第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换
在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质
3.1.1 非周期序列傅里叶变换
1．定义
一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：
正变换： ∑∞
-∞
=ω-ω
=
=n n
j j e
n x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)
反变换： ?
π
π
-ωωω-ωπ
=
=d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)
记为：
)()(ω?→←j F
e X n x
当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得
ωω=--=--==
=
ω-ω-ωω-ω-ωω-ω
-ω-ω-=ω-∞
-∞
=ω
∑∑
2
1sin 3sin )()
(11)()(2
521
212133365
6j j j j j j j j j n
j n n
j n j e
e e e e e e e e e
e
n R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：
图3-1
离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。即：
∞<∑
∞
-∞
=)(n x n （3-1-3）
反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
3.1.2 非周期序列傅里叶变换的性质
从序列傅里叶变换定义式(3-1-1)可知，非周期序列的傅里叶变换就是序列的z 变换在单位圆上的取值(当序列的z 变换在单位圆上收敛时)，即：
∑∞
-∞
=ω-=ω
=
=ωn n
j e z j e n x z X e X j )()()(
?
=-π=
1
||1)(21
)(z n dz z z X j
n x ?
ππ
-ωωωπ
=
d e e X n j j )(21
因此，非周期序列傅里叶变换的一切特性，皆可由z 变换得到。正因如此，下面所述的性质，读者可仿z 变换性质的证明方法进行证明，在这里就不一一证明了。
1. 线性
设)()]([11ω=j e X n x DTFT ，)()]([22ω=j e X n x DTFT ，则：
)()()]()([2121ωω+=+j j e bX e aX n bx n ax DTFT (3-1-4)
2．移位
设)()]([ω=j e X n x DTFT ，则：
)()]([00ωω-=-j n j e X e n n x DTFT (3-1-5)
证明：00
()[()]()j j n
n X e DTFT x n n x n n e
ωω∞
-=-∞
=-=
-∑
00
()()()
j n
n j n j n n j n j x n n e
n n n x n e e e X e ωωωωω∞
-=-∞
∞
'--=-∞
-'=
-=-'=
=∑∑
3．频移性
设)()]([ω=j e X n x DTFT ，则：
)()]([)(00ω-ωω=j n j e X n x e DTFT (3-1-6)
4．对称性
为了较方便地讨论非周期序列傅里叶变换的对称性，首先我们引入一些有关序列的基本概念—共轭对
称序列与共轭反对称序列。
若序列)(n x e 满足下式：
)()(n x n x e e -=*
(3-1-7)
则称序列)(n x e 为共轭对称序列。对实序列而言，有)()(n x n x e e -=，即序列)(n x e 为偶对称序列。
若序列)(n x o 满足下式：
)()(n x n x o o --=* (3-1-8)
则称序列)(n x o 为共轭反对称序列。对实序列而言，有)()(n x n x o o --=，即序列)(n x o 为奇对称序列。
因此，根据共轭对称序列与共轭反对称序列的定义，共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o 可由任意一个序列)(n x 按下构成
)]()([2
1)(n x n x n x e -+=* (3-1-9) )]()([2
1)(n x n x n x o --=* (3-1-10)
也就是说，对任意一个序列)(n x 都可以用共轭对称序列)(n x e 和共轭反对称序列)(n x o 之和来表示，即：
)()()(n x n x n x o e += (3-1-11)
同类可定义傅里叶变换)(ωj e X 的共轭对称分量和共轭反对称分量：
)()()(ωωω+=j o j e j e X e X e X (3-1-12)
)]()([21
)(ω-*ωω+=
j j j e e X e X e X (3-1-13) )]()([2
1)(ω-*ωω-=j j j o e X e X e X (3-1-14)
其中)(ωj e e X 称为傅里叶变换)(ωj e X 的共轭对称分量，满足)()(ω-*ω=j e j e e X e X ；)(ωj o e X 称为共轭反对称分
量，满足)()(ω-*
ω-=j o
j o e X e X 。式(3-1-12)表示序列)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 也可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和。
与序列的情况相同，若)(ωj e X 为实函数，且满足共轭对称，即)()(ω-ω=j j e X e X ，则称为频率的偶函数。若)(ωj e X 为实函数，且满足共轭反对称，即)()(ω-ω-=j j e X e X ，则称为频率的奇函数。
若对式(3-1-9)、式(3-1-10)和式(3-1-11)两边进行序列傅里叶变换，可得序列)(n x 有如下性质： (1) 序列)(n x 的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即
)()]}({Re[ω=j e e X n x DTFT (3-1-15)
(2) 序列)(n x 的虚部乘j 后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即
)()]}(Im[{ω=j o e X n x j DTFT (3-1-16)
(3) 序列)(n x 的共轭对称分量)(n x e 和共轭反对称分量)(n x o 的傅里叶变换分别等于序列的傅里叶变换的实部和j 乘以虚部，即
)]([)]([ω=j e e e X R n x DTFT (3-1-17) )]([)]([ω=j m o e X jI n x DTFT (3-1-18)
(4) 若)(n x 是实序列，则其傅里叶变换)(ωj e X 满足共轭对称性，即
)()(ω-*ω=j j e X e X (3-1-19)
也就是说：
)]([)]([ω-ω=j e j e e X R e X R (3-1-20)
)](Im[)](Im[ω-ω-=j j e X e X (3-1-21)
由此可以看出，实序列的傅里叶变换的实部是ω的偶函数，而虚部是ω的奇函数。 (5) 序列)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 的极坐标表示形式为：
)]
(arg[)()(ω
ωω=j e
X j j j e e X e X (3-1-22)
对实序列)(n x ，有：
)()(ω-ω=j j e X e X (3-1-23)
)](arg[)](arg[ω-ω-=j j e X e X (3-1-24)
也就是说，实序列的傅里叶变换的幅度是ω的偶函数，而相角是ω的奇函数。
5．时域卷积定理
若)()()(n h n x n y *=，则有：
)()()(jw jw jw e H e X e Y = (3-1-25)
证明：由卷积和定义有∑∞
-∞
=-=
=m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(，等式两边作傅里叶变换得：
∑∑
∞
-∞=ω-∞∞-ω
???
?????-=n n
j m j e
m n h m x e Y )()()( 令m n k -=，则上式可改写为：∑∑∞-∞=∞
-∞
=ω-ω-ω
=
k m m
j k j j e e
m x k h e Y )()()(
)()()()(ωω∞
-∞
=ω-∞-∞
=ω-==
∑∑j j m m
j k k
j e H e X e
m x e k h
6．频域卷积定理 若)()()(n h n x n y ?=，则
)()(21
)(ωωω*π
=
j j j e H e X e Y ?
π
π
-θ-ωθθπ
=d e H e X j j )()(21)( （3-1-26）
7．帕塞瓦尔（Parseval ）定理
ωπ
=
?
∑
π
π
-ω∞
-∞
=d e X n x j n 2
2
)(21)( (3-1-27)
表3-1 综合了DTFT 的性质，这些性质在以后的分析问题和实际应用中是非常重要的。表3-1给出了常用序列的傅里叶变换，这在以后的实际应用中很重要。 表3-1序列的傅里叶变换的性质
[例3-2] 若)(n x 的傅里叶变换为)(ωj e X ，求下面序列的傅里叶变换：
(1))(n kx (k 为常数) (2))4(-n x (3))(n x *
(4)?????=为奇数
为偶数n n n x n g 0
)
2
()(
解：根据序列傅里叶变换的定义及性质有：
(1) )()(ω?→←
j F
e kX n kx
(2) )()4(4jw j F e X e n x ω-?→←
- (3) )()()()(ω-**
∞-∞=ω∞
-∞
=ω
-*
*=???
?
