北京爱迪(国际)学校数学轴对称填空选择单元达标训练题(Word版 含答案)

北京爱迪(国际)学校数学轴对称填空选择单元达标训练题（Word 版

含答案）

一、八年级数学全等三角形填空题（难）

1．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别为30、40、15，点P 是三条角平分线的交点，将△ABC 分成三个三角形，则APB S ?︰BPC S ?︰CPA S ?等于____．

【答案】6：8：3

【解析】

【分析】

由角平分线性质可知，点P 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 边上的高相等，利用面积公式即可求解.

【详解】

解：过点P 作PD ⊥BC 于D ，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥AB 于F

∵P 是三条角平分线的交点

∴PD=PE=PF

∵AB=30，BC=40，CA=15

∴APB S ?︰BPC S ?︰CPA S ?=30∶40∶15=6∶8∶3

故答案为6∶8∶3.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法. 角平分线上的点到两边的距离相等. 难度不大，作辅助线是关键.

2．如图，已知点I 是△ABC 的角平分线的交点．若AB ＋BI ＝AC ，设∠BAC ＝α，则∠AIB ＝______（用含α的式子表示）

【答案】1206α

?-

【解析】

【分析】

在AC上截取AD=AB，易证△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC，

设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.

【详解】

解：如图所示，在AC上截取AD=AB，连接DI，

点I是△ABC的角平分线的交点

所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，

在△ABI和△ADI中，

AB=AD

BAI=DAI

AI=AI

?

?

∠∠

?

?

?

∴△ABI≌△ADI（SAS）

∴DI=BI

又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC

∴DI=DC

∴∠DCI=∠DIC

设∠DCI=∠DIC=β

则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β

在△ABC中，

∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即42180

ββ?

++=

a，

∴

180

=30

66

β

?

?

=

-

-

a a

在△ABI中，180?

∠=-∠-∠

AIB BAI ABI

1

2

180

2

αβ

?

=--

1

=23

1

6

00

2

8

α

α

??

??

---

?

??

=1206α

?-

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.

3．如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝5，AD 是∠BAC 的角平分线，点D 在△ABC 内部，连接AD 、BD 、CD ，∠ADB ＝150°，∠DBC ＝30°，∠ABC +∠ADC ＝180°，则线段CD 的长度为________．

【答案】3

【解析】

【分析】

在AB 上截取AE=AC ，证明△ADE 和△ADC 全等，再证BDE 是等腰三角形即可得出答案.

【详解】

在AB 上截取AE=AC

∵AD 是∠BAC 的角平分线

∴∠EAD=∠CAD

又AD=AD

∴△ADE ≌△ADC(SAS)

∴ED=DC ，∠ADE=∠ADC

∵∠ADB ＝150°

∴∠EDB+∠ADE=150°

又∵∠DBC ＝30°，∠ABC +∠ADC ＝180°

∴∠ABD+∠DBC+∠ADC=180°

即∠ABD +∠ADC=150°

∴∠ABD=∠EDB

∴BE=ED

即BE=CD

又AB=8，AC=5

CD=BE=AB-AE=AB-AC=3

故答案为3

【点睛】

本题考查的是全等三角形的综合，解题关键是利用截长补短法作出两个全等的三角形.

4．如图，ABC ?中，90ACB ∠=?，8cm AC ，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.

【答案】235

或7或8 【解析】

【分析】

易证∠MEC ＝∠CFN ，∠MCE ＝∠CNF ．只需MC ＝NC ，就可得到△MEC 与△CFN 全等，然后只需根据点M 和点N 不同位置进行分类讨论即可解决问题．

【详解】

①当0≤t ＜4时，点M 在AC 上，点N 在BC 上，如图①，

此时有AM ＝2t ，BN ＝3t ，AC ＝8，BC ＝15．

当MC ＝NC 即8?2t ＝15?3t 时全等，

解得t ＝7，不合题意舍去；

②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，

若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t?8＝15?3t，

解得t＝23

5

；

当5≤t＜23

3

时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，

当MC＝NC即2t?8＝3t?15时全等，解得t＝7；

④当23

3

≤t＜

23

2

时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，

当MC＝NC即2t?8＝8，解得t＝8；

综上所述：当t等于23

5

或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为

顶点的三角形全等．

故答案为：23

5

或7或8．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．

5．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(1，2)、A(－2，0)，则点B的坐标是__________.

