2020届绵阳二诊 理科数学试题(解析版)

2020届绵阳二诊

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.设全集{}|0U x x =>，{

}2

|1x

M x e e

=<<，则U

C

M =（ ）

A. ()1,2

B. ()2,+∞

C. (][)0,12,+∞

D. [)2,+∞

【答案】D 【详解】由题意2

{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥． 故选：D ．

2.已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ?=+，则z =（ ） A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 2i - 【答案】A 【详解】由题意122i

z i i

+==-． 故选：A ．

3.已知两个力()11

,2F =，()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F ，则3F =（ ） A. ()1,5- B. ()1,5-

C. ()5,1-

D. ()5,1-

【答案】A

【详解】根据力的合成可知()()()12+1

,22,31,5F F =+-=- 因为物体保持静止,即合力为0,则123+0F F F += 即()31,5F =- 故选:A

4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A.

1

8

B.

14

C. 38

D.

12

【答案】B

【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一

景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2184

P ==． 故选：B ．

5.已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

【答案】B

【详解】2

1cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin 3

α=”的必要不充

分条件． 故选：B ．

6.若5

1ax x ??- ??

?的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为（ ）

A. -80

B. -10

C. 10

D. 80

【答案】A

【详解】因为5

1ax x ??- ??

?的展开式中各项系数的和为1

令1x =代入可得()5

11a -=,解得2a = 即二项式为5

12x x ??- ??

?

展开式中含3x 的项为()()41

1433

55122180C x C x x x ?

?-

=-=- ???

所以展开式中含3x 项的系数为80- 故选:A

7.已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：

若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点()2,22

C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元

D. m 的值是20 【答案】C

【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正确； 又01234

25

x ++++=

=，∴ 6.52922y =?+=，回归直线一定过点(2,22)，B 正确；

10x =时， 6.510974y =?+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C 错误； 由10153035

225

m y ++++=

=，得20m =，D 正确．

故选：C

．

8.双曲线()

22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分

别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） B. 2

D. 3

【答案】B

【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程

b

y x a =±

，不妨设AF 方程为()b y x c a

=--， 由()b y x c a b y x a ?=--????=??

，得2

2c x bc y a ?

=????=??，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -

， ∴21(2)222OAFB

bc bc S c a a =???=，由题意2

2bc bc a

=，∴2c a =．

故选：B ．

9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为（ ） A. 1 B. 2

C. 3

D. 4

【答案】C

【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示: (心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心) (心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背) 则小明得1分的概率为

3

4

,得0分的概率为14

进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分 由独立重复试验的概率计算公式可得:

()4

0411

04256

P X

C ??===

?

??

()1

3

143112144256P X C ????=== ? ?

???? ()22

243154244256P X

C ????=== ?

?

????

()3

1

3431108344256P X C ????=== ? ?

???? ()4

44381

44256

P X

C ??===

?

??

则得分情况的分布列如下表所示:

则X 的期望()15410881

1+2+3+4=3256256256256

E X =???? 故选:C

10.已知圆C ：22

68110x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且

PM PN ⊥，则PC 的最大值为（ ）

A. 4

B. 42

C. 6

D. 62

【答案】D

【详解】圆C ：2

2

68110x y x y +---= 化成标准方程可得()()2

2

3436x y -+-= 所以圆C 的半径为6r =

因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:

则PMC PNC ???,即45MPC NPC ∠=∠=

在三角形PMC ?中,由正弦定理可得sin sin 45

MC

PC PMC =∠ sin 22

PC PMC =

∠

则62PC PMC =∠ 因为sin 1PMC ∠≤ 所以PC 的最大值为62

故选:D

11.已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()3

1cos sin 3

x x x f x x =-+

，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ??

+< ???

的实数m 的取值范围为（ ）

A. 1,22?? ???

B. ()0,2

C. ()10,1,22?? ???

D. ()2,+∞

【答案】A

【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222

(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式

()()212log log 21f m f m f ??

+< ???可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，

0x ≥时，31

()cos sin 3

f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-，

令()sin g x x x =-，则'()1cos 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=， ∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，1

22

m <<． 故选：A ．

12.函数()()()2

21log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ??????

上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）

A. 11,

32??

???

B. [)3,+∞

C. ()[)1,23,+∞

D. [)2,3

【答案】D

【详解】函数()()()2

21log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ??????

上恰有一个零点,

则()l g 21o 0a f =-,lo 1g 31a f a ??

?=-??

由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.

且因为恰有一个零点,所以满足()()110log 2log 3a a --≤且1log 20a -=与1log 30a -=在10,a ??????

上不

同时成立.

解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得23a ≤≤

当3a =时,函数()()()2

361log 32f x x x =--+,区间为10,3??

????

且满足()301log 20f =->,310046log f =-??

<

???,311303log f =-??

= ???

所以在10,6?? ???内有一个零点, 1

3

x =为一个零点.故由题意可知,不符合要求 综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______. 【答案】2. 【详解】由题意(1)1463

a a -+-=≠-，解得2a =． 故答案为：2．

14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______. 【答案】3.12

【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:

则阴影部分与正方形面积的比值为

1

:1

4

π

由几何概型概率计算公式可知

1

1564

2001

π

=解得

1564

3.12

200

π

?