????=?→
←∑
∑j n jn n jn F
e X e n x e
n x n x (4) )()()2()(22''2''ω∞
-∞
=ω-=∞
ω-ω
===
∑
∑
j n n j n n n jn j e X e n x e n
x e G 令为偶数 表3-2 常用序列傅里叶变换
[例3-3] 若序列)(n h 是实因果序列，其傅里叶变换的实部为ω+=ωcos 1)(j R e H 。求序列)(n h 及其傅里叶变换)(ωj e H 。
解：利用三角函数关系得：ω-ωω++=ω+=j j j R e e e H 2
1211cos 1)( 由序列傅里变换的定义有：∑∞
-∞
=ω-ω
=
=n n
j e
e j R e
n h n h DTFT e H )()]([)(。比较两式可得：
2/1)1(=-e h ，1)0(=e h ，2/1)1(=e h
由于)(n h 是实因果序列，因此，)()(*n h n h =，当0 ?????===???????? ??>=<=其它 011 01 0)(20) (00)(n n n n h n n h n n h e e 所以，2 cos 21)()(2 ω =+==ω-ω -ω -∞ -∞ =ω ∑ j j jn n j e e e n h e H 。 3.1.3 序列傅里叶变换、z 变换和拉氏变换的关系 1．拉普拉斯变换与z 变换的关系 首先研究序列的z 变换与理想抽样信号的拉普拉斯变换之间的关系。设连续时间信号为)(t x a ，经理想抽样后的抽样信号为)(?t x a ，它们的拉普拉斯变换分别为 ? ∞ ∞--= dt e t x s X st a a )()( (3-1-28) ? ∞ ∞ --=dt e t x s X st a a )(?)(? (3-1-29) 由于)()()(?nT t nT x t x a n a -δ=∑ ∞ -∞ =代入可得： ∑??∑∞ -∞=∞ ∞ --∞ ∞-∞ -∞=--δ= -δ=n st a n st a a dt e nT t nT x dt e nT t nT x s X )()()()()(? 利用)(t δ函数的筛选性? ==-δ0 )()()(0t t t f dt t t t f ，上式可改写为： ∑∞ -∞ =-=n snT a a e nT x s X )()(? (3-1-30) 由于抽样序列)()(nT x n x a =的z 变换为: n n z n x z X -∞ -∞ =∑ = )()( (3-1-31) 因此，比较式(3-1-30)与式(3-1-31)可得出结论：当sT e z =时，抽样序列的z 变换就等于其理想抽样信号的拉普拉斯变换。 )()() (s X e X z X a sT e z sT ) === (3-1-32) 该式表明了这两种变换之间的关系，是由复变量s 平面到z 平面的映射，其映射关系为: sT e z = (3-1-33) z T s ln 1 = (3-1-34) 若设s 平面用直角坐标来表示: Ω +σ=j s (3-1-35) 而z 平面用极坐标表示: ω=j re z (3-1-36) 将它们代入式(3-1-33)，可得： T j T T j j e e e re ΩσΩ+σω==)( (3-1-37) 即： T e r σ= T Ω=ω (3-1-38) 也就是说，z 的模r 对应于s 的实部σ，z 的相角ω对应于s 的虚部Ω，它们之间有如下对应关系： (1) r 与σ的关系：T e r σ= 当0=σ（s 平面的虚轴）时，1=r （z 平面单位园上） 当0<σ（s 的左半平面）时，1 其映射关系如图3-2所示 图3-2 0>σ()0<σ映射成1>r (1 (2)ω与Ω的关系：T Ω=ω 当0=Ω（s 平面的实轴）时，0=ω（z 平面正实轴） 当0Ω=Ω（s 平面平行于实轴的直线）时，0Ω=ωT （z 平面始于原点幅角为T 0Ω=ω的辐射线）。 当Ω由T π - 增加至0时，ω由π-增加至0。 当Ω由0增加至 T π 时，ω由0增加至π 其映射关系如图3-3所示。由此可见，Ω由T π -增加至T π时，对应ω由π-经0增加至π。即在z 平面上旋转一周。 综上所述，s 平面上宽度为 T π 2的水平带映射到整个z 平面。同样，每当Ω增加一个抽样角频率T s π=Ω2，则ω的响应增加一个π2。即在z 平面重复旋转一周，如图3-3所示，因此，s 平面到z 平面的映射是多值映射。 从映射关系上可以看出，对时域信号抽样，则是在s 域沿Ωj 轴（s 平面的虚轴）的周期延拓。 )(1 )(s a n a jk s X T s X Ω-= ∑ ∞ -∞ =) (3-1-39) 将此式代入式（3-1-32）可得连续时间信号)(t x a 的拉普拉斯变换)(s X a 与抽样序列)(n x 的z 变换)(z X 之间的关系 ∑ ∑ ∞ -∞ =∞ -∞ ==π -= Ω-=k a k s a e z k T j s X T jk s X T z X sT )2(1 )(1 )( (3-1-40) 2．连续信号)(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a 与序列)(n x 的z 变换)(z X 之间的关系 由于傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例，即Ω=j s ，映射到z 平面上是单位园T j e z Ω=，将其代入式（3-1-32）可得： )2(1)()() (k T j j X T j X e X z X a k a T j e z T j π -Ω= Ω==∑ ∞ -∞ =Ω=Ω) （3-1-41） 这表明抽样序列在单位园上的z 变换，等于其理想抽样信号的傅里叶变换。 [例 3-4] 已知)2cos(2)(0t f t x a π=，其中Hz f 1000=，以采样频率Hz f s 400=对)(t x a 进行采样，得到采样信号)(?t x a 和时域离散信号)(n x ，试求：(1)写出)(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ；(2)写出)(?t x a 和)(n x 的表达式；(3)写出)(?t x a 和)(n x 的傅里叶变换。 解：(1)由连续信号傅里叶变换定义可得： ? ? ∞ ∞ -Ω-∞ ∞ -Ω-Ω= = Ωdt e t dt e t x j X t j t j a a )cos(2)()(0? ∞ ∞ -Ω-Ω-Ω+= dt e e e t j t j t j )(00 [])()(200Ω+Ωδ+Ω-Ωδπ= (2) )()cos(2)()()(?0nT t nT nT t t x t x n a n a -δΩ= -δ=∑ ∑ ∞ -∞ =∞ -∞ = ∞<<∞-Ω=n nT n x )cos(2)(0 其中π=π=Ω200200f ，ms f T s 5.21 == 。 (3) 利用式(3-1-41)得∑∞ -∞ =Ω-Ω=Ωk s a a jk j X T j X )(1)(? []∑ ∞ -∞ =Ω-Ω+Ωδ+Ω-Ω-Ωδπ = k s s k k T )()(200 式中s rad f s s /8002π=π=Ω。由定义式得： ∑∑∑∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =ω-ω-ω∞ -∞ =ω-∞ -∞ =ω-∞ -∞=ω-ω π-ω+ωδ+π-ω -ωδπ =+= ω= Ω= = k n n j n j n j n n j n n j n n j j k k e e e e n e nT e n x e X )] 2()2([2][)cos(2)cos(2)()(00 00 式中rad T π=Ω=ω5.000。 3.1.4 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)及性质 1．周期序列的离散傅里叶级数 从第一章已知，若离散时间序列)(n x 为周期序列，则一定满足： )()(rN n x n x += (3-1-42) 其中N （正整数）为信号的周期，r 为任意整数。为了与非周期序列区分，在本书中，周期序列用)(~n x 表示。 周期序列不是绝对可和的，所以不能用傅里叶变换来表示。但是，与连续周期时间信号可以用傅里叶级数表示类似，周期序列)(~n x 也可以用离散傅里叶级数(DFS)来表示。 )](~ [)(~1 )(~ 21 k X IDFS e k X N n x kn N j N k ==π -=∑ 1,,1,0-=N n Λ (3-1-43) 其中)(~ k X 为周期序列傅里叶级数的系数，也称为周期序列的频谱，其大小为： )](~[)(~)(~ 21 n x DFS e n x k X kn N j N n == π --=∑ 1,,1,0-=N k Λ (3-1-44) 式(3-1-43)和式(3-1-44)称为周期序列的傅里叶变换对。值得注意的是，对于周期为N 的周期序列)(~n x ，其离散傅里叶级数的谐波成份只有N 个是独立成分，这是与连续傅里叶级数不同之处(后者有无穷多个谐波成分)，基率为N /2π，k 次谐波序列为N n jk e π2(1,,2,1-=N k Λ)。其二，从式(3-1-44)可以看出，周期序列的 频谱)(~ k X 也是一个以N 为周期的周期序列，即 )(~)(~)(~)(~ 1 21 )(2k X e n x e n x mN k X N n kn N j N n n mN k N j == = +∑ ∑ -=π --=+π - 这表明时域周期序列的离散傅里叶级数在频域(即其系数)也是一个周期序列。 为了书写方便，通常令符号 N j N e W π -=2 (3-1-45) 这样周期序列的傅里叶变换对可改写为： 正变换： nk N N n W n x n x DFS k X )(~ )](~ [)(~ 1 ∑-=== 1,,1,0-=N k Λ (3-1-46) 反变换： nk N N k W k X N k X IDFS n x --=∑ ==)(~1 )](~[)(~ 1 1,,1,0-=N n Λ (3-1-47) [例3-5] 设)()(5n R n x =，将)(n x 以10=N 为周期作周期延拓，得到周期信号)(~n x ，如图3-4所示，求)(~n x 的DFS 。 图 3-4 周期序列 图3-5 序列的DFS 变换幅度特性 解：由定义式(3-1-46)得：kn j n nk n e n x W n x n x DFS k X 1029 109 )(~)(~)](~ [)(~ π -==∑ ∑ = == ) ((111110 10 10 2 22 5 5 554 10 2k j k j k j k j k j k j k j k j k j k j n kn j e e e e e e e e e e e π-ππ-π-ππ-π-π-π-?π-=π ---= --= --= = ∑） k k e k j 10sin 2sin 5 2ππ=π- 其幅度特性如图3-5所示。 2．周期序列傅里叶级数的性质 由于)(~n x 和)(~ k X 两者都具有周期性，在时域和频域之间具有严格的对偶关系，这是序列z 变换表示所不具有的。因此，周期序列傅里叶级数的性质也有一些重要差别。 (1) 线性 设)(~1n x 和)(~2n x 皆是周期为N 的周期序列，其傅里叶级数DFS 分别为： )](~[)(~ 11n x DFS k X =，)](~[)(~22n x DFS k X = (3-1-48) 则： )(~ )(~ )](~)](~ [2121k X b k X a n x b n x a DFS +=+ (3-1-49) 其中a 、b 为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，其周期为N 。 (2)移位 设)(~n x 是周期为N 的周期序列，则： )(~)(~)]](~[2k X W k X e m n x DFS mk N mk N j -π ==+ (3-1-50) (3)调制特性 设)(~n x 是周期为N 的周期序列，则： )(~)]](~[m k X n x W DFS mn N += (3-1-51) (4)周期卷积和 若 )(~ )(~ )(~ 21k X k X k Y ?=，则 )](~)(~[)](~[)(~21k X k X IDFS k Y IDFS n y == )(~)(~)(~)(~121 211 m n x m x m n x m x N m N m -= -= ∑ ∑ -=-= (3-1-52) 式(3-1-52)是一个卷积和公式。它与非周期序列的线性卷积和不同，在这里)(~1m x 和)(~2m n x -(或)(~2m x 和)(~1 m n x -)都是变量为m 的周期序列，故它们的乘积也是周期序列，其周期为N ，另外其求和在一个周期内 进行，即从0=m 到1-=N m ，因此上式卷积和称为周期卷积和，表示为： )(~*)(~)(~*)(~)(~2121n x n x n x n x n y == (3-1-53) 该性质表明，时域周期序列的卷积和对应着频域周期序列的积。 [例3-6] 两个周期(N ＝6)序列)(~1 n x 和)(~2 n x 如图3-6(a 、b)所示，求它们的周期卷积和)(~n y 解：求解过程见图3-6，其求解过程与线性卷积和的求解过程类似，由翻褶、移位、相乘、求和四个步骤完成，但又有本质上的不同。其一，移位只移1-N 次；其二，相乘、求和运算在0到N -1=5区间内进行。 首先将)(~2m x 进行翻褶形成)0(~2m x -，如图3-6(c)所示，然后分别将)0(~2m x -右移51,4,3,2,1=-N 位形成如图3-6(d 、e 、f)所示。从图中可以看出，在移位过程中，一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的一个周期的同一位置的序列值就移入计算区间。 然后，将所移位形成周期序列)(~2 m n x -(51,,1,0=-=N n Λ)分别与)(~1 m x 对应点相乘并求和，如图 3-6(g)所示，运算在0=m 到N -1=5区间内进行，从而求得)(n y (1,,1,0-=N n Λ)在一个周期内的所有点对应的值。 最后，将所得结果周期N 延拓，就得到所求的整个周期序列)(~n y ，如图3-6(h)所示。 (5)周期序列相乘 如果)(~)(~)(~21n x n x n y ?=，则 []∑∑ -=-=-= -= =1 121 21)(~ )(~ 1)(~)(~1 )(~)(~N l N l l k X l X N l k X l X N n y DFS k Y (3-1-54) 该式表明，时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积。 3.2离散傅里叶变换(DFT) 经过上一节的讨论，我们知道，周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因而它与有限长序列有着本质的联系。这一节我们将根据周期序列和有限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示，即离散傅里叶变换（DFT ），并介绍离散傅里叶变换的性质及离散时间傅里叶变换(DTFT)与离散傅里叶变换(DFT)之间的关系。 图3-6 两周期（N ＝6）序列卷积和的求解过程 3.2.1有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)及性质 1．有限长序列与周期序列的关系 设)(n x 为有限长序列，长度为N ，即)(n x 只在1,,0-=N n Λ有值，其它n 时，0)(=n x 。因此，可以把)(n x 看成周期为N 的周期序列)(~n x 的一个周期，即取一个周期。 (),01()0, x n n N x n n ≤≤-?=? ?%其它 (3-2-1) 或利用前面介绍的矩形序列)(n R N 表示成： )()(~)(n R n x n x N = (3-2-2) 把)(~n x 看成有限长序列)(n x 以N 为周期的周期延拓，即表示为： ()()r x n x n rN ∞ =-∞ = +∑% (3-2-3) 这个关系可以用图3-7表示。通常我们把)(~n x 的第一个周期1,,1,0-=N n Λ定义为 “主值区间”，称)(n x 为)(~n x 的“主值序列”，即主值区间上的序列。而称)(~n x 为)(n x 的周期延拓。显然，对于不同的r 值， )(rN n x +之间并不重叠。 图3-7 序列周期延拓及主值区间 为了书写方便，我们将式(3-2-3)可写为 N n x n x ))(()(~= (3-2-4) 其中N N ))((表示数学上“n 对N 取余数”，或称为“n 对N 取模值”。令 mN n n +=0，(100-≤≤N n ，m 为整数)，则有0 ))((n n N =。例如，)(~n x 是周期为8=N 的序列，则有)0())8(()8(~8 x x x ==， )1())8119(()9(~8x x x =?+==，)4())8144(()4(~8x x x =?-=-=-。 2．有限长序列的离散傅里叶变换 由于傅里叶级数)(~ k X 是频域的周期序列，因此，同样可以看成是有限长序列)(k X 的周期性延拓；而有限长序列)(k X 也可以看成是周期序列)(~ k X 的主值序列，即： N k X k X ))(()(~ = (3-2-6) )()(~ )(k R k X k X N = (3-2-7) 我们再回顾一下周期序列的傅里叶变换对： nk N N n W n x n x DFS k X )(~ )](~[)(~ 1 ∑-== = 1,,1,0-=N k Λ (3-2-8) nk N N k W k X N k X IDFS n x --=∑ = =)(~1)](~[)(~10 1,,1,0-=N n Λ (3-2-9) 显然，以上两式的求和只限定在0=n 到1-=N n 及0=k 到1-=N k 的主值区间进行，故完全适用于主值序列)(n x 和)(k X ，因而我们可以得到有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)的定义： 正变换： ∑-== =1 )()]([)(N n nk N W n x n x DFS k X 1,,1,0-=N k Λ (3-2-10) 反变换： ∑-=-= =1 )(1 )]([)(N k nk N W k X N k X IDFS n x 1,,1,0-=N n Λ (3-2-11) 称式(3-2-10)和式(3-2-11)为有限长序列的离散傅里叶变换对。 此外，应该注意的是，在使用离散傅里叶变换对时，我们所处理的有限长序列都是作为周期序列的一 个周期来表示的，而()k k mN N N W W +=，() k k mN N N W W --+=，即离散傅里叶变换隐含有周期性。 [例3-7] 已知4()()x n R n =，求)(n x 的8点和16点的DFT 。 解：当8N =时 27 3 2 2 2 8 8 00 4 8 8 8 1()()1j k j k j k j k j kn nk j k j k j k j k n n e e e e X k x n W e e e e e πππππππππ-------==--=== = ? --∑∑ 38 sin() 2sin() 8 j k k e k πππ -= 7,,1,0Λ=k 当16N =时 215 3 2 4 4 4 16 160 8 16 16 16 1()()1j k j k j k j k j kn nk j k j k j k j k n n e e e e X k x n W e e e e e πππππ ππππ-------==--=== = ? --∑∑ 316 sin()4sin()16 j k k e k πππ -= 15,,1,0Λ=k [例3-8] 已知()()x n n =δ，求)(n x 的N 点DFT 。 解：1 1 000 ()()()1N N nk nk N N N n n X k x n W n W W --======∑∑δ 1,,1,0-=N k Λ 3．离散傅里叶变换(DFT)的性质 由离散傅里叶变换的定义可知，离散傅里叶变换(DFT)的性质本质上与周期序列离散傅里叶级数(DFS)是一致的。为讨论方便，我们假设以下序列都是N 点有限长序列，且设 )()]([11k X n x DFT = )()]([22k X n x DFT = (1)线性 设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，则 1212[()()]()()DFT ax n bx n aX k bX k +=+ (3-2-12) 式中a 、b 为任意常数。该式可根据DFT 定义直接证明，留给读者自己去做。 需要注意的是，若两序列的长度不相时，例如长度分别为1N 和2N ，这时式(3-2-12)的N 点DFT 的N 必须取1N 、2N 中最大者，12max[]N N N =，。比如，12N N <，则2N N =，序列)(1n x 需补上21N N -个零值点后， 再作2N 点DFT ，这时1()X k 和2()X k 的大小分别为： 212 2 2 2 211 1110 ()()()()()N N j nk N kn N N N n n X k x n W R k x n e R k π---====∑∑ 222 2 2 2 211 2220 ()()()()()N N j nk N kn N N N n n X k x n W R k x n e R k π---====∑∑ (3-2-13) (2) 序列的圆周移位性 所谓序列的圆周移位是指将有限长N 的()x n 进行周期延拓，得到周期序列()(())N x n x n =%，再将()x n %移位得到()(())N x n m x n m +=+%，然后，对移位后的序列(())N x n m +取主值序列(0n =到1N -)，得到圆周移位后 的序列(())()N N x n m R n +。因此，有限长序列()x n 圆周移位后得到的序列仍然是一个具有相同长度的序列。 若设()y n 是()x n 的圆周移位，即 ()(())()N N y n x n m R n =+ (3-2-14) 则 ()[()]()mk N Y k DFT y n W X k -== (3-2-15) 这表明，有限长序列的圆周移位，在离散频域中只引入一个和频率成正比的线性相移2j km km N N W e -=π，而 对频谱的幅度没有影响。 （3）圆周卷积和 设有限长序列1()x n 和2()x n ，长度分别为1N 和2N ，12max[]N N N =，，1()x n 和2()x n 的N 点DFT 分别为： 11[()]()DFT x n X k = 22[()]()DFT x n X k = (3-2-16) 若 12()()()Y k X k X k =? (3-2-17) 则 ()[()]y n IDFT Y k = 1 120()(())()N N N m x m x n m R n -=??=-???? ∑ 1210()(())()N N N m x m x n m R n -=??=-???? ∑ (3-2-18) 通常，称式(3-2-18)所表示的运算为1()x n 与2()x n 的N 点圆周卷积(或循环卷积)，记为1() x n 2()x n ，即 ) ()(1n x n y =)(2n x (3-2-19) 下面先证明式（3-2-18），再说明其计算方法。 证明：对式（3-2-18）两边进行DFT ，则 ()[()]Y k DFT y n = 1 1 1200()(())()N N kn N N N n m x m x n m R n W --==??=-?? ?? ∑∑ 11 1200()(())N N kn N N m n x m x n m W --==??=-???? ∑∑ (3-2-20) 令n m n '-=，则 1 1()120()() (())N N m k n m N N m n m Y k x m x n W ---'+'==-'=∑∑ 11120 ()(())N N m km kn N N N m n m x m W x n W ---''==-'=∑∑ 由于上式中的求和项2(())kn N N x n W ''是以N 为周期的，对其在任一个周期上求和的结果不变。所以上式可改写为： 1 1 1200 ()()()N N km kn N N m n Y k x m W x n W --''=='=?∑∑ 12()()X k X k = 证毕 圆周卷积过程如图3-8所示，圆周卷积过程中，求和变量为m ，n 为变参量。先将2()x m 周期化，形成2(())N x m ，再翻褶形成2(())N x m -，取主值序列得到2(())()N N x m R m -，通常称之为2()x m 的圆周翻褶。对2() x m 的圆周翻褶序列循环移位n ，形成2(())()N N x n m R m -，当0,1,,1n N =-L 时，分别将1()x m 与2(())()N N x n m R m -相乘，并对m 在0,1,,1N -L 区间上求和，便得到1()x n 与2()x n 的圆周卷积()x n 。 图3-8 两个有限长序列(N =7)的圆周卷积和 在圆周卷积过程中，要求对2()x m 圆周翻褶，循环移位，因此，两个长度为N 的序列的循环卷积长度仍为N 。 由于 )()()()()]([)(1221k X k X k X k X n y DFT k Y ?=?== (3-2-21) 所以 ) ()(1n x n y =)(2n x ＝) (2n x )(1n x (3-2-22) 即圆周卷积亦满足交换律。 利用时域与频域的对称性，可以证明，如果 12()()()y n x n x n =? 则 []11201()()()(())()N N N l Y k DFT y n X l X k l R k N -=?? ==-???? ∑=) (11k X N )(2k X (3-2-23) 或 []12101()()()(())()N N N l Y k DFT y n X l X K l R k N -=?? ==-???? ∑＝) (12k X N )(1k X (3-2-24) 式(3-2-23)和式(3-2-24)表明，时域序列相乘，乘积的DFT 等于各个DFT 的圆周卷积再乘以1/N 。 （4）圆周相关性质 无论是在模拟信号处理还是数字信号处理中，线性相关是一个十分重要的概念。所谓相关是指两个确定信号或两个随机信号之间的相似性。 对于序列)(n x 和)(n y ，线性相关定义为： ()()()xy n r m x n y n m ∞ * =-∞ = -∑ (3-2-25) 或 ()()()()()xy n n r m x n y n m x n m y n ∞ ∞ ** =-∞ =-∞ = -= +∑ ∑ (3-2-26) 从定义可以得出，相关函数不满足交换律xy yx r r ≠。另外，在相关函数()xy r m 中的延时m 是由(3-2-25)式中信号()x n 的时间n 减去信号()y n m *-的时间()n m -得到的，即()m n n m =--，所以，通常()x n 与()y n m +的相似程度是和()x n 与()y n m -的相似程度不同的，即()()xy xy r m r m -≠。 当信号()x n 与自身相关时，称()xx r m 为()x n 的自相关函数 ()()()()()()xx xx n n r m x n x n m x n x n m r m ∞∞ * * * =-∞ =-∞ = -=+=-∑∑ (3-2-27) 从式（3-2-25）可以看出，相关的求解与卷积和的求解是相似的，它包括了平移、相乘与相加三个步骤，只是没有“翻褶”这一步骤。对式(3-2-25)取z 变换，可得相关函数的z 变换为： ()()()()m m xy xy m m n R z r m z x n y n m z ∞ ∞ ∞ -* -=-∞ =-∞=-∞ = = -∑∑∑ () ()()()()m m n n m n m x n y n m z x n y m z ∞∞ ∞∞ * -* -=-∞ =-∞=-∞ =-∞ = -= ∑∑∑∑ ()()n m n m x n z y m z ∞ ∞ -* =-∞ =-∞ = ∑∑ *1()X z Y z *?? = ??? (3-2-28) 代入j z e =ω，可得其频谱为 ()()()j j j xy R e X e Y e *=ωωω (3-2-29) 可以看出，只有当()j X e ω和()j Y e ω都不为零时，()j xy R e ω才不为零，这就说明，相关函数只包含两个信号所共有的频率成分。 若 ()()y n x n =，则有： 2 ()()j j xx R e X e =ωω (3-2-30) 圆周相关定理：若两有限长序列()x n 与()y n 圆周相关，即 1 0()()(())()N xy N N n r m y n x n m R m -*==+∑ 1 ()(())()N N N n x n y n m R m -*==-∑ (3-2-31) 则相关序列()xy r n 的DFT 与两序列()x n 与()y n 的DFT 满足 ()()()xy R k X k Y k *= (3-2-32) 当()x n 与()y n 为实序列时，则有： 1 1 ()()(())()()(())()N N xy N N N N n n r m y n x n m R m x n y n m R m --===+=-∑∑ (3-2-33) （5）共轭对称性 前面我们已经详细讨论了序列傅里叶变换的对称性，那里的对称性是指关于坐标原点的纵坐标的对称性。DFT 也有类似的对称性，但这里所涉及到的序列()x n 及其离散傅里叶变换()X k 均为有限长序列，且定义区间为0n =到1N -，所以这里的对称性是关于/2N 点的对称性。 ■ 设()x n *为()x n 的共轭复序列，则 ()(())()(())()N N N N DFT x n X k R k X N k R k *** ??=-=-?? ()X N k *=- 01k N ≤≤- (3-2-34) 且 ()(0)X N X = 证明：1 100()()()()()N N nk nk N N N N n n DFT x n x n W R k x n W R k * --* * -==????==???? ?? ∑∑ =(())()N N X k R k * -1()0()()N N k n N N n x n W R k * --=??=???? ∑ (())()()N N X N k R k X N k **=-=- 01k N ≤≤- 这里利用了221j nN nN j n N N W e e --===ππ，因为()X k 的隐含周期性，故有()(0)X N X =。 用同样的方法也可以证明 ■ ()()DFT x N n X k ** ??-=?? (3-2-35) 与3.1节讨论类似，引入序列的两个基本概念―圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量。设有限长序列()x n 的长度为N 点，则它的圆周共轭对称分量()ep x n 和圆周共轭反对称分量()op x n 分别定义为： 1 ()(())(())()2 ep N N N x n x n x N n R n *??=+-?? (3-2-36) 1()(())(())()2 op N N N x n x n x N n R n *??= --?? (3-2-37) 因此，任何有限长序列()x n 都可以表示成其圆周共轭对称分量()ep x n 和圆周共轭反对称分量()op x n 之和，即 ()()() 01ep op x n x n x n n N =+≤≤- (3-2-38) 可以证明圆周共轭对称分量及圆周共轭反对称分量的DFT 满足： ■ []()Re ()ep DFT x n X k ??=?? (3-2-39) ■ []()()op DFT x n jIm X k ??=?? (3-2-40) 证明： ()1()(())())()2ep N N N DFT x n DFT x n x N n R n * ????=+-?????? []11 (())()(())()22 N N N N DFT x n R n DFT x N n R n *??=+-?? 利用式(3-2-35)，可得 []1 ()()()Re ()2ep DFT x n X k X K X k * ????=+=???? 则式(3-2-39)得证。同理可证式(3-2-40)。 ■ []{}1 Re ()()()()2 ep DFT x n X k X k X N k * ??==+-?? (3-2-41) ■ []{}1Im ()()()()2 op DFT j x n X k X k X N k *??==--?? (3-2-42) 式中[]1 Re ()()()2x n x n x n * ??=+??和[]1Im ()()()2 j x n x n x n *??= -??分别表示有限长序列()x n 的实部及虚部。 XXXX大学 2012届学士学位论文 离散傅里叶变换的分析与研究 学院、专业物理与电子信息学院 电子信息工程 研究方向数字信号处理 学生姓名XX 学号 XXXXXXXXXXX 指导教师姓名XXX 指导教师职称讲师 2012年4月26日 离散傅里叶变换的分析与研究 XX 淮北师范大学物理与电子信息学院 235000 摘要离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析的逼近。