尺规作图专项训练

尺规作图专项训练

一、选择题：

1.下列四种基本尺规作图分别表示①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点作已知直线的垂线．则对应选项中作法错误．．

的是（ ）

A ．①

B ．②

C ．③

D ．④

2．在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了下图，该图中，四边形ABCD 是矩形，E 是BA 延长线上一点，F 是CE 上一点，∠ACF ＝∠AFC ，∠FAE ＝∠FEA ，若∠ACB ＝21°，则∠ECD 的度数是（ ） A ． 7°

B ． 21°

C ．23°

D ．24°

第2题 第3题 第4题 第5题 3．如图，在△AEF 中，尺规作图如下：分别以点E ，点F 为圆心，大于

1

2

EF 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点，作直线GH ，交EF 于点O ,连接AO ，则下列结论正确的是（ ） A ．AO 平分∠EAF

B ．AO 垂直平分EF

C ．GH 垂直平分EF

D ． GH 平分AF

4.如图，用尺规作图作∠AOC ＝∠AOB 的第一步是以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA 、OB 于点E 、F ，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）

A ．以点F 为圆心，OE 长为半径画弧

B ．以点F 为圆心，EF 长为半径画弧

C ．以点E 为圆心，OE 长为半径画弧

D ．以点

E 为圆心，E

F 长为半径画弧

5．如图，在△ABC 中， ∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，.以点C 为圆心， CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心，大于12

BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ；作射线CE 交

AB 于点F.则AF 的长为（ ）

①

②

③

④

F

D A E

B

C

E G

F C D A B 第6题 O M Q B

P

C

A

6.如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF ＝8，AB ＝5，则AE 的长为（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．12

第7题 第8题 7.如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG ，若AD ＝5，DE ＝6，则AG 的长是（ ）

A ．6

B ．8

C . 10

D ．12

8．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠CAD 为△ABC 的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ） A ．∠DAE=∠B

B ．∠EAC=∠C

C ．AE ∥BC

D ．∠DAE=∠EAC

9. 已知∠AOB ，作图： 步骤1：在OB 上任取一点M ，以点M 为圆心，MO 长为半径画半圆，分别交OA ，OB 于点P ，Q ． 步骤2：过点M 作PQ 的垂线交PQ 于点C ．

步骤3：画射线OC ．

则下列判断：①PC CQ ；②MC ∥OA ；③OP ＝PQ ； ④OC 平分∠AOB ．其中正确的个数为 A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题：

10. 如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，

再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（a ，b ），则a 与b 的数量关系为 ．

已知：Rt △ABC ，∠C ＝90°， 求作Rt △ABC 的外接圆。 作法：如图． （1）分别以点A 和点B 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P 、Q 两点； （2）作直线PQ ，交AB 于点O ； （3）以O 为圆心，OA 为半径作⊙O 。 ⊙O 即为所求作的圆。

请回答：该尺规作图的依据是 ．

1

2

AB O

Q

P

C

B

A

11. 如图所示，已知∠AOB ＝ 40° ，现按照以下步骤作图： ①在 OA ，OB 上分别截取线段 OD ，OE ，使 OD ＝ OE ；

②分别以 D ，E 为圆心，以大于2

1

DE 的长为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点 C ；

③作射线 OC ．则∠AOC 的大小为 ．

12. 如图，在ABC △中，90ACB ∠°，1AC ，2AB ，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB

边于点D ，则CD 的长等于

.(结果保留)

13. 以Rt △ABC 的锐角顶点A 为圆心，适当长为半径作弧，与边AB 、AC 各相交于一点，再分别以两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A 作直线，与边BC 交于点D ．若∠ADB =60°，点D 到AC 的距离为2，则AB 的长为 ． 14. 下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程

三、解答题：

15.如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB ，点A 与点B 均在格点上.请在这个网格中作线段AB 的垂直平分线. 要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹.

