2020年中考数学 图形的平移、旋转、翻折综合题(相似必考) 专题训练(无答案)

图形的平移、旋转、翻折综合题（相似必考）

1.如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°,∠EDF=30°

操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q.

探究一：在旋转过程中，

(1)如图2,当CE：EA=1时，EP

与EQ满足怎样的数量关系?

并给出证明；

(2)如图3,当CE：EA=2时，EP

与EQ满足怎样的数量关系?

并说明理由；

(3)根据你对(1)、(2)的探究结果,试写出当CE：EA=m时,EP与EQ满足的数量关系式

为,其中m的取值范围是.(直接写出结论,不必证明)

探究二：若CE：EA=2且AC=30cm,连接PQ,设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：

(1)S是否存在最大值或最小值?若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由。

(2)随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围。

2.在矩形ABCD中，AD>AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF//BC，交对角线BD于点F．

（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．

求证：△DEF是等腰三角

形；

（2）如图2，将△PDF绕

点D逆时针方向旋转得到

△P′DF′，连接P′C，F′B．设

旋转角为α(0°<α<180°)．

①若0°<α<∠BDC，即DF′

在∠BDC的内部时，求证：

△DP′C∽△DF′B．

②如图3，若点P是CD的中点，△DF′B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF′的值，如果不能，请说明理由。

3.如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F=30°.

（1）求证：BC=CE；

（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋

转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，

若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，

N（如图2）.

①求证：△BEM≌△CEN；

②若AB=2，求△BMN面积的最大值；

③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如

图3），求sin∠EBG的值.

4.将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=23cm．

(1)求GC的长；

(2)如图2，将△DEF

绕点D顺时针旋转，

使直角边DF经过点

C，另一直角边DE与

AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．

(3)在(2)的条件下，将△DEF方向平移得到△D'E'F'，都能够D'E'恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD'的长度．

5.如图,在等腰Rt△ABC中,∠

ACB=90°,AB=142,点D,E分别

在边AB,BC上,将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF.

(1)如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O.求证：BD=2DO.

(2)已知点G为AF的中点。

①如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长。

②若AD=6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形?若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由。

6.如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是边AB上的一个动点（与点A，B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．

（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在边AC边上，则AB’的长度为．

（2）如图2，当PB=5时，若直线l∥AC，则BB’的长度为．

（3）如图3，当点P在边AB上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积．

（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．

7.如图1,菱形ABCD的顶点A,D在直线上,∠BAD=60°,以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α(0°<α<30°),得到菱形AB′C′D′,B′C′交对角线AC于点M,C′D′交直线l于点N，连接MN.

(1)当MN∥B′D′时，求α的

大小。

(2)如图2,对角线B′D′交AC

于点H,交直线l与点G,延长

C′B′交AB于点E,连接EH.

当△HEB′的周长为2时，求

菱形ABCD的周长。

8.(1)问题发现

如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°，B，C，D在一条直线上。

填空：线段AD，BE之间的关系为

(2)拓展探究

如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°，请判断AD，BE的关系，并说明理由。

(3)解决问题

如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，随着点B的位置的变化，

直接写出PC的范围。

9.如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.

(1)证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

②推断：AG:BE的值为:

(2)探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转

α角(0°<α<45°),如图(2)所示，试探

究线段AG与BE之间的数量关系，并

说明理由；

(3)拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=22，则BC=

10.我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

(1)概念理解：

如图1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由．

(2)问题探究：

如图2，△ABC是“等高底”三

角形，BC是”等底”，作△ABC

关于BC所在直线的对称图形得到△A′BC，连结AA'交直线BC于点D. 若点B是△AA'C 的重心，求AC:BC的值．

(3)应用拓展：

如图3，已知l1//l2，l1与l2之间的距离为2.“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的2倍。将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，A'C所在直线交l2于点D. 求CD的值．

11.在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F.

(Ⅰ)如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；

(Ⅱ)如图②，当点D落在线段BE上时，AD

与BC交于点H.

①求证△ADB≌△AOB；

②求点H的坐标。

(Ⅲ)记K为矩形AOBC对角线的交点,S为

△KDE的面积,求S的取值范围(直接写出

结果即可).

12.已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转。

(1)当正方形ABCD旋转到∠MAN的

外部(顶点A除外)时，AM，AN分别

与正方形ABCD的边CB，CD的延长

线交于点M，N，连接MN.

①如图1，若BM=DN，则线段MN

与BM+DN之间的数量关系

是；

②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(2)如图3,当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部(顶点A除外)时，AM，AN分别与直线BD 交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由。

13.【问题提出】

如图①,已知△ABC是等腰三角形,点E在线段AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,将△BCE 绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF

试证明：AB=DB+AF

【类比探究】

(1)如图②，如果点E在线段AB

的延长线上，其他条件不变，

线段AB，DB，AF之间又有怎

样的数量关系?请说明理由

(2)如果点E在线段BA的延长

线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由。

14.如图,等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C,其中∠EDC=120°,AB=CE=26，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD

(1)为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；

(2)如图1,(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图3,若∠ACD=45°，求△PAD的面积。

15.已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点.

（1）当△ADE绕点A旋转时，如

图1，则△FGH的形状为，

说明理由；

（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；

（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由.

16.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

(1)概念理

请你根据上述定义举一个等邻

角四边形的例子；

(2)问题探究；

如图1，在等邻角四边形ABCD

中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的

中垂线恰好交于AB边上一点P，

连结AC，BD，试探究AC与BD

的数量关系，并说明理由；

(3)应用拓展；

如图2,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图3),当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积。

17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.

（1）如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线

段BQ与CP的数量关系；

（2）如图②，当点P在CB延长线上时，（1）中结论

是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明

理由；

（3）如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，

BP=4，请求出BQ的长.

18.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中线,AC=BC,一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.

(1)如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；

(2)如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程

中：

①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量

关系，并说明理由；

②若CE=4，CF=2，求DN的长。