【答案】(3，－1)

【解析】

分析：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．

详解：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠CEB=90°；∠CAD=∠BCE，AC=BC，

∴△ADC≌△CEB(AAS)，

∴DC=BE，AD=CE，

∵点C的坐标为(1,2),点A的坐标为(?2,0)，

∴AD=CE=3，OD=1，BE=CD=2，

∴则B点的坐标是(3,?1).

故答案为(3,?1).

点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键在于结合坐标、图形性质和已经条件.

6．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=1，则AB与CD 之间的距离等于____．

【答案】2

【解析】

过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，

OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，

∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=1+1=2．故答案为：2．

点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于作出辅助线并证明E、O、G三点共线．

7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．

【答案】112．

【解析】

【分析】

连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO＝28°，利用等腰三角形两底角相等求出

∠ABC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA＝OB，再根据等边对等角求出∠OBA，然后求出∠OBC，再根据等腰三角形的性质可得OB＝OC，然后求出∠OCE，根据翻折变换的性质可得OE＝CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】

如图，连接OB、OC，

∵OA平分∠BAC，∠BAC＝56°，

∴∠BAO＝1

2

∠BAC＝

1

2

×56°＝28°，

∵AB＝AC，∠BAC＝56°，

∴∠ABC＝1

2

（180°﹣∠BAC）＝1

2

×（180°﹣56°）＝62°，

∵OD垂直平分AB，

∴OA＝OB，

∴∠OBA＝∠BAO＝28°，

∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝62°﹣28°＝34°，

由等腰三角形的性质，OB＝OC，

∴∠OCE＝∠OBC＝34°，

∵∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，

∴OE＝CE，

∴∠OEC＝180°﹣2×34°＝112°．

故答案是：112．

【点睛】

考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

8．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分∠DBC，则∠D＝__________.

【答案】30°

【解析】

试题解析：（1）连接CE，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，

在△BCE与△ACE中，

{

AC BC

AE BE CE CE

＝＝＝

∴△BCE ≌△ACE （SSS ）

∴∠BCE=∠ACE=30°

∵BE 平分∠DBC ，

∴∠DBE=∠CBE ，

在△BDE 与△BCE 中，

{BD BC

DBE CBE BE BE

∠∠＝＝＝

∴△BDE ≌△BCE （SAS ），

∴∠BDE=∠BCE=30°．

9．如图，在△ABC 中， ∠BAC=90°， AB=AC=22，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1，则DE=__________．

【答案】

53

【解析】 分析：根据等腰直角三角形的性质得45B ACB ∠=∠=，把△ABD 绕点A 逆时针旋转90得到△ACF ,连接,EF 如图，根据旋转的性质得

,,AD AF BAD CAF =∠=∠45,ABD ACF ∠=∠=接着证明45,EAF ∠=然后根据“SAS”可判断△ADE ≌△AFE ，得到DE =FE ，由于90ECF ACB ACF ∠=∠+∠=，根据勾股定

理得222CE CF EF +=，设,DE EF x == 则3CE x =-，

则()2

2231,x x -+=由此即可解决问题．

详解：90BAC AB AC ∠==，，

∴45B ACB ∠=∠=，

把△ABD 绕点A 逆时针旋转90得到△ACF ,连接,EF 如图,则

△ABD ≌△ACF

,

,,45,AD AF BAD CAF ABD ACF =∠=∠∠=∠=

∵45DAE ∠=，

∴45BAD CAE ∠+∠=，

∴45,CAF CAE ∠+∠=

即45,EAF ∠=

∴∠EAD =∠EAF ，

在△ADE 和△AFE 中

AE AE EAD EAF AD AF =??∠=∠??=?

， ∴△ADE ≌△AFE ，

∴DE =FE ，

∵90ECF ACB ACF ∠=∠+∠=，

∴222CE CF EF +=，

Rt △ABC 中，∵22AB AC ==，

∴224BC AB AC =+=，

∵1BD =，

设,DE EF x == 则3CE x =-，

则有()22231,x x -+=

解得：5.3x =

∴5.3

DE = 故答案为5

.3

点睛：本题属于全等三角形的综合题，涉及三角形旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大.