离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质，然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对线性卷积的计算和对连续信号的谱分析。在理解理论的基础上，在matlab环境下实现了线性卷积和对连续信号频谱分析的仿真。仿真结果表明：当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，可利用循环卷积计算线性卷积；利用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽，采样频率和截取长度都有关。 关键词离散傅里叶变换；线性卷积；谱分析 The Analysis and Research of Discrete Fourier Transform XX School of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract The discrete Fourier transform is the form that the continuous Fourier transform are discrete both in the time domain and frequency domain,it is a approach to the analysis of continuous time signal spectrum . The discrete Fourier transform not only has important significance in theory, but also plays a central role in all kinds of signal processing . This paper introduced the definition and properties of the discrete Fourier transform first of all.Then introduced the application of the discrete Fourier transform, which mainly including the calculation of linear convolution and analysis of continuous signal the spectral. On the basement of understanding theory, we realized the linear convolution and analysis of continuous signal spectrum on the Matlab environment . The simulation results show that when the length of the cyclic convolution is equal to or greater than linear convolution,we can use cyclic convolution to calculate linear convolution;It is approximately use continuous DFT spectrum to analyze the frequency domain of continuous time signal, the approximation of the results is related to the signal bandwidth, sampling frequency and intercept length. Keywords The discrete Fourier transform; Linear convolution; Spectrum analysis 第3章 离散时间傅里叶变换 在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。 3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质 3.1.1 非周期序列傅里叶变换 1．定义 一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为： 正变换： ∑∞ -∞ =ω-ω = =n n j j e n x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1) 反变换： ? π π -ωωω-ωπ = =d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2) 记为： )()(ω?→←j F e X n x 当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。 [例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得 ωω=--=--== = ω-ω-ωω-ω-ωω-ω -ω-ω-=ω-∞ -∞ =ω ∑∑ 2 1sin 3sin )() (11)()(2 521 212133365 6j j j j j j j j j n j n n j n j e e e e e e e e e e e n R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件： 图3-1 实验报告 课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________ 实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名： 第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 一、实验目的 1.1掌握离散傅里叶变换（DFT ）的原理和实现； 1.2掌握快速傅里叶变换（FFT ）的原理和实现，掌握用FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab 软件进行以上练习。 二、实验原理 2.1关于DFT 的相关知识 序列x (n )的离散事件傅里叶变换（DTFT ）表示为 n j n j e n x e X Ω-∞ -∞ =Ω ∑= )()(， 如果x (n )为因果有限长序列，n =0,1,...,N-1，则x (n )的DTFT 表示为 n j N n j e n x e X Ω--=Ω ∑=1 )()(， x (n )的离散傅里叶变换（DFT ）表达式为 )1,...,1,0()()(21 -==--=∑N k e n x k X nk N j N n π， 序列的N 点DFT 是序列DTFT 在频率区间[0,2π]上的N 点灯间隔采样，采样间隔为2π/N 。通过DFT ，可以完成由一组有限个信号采样值x (n )直接计算得到一组有限个频谱采样值X (k )。X (k )的幅度谱为 )()()(22k X k X k X I R += ，其中下标R 和I 分别表示取实部、虚部的运算。X (k )的相位谱为 ) () (arctan )(k X k X k R I =?。 离散傅里叶反变换（IDFT ）定义为 )1,...,1,0()(1)(21 -==∑-=N n e k X N n x nk N j N n π 。 2.2关于FFT 的相关知识 快速傅里叶变换（FFT ）是DFT 的快速算法，并不是一个新的映射。FFT 利用了n N j e π2-函数的周期性 和对称性以及一些特殊值来减少DFT 的运算量，可使DFT 的运算量下降几个数量级，从而使数字信号处 装 订 线 第三章离散傅里叶变换 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 § 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换 对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 时域信号 频域信号 连续的 非周期的 非周期的 连续的 t ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j )()(:? ∞ ∞ -ΩΩ Ω= d e j X t x t j )(21 )(:π 反 *时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 三.离散时间、连续频率的傅氏变换 --序列的傅氏变换 p T 0= Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 ? -Ω-= Ω2 /2 /00)(1 )(:p p T T t jk p dt e t x T jk X 正∑ ∞ -∞ =ΩΩ= k t jk e jk X t x 0)()(:0反 离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换 摘要 本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。 1. 离散时间傅里叶变换 1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换 离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛n j e ω-｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中ω是实频率变量。时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换)(ωj e X 定义如下： ∑∞ -∞ =-= n n j j e n x e X ωω ][)( （1.1） 通常)(ωj e X 是实变量ω的复数函数同时也是周期为π2的周期函数，并且)(ωj e X 的幅度函数和实部是ω的偶函数，而其相位函数和虚部是ω的奇函数。这是由于： ) ()()(tan ) ()()() (sin )()()(cos )()(2 22 ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X = +=== （1.2） 由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从)(ωj e X 中算出： ωπ ωπ πω d e e X n x n j j )(21 ][?- = （1.3） 2 奇偶信号的FS: (i) 偶信号的FS: 2 a n f (t)cosn T] T 1 Fn 弘 1tdt ； bn 2 T1 f (t)sin n 1tdt c n d n a n (ii ) jbn an 2 2 偶的周期信号的 奇信号的FS: F n ( Fn 实, 偶对称)；n FS 系数只有直流项和余弦项。 