A

B

C

A D 16.如图，已知△ABC ，∠

B ＝40°，

(1)在图中，用尺规作出△ABC 的内切圆O ，并标出⊙O 与边AB ，BC ，AC 的切点D ，E ，F (保留痕迹，不必写作法).

(2)连结EF ，DF ，求∠EFD 的度数.

17.两个城镇A 、B 与一条公路CD ，一条河流CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A 、B 的距离必须相等，到CD 和CE 的距离也必须相等，且在∠DCE 的内部，请画出该山庄的位置P .(不要求写作法，保留作图痕迹.)

18.如图，已知等边△ABC ，请用直尺（不带刻度）按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕

迹）：

（1）作△ABC 的外心O ；

（2）设D 是AB 边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI ， 使点F 、点H 分别在边BC 和AC 上.

19．如图，已知ABC △，请用圆规和直尺作出ABC △的一条中位线EF (不写作法，保留作图痕迹).

20. 如图，ABC △中，ACB ABC ∠∠.

(1)用直尺和圆规在ACB ∠的内部作射线CM ，使ACM ABC ∠∠(不要求写作法，保留作图痕迹)； (2)若(1)中的射线CM 交AB 于点D ，9AB ，6AC ，求AD 的长. C

E

A

B

21.在数学课上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：

参考以上材料作图的方法，解决以下问题：

（1）以上材料作图的依据是： （2）已知：直线l 和外一点P 求作：☉P ，使它与直线l 相切。（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

22．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上．

（Ⅰ）AB 的长等于________；

（Ⅱ）在△ABC 的内部有一点P ，满足S △PAB :S △PBC :S △PCA =1:2，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）

.

23.“直角”在初中几何学习中无处不在．

如图，已知∠AOB ，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB 是否为直角（仅限用直尺和圆规）．

小丽的方法

如图，在OA ，OB 上分别取点C ，D

，以C 为圆心，CD 长为半径画弧，交OB 的反向延长线于点E ，若OE ＝OD ，则∠AOB ＝90°．

24. 如图，在钝角△ABC 中，过钝角顶点B 作BD ⊥BC 交AC 于点D ．请用尺规作图在BC 边上求作一

点P ，使得点P 到AC 的距离等于BP 的长．（保留作图痕迹，不写作法）

25.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，顶点B 恰好与CD 边上的动点P 重合（点P 不与点C ，D 重合），折痕为MN ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，连接MB ，MP ，BP ，BP 与MN 相交于点F ．

（2）①在图2中，作出经过M ，D ，P 三点的⊙O （要求保留作图痕迹，不写作法）；

②设AB ＝4，随着点P 在CD 上的运动，若①中的⊙O 恰好与BM ，BC 同时相切，求此时DP 的长．

26.如图，A 、B 、C 为某公园的三个景点，景点为A 和景点B 之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P ，使景点B ,景点C 到凉亭P 的距离之和等于景点B 到景点A 的距离，请用直尺和圆规在所给的图中作出点P （不写作法和证明，只保留作图痕迹）

27. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： 已知线段a 和∠AOB ，点M 在OB 上（如图所示）． （1）在OA 边上作点P ，使OP=2a ； （2）作∠AOB 的平分线； （3）过点M 作OB

的垂线．

C D F

A B

N P

M （图1）

C D F

A B N P

M （图2） C

D

A B （图3）

28.如图12，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝

（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ADE的周长为a，先化简T＝（a＋1）2－a（a－1），再求T的值．

思路分析：（1）按照线段垂直平分线的尺规作图方法作图；（2）通过解直角三角形求出△ADE的周长为a，再化简、代入求值.

29.已知平行四边形ABCD．

（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，求证：CE＝CF．

B

答案：

1.C ，

2.C ，

3.C ，

4. D ，

5. B ，

6. B ，

7.B ，

8. D ，

9.C 10. 0a b +=，11. 20°，12.

3

π

，13.

14.

