3）一阶微分性
（4）直角坐标系下，
2.二次微商
证明：=0
逆定理：反之，在单连通区域，如果某一矢量的旋度为零()，则矢量可表示为某个标量的梯度，称为矢量场的标量势。
补：单连通区域的判定办法：对于区域内任意选取闭合回路，都能使之在区域内连续收缩，若能收缩为区域内的一点，则该区域为单连通区域
（1）无孔的三维空间—单连通
（2）三维空间抽出轴—非单连通
（3）三维空间挖出一个球—单连通
（4）三维空间挖出一个球壳—非连通，球内球外均为单连通，整体为非连通区域。
（5）（2）中去掉包含轴的半个空间—单连通
（6）除去包含闭合电路为边界所张成的面后的空间—单连通
（2）
证明：
记忆：
如果某一矢量的散度为零（），则矢量可表为另一矢量的旋。称为矢量场的矢量势
）
）
乘积场的微商，算子具有矢量性和微分性
(I.18)
(I.19)
(I.20)
(I.21)
(I.22)
(I.23)
只要把看成具有矢量运算和微分运算双重性质的量，从这两种运算的特点考虑，即可得到上面这些式子。
(I.18)作为一个矢量，与标量相乘，结果应是矢量，由于又是微分算子，因而它对的乘积的作用应得。
(I.19)作为微分算子，既要作用到上，又要作用到上，再考虑到的矢量性质，必须把点乘放在正确的位置上，不能有而应得两项。
与上式道理相同，作为微分算子既要作用到上，又要作用在上，
号必须放到正确位置上，因而得。
(I.21)根据的微分性质，应分别作用到，上，可形式上写为
而且还有矢量性质，可通过矢量混合积的性质改写，使其分别直接作用到和上。由
第二项不能写成，因要作用在上。
(I.22)
因而由矢量性得
[，因只作用在上
同理，
(I.23)
(括号里面的量一个一定在括号外，有一个一定在括号里面。其脚标的量一定在括号内，不是脚标的量一定在括号外。表示对作用，因此一定在括号里面，因此有，然后根据三个矢量叉乘进行运算分析即可。)
同理
于是
六、特别提醒
以上应用的微分运算要严格按照要求，规范书写。作业：书后习题1、2、3、4、5、6
第二节--函数简介
本节是为了格林函数做基础的，可视具体学时适当删减。
一、电荷密度的函数表示
1、数学上的函数
[定义] 质点处的函数定义为：
；
积分区域V为包含点的任意区域。
可见，在点，必为无穷大，否则不可能使包围点的小区域内的积分为1。
[性质] (1) 选择性，为原点附近的连续函数。为包含在内的任意区域。
(2) 偶函数
(3)
更一般的函数应定义在附近：
当时
当时
选择性为点附近的连续函数，为包含
上或一曲线上的电荷，可用函数表示，因此我们可以用来表示一个点电荷的电荷密度为
②一组点电荷的电荷密度为
(函数的导数是奇函数，以电偶极子的中心为坐标原点，两个点电荷分别处于，于是当，该体系的电荷密度为
其中.)
④在曲线坐标系中用函数表示电荷密度。例如，在球坐标系中均与分布在半径为的球壳上的电荷为，则电荷密度为
⑤在柱坐标系中均匀分布于半径为的圆柱面上每单位长度的电荷为，则电荷密度为
二、一个有用的公式
，
（其中。
由此得由库仑定律：
）
这个式子在处是没有意义的，那么这个式子代表什么。原来一个封闭面的面积分是有意义的。右方等于，（如果积分面所包含的体积包含原点）；或等于零，（如果积分面所包含的体积不包含原点）。
将上式改写为
如果体积包括原点，右方等于；如果体积不包含原点，右方等于零。
因此可以用
由于其中所选的体积任意
或
：（此种证明并不严谨）
在即处，，但在处其值是无穷大的，即它是一个函数。取以点为中心，半径的小球面，由高斯定理，及球面元矢量
，有
（当在内），
。
在球坐标系中，，。
在点，奇异，因此是这样一个函数，它在处的值为零，只有在点上可能不为零。
作积分变数变换，可见上式极限存在
代换，积分区间为。
因此证明了。
引入函数的导数，
这个式子和
定义了。
函数显然满足了
函数与函数，满足下面的式子
（其中为的根），
此外又有
，
上面式子的证明，只消讨论双方乘上一任意函数而积分的结果。
第三节张量代数与张量分析
一、二阶张量
标量场，可以用一个数描述，
矢量场，可以用三个数描述，
二阶张量可以写为
（），
从上面公式可以看出，张量是具有九个分量的物理量。张量的九个分量写为
当这九个分量在坐标系转动下按照变化时，由它们组成的物理量就称为张量。若，称为对称张量，对称张量只有六个独立分量。若称为反对称张量，反对称张量只有三个独立分量。
1.并矢
两个矢量和并列放在一起，它们之间不做任何运算，称为并矢。和的并矢
记为。它是二阶张量的一个特例，它有九个分量
若直角坐标系的单位基矢为，则并矢可以写为
写成矩阵形式为
一般说来，。
因此并矢可以作为张量的九个基。一般张量在这九个基上的分量就是。通常称标量为零阶张量，称矢量为一阶张量，称并矢为二阶张量，三个矢量的并矢称为三阶张量，以此类推。
2.单位张量，张量称为单位张量，它的三个对角分量为1，其它分量为0。
二、张量的代数运算
1.张量的加法
（1）张量的加法
（2）张量与标量的乘法
2.点乘（邻近原则）
（1）并矢与矢量的点乘
《电动力学》考点归纳及典型试题分析
《电动力学》知识点归纳及典型试题分析 一、试题结构 总共四个大题： 1．单选题（'210?）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式， 及对它们的理解。 2．填空题（'210?）：主要考察基本概念和基本公式。 3．简答题 ('35?)：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意 义的理解。 4. 证明题 （''78+）和计算题（''''7689+++）：考察能进行简单 的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。例如：证明泊松方程、电磁场的边界条件、亥姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。 二、知识点归纳 知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：??? ?? ?? ??=??=??+??=????-=??.0;;B D J t D H t B E ρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==J ρ）的自由空间（或均匀
