因式分解题型分类
《因式分解》知识演练
2.1分解因式【考点演练】
1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为 1、bx ax b a x -=-)(
2、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-
3、)1)(1(12-+=-x x x
4、c b a x c bx ax ++=++)(
5、12a 2b =3a ·4ab
6、(x +3）（x －3）=x 2－9
7、4x 2+8x －1=4x (x +2)－1 8、2
1ax －2
1ay =21a (x －y ) 9、(a +3)(a -3)=a 2-9
10、x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 11、x 2+1=x (x +x
1
) 12、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242
2、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ）
A 、46-b
B 、64b -
C 、46+b
D 、46--b
3、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（
） A 、1,3-==c b
B 、2,6=-=c b
C 、4,6-=-=c b
D 、6,4-=-=c b
4、若 ,
),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则 5、若x+5,x-3都是多项式152--kx x 的因式，则k=_________.
2.2提公因式法【考点演练】
1、322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________。
2、将多项式3222231236b a b a b a +--分解因式时，应提取的公因式是（ ） A 、ab 3- B 、223b a - C 、b a 23- D 、333b a -
3、下列各式分解正确的是（ ）
A 、)34(391222xy xyz y x xyz -=-
B 、)1(333322+-=+-a a y y ay y a
C 、)(2z y x x xz xy x -+-=-+-
D 、)5(522a a b b ab b a +=-+ 4、下列各式的因式分解中正确的是（ ）
A 、 -a 2+ab -ac = -a (a +b -c )
B 、9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy )
C 、3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b )
D 、
2
1
xy 2+21x 2y =2
1xy (x +y )
5、下列各式从左到右的变形错误的是（ ）
A 、22)()(y x x y -=-
B 、)(b a b a +-=--
C 、33)()(a b b a --=-
D 、
)(n m n m +-=+- 6、m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）
A 、(a -2)(m 2+m )
B 、(a -2)(m 2-m )
C 、 m (a -2)(m -1)
D 、m (a -2)(m+1) 7、把多项式()()a p a p -+-112分解因式的结果是（ ） A 、()()p p a +-21 B 、()()p p a --21 C 、()()11--p a p D 、()()11+-p a p
8、已知x +y =6，xy =4，则x 2y +xy 2的值为 ; 9、若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是 10、把下列各式分解因式
（1）222axy y x a - （2）5335y x y x +- （3）23)(10)(5x y y x -+-
（4）)3()3(2a a -+- （5）c ab ab abc 249714+-- （6）228168ay axy ax -+-
（7）32)(12)(18b a b a b ---； （8）mn(m －n)－m(n －m) （9）a 2(x -y )+b 2(y -x )
2.3运用公式法—平方差公式 【考点演练】
1、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是____________________。 1、22
)(b a
-+ 2、mn m
2052
- 3、22
y x
--
4、92+-x
5、-a 2+b 2
6、-x 2-y 2
7、49x 2y 2-z 2
8、16m 4-25n 2p 2
9、42+-m 10、22y x -- 11、122-y x 12、()()22a m a m +--
2、分解因式=-942x ____________________;分解因式14-x 得____________________。
3、把下列各式分解因式
（1）4m 2-9n 2； （2）9(m+n)2-16(m-n)2； （4）9（a+b ）2－（a-b ）2;
（5）4416n m -； （6）522m m - （7）3123x x -
2.4运用公式法—完全平方公式 【考点演练】
1、下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是
(1)、4
12
m m ++ (2)、22-y 2y x x + (3)、224914b ab a ++ (4)、 2444x x ++
(5)、－x 2－2x －1 (6)、x 2+4y 2 (7)、2242b ab a +- (8)、4
1
42+-m m
(9)、269y y +- (10)、2244x ax a +-- (11)、2412x x ++- 2、分解因式=+-442x x ____________________。=++224
124n mn m
()()49142++-+y x y x =____________________。=++-+9)(6)(2b a b a ________________.