2 T f(t)sinn 1tdt ； 5 dn T| 11 1 Fn F n jbn ( Fn 纯虚，奇对称)； a a n 0 ； b n b n 2jFn 第二章连续时间傅里叶变换 1周期信号的频谱分析 一一傅里叶级数FS (1) 狄义赫利条件：在同一个周期 T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝 为T i ,角频率为 ,2 f ,—。 Ti (3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。 ⑷三角形式的FS: (i) 展开式：f(t) a 0 (ancon it bn sin n ,t) n 1 (ii) 系数计算公式： (a) 直流分量： ao f (t)dt T 1 T 1 (b) n 次谐波余弦分量： a n - f (t) cosn 1tdt, n N T1 T 1 2 (c) n 次谐波的正弦分量： bn — f (t)sinn 1tdt, n N T1 T 1 (iii) 系数an 和bn 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。 (iv) 称f1 1/T1为信号的基波、基频； nf1为信号的n 次谐波。 (V) 合并同频率的正余弦项得： n 和n 分别对应合并后 门次谐波的余弦项和正弦项的初相位。 (vi) 傅里叶系数之间的关系： (5)复指数形式的FS: (i) 展开式：f (t) Fne jn 1t n (ii) 系数计算：Fn 丄 f(t)e jn 1t dt, n Z T] T 1 (iii) 系数之间的关系： (iv) Fn 关于 n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。 (v) 正负n (n 非零)处的Fn 的幅度和等于Cn 或dn 的幅度。 对可积 丁 f(t)dt 。 (2)傅里叶级数：正交函数线性组合。 正交函数集可以是三角函数集 {1,cosn *,sinn 1t ：n N}或复指数函数集 {e jn 术:n Z},函数周期 第一章 离散傅里叶变换（DFT ） 填空题 （1） 某序列的DFT 表达式为 ∑-==1 )()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域 的长 度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。 解：N ； M π 2 （2）某序列DFT 的表达式是 ∑-==1 0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度 是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。 解： N M π 2 （3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。 解：纯实数、偶对称 （4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统 的极点为 ；系统的稳定性为 。系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值 )(∞h 。 解： 2,2 1 21-=- =z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1 -z 代表的物理意义是 ，其中时域 数字序列)(n x 的序号 n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值 实际位置又是 。 解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N k πω2= （6）已知 }{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和 ][n h 的5点循环卷积为 。 解：{}]3[]2[][][][][---+?=?k k k k x k h k x δδδ {}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x （7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--=== k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为 。 第三讲 Part3 DFT 的理论难点 1、抽样定理 连接离散信号与连续信号的桥梁。 ()(){ ()()j t a a j j n s n X j x t e dt X e x nT e ω ω∞ -Ω-∞ ∞ -=-∞ Ω== ?∑ 根据频域卷积定理推导 () ()()() {1()()()()()2j j j j j y n x n h n Y e X e H e X e H e d πωωωθωθπ θ π--==*=? 得到：1 ()()j a s k s X e X j jk T ω ∞ =-∞ = Ω-Ω∑ 2、FT 中的待研究的理论难点与关键之处 2．1 DFT 与DTFT 的关系 两种论述方法： 方法1：书P119-P120的论述；请同学看书后，上黑板叙述推演相关的过程。 方法2：书P121，连续频谱的抽样也必然使原来的时域信号变成周期的。 2.2 DFT 的()X k 是“()x n 的傅里叶变换”的某种程度上的近似。 用DFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的基本原理和方法 2.2.1 怎样理解DFT 对FT 的近似？ 由于用DFT 对连续信号做频谱分析的过程中隐含了频域和时域的两个周期延拓，又由于信号时宽和带宽的制约关系，因此，做DFT 得到的()N X k ，及由()N X k 做IDFT 得到的 ()N x n 都是对原()a X j Ω及()a x t 的某种近似。 如果s T 选得足够小，则式1 ()|()s j a T a s l s X e X j jl T ω ω∞ =Ω=-∞ = Ω-Ω∑ 中将避免或大大减轻 频域的混叠。 如果N 选得足够大，一方面可以减轻式()()*()j j j a X e X e D e ω ω ω =的窗口效应，另一方面也会减轻式()(),0,1, (1) l x n x n lN n N ∞ =-∞ = +=-∑的时域混叠。 结论：在这两个条件均满足的情况下，上述的近似误差将减小到可接受的程度，从而 第五章 离散傅里叶变换及其快速算法 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导 (1) 时域抽样： 目的：解决信号的离散化问题。 效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 (2) 时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。 方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。 结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 (3) 时域周期延拓： 目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。 方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。 表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。 结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。 (4) 1。 图1 DFT 推导过程示意图 (5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：∑∑ ∞ -∞=-=π--δ???? ? ????= k N n N kn j s kf f e nT h f H )()()(~ 010/2 (i) )(~f H 是离散函数，仅在离散频率点S NT k T k kf f = ==00处存在冲激，强度为k a ，其余各点为0。 (ii) )(~ f H 是周期函数，周期为s s T NT N T N Nf 1 00= == ，每个周期内有N 个不同的幅值。 (iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。 2 DFT 及IDFT 的定义 (1) DFT 定义：设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ，这N 个点的宽度为 N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(1 0/2-=??? ? ? ?==? -=π-∑N k NT k H e nT h nT h DFT s N n N nk j s s N (2) IDFT 定义：设??? ? ??s NT k H 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k ， 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为： ())1,...,1,0(,11 0/21 -==??? ? ? ?=???????????? ???-=π--∑ N k nT h e NT k H N NT k H DFT s N k N nk j s s N (3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。它们 互为共轭。 (4) 同样的信号，宽度不同的DFT 会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应关系是唯一的， 或者说它们是互逆的。 (5) 引入N j N e W /2π-= (i) 用途： (a) 正逆变换的核函数分别可以表示为nk N W 和nk N W -。 (b) 核函数的正交性可以表示为：() )(* 1 0r n N W W kr N N k kn N -δ=∑-= (c) DFT 可以表示为：)1,,1,0(,)(10 -==? ??? ??∑ -=N k W nT h NT k H N n nk N s s (d) IDFT 可以表示为：)1,,1,0(,1 )(1 0-=??? ? ? ?= ∑ -=-N n W NT k H N nT h N k nk N s s (ii) 性质：周期性和对称性： (a) 12==π-j N N e W (b) 12 /-==π-j N N e W (c) r N r N N N r N N W W W W ==+ (d) r N r N N N r N N W W W W -=-=+2/2/ (e) )(1Z m W m N ∈?= (f) ),(/2/2Z n m W e e W n N N n j m N m n j m n m N ∈?===π-π- 3 离散谱的性质 (1) 离散谱定义：称)(Z k NT k H H S k ∈???? ? ?