决策理论一道习题

决策理论 与方法 P85 12（1）(2)

晨光公司生产的圆珠笔芯成箱批发给商业部门，每500件装成一箱，每箱产品的次品率有三种，即10%，20%，30%，相应的概率分别是0.7,0.2,0.1.出厂前的检验方案有两种，一是整箱产品逐一检验，二是整箱不检验，但必须承担商家更换次品费用，一件次品更换费用平均为0.77元。 (1)该公司应该选择哪一种检验方案？

(2)如果整箱产品逐一检验前，允许从每箱中抽取十件产品进行检验，设X=“其中所含次品个数”。试进行抽样贝叶斯决策分析。 解：(1)先进行验前分析。

先验状态变量的概率矩阵为 P =（0.7,0.2,.01）T

由题设给出的条件，方案a 1在各状态的收益值为 Q （a 1，θj ）=q 1j =－0.1×500－0×θj =－50，j=1,2，3 方案a 2在各状态的收益值为

Q （a 2，θj ）=q 2j =－0.77×500θj =（38.5，77，115.5），j=1,2，3 于是，收益矩阵为

Q =（q ij ）2×3=????

??－115.5－77－38.5－50－50－50

相应的损失矩阵为

R =（r ij ）2×3=???? ??65.527000

11.5

方案a 1，a 2，的期望损失值

E [R （a 1，θj ）]=∑3

j r 1j P （θj ）=－11.5×0.7＋0×0.2＋0×0.1=8.05

E [R （a 2，）]=∑3

j

r 2j P （θj ）=0×0.7＋27×0.2＋65.5×0.1=11.95

因此，验前最满意行动方案a *=a 1，即整箱产品逐一检验。

(2)一箱产品中最多有次品500×30%=150件，

即所抽取的10件产品中所含次品数X =0，1，2，··· ，10

则条件概率P (X =i |θj )=i C 10

i j θ()i

j --?101θ

P (X =i )=∑=3

1

j P (θj )P (X =i |θj )

后验概率P (θj |X =i )=P (θj )P (X =i |θj )/P (X =i )，j=1,2,3 方案a 1，a 2，的期望损失值 E θj |X =i [R （a 1，θj ）]=∑3

j r 1j P (θj |X =i )

E θj |X =i [R （a 2，）]=∑3

j

r 2j P (θj |X =i )

当X =0时，有

同理得

又有P (X =i )=

()

∑3

j

j P θ10

500

10500

)1(500C C C i

i j j -?-?θθ

所以，验后最满意方案是a2的可能性P(a2)=0.0555+0.0929=0.1484

，

验后最满意方案是a1的可能性P(a1)=0.8516。

即当抽取的十件产品中如果其中所含次品个数大于等于2就整箱产品逐一检验，如果其中所含次品个数小于2，就不再对这一箱产品进行检验。