介质）的电磁场方程为：??? ?? ?? ??=??=????=????-=??.0;0;B D t D H t B E （齐次的麦克斯韦方程组） 知识点2：位移电流及与传导电流的区别。 答：我们知道恒定电流是闭合的： ()恒定电流.0=??J 在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有 .0≠??-=??t J ρ 现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=?? 取两边散度，由于 0≡????B ，因此上式只有当0=??J 时才能成立。在非恒定情形下，一般有 0≠??J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。 把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流 J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+??D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=??0μ。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律 .0=??+ ??t J ρ 电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=??E 两式合起来 得：.00=??? ? ? ??+??t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式 .0 t E J D ??=ε 位移电流与传导电流有何区别： 位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。 知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。
学习电动力学的数学准备
学习电动力学的数学准备 2012-05-31 11:57:04| 分类：默认分类|举报|字号订阅 知识前提 1.普通物理（主要是电磁学），初等微积分，矢量代数—应很熟悉 2.矢量分析，场论基础—作为本课程的第0章 3.数理方法（程），特殊函数—提到时应该能理解 第0章数学准备 第一节矢量分析与场论基础 在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格. 一、矢量代数 1.两个矢量的点乘、叉乘 若 则, 的点乘(也称标量积) () ,的叉乘(也称矢量积) ，为, 的夹角 方向：既垂直于，又垂直于,与满足右手螺旋关系。
叉乘的不可交换性 2.三个矢量的混合积 = 几何解释:以为棱的平行六面体的体积 性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变. (2)若只把两个矢量对调,混合积反号。 (3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序)。 3.三个矢量的叉乘 令 则 同理 故
而 二者都是：把括号外的矢量与离它较远的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取正号,把括号外的矢量与离它较近的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取负号。两者取和。("远正近负，再取和") 二、场的概念 在许多科学技术问题中，常常要考虑某种物理量（如温度、密度、电势、力、速度）在空间的分布和变化规律。这是需要引入场的概念。如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。 1.数学上，场是空间时间的函数 时间坐标 空间坐标，构成右手系。 标量场空间的每一个点对应一个标量 矢量场空间的每一个点对应一个矢量 张量场空间的每一个点对应一个张量 2.物理上，描述某一物理客体，具有一定分布规律的物理量 3.记号标量场 矢量场 张量场 4.场中的物理量在各点处的对应值随时间变化的，这个场称为稳定场；否则称为不稳定场。 三、场分析及其微分特征量（矢量微分）
电动力学_知识点总结材料
第一章电磁现象的普遍规律 一、主要容： 电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出 , 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。 二、知识体系： 三、容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律： 对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）
（3）电磁感应定律 ①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。 2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程 其中： 1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。 2当，过渡到真空情况： 3当时，回到静场情况： 4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。 介质中： 3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质 1、电磁场较弱时：均呈线性关系。 向同性均匀介质： ，， 2、导体中的欧姆定律 在有电源时，电源部，为非静电力的等效场。 4．洛伦兹力公式
电动力学知识点总结及试题
洛仑兹力密度< f=/?+^x§ 三.内容提要: 1. 电磁场的基本实捡定律, (1)库仑定律* 二、知识体躺 库仑定理'脸订警壬 电童■应定体毎事孑―半丄@?抜/尸n 涡険电场假设 介质的极化焕律，0=#“ V*fi = p ▽4遁 at 仪鲁电涛fit 设 比真#伐尔定律，s= 介 M?4tM 律： ft^~a Co n Vxff = J + — a 能童守恒定律 缢性介JR 能*??> 能淹密度： S^ExH
