亚太杯2018数学(初赛)
2018年亚太杯初赛试题
1、计算：
366424513463÷?÷?÷
2、已知新加坡和欧洲A 城市之间的航班飞行时间为11小时，一趟航班在A 城时间为3am 起飞，新加坡时间当天9pm 抵达新加坡，请问：如果返程的航班于新加坡时间3am 起飞，那么A 城市是当地时间几点？
3、以下四个正整数中哪一个是完全平方数？
A.921438
B.2660161
C.76186
D.750235
4. 如图，两个全等的圆，半径AD=BC=20cm ，如果两个阴影区域I 和II 的面积是相等的。求矩形ABCD 的面积。（∏取3.14）
5、求这样的四位数，它等于它的各位数字之和的四次方。
6、在下面一排数之间填入5个加号，组成一个连加算式。例如：123+4+5+67+8+9.将这个算式的计算结果的最大值记为a ，最小值记为b ，则b-a 的值是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7、如果把14
5
写成小数，请问小数点后第203位是什么数字？
8、一个袋子里面有若干个红球和白球，如果每次取出1个红球和2个白球，最后会剩下5个红球，如果每次取出3个红球和4个白球，最后会剩下6个白球，问袋子里原先共有几个球？
9、一束光线在两面镜子A 和B 之间的反射线如下图所示，已知?=∠?=∠50,60y x ，试求z ∠的度数。
B
10、下图可折叠成一个正方体，以下选项中哪个是正确的正方体？
（1）
（2）
（3）
（4）
11、右图中，平行四边形ABCD 的周长是100cm ，DE 和DF 分别垂直于AB 和BC 。已知DE=8cm ，DF=12cm 。试求平行四边形ABCD 的面积。
F
E
D
C
B
A
12、一串数：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8，7，8，9，...。从第一个数起，求前100个数的和。
13、求满足下列条件的最小正整数N ，N 既可以表示为9个连续正整数的和，又可以表示为10个连续正整数的和，还可以表示为11个连续正整数的和。
14、有一种四位数满足以下条件：用这个数减去它各位数字之和的10倍，得到的差等于3015.这样的四位数中最大的那个是多少？
15、在1到100 000的正整数中，有多少个能被15和18整除，但不能被28整除？
16、已知100642212121211???++++
=A ,99
53212121211+???++++=B ，以下哪个选项正确地表示出了A 和B 的关系？
（1）A=2B (2)B=2A (3)A=2B-1 (4)B=2A-1 (5)B=2A-2
17、如图，每个小方格的面积都是42
cm 。求六边形ABCDEF 的面积。
F
D
C
B
A
18、已知16个不同的正整数之和是2018。如果把这16个数从小到大排列，请问第8个数的最大可能取值是多少？
19、如下图所示，一个4×6的表格中有两格标有字母A 和B 。请问图中有多少个矩形同时包含这两个字母？
B A
20、如图，P 是正方形对角线AC 上任意一点。E 是边AD 上的一点且AE=3cm ，ED=1cm 。求PD+PE 的最小值。
E
D
C
B
A
21、一个正整数，如果它的位数从左往右和从右往左看都是一样的，则称这个数为回文数。例如：22,505,8338都是回文数。如果我们把全部的回文数从小到大排列，第400个回文数是多少？
22、在下图中，如果只能沿着格线往右或者往上，请问从A 到B 共有多少条不同的路线？
B
A
23、有一些四位数至少有一个数字是4但不能被4整除。求满足这种条件的四位数的个数。
24、求最小的整数n ，使得98520182018201820182018
个n ???是11的倍数。
25、计算
2019
1201831
21111152019
201813121
215
+
+
+
++++
+
++。
26、用93,2,1，，???这9个数字，最多可以同时组成多少个质数？要求每个数字都要用一次且
只能用一次。例如：479，281就是一组用1到9组成的质数。
27、甲乙两人在100米的直线跑道上做匀速往返跑。从一端跑到另一端，甲需要15秒，乙需要20秒。如果他们从跑道两端开始相向而行，问：他们在2分钟内共相遇了几次？
28、如图，等腰直角三角形ABC 和CDE 的边AC=2cm ，CD=6cm ，点F 和G 分别是BC 与CE 的中点。FGHI 是以FG 为边所作的正方形。如果正方形内的阴影面积和等腰直角三角形ABC 的面积相等，求正方形FGHI 内的非阴影面积。
I
E
D
C
29、若101
10010110010099100994343323221212
2222?++?++???+?++?++?+=）
（）（）（）（）（S ，求101S 的值。 30、从集合{
}999897212019，，，，，，???选取两个不同的数，使得它们的成绩能被6整除的选法有多少种？
2018年广东省初中数学竞赛初赛试卷(含答案)
2018年广东省初中数学竞赛初赛试卷 说明：考试时间：60分钟。总分120分。每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有 1.直角坐标平面上将二次函数y=－2（x －1）2 －2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）。 A. （0，0） B. (1,－2) C. (0,－1) D.(－2,1) 2.下列的计算正确的是( ). A ．(ab 4)4=ab 8； B.(－3pq)2 =－6p 2 q 2 C. x 2 － 21x ＋41=( x －2 1)2；D.3(a 2)3－6a 6=－3a 6 3.如图1.以直角三角形ABC 三边为直径的半圆面积分别是S 1、S 2、S 3，直角三角形ABC 面积是S ，则它们之间的关系为（ ）. A. S= S 1＋S 2＋S 3 B. S 1= S 2＋S 3 C. S= S 1＋S 2 C. S= S 1 4. 一辆公共汽车从车站开出，加出速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站.乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）. (A) 时间 速度 (B) 时间 速度
(C) 时间 速度0 (D) 时间 速度 5.如图所示，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分 的面积，验证了一个等式是（ ）. A. a 2 －b 2 =（a+b ）（a-b ） B. （a+b ）2 = a 2 +2ab+ b 2 C. （a-b ）2 = a 2 -2ab+ b 2 D.（a+2b ）（a-b ）= a 2+ab-2b 2 6.在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要落实一下箱子的数量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三种视图画了出来,如图.你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?这些正方体箱的个数是( ). A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 主视图 左视图 俯视图 7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,则下列式子中不一定成立的是( ). A.sinA=sinB B. cosA=cosB C.sinA=cosB D. sin(A+B)=sinC 8.体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中正号表示成绩大于18秒,负号成表示绩小于18秒,则这组女生的达标率是( ). A. 41 B.2 C.4 D.8 9.函数y=kx 和y=x k （k ﹤0）在同一坐标系中的图象是（ ）.