10．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ，则DC=_______

【答案】2cm

【解析】

试题解析：

解：连接AD ，

∵ED 是AB 的垂直平分线，

∴BD =AD =4c m ，

∴∠BAD =∠B =30°，

∵∠C =90°，

∴∠BAC =90°-∠B =90°-30°=60°，

∴∠DAC =60°-30°=30°，

在Rt △ACD 中，

∴DC =

12AD ==12

× 4=2c m ． 故答案为2c m ． 点睛：本题考查了线段垂直平分线，在直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半，三角形内角和定理，主要考查学生运用性质进行计算的能力．

二、八年级数学全等三角形选择题（难）

11．如图，在等腰△ABC 中，90ACB ?∠=，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF 是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE 不可能为正方形，（3）DE 长度的最小值为4；（4）连接CF ，CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分，则CE =13或143

其中正确的结论个数是

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】A

【解析】

【分析】 连接CF ，证明△ADF ≌△CEF ，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．

【详解】

连接CF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠FCB=∠A=45，CF=AF=FB；

∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF(SAS)；

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；

∵∠AFD+∠CFD=90°，

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，

又∵EF=DF

∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).

当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误).由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；

即当DF⊥AC时,DE最小,此时

1

4

2

DF BC

== .

∴242

DE DF=故(3)错误).

∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF=S△ADF

∴S四边形CDFE=S△AFC,

∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1

即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1

当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=1

3

S△ACF=

1116

84

323

???=

又∵S△ADF=1

42

2

AD AD ??=

∴2AD=16 3

∴AD=8

3

(故(4)错误).

故选：A.

【点睛】

本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.

12．如图，Rt ABC ?中，90C =∠，3,4,5,AC BC AB ===AD 平分BAC ∠．则:ACD ABD S S ??=（ ）

A ．3:4

B ．3:5

C ．4:5

D ．2:3

【答案】B

【解析】 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可得出DE=CD ，由全等三角形的判定定理HL 得出△ADC ≌△ADE ，故可得出AE=AC=3，由AB=5求出BE=2，设CD=x ，则DE=x ，BD=4﹣x ，再根据勾股定理知DE 2+BE 2=BD 2，即x 2+22=（4﹣x ）2，求出x=32，进而根据等高三角形的面积，可得出：S △ACD ：S △ABD =CD ：BD=

12×32×3：12×32

×5=3：5．

故选：B ．

点睛：本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．

13．如图所示，在Rt ABC ?中，E 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，且

:1:7CAD BAD ∠∠=，则BAC ∠=( )

A ．70

B ．45

C ．60

D ．48

【答案】D

【解析】 根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD ，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得

∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x，则∠BAD=7x，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°+42°=48°.

故选：D.

点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.

14．如图，点P、Q分别是边长为6cm的等边ABC

△边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论：

①BQ AM

=②ABQ

△≌CAP

△③CMQ

∠的度数不变，始终等于60?④当第2秒或第4秒时，PBQ

△为直角三角形，正确的有（）个．

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解析】

∵点P、Q速度相同，

∴AP BQ

=．

在ACP

△和ABQ

△中，

60

AP BQ

CAP ABQ

AC BA

=

?

?

∠==?

?

?=

?

，

∴ACP

△≌BAQ

△，故②正确．

则AQC CPB

∠=∠．

即B BAQ BAQ AMP

∠+∠=∠+∠．

∴60

AMP B

∠=∠=?．

则60

CMQ AMP

∠=∠=?，故③正确．

∵APM

∠不一定等于60?．

∴AP AM

≠．

∴BQ AM

≠．故①错误．

设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t

①当∠PQB=90°时，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，得6-t=2t，t=2 ；

②当∠BPQ=90°时，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（6-t），t=4；

∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形．

∴④正确.

故选C.

点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，综合性强，难度较大．

15．如图，∠C＝∠D＝90°，若添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则以下给出的条件适合的是( )

A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 【答案】A

【解析】

根据题意可知∠C=∠D=90°，AB=AB，

然后由AC=AD，可根据HL判定两直角三角形全等，故符合条件；

而B答案只知道一边一角，不能够判定两三角形全等，故不正确；

C答案符合AAS，证明两三角形全等，故不正确；

D答案是符合AAS，能证明两三角形全等，故不正确.

故选A.

