应用随机过程 第四次作业答案

第四次作业

1，设{(),0}N t t ≥是参数为λ的泊松过程，求(|())()k E S N t n k n =≤ 答案：设~[0,]i U U t ，1,2,...,i n =，则其顺序统计量与12,,...,n S S S 在()N t n =的条件下的分布相同。故()(|())()()1k k kt E S N t n E U k n n ===≤+ 2，设{(),0}N t t ≥为时齐泊松过程，12,,...,,...n S S S 为事件相继发生的时刻。

（1） 给定()N t n =，试问1211,,...,n n S S S S S ---是否条件独立？是否同分

布？试证明你的猜想。

（2） 求1[|()]E S N t 的分布律；

（3） 利用（1）及（2），求(|())k E S N t 的分布律；

（4） 求在()N t n =下i S 与(1)k S i k n ≤<≤的条件联合概率密度。 答案：

（1）1211,,...,n n S S S S S ---同分布但不是条件独立。

（2）当0n =时

1[|()0]

(()|()0)

(())

1

E S N t E W t t N t t E W t t λ

==+==+=+ 当1n ≥时 1(1)(|())()1t E S N t n E U n ===

+ （3）当n k ≤时

12(|())(()|())k k k n k n E S N t n E x x x W t t N t n t λ-+-==+++++==+

当n k ≥时 ()(|())()1k k kt E S N t n E U n ===

+ （4）与()(),i k U U 的联合分布相同，可用微元法或积分得到。

3，设{(),0}N t t ≥是参数为λ的时齐泊松过程，00S =，n S 为第n 个事件发生的时刻。求：

（1）25(,)S S 的联合概率密度函数；

（2）1(|()1)E S N t =；

（3）12(,)S S 在()1N t =下的条件概率密度函数。

答案：（1）

252

02

022()2

052(,)

(,)lim (()1,()()1,()()2,()()1)lim ()2lim ()2

h h h x h y x h he h y

P x S x h y S y h f x y h P N x N x h N x N y N x h N y h N y h y x h xe he e h x y x e λλλλλλλλλλ-→→-----→-<≤+<≤+==+-=-+=+-==--=-=