=? 为离散序列)0)((N n nTs h <≤的DFT 离散谱，简称离散谱。 (2) 性质： (i) 周期性：序列的N 点的DFT 离散谱是周期为N 的序列。 (ii) 共扼对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都 电 子 科 技 大 学 实 验 报 告 学生姓名：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建 一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换 二、实验目的： 熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。 三、实验内容： 1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换 (a) ()(0.5)()n x n u n = (b) (){1,2,3,4,5}x n = 2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。 3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。 4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。 5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求： (a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ； (b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论； (c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。 四、实验原理： 1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义： 2．周期性：()j X e ?是周期为2π的函数 (2)()()j j X e X e ??π+= 3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ?是共轭对称函数。 *()() Re[()]Re[()] Im[()]Im[()]()() ()() j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ??????????-----===-=∠=-∠ 4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有 1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+ 5．时移 [()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---== 6．频移 00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-= 7．反转（翻褶） [()]()j F x n X e ω--= 五、实验器材（设备、元器件）： PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1 六、实验步骤： 本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学内容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。 [()]()()(), ()j j jn z e n n F x n X e X z x n e x n ωωω∞-==-∞∞=-∞===<∞∑∑收敛条件为： 第四章 离散系统分析和离散傅里叶变换 4-1概述 在上一章中我们已经介绍了连续时间信号（周期的或非周期的）的傅里叶变换。在第一、二章中介绍了离散信号和离散系统的概念，在这一章中主要讨论离散信号的傅里叶变换。 4-2离散信号的傅里叶变换 时域抽样定理告诉我们，连续时间信号可以由它的样本值恢复出来，即 ]2 ) ([ )()(∑ ∞ -∞ =-Ω= n s nT t Sa nT f t f 当抽样频率s Ω给定时，抽样函数]2 ) ([ nT t Sa s -Ω就确定了，唯一与信号相关的是信号的样本值)(nT f ，换句话说传载)(t f 中信息的是样本值)(nT f 。因此研究连续时间信号)(t f 中的信息，就转 变为研究样本值)(nT f 中的信息。当抽样频率s Ω给定时，T 也就一定了，样本值)(nT f 就可以抽象为序列)(n f ，也就是说离散信号的数学抽象是序列。以后我们就用序列)(n f 表示离散信号（样本值）。 由于序列的变量是整数变量，与连续信号的变量不同，因此对序列的处理方法与连续时间变量的处理方法也必定不同。先来看看序列的傅里叶变换，连续非周期时间信号)(t f 的傅里叶变换为 ? ∞ ∞ -Ω-= =Ωdt e t f t f F t j )(])([)(F ? ∞ ∞ -ΩΩΩ= Ω=d e F F t f t j -)(21 )]([)(1 π F 假定)(n f 是非周期的，仿照连续时间信号的傅里叶变换形式可以定义序列的傅里叶变换： ∑∞ -∞ =-= n jn j e n f e F ω ω )()( （4-1） ?- = π πωω ωπ d e e F n f jn j )(21 )( （4-2） 式中ω为数字角频率。（4-1）式和（4-2）式构成了序列的傅里叶变换对，前者称为序列的傅里叶正变换，后者称为序列的傅里叶逆变换。注意到序列傅里叶正变换公式是个和式，这是因为序列)(n f 的变量是离散的整数，序列的傅里叶逆变换公式是个积分式，由此也说明序列的傅里叶变换是ω的连续函数，也就是说，离散信号的傅里叶变换是频域中连续的函数。此外因 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /***************************************************************************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /**************************************************************************************************/ 前言： ―关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解‖---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科） 实验二离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换 一．实验目的 1.深刻理解离散时间信号傅里叶变换的定义，与连续傅里叶变换之间的关系； 2.深刻理解序列频谱的性质（连续的、周期的等）； 3.能用MATLAB编程实现序列的DTFT，并能显示频谱幅频、相频曲线； 4.深刻理解DFT的定义、DFT谱的物理意义、DFT与DTFT之间的关系； 5.能用MATLAB编程实现有限长序列的DFT； 6.熟悉循环卷积的过程，能用MA TLAB编程实现循环卷积运算。 二．实验原理 1.离散时间信号的频谱和图示化 2.离散傅里叶变换的定义和图示化 三．实验结果 w=[0:2:500]*pi*2/500; h=(1+0.9*exp(-j*w))./(1-0.9*exp(-j*w)); magh=abs(h); plot(w/pi,magh);grid;xlabel('f');ylabel('|H(w)|'); n=[0:127]; m=[0:127]; x=exp(j*2*pi/128*m.*n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); n=[0:127]; m=[0:127]; x=cos(2*pi/128*m.*n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); n=[0:127]; m=[0:127]; [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); n=[0:127];m=[0,127]; x=sin(n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); 本科学生毕业论文（设计）开题报告题目离散傅里叶变换的分析与研究 姓名XX 专业电子信息工程 学号XXXXXXXXXX 学院物理与电子信息学院 指导教师XXX 淮北师范大学教务处制 一、本课题研究现状及可行性分析 离散傅里叶变换,其实质是有限长序列傅立叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。更为重要的是，离散傅里叶变换有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。所以说，离散傅立叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 离散傅里叶变换在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、系统分析与仿真、雷达信号处理、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都有着广泛的应用。 目前，我们已具备有关的大量参考文献和基本的原始程序，对本论文的开展不存在根本性的问题，我们的研究方法是可行的。 二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路 关键问题： 线性卷积与循环卷积之间的关系，及对信号的频谱分析。并在MA TLAB环境下的编程实现。 解决思路： 在理解和掌握线性卷积，循环卷积以及信号频谱分析的基础上，用MA TLAB语言编写线性卷积，循环卷积以及频谱分析的设计程序，最后通过仿真结果验证理论的正确性。 三、论文纲要 1 绪论 1.1 DFT的定义 1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系 2 DFT的基本性质 2.1 线性性质 2.2 循环卷积性质 2.3循环卷积定理 3 DFT的应用 3.1 用DFT计算线性卷积 3.2 用DFT对信号进行谱分析 3.3 用DFT进行谱分析的误差问题 连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系 对于连续限带（B ）的时间信号x (t)，在满足奈奎斯特抽样定理的条件下进行抽样（抽样频率f s =1/T s = 2B'>2B ），其样点为x n =x (nT s )。