対可个点电荷e 空间块点的场强爭丁各点电佔单越力在时徃该点场强的伕城和, （2）毕臭一萨伐尔定律（电沱决崔感场的实於疋律） （3）电耐应定律 ￡& - 其中： 几 1址介质中普适的41底场钛木方用.适用于任盘介丿鼠 2当14=0=0.过渡到真 空怙况: -aff at +?e —J dt v 7 5=0 2o￡o 3当N N 时.回到挣场惜况: 扭方=0 ￡b ?恣=J 妙 F 护云=0 I 有12个未知塑.6个独立方秤，求解时必须给出二与M, 2与?的关系。 介时： 3、介贯中的电恿性廣方程 若为却铁雄介质 I 、电哦场较弱时"与丘&与臣 b 与2万与"均呈线性关系. 向同性均匀介质, P= Q=岭耳 9 9 2、导体中的欧姆定律 在存电源时?电源内部亠八海?)?直?为怖电力的等效场, 4. 洛伦兹力公式 II 7xfl = O 7xH=/ Q ?D 0p 7ft = 《电动力学》课程教学大纲 课程英文名称：Electrodynamics 课程编号：0312033002 课程计划学时：48 学分：3 课程简介： 电动力学的研究对象是电磁场的基本属性, 它的运动规律以及它和带电物质之间的相互作用，本课程在电磁学的基础上系统阐述电磁场的基本理论。另外，本课程还系统地阐述狭义相对论的重要内容，而相对论是现代物理学的重要基础，它与量子论一起对物理学的发展影响深刻，是二十世纪科学与技术飞速发展的基础。本课程是材料物理专业本科的重要专业基础课。 电动力学是物理类有关各专业的一门基础理论课。学电动力学的目的：（1）是使学生系统地掌握电磁运动的基本概念和基本规律，加深对电磁场性质的理解；（2）是使学生获得分析和处理一些问题的基本方法和解决问题的能力，提高逻辑推理和插象思维的能力，为后继课程的学习和独立解决实际问题打下必要的理论基础。 在教学过程中，使用启发式教学，尽量多介绍与该课程相关的前沿科技动态，充分调动和发挥学生的主动性和创新性；提倡学生自学，培养学生的自学能力。 一、课程教学内容及教学基本要求 第一章电磁现象的普遍规律 本章重点：在复习矢量分析、?算符、?算符及其运算法则、δ函数性质的基础上，从电磁场的几个基本实验律(库仑定律，毕奥--萨伐尔定律，电磁感应定律，电荷守恒律) 出发，加上位移电流假定, 总结出电磁场的基本运动规律Maxwell方程组、电荷守恒律和洛仑兹力公式。讨论了介质中的Maxwell方程, 电磁场的能量。本章内容是本课程的基础，必须深刻掌握。 难点：电磁场边值关系，电磁场的能量和能流。 本章学时:10学时 教学形式:讲授 教具:黑板，粉笔 第一节矢量分析和张量；?算符、?算符及其运算规则、δ函数性质 本节要求：理解：矢量分析和张量运算。掌握：?算符、?算符及其运算法则、δ函数性质（重点：考核概率50%）。 1 矢量分析和张量（理解：矢量运算法则，在电动力学中张量是如何引入的；了解：线性各 《电动力学》知识点归纳 一、试题结构 总共四个大题： 1．单选题（'210?）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式， 及对它们的理解。 2．填空题（'210?）：主要考察基本概念和基本公式。 3．简答题 ('35?)：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意 义的理解。 4. 证明题 （''78+）和计算题（''''7689+++）：考察能进行简单 的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。例如：证明泊松方程、电磁场的边界条件、亥姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。 二、知识点归纳 知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：??? ? ? ????=??=??+??=????- =??.0;;B D J t D H t B E ρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==J ρ）的自由空间（或均匀 介质）的电磁场方程为：??? ? ? ?? ? ?=??=????=????-=??.0;0;B D t D H t B E （齐次的麦克斯韦方程组） 知识点2：位移电流及与传导电流的区别。 答：我们知道恒定电流是闭合的： ()恒定电流.0=??J 在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有 .0≠??-=??t J ρ 现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=?? 取两边散度，由于 0≡????B ，因此上式只有当0=??J 时才能成立。在非恒定情形下，一般有 0≠??J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普 遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。 把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流 J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+??D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产 生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=??0μ。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律 .0=??+ ??t J ρ电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0 ερ =??E 两式合起来得：.00=??? ? ? ??+??t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式 .0 t E J D ??=ε 位移电流与传导电流有何区别： 位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。 知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。 