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)
2015年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4， 当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是 ． 解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的 概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同 的离心率e ，则e 的值是 ． 解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是 ． （第6题图） A 1
2018年全国高中数学联合竞赛(A卷)
2018年全国高中数学联赛竞赛 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。 1.设集合{1,2,3,99}A =…，{2|},{|2}B x x A C x x A =∈=∈，则B C I 的元素个数为______. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30?且不大于60?，则这样的点Q 所构成的区域的面积为______. 3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为______. 4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是12F F 、，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P 。已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F ?的面积为______. 5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ππ==，则不等式组121()2x f x ≤≤??≤≤? 的解集为______. 6.设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______. 7.设O 为ABC ?的外心，若2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则sin BAC ∠的值为______. 8.设整数数列1210,,,a a a …满足1012853,2a a a a a =+=，且 1{1,2},1,2,,9i i i a a a i +∈++=…， 则这样的数列的个数为______。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分16分）已知定义在R + 上的函数()f x 为 3|log 1|,09,()49x x f x x -<≤??=?->?? 设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，求abc 的取值范围。 10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a …满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a -=，其中n S 表示数列的前n 项和。证明： 1）对任意正整数n ，有n a < 2）对任意正整数n ，有11n n a a +<。 11.在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线2 4y x =的过点(1,0)F 的弦，AOB ?的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）。若PF 平分APB ∠，求||PF 的所有可能值。 加试（A 卷） 一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,n n a a a b b b ?…，,A B 均为正实数，满足 ,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤=…，且 1212n n b b b B a a a A ≤……。 二、（本题满分40分）如图，ABC ?为锐角三角形，AB AC <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为 ABC ?的外接圆?BAC 和?BC 的中点，F 为ABC ?的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ⊥。 证明：若BN EM =，则DF FG ⊥。（答题时请将图画在答卷纸上）
2019年全国初中数学竞赛试题及答案
１ 全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)
2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解 2017年5月7日8:00——10:00 一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分） 1.已知向量()() 1,3,3,1AP PB ==-，则向量AP 与 AB 的夹角等于 ． 解一：由题设(0AP PB ?=?=，且||||AP PB =，故APB ?为等腰直角三角形，从而向量AP 与 AB 的夹角等于 4 π. 解二：因为(11)AB AP PB =+=-，所以2cos ,AB AP <>=，所以向量AP 与AB 的夹角等于 4 π. 2.已知集合()(){} |10A x ax a x =-->，且,3a A A ∈?，则实数a 的取值范围是 ． 解：有题设，知(21)(2)0 (31)(3)0 a a a a -->?? --≤? 所以：122133 a a a ?>>的左，右焦点， P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且212,34 OM PF PF PF ⊥=，则双曲线的离心率 为 ． 答案：5． 5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -．若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 ．