==

故答案为: 3.12

15.函数()

sin0,

2

y x

π

ω?ω?

??

=+><

?

??

的图象如图所示，则()

f x在区间[],ππ

-上的零点之和为

______.

【答案】

2

3

π

.

【详解】由题意

411

()

3126

T

ππ

π

=?-=，∴

2

2

π

ω

π

==，又sin(2)1

6

π

?

?+=且

2

π

?<，∴

6

π

=

?，

∴()sin(2)

6

f x x

π

=+．

由sin(2)0

6

x

π

+=得2

6

x k

π

π

+=，

212

k

x

ππ

=-，k Z

∈，

在[,]

-ππ内有：

7511

,,,

12121212

ππππ

--，它们的和为2

3

π

．

16.过点()

1,0

M-的直线l与抛物线C：24

y x

=交于A，B两点（A在M，B之间），F是抛物线C的焦点，点N满足：5

NA AF

=，则ABF

?与AMN

?的面积之和的最小值是______.

【答案】8

【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:

因为直线l 过点()1,0M - 设直线的方程为1x ty =-

则241

y x x ty ?=?=-?,化简可得2440y ty -+= 因为有两个不同交点,则216160t ?=->,解得1t >或1t <- 不妨设1t >,

则解方程可得22221,221A B y t t y t t =--=+-因为5NA AF =,则6NF AF = 所以2612121,N A y y t t ==-- 所以()1

22

ABF MBF AMF B A B A S S S y y y y ???=-=

??-=- ()1

22

AMN FMN AMF N A N A S S S y y y y ???=-=??-=-

则ABF AMN B A N A S S y y y y ??+=-+-

222

221121212221t t t t t t ?=+----- ?

21061t t =-- ,(1t >)

令()21061f t t t =--则()2

'101

f t t =-

令(

)2'1001

f t t =-

=- 解得54t =

当514t <<

时, ()'0f t <,所以()f t 在51,4??

???

内单调递减 当54t >

时, ()'0f t >,所以()f t 在5,4??

+∞ ???内单调递增 即当5

4

t =

时()f t 取得最小值. 所以21061ABF AMN S S t t ??+=--

2

551061844??

=?--= ???

故答案为:8

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.

17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：

（1）求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .

（2）已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22?列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.

22?列联表

男 女 总计

附表：

.

其中：()

()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=++++.

【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为

0.0450.0650.5?+?=.

所以阅读时间的中位数10m =.

（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，

由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m 的人数为1000.550?=人， 故列联表补充如下：

2K 的观测值()2

10025302520100

5050455599

k ??-?==

??? 1.01 2.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.

18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足120a a +=，624S =.各项均为正数的等比数列{}n b 满足

1241b b a +=+，34b S =.

（1）求n a 和n b ；

（2）求和：()()()1121211111n n T b b b b b b -=++++++

+++++.

【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .

由题意,得1120

656242a d a d +=??

??+=??

,解得112a d =-??

=?, ∴23n a n =-

∵等比数列{}n b 的各项均为正数

由112168b b q b q +=??=?解得1122b q =??=?或1218

23b q =???=-??

（舍）

∴1

22

2n n n b -=?=

（2）由（1）得,211211122221n n

n b b b --+++???+=+++???+=-

()()()1121211111n n T b b b b b b -=++++++???++++???+

()()()231212121n =+-+-+

+-()()()()12321212121n =-+-+-+

+-

(

)1

2122

212

n n n n +-=

-=---.

19.在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+. （1）求A ；

（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥

，BC =，求sin B . 【详解】（1）在ABC ?中，由正弦定理得

()()()a b a b c c b +-=+，即2

22a

b c bc =++.

由余弦定理得2221

cos 22

b c a A bc +-=

=-， 结合0A π<<，可知23

A π

=

. （2）在ABC ?中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ?=

?∠=?

，即2

bc a AD =?.

由已知BC =

，可得AD =

.

在ABC ?中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-?， 即223bc b c bc =++，整理得()2

0b c -=，即b c =， ∴6

A B π

==

.

∴1

sin sin 6

2

B π

==

.

20.已知椭圆C ：2

212

x y +=，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.

（1）若点()1,1P -满足0OA OB OP ++=（O 为坐标原点），求弦AB 的长；

（2）若直线l 的斜率不为0且过点()2,0，M 为点A 关于x 轴的对称点，点(),0N n 满足MN NB λ=，求n 的值.

【详解】（1）设()11,A x y ,()22,B x y

由0OA OB OP ++=,且点()1,1P -,得121x x =+,121y y +=-.① ∴线段AB 的中点坐标为11,22??

-

??

?,其在椭圆内 由2

2

222211

121

2x y x y ?+=????+=??两式相减得2

222212102x x y y -+-=,

整理得2

22122211

2y y x x -=--,即()()()()2121212112

y y y y x x x x +-=-+-.

将①代入,得21211

2

AB y y k x x -=

=-.