答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：0 =??+????-=???t J dV t ds J S V ρρ 恒定电流的连续性方程为：0=??J 《数学物理方法》课程教学大纲 （供物理专业试用） 课程编码：140612090 学时：64 学分：4 开课学期：第五学期 课程类型：专业必修课 先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》 教学手段：（板演） 一、课程性质、任务 1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。 2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。可以在后续的选修课中加以介绍。 3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。但是，它与其它的数学课有所不同。本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。 4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。二、课程基本内容及课时分配 第一篇复数函数论 第一章复变函数（10） 教学内容： §1.1．复数与复数运算。复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。 §1.2．复变函数。复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连续性。 §1.3．导数。导数，导数的运算，科希—里曼方程。 §1.4．解析函数。解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。 §1.5．平面标量场。稳定场，标量场，复势。 第二章复变函数的积分（7） 教学内容： §2.1．复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。 §2.2．科希定理。科希定理的内容和应用，孤立奇点，单通区域，复通区域，回路积分。 §2.3．不定积分*。原函数。 §2.4．科希公式。科希公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求） 第三章幂级数展开（9） 教学内容： 五批次 一、填空题 1．动系的尺子将 ，动系的时钟将 。 2．因果关系对一切惯性系 。 3．同时是 。 4．对理想导体，静电平衡时, 电力线与导体表面垂直，电场随时间变化时，电力线的方向___________________. 5. 电偶极辐射的功率与频率______________________, 磁场与 r _____________________. 6．已知海水的()1.1,1-Ω==m r σμ，则频率为610赫时电磁波在海水中的透入深度为___________________________. 7．关于相对论, 有__________________________________ 8．真空中什么情况下带电粒子会辐射________________ 9. 矩形波导管的边长分别为b a 和, 则10TE 波的截止波长为_________________ 10. 横向多普勒效应是指___________________________ 11.对理想导体，静电平衡时,导体中电荷密度为0，电场随时间变化时，导体中电荷________ 12．波导管内电磁波存在截止_____________________________________ 13. 若在垂直于以速度为2 c ，频率为0ω的光源运动方向上观察，频率应是__________ 14．矩形谐振腔的边长的关系为231L L L >> ，则共振频率为_____________ 二、选择填空 1． ( ﹞接地的半径为R 的导体球，球外距球心为对a 处有一电量为Q 的点电荷，则 其像电荷的电量和位置 A. 电量为Q a R q -=', 在球心和Q 的联线上，距球心为a R b 2 = B. 电量为Q R a q -=', 在球心和Q 的联线上，距球心为a R b 2 = C. 电量为Q a R q -=', 在球心和Q 的联线上，距球心为R a b 2 = D. 电量为Q a R q 2 '-=, 在球心和Q 的联线上，距球心为a R b = 2．( ﹞在两种均匀介质的界面处，若电磁波由介电常数大的介质到介电常数小的介质，则可能发生全反射。全反射时，折射波 第一章电磁现象的普遍规律 一、主要内容： 电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。 二、知识体系： 三、内容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律： 对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即： （2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） （3）电磁感应定律 ①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。 2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程 其中： 1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。 2当，过渡到真空情况： 3当时，回到静场情况： 4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。介质中： 3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质 1、电磁场较弱时：均呈线性关系。 向同性均匀介质： ，， 2、导体中的欧姆定律 在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。 4．