东北师大附中高一期末数学(附答案)

2009-2010学年

东北师大附中 高一年级数学试题

上学期期末考试 命题人：刘彦永 张微 戴有刚 审题人：邢昌振 高长玉

一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）

（1）设集合{1234}U =，，，，{13}A =，，{34}B =，，则C U ()A

B =

(A) {134}，， (B) {14}， (C) }2{ (D) }3{ （2

）函数()f x =

的定义域为 (A) (1)-+∞， (B) (1)-∞， (C) (11)-， (D) (11]-，

（3）cos 2010=

(A) 12-

(B) (C) 1

2

(D)

（4）在ABC ?中，若1

sin 2

A =，则A =

(A) 30 (B) 60 (C) 30或150 (D) 60或120

（5）下列函数中是幂函数的为

(A) 21x y = (B) 22x y = (C) x x y +=2

(D) 1=y

（6

）已知函数2(3)log f x =，则(1)f 的值为 (A)

2

1

(B) 1 (C) 5log 2 (D) 2 （7）将函数x y 2sin =的图象先向左平行移动6π

个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得

到的函数解析式是 (A) 1)6

2sin(+-=π

x y (B) 1)3

2sin(+-=π

x y

(C) 1)62sin(++

=πx y

(D) 1)3

2sin(++

=π

x y

（8）2sin 31cos31a =和sin 28cos35cos 28sin35b =+之间的大小关系是

(A) a b > (B) a b < (C) a b = (D) 不能确定

（9）设1a >，且2

log (1)a m a =+，log (1)a n a =+，log 2a p a =，则m n p ，，的大小关系是

(A) n m p >> (B) m p n >> (C) m n p >> (D) p m n >>

（10）已知ABC ?的三个顶点A B C 、、及平面内一点P 满足：0PA PB PC ++=，若实数λ满 足：AB AC AP λ+=，则λ的值为

(A)

32

（B ）32

（C ）2 （D ）3 (11) 函数()tan f x x x =-在区间[22]ππ-，上的零点个数是

(A) 3个 (B) 5个 (C) 7个 (D) 9个

(12) 高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图1，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出， 若鱼缸水深为h 时，水的体积为'V ，则函数'()V f h =的大致图象是

（A ） (B) (C) (D)

二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）

（13）若向量a b 与的夹角是60，1a b ==，则2a b ?= . （14）若10≠>a a 且，则函数1)1(log +-=x y a 的图象恒过定点 .

（15）设()f x 是()-∞+∞，上的奇函数，()(3)0f x f x ++=，当01x ≤≤时，()21x f x =-，

则=)5.5(f . （16）在下列结论中： ①函数)sin(x k y -=π()k Z ∈为奇函数； ②函数4

4

sin cos y x x =-的最小正周期是2

π； ③函数cos(2)3y x π=+的图象的一条对称轴为2

3x π=-； ④函数1

sin(+

)2

3

y x π

=在[22]ππ-，上单调减区间是5[2][2]33

ππ

ππ--，

，. 其中正确结论的序号为 （把所有正确结论的序号都．填上）.

图1

三、解答题（共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）（本题满分8分）

已知集合{}|34A x x =-≤≤，{}

22|132B x m x m =-≤≤-，且A B A =，

求实数m 的取值范围.

（18）（本题满分8分）

在直角坐标系中，已知(20)A ，，(02)B ，，(cos sin )C θθ，. (Ⅰ)若θ为钝角，且3

sin =

5

θ，求CA CB ?. (Ⅱ)若CA CB ⊥，求sin 2θ的值.

（19）（本题满分10分）

如图2，已知OPQ 是半径为R ，圆心角为

4

π

的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇

形的内接矩形.记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个

最大面积.

R

α

Q

P

O

D

C

B A

图2

（20）（本题满分10分）

已知函数1()log 1a

x

f x x

+=-，（其中0a >且1a ≠）. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；

（Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性并给出证明；

（Ⅲ）若1[0]2

x ∈，时，函数()f x 的值域是[01]，，求实数a 的值.

（21）（本题满分10分）

已知0αβπ<<<，且tan tan αβ、是方程2

560x x -+=的两根，试求： （Ⅰ）αβ+的值； （Ⅱ）cos(2)4

π

α+的值.

(22)（本题满分10分）

已知向量(cos 1sin )m x a x =-，

，(cos 2)n x =，，其中a R x R ∈∈，，设()f x m n =?，且函数()f x 的最大值为()g a . （Ⅰ）求函数()g a 的解析式；

（Ⅱ）设02θπ≤<，求函数(2cos 1)g θ+的最大值和最小值以及对应的θ值；

（Ⅲ）若对于任意的实数x R ∈，5

()2

g x kx ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.

2009—2010学年

东北师大附中高一年级数学试卷(答案)

上学期期末考试

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

三、解答题：本大题共6小题，共56分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分8分）

解：由条件A B A

=可知，B A

?.

当Bφ

=时，22

132

m m

->-，解得2

1

2

m<；……………3分

当Bφ

≠时，

22

2

2

132

13

324

m m

m

m

?-≤-

?

-≥-

?

?-≤

?

解得2

1

2

2

m

≤≤；…………6分

综上可知，22

m≤，即m

≤≤…………………8分

18．（本题满分8分）

解：(Ⅰ)∵θ为钝角，且

3

sin=

5

θ，∴

4

cos=

5

θ=-

2cos sin

CAθθ

=--

（，），cos2sin

CBθθ

=--

（，）.