3、如果2592
++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）
A 、15
B 、 ±5
C 、30
D ±30 4、如果2216y mxy x ++是完全平方式，则m=__ ____. 4a 2-20a+m 是完全平方式，那么m= __ ____. 5、把下列各式分解因式
1、4224817216b b a a +-
2、xy y x 81622-+
3、254624+-x x
4、-3ma 3+6ma 2-12ma
5、25)(10)(2++++y x y x
6、(x 2-6x)2+18(x 2-6x)+81
7、()()110252+-+-x y y x
8、20)3(8)3(222-+-+a a a a 9、 2
1222++x x 10、;223x x x +-
2.5十字相乘法分解因式【考点演练】
1、x 2 + 3x + 2
2、x 2 - 2x - 3
3、x 2 + 12x - 13
4、x 2 - 4x + 3
5、x 2 - x - 6
6、 x 2 + 6x - 7
7、x 2 + 2x - 3
8、 x 2 - 5x - 6
第二章《因式分解》训练
1.下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ） A ．(2)(3)(3)(2)m m m m --=-- B ．21(1)(1)a a a -=+- C ．2(1)(1)1x x x +-=- D ．2223(1)2a a a -+=-+
2.下列各式的公因式是a 的是（ ）
A ．5ax ay ++
B ．246ma ma +
C ．2510a ab +
D ．2
4a a ma -+
3.一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：41x -，请问正确的结果为（ ） Ａ．22(1)(1)x x -+ Ｂ．22(1)(1)x x +- Ｃ．2(1)(1)(1)x x x -++ Ｄ．3(1)(1)x x -+
4.多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ）
A ．2(2)x y - Ｂ．2(2)x y -- C ．2(2)x y -- D ．2()x y + 5. 222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 之值为（ ） Ａ．40
Ｂ．40±
Ｃ．20
Ｄ．20±
6、若E p q p q q p ?-=---232)()()(，则E 是（ ）
A 、p q --1
B 、p q -
C 、q p -+1
D 、p q -+1 7、若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ） A 、－15 B 、－2 C 、8 D 、2
8、一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ） Ａ、32(1)x x x x -=-
Ｂ、2222()x xy y x y -+=- Ｃ、22()x y xy xy x y -=-
Ｄ、22()()x y x y x y -=-+
9、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（
）
A 、46-b
B 、64b -
C 、46+b
D 、46--b
10、下列多项式的分解因式，正确的是（ ）
A 、)34(391222xyz xyz y x xyz -=-
B 、)2(363322+-=+-a a y y ay y a
C 、)(22z y x x xz xy x -+-=-+-
D 、)5(522a a b b ab b a +=-+
A 、41x -
B 、22x y -
C 、2()x y -
D 、22a a + 13、如果。，则=
+=+-==+2222,3,5y x xy y x xy y x
14、如果2a+3b=1,那么3-4a-6b= ．
15、若＝
，，则b a b b a =
=+-+-01222
16、若A y x y x y x ?-=+--)(22，则A =___________.
17、若a 2+2a+b 2-6b+10=0， 则a=___________，b=___________. 18.（2009年北京市）把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）
A.()()x x y x y +-
B.()222x x xy y -+ C ()2
x x y + D ()2
x x y -
19.（2009年长沙）因式分解：224a a -= ． （2009威海）分解因式：（x+3）2 - (x+3) ___________．
20.已知正方形的面积是9x 2+6xy+y 2平方单位，则正方形的边长是___________ 21.利用因式分解简便计算下列各式：
（1）、4.3×200.8+7.6×200.8-1.9×200.8 （2）、20082-16×2008+64
（3）1.2222×9-1.3332×4 （4）、
（5）、32004-32003 （6）、（-2）101+（-2）100
22、先分解因式，再求值：2
1,3
4
,416922-==++y x y xy x 其中.
23、先分解因式，再求值：已知22==+ab b a ，，求32232
121ab b a b a ++的值。
24、某工厂现有甲种原料226 kg ，乙种原料250 kg ，计划利用这两种原料生产A 、B 两种的产品共40件，生产A 、B 两种产品用料情况如下表：
需要用甲原料 需要用乙原料 一件A 种产品 7 kg 4 kg 一件B 种产品 3 kg
10 kg
若设生产A 产品x 件，求x 的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案。
25、某童装厂，现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L 、M 两种型号的童装共50套.已知做一套L 型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元，做一套M 型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，设生产L 型号的童装套数为x(套)，用这些布料生产两种型号的童装所获得利润为y(元).