洛伦兹力公式 考虑电荷连续分布， 电动力学重点知识总结期 末复习必备 Final approval draft on November 22, 2020 一 1.静电场的基本方程 #微分形式： 积分形式： 物理意义：反映电荷激发电场及电场内部联系的规律性 物理图像：电荷是电场的源，静电场是有源无旋场 2.静磁场的基本方程 #微分形式 积分形式 反映静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合。它的激发源仍然是运动的电荷。 注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体磁场可以单独存在，且没有宏观静电场）。 #电荷守恒实验定律： #稳恒电流： ， *#3.真空中的麦克斯韦方程组 0,E E ρε??=? ?=()0 1 0L S V Q E dl E dS x dV ρεε'' ?=?= = ? ? ? ， 0J t ρ ???+=?00 L S B dl I B d S μ?=?=? ?， 00B J B μ??=??=，0J ??=2 1 (-)0n J J ?= 揭示了电磁场内部的矛盾和运动，即电荷激发电场，时变电磁场相互激发。微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。 * 真空中位移电流 ，实质上是电场的变化率 *#4.介质中的麦克斯韦方程组 1）介质中普适的电磁场基本方程，可用于任意介质，当 ，回到真 空情况。 2）12个未知量，6个独立方程，求解必须给出 与 ， 与 的关 系。 #）边值关系一般表达式 2）理想介质边值关系表达式 6.电磁场能量守恒公式 t D J t D ρ?B E =- ??H =+?=??B =0==P M H B E D ) (00M H B P E D +=+=με()()????? ? ?=-?=-?=-?=-?α σ 12121212?0?0)(?)(?H H n E E n B B n D D n ()()????? ? ?=-?=-?=-?=-?0 ?0?0) (?0 )(?12121212H H n E E n B B n D D n D E J t ε?=? 第一章电磁现象的普遍规律一、主要内容： 电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全 描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。 二、知识体系： 三、内容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律： 对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即： （2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） （3）电磁感应定律 ①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。 2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程 其中： 1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。 2当，过渡到真空情况： 3当时，回到静场情况： 4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。介质中： 3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质 1、电磁场较弱时：均呈线性关系。 向同性均匀介质： ，， 2、导体中的欧姆定律 在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。 4．洛伦兹力公式 考虑电荷连续分布， 单位体积受的力： 洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了它的正确。 说明：① ② 5.电磁场的边值关系 其它物理量的边值关系： 《电动力学》知识点归纳 一、试题结构 总共四个大题： 1．单选题（'2 10?）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式，及对它们的理解。 2．填空题（'2 10?）：主要考察基本概念和基本公式。 3．简答题('35?)：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意义的理解。 4. 证明题（''78+）和计算题（''''7 + +）： 9+ 6 8 考察能进行简单的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。例如：证明泊松方程、电磁场的边界条件、亥 姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。 二、知识点归纳 知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为： ???? ? ?? ??=??=??+??=????-=??.0;;B D J t D H t B E ρ（此为麦克斯韦 方程组）；在没有电荷和电流分布（ 的情形 0,0==J ρ）的自由空间（或均匀介 质）的电磁场方程为：??? ? ? ?? ??=??=????=????-=??.0;0;B D t D H t B E （齐次 的麦克斯韦方程组） 知识点2：位移电流及与传导电流的区别。 答：我们知道恒定电流是闭合的： () 恒定电流.0=??J 在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有 .0≠??- =??t J ρ 现在我们考虑电流激发磁场的规律： () @.0J B μ=?? 取两边散度，由于0≡????B ，因 此上式只有当0=??J 时才能成立。在非恒定情形下，一般有0≠??J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷 数学物理书目 这个书目是我从网上收集起来的,应该算比较全面了,以前在这里发过一次，但现在找不到了，再次发在这里大家参考.。 