高中数学必修一 集合的交集与并集

集合的交集与并集

导入新课

1若集合A={x|0

学生回答后,教师指明:在不同的范围内集合中的元素会有所不同,这个“范围”问题就是本节学习的内容,引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题

①用列举法表示下列集合:

A={x ∈Z |(x-2)(x+

31

)(x 2-)=0}; B={x ∈Q|(x-2)(x+31

)(x 2-)=0};

C={x ∈R|(x-2)(x+3

1

)(x 2-)=0}.

②问题①中三个集合相等吗？为什么？ ③由此看,解方程时要注意什么？

④问题①,集合Z,Q,R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素,这样的集合称为全集,请给出全集的定义.

⑤已知全集U={1,2,3},A={1},写出全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合B. ⑥请给出补集的定义. ⑦用Venn 图表示

A.

活动：组织学生充分讨论、交流,使学生明确集合中的元素,提示学生注意集合中元素的范围. 讨论结果： ①A={2},B={2,31-

},C={2,3

1

-,2}. ②不相等,因为三个集合中的元素不相同.

③解方程时,要注意方程的根在什么范围内,同一个方程,在不同的范围其解会有所不同.

④一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记为U. ⑤B={2,3}.

⑥对于一个集合A,全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集.

集合A 相对于全集U 的补集记为A,即A={x|x ∈U,且x A}.

⑦如图1-1-3-9所示,阴影表示补集.

图1-1-3-9

应用示例

例1：设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求A, B.

活动：让学生明确全集U中的元素,回顾补集的定义,用列举法表示全集U,依据补集的定义写

出A, B.

解：根据题意,可知U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以

A={4,5,6,7,8};B={1,2,7,8}.

点评：本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合,依据补集的含义,直接观察写出集合运算的结果.

常见结论:(A∩B)=(A)∪(B);(A∪B)=(A)∩(B).

变式训练

1.2007吉林高三期末统考,文1已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则

(A)∩(B)等于( )

A.{1,6}

B.{4,5}

C.{2,3,4,5,7}

D.{1,2,3,6,7}

分析:思路一:观察得(A)∩(B)={1,3,6}∩{1,2,6,7}={1,6}.

思路二:A∪B={2,3,4,5,7},则(A)∩(B)=(A∪B)={1,6}.

答案：A

2.2007北京东城高三期末教学目标抽测一,文1设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},B={2},则

A∩(B)等于( )

A.{1,2,3,4,5}

B.{1,4}

C.{1,2,4}

D.{3,5}

答案：B

3.2005浙江高考,理1设全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},则P∩(Q)等于

( )

A.{1,2}

B.{3,4,5}

C.{1,2,6,7}

D.{1,2,3,4,5}

答案：A

例 2.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}.求

A∩B,(A∪B).

活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的

含义写出结果.A∩B是由集合A,B中公共元素组成的集合,(A∪B)是全集中除去集合A∪B

中剩下的元素组成的集合.

解：根据三角形的分类可知

A∩B= ,

A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},(A∪B)={x|x是直角三角形}.

变式训练

1.已知集合A={x|3≤x<8},求 A. 解：A={x|x<3或x≥8}.

2.设S={x|x 是至少有一组对边平行的四边形},A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是菱形},C={x|x 是矩形},求B∩C,B, A.

解：B∩C={x|正方形},B={x|x 是邻边不相等的平行四边形},A={x|x 是梯形}.

3.已知全集I=R ,集合A={x|x 2+ax+12b=0},B={x|x 2-ax+b=0},满足(A)∩B={2},(B)∩A={4},求实数a 、b 的值. 答案：a=

78,b=7

12 . 4.设全集U=R ,A={x|x≤2+3},B={3,4,5,6},则(

A)∩B 等于…( )

A.{4}

B.{4,5,6}

C.{2,3,4}

D.{1,2,3,4} 分析:∵U=R ,A={x|x≤2+3},∴A={x|x>2+3}.而4,5,6都大于2+3,

∴(

A)∩B={4,5,6}.

答案：B

例3.已知全集U=R,A={x|-2≤x≤4},B={x|-3≤x≤3},求: (1)A,

B;

(2)(A)∪(B),(A∩B),由此你发现了什么结论？ (3)(

A)∩(

B),

(A ∪B),由此你发现了什么结论？

活动：学生回想补集的含义,教师指导学生利用数轴来解决.依据补集的含义,借助于数轴求得.在数轴上表示集合A,B. 解：如图1-1-3-10所示,

图1-1-3-10

(1)由图得A={x|x<-2或x>4},B={x|x<-3或x>3}.

(2)由图得(

A)∪(

B)={x|x<-2或x>4}∪{x|x<-3或x>3}={x|x<-2或x>3};

∵A∩B={x|-2≤x≤4}∩{x|-3≤x≤3}={x|-2≤x≤3}, ∴

(A∩B)=

{x|-2≤x≤3}={x|x<-2或x>3}. ∴得出结论

(A∩B)=(

A)∪(

B).

(3)由图得(A)∩(B)={x|x<-2或x>4}∩{x|x<-3或x>3}={x|x<-3或x>4};

∵A∪B={x|-2≤x≤4}∪{x|-3≤x≤3}={x|-3≤x≤4},

∴(A∪B)={x|-3≤x≤4}={x|x<-3或x>4}.