(1)写出y(元)关于x(套)的代数式，并求出x 的取值范围.
(2)该厂生产这批童装中，当L 型号的童装为多少套时，能使该厂的利润最大？最大利润是多少？
因式分解分类练习经典全面
因式分解练习题(提取公因式) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
整式的加减乘除及因式分解中考总复习(知识点复习+中考真题题型分类练习)
整式的加减、乘除及因式分解 整式加减 一、知识点回顾 1、单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。补充：单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5……单项式系数和次数：系数：次数： 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项。多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式3x-2最高的项就是一次项3x ，这个多项式的次数是1，它是一次二项式 4、整式的概念：单项式与多项式统称整式 二、整式的加减 1、同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。 合并同类项：把多项式中同类项合并在一起，叫做合并同类项。合并同类项时，把同类 项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 2、去括号的法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号． 3、整式加减的运算法则 （1）如果有括号，那么先去括号。 （2）如果有同类项，再合并同类项。 整式乘除及因式分解 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m m n a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 5、零指数；10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算：
(完整版)因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法． 一、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例题1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7．
因式分解题型分类解析
因式分解 一、因式分解的概念： 因式分解（分解因式）：把一个多项式化为几个整式（）的形式。 二、因式分解的方法： 1、提公因式法： （1）公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； （2）提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 （3）注意：①提取完公因式后，看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致，可用来检验是否漏项； ②提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ③如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 2、公式法： 运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ ②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝ a2－2ab＋b2＝ 3、十字相乘法：x2+(a+b)x+ab= 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。
一、按知识点： 题型一: 概念的理解： 例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说出理由。 （1）、()ay ax y x a +=+ （2）、()()()1121222-+++=-++y y y x x y xy x (3)、)3)(3(92-+=-x x a a ax （4）、2 22 )1(12x x x x +=++ （5）、a a a a ??=223 例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ） ①2 2 b a -- ②2 242b a - ③42 2--y x ④192 2+-b a ⑤ 22)()(x y y x -+- ⑥14-x
因式分解分类练习题(经典全面)
因式分解练习题(提取公因式) 平昌县得胜中学 任 璟(编) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2 155a a + 5、2 2 x y xy - 6、2 2 129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121 () ___() ()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
因式分解题型分类