目录： 1数学书目 1.1《数学分析--高等数学》 1.2《高等代数--线性代数》 1.3《空间解析几何》 1.4《常微分方程》 1.5《单复变函数》 1.6《关于自学数学》 1.7《实变函数论与泛函分析》 1.8《抽象代数》 1.9《组合基础》 1.10《数学物理方程》 1.11《拓扑学》 1.12《微分几何》 1.13《微分流形》 2数学参考书目 2.1说明 2.2逻辑 2.3组合，形式计算 2.4数论 2.5代数，同调代数，范畴，层 2.6K-理论，C^*-代数 2.7代数几何 2.8群，李群和李代数 2.9代数拓扑，微分拓扑 2.10微分几何 2.11动力系统 2.12实分析，调和分析 2.13泛函分析 2.14复分析，解析几何，奇性 2.15线性偏微分方程，D-模 2.16非线性偏微分方程 2.17数学物理 2.18数值分析 2.19概率 2.20统计 2.21博弈论，经济数学，最优化 2.22数学史 3物理学书单 3.1量子力学 3.2理论力学 3.3电动力学 3.4固体物理 3.5数理方法 3.6统计力学 3.7一些补充 4理论物理 5物理经典教材 6A Physics Booklist:Recommendations from the Net 6.1Subject Index 6.2General Physics(so even mathematicians can understand it!) 6.3Classical Mechanics 6.4Classical Electromagnetism 6.5Quantum Mechanics 6.6Statistical Mechanics and Entropy 6.7Condensed Matter 6.8Special Relativity 6.9Particle Physics 6.10General Relativity 6.11Mathematical Methods(so that even physicists can understand it!) 6.12Nuclear Physics 6.13Cosmology 6.14Astronomy 6.15Plasma Physics 6.16Numerical Methods/Simulations 6.17Fluid Dynamics 6.18Nonlinear Dynamics,Complexity,and Chaos 6.19Optics(Classical and Quantum),Lasers 6.20Mathematical Physics 6.21Atomic Physics 6.22Low Temperature Physics,Superconductivity 7习题 8推荐给大家的优秀数学参考书 数学学习的意义简单 1、初中数学学什么？ 初中数学在我上学的时代还是分成代数和几何两门学科的。 代数的学习内容包括：代数与代数式、有理数、整式的加减、一元一次方程、二元一次方程组、不等式和不等式组、整式的乘法、因式分解、分式、数的开方、二次根式、一元二次方程、函数及其图象、统计初步。 几何的学习内容包括：线段与角、平行与相交、三角形、四边形、相似性、解直角三角形、圆。 数学的难度极速提升是在初二上学期。由于因式分解和三角形的解题对模式化和技巧性要求很高，学生需要不少枯燥的训练，同时需要一定的观察力，成绩拉开是在这个阶段，不少学生对数学兴趣丧失也是在这个阶段。 初中新课程： 有理数、整式的加减、一元一次方程、几何图形； 相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程、不等式和不等式组； 三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解、分式；二次根式、勾股定理、平行四边形、一次函数、数据的分析； 一元二次方程、二次函数、旋转、圆、概率初步； 反比例函数、相似、锐角三角函数、投影和视图。 新课程加了许多新内容，深度也增加了，很多内容也重新编排了 先后顺序。 2、高中数学学什么？ 高中老课程：集合与简易逻辑、函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、直线和圆的方程、圆锥曲线、立体几何、排列与组合、概率与统计、极限、导数、复数。 高中新课程： 必修：集合与函数、指数与对数函数、函数的应用、平面几何体、空间关系、直线方程、圆方程、算法、统计、概率、三角函数、平面向量、三角恒等变换、解三角形、数列、不等式 文科选修：简易逻辑、圆锥曲线、导数、统计应用、推理证明方法、复数、框图 理科选修：简易逻辑、圆锥曲线、立体几何、导数、复数、推理证明方法、计数原理、随机变量、统计。 其他的自选课（可以想象，除了很牛逼的学校，基本不会上）：数学史、球面几何、对称与群论、几何证明、矩阵运算、坐标系和参数方程、不等式（"花式"不等式）、初等数论、试验设计、风险决策、布尔代数。 不得不说，新课程的自选课简直是炫酷屌炸天。 3、中学课程与大学课程的衔接： 数学可以简单地进行大致归类：代数、几何、分析和数论。 如果不是数学系的大学生，一般在本科会学到高等数学、线性代数、概率论和数理统计这三门课程中的两到三门。高等数学就属 一 1.静电场的基本方程 #微分形式： 积分形式： 物理意义：反映电荷激发电场及电场内部联系的规律性 物理图像：电荷是电场的源，静电场是有源无旋场 2.静磁场的基本方程 #微分形式 积分形式 反映静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合。它的激发源仍然是运动的电荷。 注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体磁场可以单独存在，且没有宏观静电场）。 #电荷守恒实验定律： #稳恒电流： ， *#3.真空中的麦克斯韦方程组 0, E E ρ ε??=??= r r ()00 1 0L S V Q E dl E dS x dV ρεε'' ?= ?== ? ? ? r r r r r 蜒 ， 0 J t ρ ???+=?r 00 L S B dl I B d S μ?=?=??r r u v u v 蜒， 00 B J B μ??=??=u v u v u v ，0J ??=r 21(-)0 n J J ?=r u u r u u r 揭示了电磁场内部的矛盾和运动，即电荷激发电场，时变电磁场相互激发。