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 说明： 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设6分和0分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3分为一个档次, 不要再增加其他中间档次. 一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分) 1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 ( ,2)4 a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24 y x π =++. 那么 ()y f x = 的解析式为 A. sin y x = B. cos y x = C. sin 2y x =+ D. cos 4y x =+ 答: [ ] 2. 如果二次方程 2 0(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 答: [ ] 3. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答: [ ] 4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 答: [ ] 5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被 64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 答: [ ] 6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1?1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有 A. 8 30个 B. 7 3025?个 C. 7 3020?个 D. 7 3021?个 答: [ ] 二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2 π 得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则 向量 OB =
2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品
2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.
2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案
第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.（1）19×11=12×?è??19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×?è?? 12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分 （3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分 （2）∠APC =∠α+∠β. 理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ， 所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE ， ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分 （3）当点P 在BD 延长线上时， ∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时， ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分 （2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分 根据题意，得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)
2015年全国 数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4， 当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝ 3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是 ． 解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π 24 )＝ 3sin 4π3＝－3 2 ． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 解：有两类情况：同为白球的概率是3×10 25×25＝30 625，同为红球的概率是7×6 25×25＝42 625 ，所求的 概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋ y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)与椭圆 x 2b 2＋y 2 c 2 ＝1有 相同的离心率e ，则e 的值是 ． 解：若c ＞b ，则c 2a 2＝ c 2－b 2 c 2 ，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝ b 2－ c 2 b 2 ，解得e ＝ －1＋ 5 2 ．
最新-2018年七年级下册数学竞赛试题及答案 精品
2018年七年级下学期数学竞赛试题 (含参考答案) 一. 选择题(每小题4分,共32分) 1.若a<0 , ab<0 , 那么51---+-b a a b 等于( ) A . 4 B .-4 C . -2a+2b+6 D. 1996 2.数轴上坐标是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为2018厘米的线段AB,则线段AB 盖住的整点的个数是( ) A.2018 或2018 B . 2018或 2018 C . 2018 或2018 D . 2018 或2018 3.已知{ a x b y ==是方程组 { 527 2=+=+y x y x 的解, 则a-b 的值为( ) A . 2 B . 1 C. 0 D. -1 4.两个10次多项式的和是( ) A. 20次多项式 B. 10次多项式 C. 100次多项式 D. 不高于10次的多项式 5.若a<3 , 则不等式(a-3)x
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案 一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分） 1.已知向量(() ,AP PB ==u u u r u u u r ，则向量AP u u u r 与AB u u u r 的夹角等于 ． 答案： 4 π 2.已知集合()(){}|10A x ax a x =-->，且,3a A A ∈?，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(]11,2,3.32?? ???? U 3.已知复数2cos sin 33 z i ππ 2=+，其中i 是虚数单位，则32z z += ． 答案：1.2 4.在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左，右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且212,34OM PF PF PF ⊥=，则双曲线的离心率为 ． 答案：5． 5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -．若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 ． 答案：3. 6.若关于x 的二次方程()()221200mx m x m m +--+=>的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ． 答案：.? +∞?? ?? 7.若tan 4x sin 4sin 2sin sin cos8cos4cos4cos2cos2cos cos x x x x x x x x x x x +++= ． 8.棱长为2的正方体ABCD -1111A B C D 在空间坐标系O -xyz 中运动，其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ．