《因式分解》知识演练 分解因式【考点演练】 1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为 1、bx ax b a x -=-)( 2、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- 3、)1)(1(12-+=-x x x 4、c b a x c bx ax ++=++)( 5、12a 2b =3a ·4ab 6、(x +3）（x －3）=x 2－9 7、4x 2+8x －1=4x (x +2)－1 8、2 1ax －2 1ay =21a (x －y ) 9、(a +3)(a -3)=a 2-9 10、x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 11、x 2+1=x (x +x 1 ) 12、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 2、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ） A 、46-b B 、64b - C 、46+b D 、46--b 3、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b 4、若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则 5、若x+5,x-3都是多项式152--kx x 的因式，则k=_________. 提公因式法【考点演练】 1、322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________。 2、将多项式3222231236b a b a b a +--分解因式时，应提取的公因式是（ ） A 、ab 3- B 、223b a - C 、b a 23- D 、333b a - 3、下列各式分解正确的是（ ） A 、)34(391222xy xyz y x xyz -=- B 、)1(333322+-=+-a a y y ay y a C 、)(2z y x x xz xy x -+-=-+- D 、)5(522a a b b ab b a +=-+ 4、下列各式的因式分解中正确的是（ ） A 、 -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 、9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 、3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 、 21xy 2+21x 2y =2 1 xy (x +y ) 5、下列各式从左到右的变形错误的是（ ） A 、 22)()(y x x y -=- B 、)(b a b a +-=-- C 、33)()(a b b a --=- D 、)(n m n m +-=+- 6、m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ） A 、(a -2)(m 2+m ) B 、(a -2)(m 2-m ) C 、 m (a -2)(m -1) D 、m (a -2)(m+1)
初中因式分解典型例题汇总(附答案)
初中因式分解典型例题汇总 例 1 多项式x +ax+b因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b的值． 分析 根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式 中的对应项系数是相等的，从而可以求出 a 和 b，于是问题便得到解 决． 解
2 2
由题意得：x +ax+b=(x+1)(x-2)，所以
2
2
x +ax+b=x -x-2， 从而得出 a=-1，b=-2， 所以 a+b=(-1)+(-2)=-3． 点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种 重要方法． 例2 分析 解 点评 因式分解 6a b+4ab -2ab． 此多项式的各项都有因式 2ab，提取 2ab 即可． 6a b+4ab -2ab=2ab(3a+2b-1)． 用“提公因式法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首
2 2 2 2
先， 所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘 积，即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式，否则达不到因式 分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最 高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积． 如果 原多项式中的某一项恰是最高公因式，则商式为 1，这个 1 千万不能
丢掉． 本例题中，各项的公因式有 2，a，b，2a，2b，ab，2ab等．其中 2ab 是它们的最高公因式，故提取 2ab．作为因式分解后的一个因式，另 一个因式则是分别用 6a b，4ab 和-2ab除以 2ab所得的商式代数和， 其中-2ab÷2ab=-1，这个-1 不能丢． 例3 分析 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y． 将-x-y 变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式 x+y，提
2 2
取 x+y 即可． 解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y) =(x+y)(m+n-1)． 点评 例4 分析
3
注意添、去括号法则． 因式分解 64x -1． 64x 可变形为(8x ) ，或变形为(4x ) ，而 1 既可看作 1 ，也可
6 3 2 2 3 2 6
看作 1 ，这样，本题可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分 解． 解
6
方法一
3 2
64x -1=(8x ) -1 =(8x +1)(8x -1) =[(2x) +1][(2x) -1] =(2x+1)(4x -2x+1)(2x-1)(4x +2x+1) 方法二
2 2 3 3 3 3
《因式分解》常见题型例析