微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。 *真空中位移电流 ，实质上是电场的变化率 *#4.介质中的麦克斯韦方程组 1）介质中普适的电磁场基本方程，可用于任意介质，当 ，回到真空情况。 2）12个未知量，6个独立方程，求解必须给出 与 ， 与 的关系。 #）边值关系一般表达式 2）理想介质边值关系表达式 6.电磁场能量守恒公式 0==P M ρ ρH ρB ρE ρD ρ ) (00M H B P E D ρρρρ ρρ+=+=με()()????? ? ?=-?=-?=-?=-?α σ ???????ρ?12121212?0?0)(?)(?H H n E E n B B n D D n ()()????? ? ?=-?=-?=-?=-?0 ?0?0) (?0 )(?12121212H H n E E n B B n D D n ??????ρ?0 D E J t ε?=?r r 电动力学中麦克斯韦方程组的整理及讨论 引言 大学中有关电动力学的学习，都离不开一个重要的方程--------麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程作为电磁场中核心定律引导我们更好的学习电动力学，并更好的从电磁场的角度来分析光学的相关知识。更深一步的掌握麦克斯韦方程组，有助于我们学科的学习，为了更好的归纳，以下就从它的历史背景，公式推导，静电场，静磁场，电磁场等几个方面论述麦克斯韦方程组的重要应用。b5E2RGbCAP 一、历史背景 伟大的数学家麦克斯韦和物理学家法拉第历史性的拥抱，麦克斯韦将法拉第实验得到电磁场存在的理论，用数学公式完美的表现出来，这就是伟大的麦克斯韦方程组。p1EanqFDPw 1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律<1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律<1820年），法拉第定律<1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。1855年至1865年，麦克斯韦基于以上理论，把数学的分析方法引进电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。DXDiTa9E3d 二、真空中麦克斯韦方程的推导 麦克斯韦方程之所以能够出现，是因为他在恒定场的基础上提出两个假设，他们分别是有法拉第电磁感应定律，认为变化的磁场可 以激发电场；麦克斯韦位移电流假设，认为变化的电场可以激发磁场。RTCrpUDGiT 所以麦克斯韦利用库伦定律，高斯定理和相应的数学公式推出了电场的高斯定理的微分式<1）。利用安培环路定理，毕奥—萨伐尔定律推导出微分式<3）。利用了法拉第电磁感应定律和静电场方程推出了微分式<2）。最后利用麦克斯韦的位移电流假说和电荷守恒定律推导出了微分式<4）。5PCzVD7HxA 三、介质中的麦克斯韦方程组 介质中的电容率和磁导率不再是和而是改成和，并在此我们确定了两个物理量，分别是极化强度适量和磁化强度适量。他们各自产生了极化电流和磁化电流，他们之间的关系式由微分形式表示为和。根据以上关系式，并根据电荷守恒和诱导电流< 极化电荷和磁化电流）分别得到电位移矢量和磁场强度。并得到两个线性关系和。这样就把真空中的麦克斯韦方程组推广到介质中，下面<5）到<8）就是介质中的麦克斯韦方程组。jLBHrnAILg 对以上各式进行物理分析，就能确切麦克斯韦方程组的物理含义。其中<5）式说明电荷是产生电场的场源；<6）式说明了变化的磁场可以激发涡旋电场；<7）式说明了磁场是无源场；<8）式表明变化的电场和电流可以激发涡旋磁场。xHAQX74J0X <2 ） <1 ） <3 ） <4 ） <6 ） <5 ） <7 ） <8 ） 西南大学 网络与继续教育学院 课程代码： 0134 学年学季：20182 单项选择题 1、 关于相对论时空观，以下正确的是 1. 两事件在同一地点发生 , 则在任何惯性系中都是同时的 2. 速度小于光速时 , 因果关系是相对的 3. 两惯性系中, 在一系同时发生的两事件, 在另系也同时发生 4. 物体静止系下 , 某过程所用的时间长于动系下这一过程所用时间 2、一列火车静止时，长是1km ，当这列火车以0.6c 的速度行驶时，地面观察者观察到火车的长度是: 1. 0.70km 2. 0.80km 3. 0.60km 4. 0.90km 3、（ ） 一束光在介质1（光密）和介质2（光疏）的界面上发生全反射，设界面法向方向从介质1 到 1. 折射波在介质2中的穿透深度与 数量级相当 2. 折射波在介质2中是沿分界面的表面波 3. 界面上沿法向方向的平均能流密度为零 4. 如果介质2为真空，折射波的波速等于 c 4、 以下物理量，哪个为洛伦兹不变量 1. E. 两点之间的空间距离 2. 时间 3. 电量密度 4. 两事件间的间隔 5、 关于麦克斯韦方程组，以下正确的是 1. 电位移矢量的散度等于自由电荷密度与极化电荷密度之和 2. 电位移矢量的旋度等于磁感随时间的偏微分的负值 3. 磁场强度的旋度等于传导电流密度与位移电流密度之和. 4. 磁感强度的散度为零 6、关于相对论以下说法正确的是 1. 对于两不同惯性系,同时是绝对的 2. 光速无论在介质中还是在真空中都等于 3. 对所有惯性系，真空中的光速为 4. 任意惯性系中观察者观察到物体的长度都是一样的 7、由唯一性定理，接地导体腔外的电场不受空腔内部影响，是因为 1. 空腔内电荷及空腔内表面电荷确定 2. 空腔外电荷及导体空腔的电势确定 3. 空腔内没有电荷 4. 空腔外表面没有电荷 8、关于多普勒效应, 狭义相对论认为，对于运动源，地面上观察者看到的电磁波频率将 1. 在运动的垂直方向上，频率减小 2. 在运动的垂直方向上，频率增大 3. 只在运动方向上改变 4. 不会改变 9、以下关于物理量关系描述中正确的是：（） 1. C. 真空中动量密度和能流密度的关系为 2. 洛仑兹力密度 3. 真空中平面电磁波电场强度、磁感强度的关系可以写为 《电动力学》知识点归纳及典型例题分析 一、知识点归纳 知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：??? ? ? ?? ??