16．如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE=2﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S四边形DFEP=S△APF．正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【解析】 【详解】 ①正确．作EM ∥AB 交AC 于M ．

∵CA=CB ，∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∵∠CAE=∠BAE=

12

∠CAB=22.5°， ∴∠MEA=∠EAB=22.5°， ∴∠CME=45°=∠CEM ，设CM=CE=a ，则ME=AM=2a ，

∴tan ∠CAE=212CE AC a a

==-+，故①正确， ②正确．△CDA ≌△CDB ，△AEC ≌△AEF ，△APC ≌△APF ，△PEC ≌△PEF ，故②正确， ③正确．∵△PEC ≌△PEF ，

∴∠PCE=∠PFE=45°，

∵∠EFA=∠ACE=90°，

∴∠PFA=∠PFE=45°，

∴若将△PEF 沿PF 翻折，则点E 一定落在AB 上，故③正确．

④正确．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°，

∴∠CPE=∠CEP ，

∴CP=CE ，故④正确，

⑤错误．∵△APC ≌△APF ，

∴S △APC =S △APF ，

假设S △APF =S 四边形DFPE ，则S △APC =S 四边形DFPE ，

∴S △ACD =S △AEF ，

∵S △ACD =12S △ABC ，S △AEF =S △AEC ≠12

S △ABC ， ∴矛盾，假设不成立．

故⑤错误．

.

故选D.

17．已知等边三角形ABC 的边长为12，点P 为AC 上一点，点D 在CB 的延长线上，且BD=AP ，连接PD 交AB 于点E ，PE ⊥AB 于点F ，则线段EF 的长为（ ）

A．6 B．5

C．4.5 D．与AP的长度有关

【答案】A

【解析】

【分析】

作DQ⊥AB，交直线AB的延长线于点Q，连接DE，PQ，根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BDQ，再由AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，可知四边形PEDQ是平行四边形，进而

可得出EF=

1

2

AB，由等边△ABC的边长为12可得出DE=6．

【详解】

解；如图，作DQ⊥AB，交AB的延长线于点F，连接DE，PQ，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠BQD=∠AEP=90°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠DBQ=60°，

在△APE和△BDQ中，

A DBQ

AEP BQD

AP BD

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△APE≌△BDQ（AAS），

∴AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，

∴四边形PEDQ是平行四边形，

∴EF=1

EQ，

2

∵EB+AE=BE+BQ=AB，

∴EF=1

AB，

2

又∵等边△ABC的边长为12，

∴EF=6．

故选：A.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解此题的关键在于根据题中PE⊥AB作辅助线构成全等的三角形.

18．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△AB C≌Rt△A′B′C′的是( )

A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3

B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°

C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3

D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°

【答案】B

【解析】

∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°

A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，

符合直角三角形全等的判定条件HL，

∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；

B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，

不符合符合直角三角形全等的判定条件，

∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；

C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；

∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；

D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，

∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；

故选：B．

点睛：此题主要考查学生对直角三角全等的判定的理解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等的判定，还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法，才能尽快选出此题的正确答案．

19．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于

点M和N,再分别以M,N为圆心,大于1

2

MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交

BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )

①AD平分∠BAC；②作图依据是S.A．S；③∠ADC=60°；④点D在AB的垂直平分线上

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】

①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的∠平分线；

②根据作图的过程可以判定出AD的依据；

③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质求∠ADC的度数；

④利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点在AB的中垂线上.

解：如图所示，

①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的∠平分线；

故①正确；

②根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；

故②错误；

③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CBA=60°.

又∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠2=1

2

∠CAB=30°，

∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.故③正确；

④∵∠1=∠B=30°，

∴AD=BD，

∴点D在AB的中垂线上.

故④正确；

故选C.

“点睛”此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC 的度数是解题的关键.

20．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：

①∠ADC =15°；②AF =AG ；③AH =DF ；④△ADF ≌△BAH ；⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

【答案】B

【解析】

【分析】 ①根据△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC ，即可作出判断；②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数，求证EHG DFA ∠=∠，利用AAS 即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH ，又由③可知AH DF =，即可作出判断.

【详解】

①正确：∵ABC △是等边三角形，

∴60BAC ?∠=，∴CA AB =．

∵ABD △是等腰直角三角形，∴DA AB =．

又∵90BAD ?∠=，∴150CAD BAD BAC ?∠=∠+∠=，

∴DA CA =，∴()

1180150152ADC ACD ???∠=∠=

-=； ②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°

∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG

∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°

∠AFG≠∠AGD

∴A F≠AG

③，④正确，由题意可得45DAF ABH ?∠=∠=，DA AB =，

∵AE BD ⊥，AH CD ⊥．∴180EHG EFG ?∠+∠=．

又∵180?DFA EFG ∠+∠=，∴EHG DFA ∠=∠，