《因式分解》常见题型例析 因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常见题型介绍如下。 题型一：分解因式的意义 例1 下列从左到右的变形是分解因式的是（ ） （A ）(x －4)(x+4)=x 2－16 (B)x 2－y 2+2=(x+y)(x －y)+2 (C)2ab+2ac=2a(b+c) (D)(x －1)(x －2)=(x －2)(x －1). 练习:下面由左边到右边的变形中,是分解因式的是（ ）. (A)a(x －y)=ax －ay (B)x 2－2x+4=(x －1)2+3 (C)8x 2－4x=4x·2x (D)y 2－y+41=(y －2 1)2 题型二、直接提公因式分解 例2 分解因式2a(b －c)－3c(b －c). 练习:分解因式: (2x －3y)(a+b)+(a+b)(3x －2y). 题型三、直接利用公式因式分解 例3、分解因式:a 2－1=_______. 练习：分解因式：224x y =________. 题型四、提公因式后再用公式 例4、把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（ ） A 、(a+ab)(a －ab) B 、a (a 2－b 2) C 、a(a+b)(a －b) D 、a(a －b)2
练习∶分解因式：244x y xy y -+=_________. 题型五、利用因式分解进行数字计算 例5、计算：2－22－23－……－218－219+220, 练习：算式22222222+++可化为（ ） A ．42 B ．28 C ．82 D ．162 题型六、利用因式分解求值 例6、若非零实数a 、b 满足4a 2+b 2=4ab ，则b a =___________. 练习：已知：x 2+4y 2－4x －4y+5=0,求：x －y 的值。 例7、已知：x+y=1,求222 121y xy x ++的值。 练习：已知a+b=13,ab=40,求a 2b+ab 2的值。 例8、已知：多项式222541y mxy x ++是一个完全平方式，求m 的值。 练习：已知：x 2+2（m －3）x+16是一个完全平方式，求m 的值。 题型七、利用因式分解求解整除问题 例9、设n 为整数．求证：（2n+1）2－25能被4整除。 练习：证明：817－279－913能被45整除。（提示：原式=（34）7－ （33）9－（32）13=326（32－3－1）=45×324）。 题型八、利用因式分解求解矩形、正方形问题 例10、已知矩形的面积为6m 2+60m+150（m>0），长与宽的比为3：2，求这个矩形的周长。 练习：已知：一正方形的面积为：9x 2+12xy+4y 2，且x>0,y>0,求该正方形的周长。
因式分解分类练习(经典全面)
因式分解练习题（提取公因式） 2 8、 a b - 5ab 9b 2 9、「x xy「xz 3 10、-24x y-12xy 28y 专项训练一：确定下列各多项式的公因式 1、ay ax 2、3mx -6my 2 3、4a 10ab 3 2 11、-3ma 6ma - 12ma 3 2 2 2 2 12、56x yz 14x y z- 21 xy z 2 4、15a 5a 5、 2 2 6、12xyz -9x y 7、mx-y n x-y 2 8、x m n y m n 3 2 2 2 3 13、15x y 5x y - 20x y 4 3 2 14、-16x -32x 56x 9、abc(m-n)3-ab(m-n) 10、12x(a-b)2-9m(b-a)3 专项训练二：禾U用乘法分配律的逆运算填空。 1、2兀R+2nr= ____ (R+r) 2、2兀只+2兀「=2兀( __ ) 3、丄口子+丄口挤二(仁2+t22) 4、15a2+25ab2 =5a( ) 2 2 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“-”，使等式成立。 1、x y 二__(x y) 2、b-a 二__(a-b) 2 2 3、-z y=_(y-z) 4、 y-x ___(x - y) 5、(y-x)3 =__(x-y)3 6、-(x - y)4 =__(y-x)4 7、(a—b)2n =___(b—a)2n(n为自然数) 8、(a —b)2n+ = _ (b —a)2n41(n为自然数 9、 1-x(2-y)二___(1-x)(y-2) 2 3 11、(a_b) (b_a) =___(a_b) 专项训练四、把下列各式分解因式。 2 1、nx -ny 2、a ab ) 10、1-x (2-y)二___(x-1)(y-2) 12、(a-b)2(b-a)4=___(a-b)6 3、4X3-6X2 4、8m2n 2mn 专项训练五：把下列各式分解因式 I、x(a b)- y(a b) 3、6q(p q)-4p(p q) 5、a(a-b) (a-b)2 7、(2a b)(2a-3b)-3a(2a b) 9、p(x-y)-q(y-x) II、(a b)(a「b)「(b a) 3 3 13、3(x_d) y-'(1-'X) z 2、5x(x- y) 2y(x- y) 4、(m n)(P q)-(m n)(p-q) 2 6、x(x_ y) - y(x_ y) 2 8、x(x y)(x「y)「x(x y) 10、m(a-3) 2(3-a) 12、a(x-a) b(a-x)「c(x-a) 2 2 14、-ab(a - b) a(b - a) 2
因式分解经典题型
因式分解复习课 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，是一种是式子变形，要 求对提公因式法与公式法熟练掌握 一、提公因式法： 多项式中的公因式：数字部分找最大公约数，字母部分找相同的字母和最低次幂 例题1 c ab b a 3 23128+ )(3)(2c b c b a +-+ )(3)(2y z b z y a --- 练习1 mn n m 282+ 22912y x xyz - )7(3)7(42+-+x x a 二、公式法： 回忆乘法公式：（1）平方差公式：=-+))((b a b a （2）完全平方公式：=+2)(b a =-2)(b a 乘法公式反过来：=-22b a =++222b ab a =+-2 22b ab a ★基础练习：（1） =32 =23 =-3)3( =-2)4( =-3)2(a （2） （ ）2=29x （ ）2=4 4a （3）=+2)(y x =+2)1(a =+2)32(b a =-+)4)(4(x x =-+))((a b b a =-2)12(a =-2)(y x =-22)2(y x （4） （ ）+2ab+（ ）=（ ）2 x 2+( )+=( )2 2+（ ）+29 16y =( )2 a 2-14a+( )=( )2 36 - ( )+36b 2=( )2 （x-y ）2+16(x-y)+( )=[ ]2 例题2 942-x 22)()(q x p x +-+ 44y x - ab b a -3 例题3 924162 ++x x 2244y xy x -+- 22363ay axy ax ++