=??=??+??=????-=??.0;;B D J t D H t B E ρ ρρρρρρρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==J ρ ρ）的自由空间（或均匀 介质）的电磁场方程为：??? ? ? ????=??=????=????- =??.0;0;B D t D H t B E ρ ρρρρρ（齐次的麦克斯韦方程组） 知识点2：位移电流及与传导电流的区别。 答：我们知道恒定电流是闭合的： 在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有 现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=?? 取两边散度，由于 0≡????B ，因此上式只有当0=??J 时才能成立。在非恒定情形下，一般有0≠??J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。 把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流 J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+??D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=??0μ。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律 .0=??+ ??t J ρ 电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=??E 两式合起来 得：.00=?? ? ?? ??+??t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式 位移电流与传导电流有何区别： 位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。 知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。 答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：0 =??+????-=???t J dV t ds J S V ρρρρ 恒定电流的连续性方程为：0=??J 知识点4：在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p 和磁化强度矢量M 各的定义方法；P 与P ρ；M 与j ；E 、D 与p 以及B 、H 与M 的关系。 答：极化强度矢量p ：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量P 描述，它等于物理小体积V ?内的 总电偶极矩与V ?之比，.V p P i ?= ∑ρ i p 为第i 个分子的电偶极矩，求和符号表示 对V ?内所有分子求和。 磁化强度矢量M ： 介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度M J 。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流i 的小线圈，线圈面积为a ，则与分子电流相应的磁矩为： 介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M 表示，它定义为物理小体积V ?内的总磁偶极矩与V ?之比， 知识点5：导体表面的边界条件。 答：理想导体表面的边界条件为：.,0α=?=?H n E n ??? ? ??=?=?.0,B n D n σ。它们可以形象地表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。 电动力学重点知识总结 期末复习必备 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 一 1.静电场的基本方程 #微分形式： 积分形式： 物理意义：反映电荷激发电场及电场内部联系的规律性 物理图像：电荷是电场的源，静电场是有源无旋场 2.静磁场的基本方程 #微分形式 积分形式 反映静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合。它的激发源仍然是运动的电荷。 注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体磁场可以单独存在，且没有宏观静电场）。 #电荷守恒实验定律： #稳恒电流： ， *#3.真空中的麦克斯韦方程组 0,E E ρε??=? ?=()0 1 0L S V Q E dl E dS x dV ρεε'' ?=?= = ? ? ? ， 0J t ρ ???+=?00 L S B dl I B d S μ?=?=? ?， 00B J B μ??=??=，0J ??=2 1 (-)0n J J ?= 揭示了电磁场内部的矛盾和运动，即电荷激发电场，时变电磁场相互激发。微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。 * 真空中位移电流 ，实质上是电场的变化率 *#4.介质中的麦克斯韦方程组 1）介质中普适的电磁场基本方程，可用于任意介质，当 ，回到真 空情况。 2）12个未知量，6个独立方程，求解必须给出 与 ， 与 的关 系。 #）边值关系一般表达式 2）理想介质边值关系表达式 6.电磁场能量守恒公式 t D J t D ρ?B E =- ??H =+?=??B =0==P M H B E D ) (00M H B P E D +=+=με()()????? ? ?=-?=-?=-?=-?α σ 12121212?0?0)(?)(?H H n E E n B B n D D n ()()????? ? ?=-?=-?=-?=-?0 ?0?0) (?0 )(?12121212H H n E E n B B n D D n D E J t ε?=?电动力学
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