∴直线AB 方程为111222y x ???

?--

=- ? ?????

,即2430x y --=. 联立2

2122430x y x y ?+=???--=?

消去x 得2

242410y y ++=,

由韦达定理得121y y +=-,12124

y y =. ∴

AB ==

. （2）设直线AB 的方程为2x ty =

+,由题意得()11,M x y -,

由已知MN NB λ=,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =.

∴()()121121

0y y y n x x x ----=--,即121121y y y n x x x +=--, 解得()

121121

y x x n x y y -=

++.

将112x ty =+,222x ty =+,代入得12

12

22ty y n y y =

++.②

联立222202

x y x ty ?+-=?=+?消去x 得()22

2420t y ty +++=

由韦达定理得122

42

t y y t -+=+,1222

2y y t =+.③ 将③代入②得到1n =

21.已知函数()2

12ln 2

x f x ax x =+

-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），当()()21f x f x -的最大值为3

2ln 22

-时，求实数a 的取值范围.

【详解】（1）()()2'22

0x ax x a x x x

f x -+=+-=>.

令()2

2g x x ax =-+,则28a ?=-.

①当0a ≤或0?≤,

即a ≤,得()'0f x ≥恒成立, ∴()f x 在()0,∞+上单调递增.

②当0

a >??

?>?,

即a >,

由()'0f x >,

得02a x <<

或2a x +>

由()'0f x <,

x <<

∴函数()f x

在0,

2a ? ???

和2a ??

++∞ ? ???上单调递增,

在22a a ?+

???

上单调递减. 综上所述,

当a ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增；

当a >,()f x 在0,

2a ??- ? ???

和2a ??

++∞ ? ???上单调递增,

在??

上单调递减. （2）由（1）得,

当a >,()f x 有两极值点1x ,2x （其中21x x >）. 由（1）得1x ,2x 为()2

20x a g x x =-+=的两根,

于是12x x a +=,122x x =.

∴()()()()2

22212121112ln

2

x f x f x x x a x x x -=+--- 222

2

2212211112

2ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-

221

112

2ln

x x x x x x =-+. 令()2

11x t t x =

>,则()()()2112ln f x f x h t t t t

-==-+. ∵()()2

2

222121211'0t t t t t t t

h t ---+-=--==<, ∴()h t 在()1,+∞上单调递减.

由已知()()()21h f x t f x -=的最大值为3

2ln 22

-, 而()132ln 22l 22

22n 2h =-+=-. ∴2t =.

设t 的取值集合为T ,则只要满足[)2,T ?+∞且T 中的最小元素为2的T 集合均符合题意.

又()()2

212121

22x x a t t T x x t

+==++∈,易知()12x t t ?=++在[)2,+∞上单调递增,

结合a >可得a 与t 是一一对应关系. 而当2t =,即

2

1

2x x =时,联合122x x =, 解得22x =,11x =,进而可得3a =. ∴实数a 的取值范围为[

)3,+∞.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系中，曲线1

C 参数方程为1cos sin x r y r ?

?=+??=?

（0r >，?为参数），以坐标原点O 为极

点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π?? ???

，曲线2C 的直角坐标方程为22

1x y -=.

（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程；

（2）若()1,A ρα，2,6B πρα??- ???是曲线2C 上两点，当0,4πα??∈ ???

时，求2211OA OB +的取值范围.

【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为()2

221x y r -+=.

由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得点2,

3P π?? ???

的直角坐标为(，代入1C ，得2

3r =， ∴曲线1C 的普通方程为()2

213x y -+=.

2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()222cos sin 1ρθθ-=，

∴曲线2C 的极坐标方程为2

cos 21ρθ=. （2）将点()1,A ρα，2,6B πρα??

-

??

?

代入曲线2C 的极坐标方程， 得2

1cos 21ρα=，22cos 213πρα??-= ??

?，

∴

2

222

2

11

1

cos 2cos 1123OA

OB

πααρρ??=

+

+-+

= ??

?

3cos 22223πααα?

?==+ ??

?. 由已知0,

4πα?

?

∈ ??

?

，可得52,336

π

ππα??+

∈ ???

，

232πα??

?+∈

? ???. 所以2

2

11OA

OB

+

的取值范围是?.

23.已知关于x 的不等式12

121log x x a +--≤，其中0a >.

（1）当4a =时，求不等式的解集；

（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【详解】（1）由4a =时，12

log 2a =-.原不等式化为1212x x +--≤-，

当1

2

x ≥

时，()1212x x +--≤-，解得4x ≥，综合得4x ≥； 当112x -<<时，1212x x ++-≤-，解得23

x ≤-，综合得2

13x -<≤-；

当1x ≤

-时，()1212x x -++-≤-，解得0x ≤，综合得1x ≤-. ∴不等式的解集为2|43x x x ??≤-

≥????

或. （2）设函数()2,111213,1212,2x x f x x x x x x x ?

?-<-?

?

=+--=-≤

?

?

-+≥??

， 画图可知，函数()f x 的最大值为

32

.

由12

3log 2a ≤，解得20a <≤