∴得出结论(A∪B)=(A)∩(B).

变式训练

1.2006重庆高考,理1已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(A)∪(B)等于

( )

A.{1,6}

B.{4,5}

C.{1,2,3,4,5,7}

D.{1,2,3,6,7}

答案：D

2.2005江西高考,理1设集合I={x||x|<3,x∈Z},A={1,2},B={-2,-1,2},则A∪(B)等于( )

A.{1}

B.{1,2}

C.{2}

D.{0,1,2}

答案：D

2.设全集U={x|x≤20,x∈N,x是质数},A∩(B)={3,5},(A)∩B={7,19},(A)∩(B)={2,17},

求集合A、B.

活动：学生回顾集合的运算的含义,明确全集中的元素.利用列举法表示全集U,根据题中所给的条件,把集合中的元素填入相应的Venn图中即可.求集合A、B的关键是确定它们的元素,由于全集是U,则集合A、B中的元素均属于全集U,由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多,可借助于Venn图来解决.

解：U={2,3,5,7,11,13,17,19},

由题意借助于Venn图,如图1-1-3-11所示,

图1-1-3-11

∴A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.

点评：本题主要考查集合的运算、V enn图以及推理能力.借助于Venn图分析集合的运算问题,使问题简捷地获得解决,将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来,这正体现了数形结合思想的优越性.

变式训练

1.2007临沂高三期末统考,文1

图1-1-3-12

设I为全集,M、N、P都是它的子集,则图1-1-3-12中阴影部分表示的集合是( )

A.M∩[(N)∩P]

B.M∩(N∪P)

C.[(M)∩(N)]∩P

D.M∩N∪(N∩P)

分析:思路一:阴影部分在集合M内部,排除C;阴影部分不在集合N内,排除B、D.

思路二:阴影部分在集合M内部,即是M的子集,又阴影部分在P内不在集合N内即在(N)∩P

内,所以阴影部分表示的集合是M∩[(N)∩P].

答案：A

2.设U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(A)∩B={3,7},(B)∩A={2,8},(A)∩(B)={1,5,6},则集合

A=________,B=________.

分析:借助Venn,如图1-1-3-13,把相关运算的结果表示出来,自然地就得出集合A、B了.

图1-1-3-13

答案：{2,4,8,9} {3,4,7,9}

知能训练

课本P11练习4.

【补充练习】

1.设全集U=R,A={x|2x+1>0},试用文字语言表述A的意义.

解：A={x|2x+1>0}即不等式2x+1>0的解集,A中元素均不能使2x+1>0成立,即A中元素应当满足2x+1≤0.∴A即不等式2x+1≤0的解集.

2.如图1-1-3-14所示,U是全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分表示的集合是_______.

图1-1-3-14

分析:观察图可以看出,阴影部分满足两个条件:一是不在集合S内;二是在集合M,P的公共部分内,因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M,P的交集的交集,即(S)∩(M∩P).答案：(S)∩(M∩P)

3.2007安徽淮南一模,理1设集合A、B都是U={1,2,3,4}的子集,已知

(A)∩(B)={2},(A)∩B={1},则A等于( )

A.{1,2}

B.{2,3}

C.{3,4}

D.{1,4}

分析:如图1-1-3-15所示.

图1-1-3-15

由于(A)∩(B)={2},(A)∩B={1},则有A={1,2}.∴A={3,4}.

答案：C

4.2006安徽高考,文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S={1,3,5},T={3,6},则(S∪T)等于

( )

A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}

分析:直接观察(或画出Venn图),得S∪T={1,3,5,6},则(S∪T)={2,4,7,8}.

答案：B

5.2007河北石家庄一模,文1已知集合I={1,2,3,4},A={1},B={2,4},则A∪(B)等于( )

A.{1}

B.{1,3}

C.{3}

D.{1,2,3}

分析:∵B={1,3},∴A∪(B)={1}∪{1,3}={1,3}.

答案：B

拓展提升

问题:某班有学生50人,解甲、乙两道数学题,已知解对甲题者有34人,解对乙题者有28人,两题均解对者有20人,问:

(1)至少解对其中一题者有多少人？

(2)两题均未解对者有多少人？

分析:先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型,然后根据题意写出它们的运算,问题便得到解决.

解：设全集为U,A={只解对甲题的学生},B={只解对乙题的学生},C={甲、乙两题都解对的学生},

则A∪C={解对甲题的学生},

B∪C={解对乙题的学生},

A∪B∪C={至少解对一题的学生},

(A∪B∪C)={两题均未解对的学生}.

由已知,A∪C有34个人,C有20个人,

从而知A有14个人;B∪C有28个人,C有20个人,所以B有8个人.

因此A∪B∪C有N1=14+8+20=42(人),

(A∪B∪C)有N2=50-42=8(人).

∴至少解对其中一题者有42个人,两题均未解对者有8个人.

课堂小结

本节课学习了:

①全集和补集的概念和求法.

②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.

作业

课本P12习题1.1A组9、10,B组4.

课后反思

本节注重渗透数形结合的思想方法,因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn 图进行集合的补集运算.由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合。