练习2 2225 1b a - y y x 42- 164+-a 2361b - 22)2()2(y x y x +-+ 122++a a 1442+-x x 22363y xy x -+- 4 12+ +y y 224)(4)(m n m m n m ++-+ 三、巩固练习 1、填空题 （1）如果（－1－b ）· M ＝ b 2 － 1，则M ＝_______． （2）若x 2＋ax ＋b 可以分解成（x ＋1）（x －2），则a ＝_______，b ＝_______． （3）若9x 2＋2（m －4）x ＋16是一个完全平方式，则m 的值为_______． （4）分解因式a 2（b －c ）－b ＋c ＝_______． （5）分解因式xy －2y －2＋x ＝_______． （6）在实数范围内分解因式x 3－4x ＝______ 2、把下列各式分解因式 4x （a －b ）＋（b 2－a 2） （a 2＋b 2）2－4a 2b 2 x 4＋2x 2－3 （x ＋y ）2－3（x ＋y ）＋2 ;823x x - .9622224y y x y x +- ;6363223abc c a b a a --+ ().4222222a c b c b -+- 3.解答题 （1）已知108,1==+ab b a ，求22ab b a +的值 （2）已知3,5==+ab b a ，则代数式=++32232ab b a b a （3）若一个长方形的面积是x x x ++232（x ＞0），且一边长为x+1，求另一边长为多少。
八年级上册因式分解分类练习题经典全面
八年级上册因式分解分类练习题(经典全面)
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因式分解练习题(提取公因式) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2 155a a + 5、2 2 x y xy - 6、2 2 129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121 () ___() ()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+--- 13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+-
因式分解分类练习题集(经典全面)
因式分解练习题（提取公因 式） 平昌县得胜中学任璟 （编） 2 3 2 2 5、25x y -15x y 2 2 6、12xyz-9x y 2 7、3a y- 3ay 6y 专项训练一：确定下列各多项式的公因 式。 ay ax 3mx - 6my 3、4a2 10ab 8、a2b -5ab 9b 9、- x2 xy - xz 10、-24x2y- 12xy2 28y3 15a2 5a 2 2 6、12xyz -9x y mx_y n x_y 3 abc(m -n) -ab(m -n) 2 3 10、12x(a-b) -9m(b-a) 专项训练二：禾U用乘法分配律的逆运算填 空。 1、2兀R 十2^r= _ (R+r) 2、2兀R 十2兀r=2^( __) 3、丄gtj+Zgt。2- (tj+t22) 4、15a2+25ab2 =5a( ) 2 2 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+ ”或“-”，使等式成立。 1、x+y=__(x+y) 2、b-a=__(a-b) 2 2 3、-z y=_(y-z) 4、y-x 二___(x-y) 5、(y-x)3=__(x-y)3 6、-(x-y)4=__(y-x)4 7、(a_b)2n=___(b_a)2n(n为自然数) 8、(a—b)2n^=—(b—a)2n tn为自然数 9、(1—x)(2_y)=___(1_x)(y_2) 11、(a-b)2(b-a)=_(a-b)3 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx - ny 2、a2 ab ) 10、(1-x)(2-y) = ___(x-1)(y-2) 12、(a -b)2(b-a)4 =___(a-b)6 3、4x3-6x2 4、8m2n 2mn 3 2 11、「3ma 6ma -12ma 13、15x3y2 5x2y-20x2y3 专项训练五：把下列各式分解因式 1、x(a b) - y(a b) 3、6q(p q) -4p(p q) 2 5、a(a-b) (a-b) 7、(2a b)(2a-3b)-3a(2a b) 3 2 2 2 2 12、56x yz 14x y z-21xy z 14、-16x4 - 32x356x2 2、5x(x- y) 2y(x- y) 4、(m n)(P q)- (m n)( p- q) 6、x(x_ y)2 _ y(x_ y) 2 8、x(x y)(x「y)_x(x y) 9、p(x-y)-q(y-x) 10、m(a-3) 2(3-a)
最新因式分解题型分类解析
因式分解题型总结： 题型一：求未知数 1. 若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 2. 若23(2)(5)x x a x x ++=-+则a =_____。 3. 把多项式25x ax ++分解成()(5)x n x -+则a= ,n= 4. 已知多项式22x bx c ++分解为2(3)(1)x x -+则b= ,c= 5. 若2214x x m -+是完全平方式，则m= . 6. 若29x mx -+是完全平方式，则m= . 7. 若24436x mx ++是完全平方式，则m= . 8. 若()21()(1)x x y xy y x B +++=+?，则B=_______． 题型二：与因式有关的参数问题 例：1、若mx 2+19x －14有一个因式是x +7，求m 的值和另一个因式。 2、已知多项式232 x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。 3、若关于x 的多项式26x px --含有因式3x -，则实数p 的值为？ 4、已知多项式2ax bx c ++因式分解的结果是()()3143x x +-，求a+b+c 的值 方法总结：