到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；

两点确定一条直线；垂直平分线的定义；90°

的圆周角所对弦为直径.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.（答案不唯一）

15.解：如图所示，直线OO′即为所求．

16.解：（1）如图，∴⊙O 即为所求．

（2）连接OD ，OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，∴∠ODB ＝∠OEB ＝90°， 又∵∠B

＝40°，∴∠DOE ＝140°， ∴∠EFD ＝70°.

17. 解：如图所示，点P 即为所求.

18. 解：（1）如图，点O 为△ABC 的外心.

（2）如图，正六边形DEFGHI ，即为所求.

19. 解：如图，

∴线段EF即为所求作．

20. 解：（1）作图如下；

（2）解：∵ACM ABC

∠∠，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AD AC

AC AB

=，又9

AB，6

AC，∴

6

69

AD

=，

解得AD＝4.

21. （1）到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

（2）如图☉P为所求

22. (Ⅰ)根据勾股定理可得=

（Ⅱ）如图，AC与网络线相交，得点D、E，取格点F，连结FB并延长，与网格线相交，得点M、N，连结DN、EM，DN与EM相交于点P，点P即为所求.

23. 解∶方法1∶如图①在OA ，OB 上分别截取OC ＝4，OD ＝3，若CD ＝5，则∠AOB ＝90°．

方法2∶如图②，在OA ，OB 上分别取点C ，D ，以CD 为直径画圆．若点O 在圆上，则∠AOB ＝90°． 24. 如图所示，点P 即为所求．

25. （1）利用两角分别相等的三角形相似证明.

（2）利用MP 是直径作图. （3）利用勾股定理列方程求解.

解：（1）由折叠，得点B 、P 关于MN 对称．∴MN ⊥BP ．

∴∠BFN ＝90°．

∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°． ∴∠BFN ＝∠C ．

又∵∠FBN ＝∠PBC ，∴△BFN ∽△BCP ．

（2）①连接MP ，作MP 的垂直平分线交MP 于点O ，以点O 为圆心，OM 为半径作⊙O ，则⊙O 即为所求作的圆．图略. ②如图，

∵BM 切⊙O 于点M ，∴OM ⊥BM ． ∴∠AMB +∠DMP =90°.

∵∠ABM +∠AMB =90°, ∴∠ABM =∠DMP . 由折叠知MB =MP ，又∠A =∠D =90°. ∴△ABM ≌△DMP ． ∴MD ＝AB ＝4．

过点M 作MH ⊥BC ，垂足为点H ，则MH ＝4．

C D

F

A

B N P

M

O

G

H 答案第23题图 P D

设BC 与⊙O 相切于点G ，连接OG ． ∴OG ⊥BC ．

∴OG 是梯形MHCP 的中位线． 设DP ＝x ，则CP ＝4－x ． ∴OG ＝

12(4+4－x )＝4－12

x ． ∴MP ＝8x ．

在△DPM 中，由勾股定理得2(8)x -＝224x +． 解得x ＝3，即DP ＝3．

26. 解：说明：连接AC ，作AC 的中垂线，与AB 的相交，则交点就是所求作的点.作图如下。

．

27. 解：（1）点P 为所作；（2）OC 为所作；（3）MD 为所作.

28. 解：（1）如图所示：

D

F

A

N P

M

O

G

（2）∵DE 是线段AC 的垂直平分线， ∴∠AED ＝90°，AE ＝

12AC ＝1

2

×

. 在RtADE 中，∠A ＝30°，AE

，∴DE ＝AE ·tanA

1，AD ＝2DE ＝2. ∴a ＝AD +DE +AE ＝

＝3

T =（a ＋1）2－a （a －1）＝a 2＋2a ＋1－a 2＋a ＝3a ＋1＝3（

+1＝

29. 解：（1）如图，射线AF 即为所求；

（2）∵平行四边形ABCD ， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ． ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵AF 平分∠BAD ， ∴∠1＝∠2． ∴∠3＝∠4． ∴CE ＝CF ．

B