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题：（本大题共10个小题,共70分,每小题7分．） 1．已知向量()1,3AP =uu u r ，() 3,1PB =-uu r ，则AP uu u r 和AB uu u r 的夹角等于 ． 2．已知集合()(){}10A x ax a x =-->，且2A ∈，3A ?，则实数a 的取值范围是 ． 3．已知复数22cos sin 33 z i =+ππ，其中i 为虚数单位，则32z z += ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，设1F ，2F 分别是双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且2OM PF ⊥，1234PF PF =，则双曲线的离心率为 ． 5．定义区间[]12,x x 的长度为21x x -.若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 ． 6．若关于x 的二次方程()22120mx m x m +--+=（0m >）的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ． 7．若3tan 43 x =，则sin 4sin 2cos8cos 4cos 4cos 2x x x x x x ++sin sin cos 2cos cos x x x x x += ． 8．棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -在空间直角坐标系O xyz -中运动， 其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ． 9．设数列12321,,,,a a a a L 满足：11n n a a +-=（1,2,3,,20n =L ），1a ，7a ，21a 成等比数列.若11a =，219a =，则满足条件的不同数列的个数为 ． 10．对于某些正整数n ，分数2237 n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ． 二、解答题 （本大题共4小题，每小题20分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 11．设数列{}n a 满足： ①11a =；②0n a >；③2111 n n n na a na ++=+，*n ∈N . 求证：（1）数列{}n a 是递增数列；
2016全国高中数学联赛江苏省预赛试题及答案word
2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 一、填空题（每小题7分，共70分）） 1.关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42< 7.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点P 在棱BC 上，点Q 为棱CC1的中点.若过点A,P .Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形.则BP 的取值范围为。?? ? ??1,21 8.己知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为1d 的等差数列，偶数项依次构成公差为2d 的等差数列.且对任意,*∈N n 都有.1+ 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 （考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30） 注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； 3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器． 一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简） 1. 设三个复数l,i,z 在复平面上对应的三点共线，且|z |=5，则z =____． 2. 设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n =____． 3. 函数f (x )=|sin(2x)+sin(3x )+sin(4x )|的最小正周期=____． 4. 设点P ,Q 分别在函数y =2x 和y =log 2x 的图象上，则|PQ |的最小值=____． 5. 从l,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤l 的概率=____ 6. 在边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=____． 7. 设H 是△ABC 的垂心，且3HA +4HB +5HC =0，则cos ∠AHB =____． 8. 把l,2,…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是l,2,…,n. 例如：T 3=.设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i ,j )= ． 二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分） 9. 如图所示，设ABCD 是矩形，点E ,F 分别是线段AD ,BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D ,H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称．求证：∠HAB =3∠GAB ． A B C D E F G H l 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。 1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 5、设βα,满足3)3tan(-=+ πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ?的面积为为 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组???≤≤≤≤1 )(010x f x 的解集为 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则1 33221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9、（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：71=a ， 21+=+n n n a a a ， ,3,2,1=n ，求满足20184>n a 的最小正整数n 。 10、（本题满分20分）已知定义在+R 上的函数)(x f 为???--=x x x f 41log )(39,90,>≤ 2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 （5月5日8:00至10:00） 一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分． 