题型三：数学中看错问题 例：两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成()()219x x --，而另一位同学因看错了常数项而分解成()()224x x --，求原多项式。 变式：分解因式2 x ax b ++时，一位同学因看错了a 的值，分解的结果是()()16x x -+，乙看错了b 而分解成()()21x x -+，求a+b 的值。 题型四：利用因式分解简便计算 （1）2 0042－4×2 004; （2）39×37－13×34 （3）2015+20152-2015×2016 （4）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21 （5）20152014 20142013 3333-- （6）100019999? （7）4322222n n n ++-?? （8） 332201622016-20142016+2016-2017 -? （9）2222111111112342005??????????- --- ????? ????????????? 211-2004
因式分解拓展题及解答(必考题型)
因式分解拓展题解 板块一：换元法 例1分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【解析】 将248x x u ++=看成一个字母，可利用十字相乘得 原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++22(48)(482)x x x x x x =++++++ 22(58)(68)x x x x =++++2(2)(4)(58)x x x x =++++ 例2分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++- 【解析】 方法1：将25x x +看作一个整体，设25x x t +=，则 原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x ++-=+-=-+=+++- 方法2：将252x x ++看作一个整体，设252x x t ++=，则 原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x +-=+-=-+=+++- 方法3：将253x x ++看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至 连换元都不用，直接把25x x +看作一个整体，将原式展开，分组分解即可， 则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)x x x x x x x x x x =+++-=+-++=++2(51)x x +-. 【巩固】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ 【解析】 2(2)(6)(810)x x x x ++++ 【巩固】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++- 【解析】 2(1)(2)(5)x x x x -+++ 例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方． 【解析】 设这四个连续整数为：1x +、2x +、3x +、4x + (1)(2)(3)(4)1x x x x +++++[(1)(4)][(2)(3)]1x x x x =+++++22(54)(56)1x x x x =+++++ 24652 u x x +=++ 原式22[(55)1][(55)1]1x x x x =++-++++22(55)11x x =++-+22(55)x x =++ 【巩固】 若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数. 【解析】 ()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++???????? 22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++ 令2254x xy y u ++= ∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++ 即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++
因式分解典型题(分类详细)
因式分解典型题 一． 因式分解的概念 1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 2﹒下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ﹒2x 2+8x －1＝2x (x +4)－1 B ﹒(x +5)(x －2)＝x 2+3x －10 C ﹒x 2－8x +16＝(x －4)2 D ﹒6ab ＝2a ·3b 二．提公因式 1、232y x 与y x 612的公因式是_____________ 2．多项式－6ab 2+18a 2b 2－12a 3b 2c 的公因式是（ ） A ．－6ab 2c B ．－ab 2 C ．－6ab 2 D ．－6a 3b 2c 3﹒多项式15m 3n 2+5m 2n －20m 2n 3的公因式是（ ） A ﹒5mn B ﹒5m 2n 2 C ﹒5m 2n D ﹒5mn 2 4.