22

cos2cos sin2sin2cos2sin sin cos

347

2(cos sin)12()14

555

CA CBθθθθθθθθ

θθ

?=----=--++

=-++=--+=

（）（）

分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得2(cos sin)1

CA CBθθ

?=-++，∵CA CB

⊥∴0

CA CB

?=

∴

1

cos sin

2

θθ

+=，两边平方得

1

12sin cos

4

θθ

+=，∴

3

sin2

4

θ=-.…………8分

19．（本题满分10分）

R

α

Q

P

O

D C

B

A

解：在Rt OBC

?中，cos

OB Rα

=，sin

BC Rα

=.

在Rt OAD

?中，sin

OA AD BC Rα

===.

cos sin

AB OB OA R R

αα

=-=-. …………………2分

设矩形ABCD的面积为S，则

222

222

(cos sin)sin4

11cos2

(cos sin sin)(sin2)

22

1111

(sin2cos2)sin(2)8

222242

S AB BC

R R R

R R

R R R

ααα

α

αααα

π

ααα

=?

=-?

-

=-=-

=+-=+-

分

分

由0

4

π

α

<<，得

3

2

444

πππ

α

<+<，所以当2

42

ππ

α+=，即

8

π

α=时，……9分

2

max

S=. …………………10分

20．（本题满分10分）

解：（Ⅰ）由条件知

1

1

x

x

+

>

-

，解得11

x

-<<，函数的定义域为(11)

-，；………3分

（Ⅱ）

1

111

()log log log()

111

a a a

x x x

f x f x

x x x

-

-++

??

-===-=-

?

+--

??

因此()

f x是奇函数. ………………7分

(Ⅲ)

112122

()log log log log1

11111

a a a a

x x x

f x

x x x x x

+-+-

????

===+=--

? ?

-----

????

记

2

()1

1

g x

x

=--

-

，则

2

()1

1

g x

x

=--

-

在

1

[0]

2

，上单调递增，因此

当1

a>时，()

f x在

1

[0]

2

，上单调递增，由

1

()1

2

f=得3

a=；

当01

a

<<时，()

f x在

1

[0]

2

，上单调递减，由(0)1

f=得出矛盾，aφ

∈；

综上可知3

a=. ………………10分

21．（本题满分10分）

解: (Ⅰ)∵方程2

56(2)(3)0x x x x -+=--= ∴方程的两根分别是12=2=3x x ，. 又∵tan tan αβ、是方程2

560x x -+=的两根，∴02

π

αβ<<<

且tan tan αβ<、

tan 2tan 3αβ==，，因此tan tan 23

tan()11tan tan 16

αβαβαβ+++=

==--?-， 又∵0αβπ<+< ∴3

4

αβπ+=.………………5分

(Ⅱ) 由tan 2α=得sin 2cos αα=，∴222sin 4cos 4(1sin )ααα==- ∴24

sin 5

α=

∵02

π

α<< ∴

sin α=

cos α=，

∴22

223cos 2cos sin ()(555ααα=-=-=-，

4

sin 22sin cos 2555

ααα==??=，

34cos(2)cos 2cos sin 2sin 444525210πππααα+=-=-?-?=-.………10分

22．（本题满分10分）

解：（Ⅰ）由题意知()f x m n =?=2

2

cos 2sin 2sin 2sin 3x a x x a x -+=--+，

令sin t x =，则11t -≤≤，从而222

()23()3[11]h t t at t a a t =--+=-+++∈-，，

， 对称轴为t a =-.

①当1a -≤-，即1a ≥时，

2()23h t t at =--+在[11]t ∈-，上单调递减，max ()(1)22h t h a =-=+； ②当11a -<-<，即11a -<<时，()h t 在[1]a --，上单调递增，在[1]a -，上单调递减

∴2

max ()()3h t h a a =-=+； ③当1a -≥-，即1a ≤时， 2()23h t t at =--+在[11]t ∈-，上单调递增，max ()(1)22h t h a ==-+；

综上，2

22 1()31122 1.a a g a a a a a -+≤-??=+-<

，

；， ；， ………………4分

（Ⅱ）由02θπ≤<知，12cos 13θ-≤+≤.又因为()g a 在[10]-，上单调递减，在[03]，上单调递增，∵(1)(3)g g -<∴max (2cos 1)(3)8g g θ+==，此时0θ=；

min (2cos 1)(0)3g g θ+==，此时2

3

θπ=. ………………7分

（Ⅲ）当1x ≥时，5222x kx +≥+得122k x ≤-，即3

2k ≤； 当1x ≤-时，5222x kx -+≥+得122k x ≥--，即3

2k ≥-；

当11x -<<时，2532x kx +≥+，得2

102

x kx -+≥，

令2

221111()()2224p x x kx x k k =-+=-+-，则对称轴为12

x k =，下面分情况讨论：

①当112k ≤-时，即2k ≤-时，2

1()2

p x x kx =-+在(11)-，上单调递增，从而只须

()(1)0p x p >-≥即可，解得3

2

k >-，从而k φ∈；

②当1112k -<<时，即22k -<<，只须2

min 111()()0224

p x p k k ==-≥，解

得

k ≤≤

k ≤≤

③当112k ≥时，即2k ≥时，2

1()2

p x x kx =-+在(11)-，上单调递减，从而只须

()(1)0p x p >≥即可，解得3

2

k <，从而k φ∈；

综上，实数k

的取值范围是k ≤≤ ………………10分