可以由样点序列进行内插来恢复原始信号x (t)： ()()()sin 2')s n x t x nT c B t n = -∑ (1) 证明： 抽样采用理想冲击脉冲串：()()s T s t t nT δδ= -∑ ()()()s s T x t x t t δ= ()()s s n x nT t nT δ= -∑ (2) 其中2B'=1/T s 。由傅里叶变换的频域卷积性质，理想抽样信号x s (t)的傅里叶变换为： 1()()s k s s k X f X f f T T δ?? =* - ??? ∑ (3) 其中*表示连续的卷积运算。于是得到 ()1s k s s k X f X f T T ??= - ?? ?∑ s k s k f X f T ?? =- ?? ?∑ (4) 即理想抽样信号在频域是原信号x (t)傅里叶变换（频谱密度）的周期性位移，周 期为1/T s 。其中更详细的原理请参看经典课本：奥本海姆（《信号与系统》）/樊昌信先生（《通信原理》）/周炯盘先生（《通信原理》）。本文目的是架起连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换的桥梁，这在很多课本中都是省略掉的；对抽样定理不再赘述。 在频域k=0处对抽样信号进行理想低通滤波，滤波器带宽为B'>B 。理想低通滤波器的频率响应为矩形窗函数H(f)=( )2' f B ∏，它对应的时域单位冲激响应函数 1、DTFT是离散时间傅里叶变换，DFT是离散傅里叶变换。 2、DTFT变换后的图形中的频率是一般连续的（cos(wn)等这样的特殊函数除外，其变换后是冲击串)，而DFT是DTFT的等间隔抽样，是离散的点。从表示中可以看出，其函数表示为X(k）,而DTFT的函数表示为X(exp(jw))。（这里主要突出DFT是DTFT的等间隔抽样，DTFT变化后的频率响应一般是连续的，DFT变换后的频率响应是离散的） 3、DTFT是以2pi为周期的。而DFT的序列X(k）是有限长的。 4、DTFT是以复指数序列{exp（-jwn）}的加权和来表示的，而DFT是等间隔抽样，既然是等间隔，那么间隔是多少呢？DFT里面有个重要的参数就是N，我们一般都会说，多少点DFT运算，这个点就是N(离散序列的长度)，抽样间隔就是将单位元分成N个间隔来抽样，绕圆一周，（2*pi）/N是间隔（这个应该很明显吧，一个圆周是2*pi，分成N个等分，就像我们生日的时候切蛋糕一样）。 5、DTFT和DFT都能表征原序列的信息。因为现在计算主要使用计算机，必需要是离散的值才能参与运算，因此在工程中DFT应用比较广泛，DFT还有一个快速算法，那就是FFT。 基本上你答了上面的5点，面试官至少会对你刮目相看的。因为很多人对概念是很模糊的。 快速傅立叶变换（The Fast Fourier Transform,FFT）是离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform,DFT）的一种快速算法，它是库利（Cooley）和图基（Tukey）于1965年提出的。FFT使DFT的次数由N^2减少到Nlog2(N)次，使DFT应用于实际变为现实，使DFT进一步得到完善。1976年，S.Winograd等人提出一种新算法：Winograd快速变换（Winograd Fast Fourier Transform Algorithm），该算法是基于中国剩余定理提出的，比FFT的运算速度更快。 因我也知之深浅，只作下面三点说明： 1.FFT是通过DFT运算中存在对称性和周期性而做的化简。 2.FFT可以通过对时间参量或者频率参量不断分解为奇偶表达式，再做进一步改进，分别称为时间抽取法和频率抽取法。 3.matlab给出的FFT介绍实际是DFT的表达式，未作DFT向FFT的简化过程说明，但计算过程内核是FFT。（N=1024时FFT比DFT快一百多倍） 对于一般的周期信号可以用一系列（有限个或者无穷多了）正弦波的叠加来表示。这些正弦波的频率都是某一个特定频率的倍数如5hz、2*5hz、3*5hz……（其中的5hz叫基频）。这是傅立叶级数的思想。所以说周期信号的频率是离散的。而且，对于周期信号有一个特点，信号的周期越长，信号的基频越小。 非周期信号可以看作周期无穷大的周期信号，那么它的基频就是无穷小，这样它的频率组成就编程了连续的了。求这个连续频率的谱线的过程就是傅立叶变换。包括这样几种： DTFT（时间离散，频率连续） 离散傅里叶变换应用与计算 1 离散傅里叶变换基本原理与计算 1822年，法国工程师傅里叶(Fourier)指出，任意一个函数X(t)均可分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这即是谐波分析的基本概念。在数字计算机时代，模拟信号所携带的信息均被处理为基于0和1的二值离散数据。模拟信号通过A／D变换为离散的数字信号。连续函数X(t)因此被抽样为离散的有限长序列X(nT s) (n=0，1，2，…，N-1,T s为采样周期)。离散傅里叶变换(DFT)将离散的时域信号X(nT s)与离散的频率点结合，使谱分析得以在数字计算机上实现。根据DFT理论，X(t)的N个抽样点的频谱为： 其中：，n=0，1，2，…，N-1；k=0，1，2，…，N-1。通常，为应用DFT的快速算法(快速傅里叶变换，FFT)，N取值为2的整数次幂。式(1)的处理结果为复数，在绘制信号频谱时需进行相应的取模运算；另外，为使频谱图直观，通常还会采用半对数图。 2 离散傅里叶级数（DFS）的应用 离散傅里叶变换是信号系统中频谱分析最常用的方法，基于离散傅里叶变换插值的方法测量信号频率，在采样率较低的情况下仍然有较好的精度，在提高采样率或增加采样点数的情况下，频率分辨精度能进一步提高，采用滤波和加窗的方法能更好地避免插值方向错误，该方法具有计算简单、速度快、精度高等特点[1]。 在电力系统发展中，一般的感应式电能表准确度只能达到2.0级或1.0级，而且功能单一，已经不能适应现代电能管理的要求。在现阶段的电量测量仪表中，越来越多的采用交流采样技术。交流采样技术是将被测电流、电压直接送入数据采集装置，在装置中使用精密电流、电压互感器将其变成小电流(或低电压)，通过A／D转换和CPU计算得到电流、电压的有效值、有功功率、无功功率、有功电度和无功电度等参数。其中傅立叶变换法可以计算出各次谐波的参数值，总的电参数由各次谐波分量求出，具有很强的滤波功能[2]。 近年来，多速率滤波器组广泛应用于子带编码、语音信号处理、图像压缩和通信系统等 第3章离散傅里叶变换及其快速算法 3. 1离散傅里叶变换（DFT） 3. 2利用DFT做连续信号的频谱分析 3.3快速傅里叶变换（FFT） 3.4 FFT应用中的几个问题 散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理.但是，直至上个世纪六十年代?由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 3. 1散傅里叶变换（DFT） 第一章中，我们学习离散时间信号的傅里叶变换 （DTFT）,我们知道DTFT在频域是连续的周期函数，不便于计算机计算和存储；对于有限长序列我们还可以用离散傅里叶变换（DFT）反映其特点，且DFT便于计算机处理。为了便于更好地理解DFT及离散傅里叶级数（DFS）的槪念，我们首先 来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。 2 4 傅里叶变换的几种形式: 1.非周期连续时间信号的傅里叶变换 6 XMG)= (必"心 2. 周期连续时间信号的傅里叶变换 周期为Ti 的连续时间信号在满足狄里赫利条件时可展 开为指数形式的傅里叶级数！ 丘⑴=￡/叫昭=￥ &?-8 1 I 图3?1 (b)周期连续时间信号的傅里叶变换 6 t t J f b \ 4 * 4 h / W / IlfK 1 I 'N . ,1 丨 ■ % h / t t ? 9 ■ .? % 1 * f t .A -TT ° ?—n a 3. 非周期离散时间信号的傅里叶变换 X(J")=工兀x(n) = ——J X o=G7\X("Q)是以2”周期的周期艱 4. 周期离散时间信号的傅里叶变换 根据前面三种傅里叶变换可发现如下规律：如果信号 时域离散，则频域表现为周期性频率函数；相反如频域离 散，则时域表现为周期性时间函数.同样可见： 连续对应另一个域的非周期- 因此，我们可以猜想到一个周期离散序列的频谱必定是 离散的、周期的，(如图3. 1 (d))所示。 1:1 个域的 图3.1 (c) 非周期离》时间信号的傅里叶变換 i(?) n 图3.1 (d) 周期离散时间信号的傅里叶变换 L ——°NT A ZT —N 点 ----- * 数字信号处理实验三 离散时间傅里叶变换DＴFT及ＩDTFＴ 一、实验目的： (1)通过本实验,加深对DTFＴ和IＤＦT的理解。 (2)熟悉应用DTFT对典型信号进行频谱分析的方法. (3)掌握用MATLＡB进行离散时间傅里叶变换及其逆变换的方法。 二、实验内容： (1）自己生成正弦序列(如矩形序列，正弦序列，指数序列等），对其进行频谱分析,观察其时域波形和频域的幅频特性。记录实验中观察到的现象,绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。 矩形序列： 程序： Ｍ=１0；N=2*M+1；T=０.5;n=—４＊M：4＊M； x=［zeros(1，3＊M)，ｏnes(1,N）,zｅros（1，3*M)]; w＝［-1５:0。1：15]+1ｅ—10； X=sin（0．5*N＊ｗ＊T）./siｎ（0。5*w＊T）; subplot（1，3,1）;stem（ｎ，x,'.＇）; axis（[－2０，20,-0。1,1．1]），grｉd oｎ xｌａｂｅl(＇n’），titlｅ(＇（a)序列幅度'） ｓuｂplｏt(１，3，２)，plot（w,X）,griｄｏn xlabｅl（'＼Omegａ’），titｌe（＇(b）幅频特性') subｐlｏｔ（1,3，3)，plｏｔ(w，Ｘ),ｇrｉｄon v=axis；axｉｓ([-pi/Ｔ,pi/T，v（３），ｖ(４)］）； ｘlabeｌ（’\Ｏｍｅga’），titｌe（＇（c）横轴放大后幅频特性'）sｅt（ｇcf,'color'，＇w＇） 正弦序列： 程序： n＝-10：1０； ｘ=sｉn（n*pi）；k＝－200：200;w＝（pi／１00）*ｋ; X=ｘ*(eｘｐ(—j＊pi／1０0)）．＾（n＇＊ｋ）;离散傅里叶变换的分析与研究
离散时间傅里叶变换.
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换
离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
连续时间傅里叶变换
离散傅里叶变换(DFT)试题
第二讲 Part3 离散傅里叶变换_难点
离散傅里叶变换及其快速算法
实验2 离散时间傅里叶变换
离散系统分析和离散傅里叶变换讲解
傅里叶变换算法详细介绍
实验离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散傅里叶变换的分析与研究 开题报告
连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系
离散时间傅里叶变换
离散傅里叶变换应用与计算
第3章离散傅里叶变换及其快速算法.
数字信号处理实验三离散时间傅里叶变换DTFT及IDTFT