多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 5．多项式m mx -2与122+-x x 的公因式为_____________; 三．公式法（高次+复杂系数） 1.分解因式得（ ） A 、 B. C 、 D 、 2.把a 4－2a 2b 2＋b 4分解因式，结果是（ ） A 、a 2(a 2－2b 2)＋b 4 B 、(a 2－b 2)2 C 、(a －b)4 D 、(a ＋b)2(a －b)2 3. (1)22)2(4)2(25x y y x ---=______________(2)811824+-x x =______________________ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 四．因式分解综合 1.把多项式分解因式等于（ ） A 、 B 、 C 、m (a －2)(m －1) D 、m (a －2)(m +1) 2．下列因式分解不正确的是（ ） A ．－2ab 2+4a 2b =2ab （－b +2a ） B ．3m （a －b ）－9n （b －a ）=3（a －b ）（m +3n ） C ．－5ab +15a 2bx +25ab 3y =－5ab （－3ax －5b 2y ）; D ．3ay 2－6ay －3a =3a （y 2－2y －1） bx ax b a x -=-)(222)1)(1(1y x x y x ++-=+-)1)(1(12-+=-x x x c b a x c bx ax ++=++)(14-x )1)(1(22-+x x 22)1()1(-+x x )1)(1)(1(2++-x x x 3)1)(1(+-x x )2()2(2a m a m -+-))(2(2m m a +-))(2(2m m a --
因式分解 分类题型
因式分解练习题 1、下列各式从左到右的变形,属于因式分解的是（） A. x2+2x+3= ( x+1 ) 2+2 B. (x+y) (x-y)=x2-y2 C .x2-xy+y2= (x-y)2+xy D . 2x-2y=2 (x-y ) 2、下列因式分解中,正确的是（） A.a(x-y) +b(y-x)=(x-y) (a-b) B.ax+ay+a=a ( x+y ) C.x2-4y2= (x-4y) (x+4y ) . D.4x2+9=(2x+3)2 3、求证：32020-4x32019+10x32018能被7整除吗？ 4、试探究：817-279-913能被45整除吗 5、已知关于x的二次三项式x2+mx+10有一个因式( x+5 ) ,求另一个因式和m的值. 6、甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时,甲看错了a的值，分解的结果是( x+6 ) ( x-2) ,乙看错了b的值,分解的结果为( x-8) (x+4) , 那么x2+ax+ b分解因式正确的结果为 7、多项式3x-9 , x2-9与x2-6x+9的公因式为（） A. x+3 B.(x+3)2 C. x-3 D.x2+9 8、8x m y n-1与-12x5m y n的公因式是( ) 9、因式分解 (1)x(x+y)-y(x+y) (2) (x-1) (x-3)+1 (3) 2m (x-y)-3n (x-y ) (4)-18a3+12a2-2 （5）6(x+y )2-2 (x-y) (x+y ) （6）2m(a-b)-3n(b-a) 10、已知a+b=-3 , ab=2 ,求下列各式的值: (1)a3b+ab3 (2)a2+b2 (3)a4+b4
第十四章---整式乘除及因式分解(知识点+题型分类练习)(可编辑修改word版)
整式乘除及因式分解 知识点梳理 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则：a m?a n=a m+n（m, n 都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 2、幂的乘方法则：(a m )n =a mn （m, n 都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：(-35 )2 = 310 幂的乘方法则可以逆用：即a mn = (a m )n = (a n )m如：46= (42 )3= (43 )2 3、积的乘方法则：(ab)n =a n b n （n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 4、同底数幂的除法法则：a m÷a n=a m-n（a ≠ 0, m, n 都是正整数，且m n) 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 5、零指数；a 0= 1 ，即任何不等于零的数的零次方等于 1。 二、单项式、多项式的乘法运算： 6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：- 2x 2 y 3 z ? 3xy =。 7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即m(a +b +c) =ma +mb +mc ( m, a, b, c 都是单项式)。如：2x(2x - 3y) - 3y(x +y) =。 8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 9、平方差公式：(a +b)(a -b) =a 2 -b 2 注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如：(x +y -z)(x -y +z) = 10、完全平方公式：(a ±b)2=a 2± 2ab +b2 三项式的完全平方公式：(a +b +c)2=a 2+b2+c 2+ 2ab + 2ac + 2bc 11、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。如：- 7a 2b 4m ÷ 49a 2b 12、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的