1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 ． 2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ． 3．设实数x ，y 满足2430x x y -++=，则22x y +的最大值与最小值之差是 ． 4．若存在正实数a ，b 满足()()n n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是 ． 5．若三角形ABC 的三边A B ，B C ，A C 成等差数列，则A ∠的取值范围是 ． 6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是 ． 7．已知2 ()942013f x x x =-+，则()60 30 ()()n f n f n =+=∑ ． 8．设x ，[]0,2y π∈，且满足1 2s i n c o s s i n c o s 2 x y x y ++ =-，则x y +的最大值 为 ． 9．已知正四面体A B C D 的棱长为9，点P 是面ABC 上的一个动点，满足P 到面D AB 、 D B C 、D C A 的距离成等差数列，则P 到面D C A 距离的最大值是 ． 10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平 方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完 全平方数，小王现在的年龄是 ． 江苏省高中数学竞赛预赛试题 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一．选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数y=f(x) 的图像按a→=(π 4，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x+ π 4)+2，那么y=f(x) 的解析式为 ( ) A．y=sin x B．y=cos x C．y=sin x+2 D．y=cos x+4 解: y=sin[(x+π 4)+ π 4], 即y=cos x.故选B． 2．如果二次方程x2－px－q=0 (p，q∈N*)的正根小于3，那么这样的二次方程有( ) A．5个B．6个C．7个D．8个 解：由?=p2+4q>0，－q<0，知方程的根一正一负． 设f(x)=x2－px－q，则f(3)= 32－3p－q＞0，即3p+q＜9. 由p，q∈N*，所以p=1，q≤5或p=2，q≤2. 于是共有7组(p，q)符合题意． 故选C． 3．设a>b>0，那么a2+ 1 b(a－b) 的最小值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 解：由a>b>0，可知0 2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数44(1i)(1i)++-= ． 2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数 m = . 3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 （结果用最简分数表示）． 4． 已知1cos45 θ=，则44sin cos θθ+= ． 5． 已知向量a ，b 满足π2,,3 ==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 ． 6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前 n 项和等于 ． 7． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 ． 8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *， 则[(2011)]f f = ． 9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角 形的斜边长是 ． 10．已知m 是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值 是 ． A B C P 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点，求实数h 的取值范围． 12．设2()( ,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为 1，求22b c +的最大值和最小值． 13．如图，P 是ABC 内一点． （1）若P 是ABC 的内心，证明：1902 BPC BAC ∠=+∠； （2）若1902BPC BAC ∠=+∠且1902 APC ABC ∠=+∠，证明：P 是ABC 的内心． 14．已知 α是实数，且存在正整数n 0 证明：存在无穷多个正整数n 2018全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 时间：120分钟 满分：150分 姓名： 一、填空题（本题共10小题，每小题107分，满分70分.要求直接将答案写在横线上.） 1、函数cos cos2(R)y x x x =-∈的值域为__ __. 2、已知2 (i)34i a b +=+，其中,R a b ∈，i 是虚数单位，则22 a b +的值为_ ___. 3、圆心在抛物线22x y =上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程为___ __. 4、设函数14()2 x x f x x -=-，则不等式2(1)(57)0f x f x -+-<的解集为__ ___. 5、已知等差数列{}n a 的前12项的和为60，则1212a a a ++ +的最小值为__ ___. 6、已知正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为___ __. 7、在ABC ?中，54AB AC ==，，且12=?,设P 是平面ABC 上的一点，则 )(PC PB PA +?的最小值为_____. 8、设()g n = ∑=n k n k 1 ),(，其中* N n ∈，(,)k n 表示k 与n 的最大公约数，则(100)g 的值为 =___ __. 9、将1,2,3,4,5,6,7,8,9，这9个数随即填入3?3的方格中，每个小方格恰填写一个数，且所填的数各不相同，则使每行、每列所填的数之和都是奇数的概率为__ __. 10、在1,2,3,4,,1000中， 能写成221(N)a b a b -+∈，的形式，且不能被3整除的数有 __ ____个. 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）2018年安徽数学竞赛(初赛)试题及答案word版
2018年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)
2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)
江苏省高中数学竞赛预赛试题
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答
2020全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案