第二节力的合成与分解、探究力的合成平行四边形定则(附答案)

§2．2 力的合成与分解、探究力的合成平行四边形定则内容要求说明

力的合成和分解力的平行四边形定则（实验、探究）Ⅱ

力的合成和分解的计算，只限于用作图

法或直角三角形知识解决

一、合力与分力

若一个力的作用效果与另外几个力共同作用的效果相同，那么，这个力就叫做那另外几个力的合力，另外几个力叫做这个力的分力．

二、力的合成与分解

1．求几个力的合力叫做力的合成，求一个力的分力叫做力的分解．力的分解是力的合成的逆运算．2．力的合成与分解都遵循平行四边形定则．

3．二力（F1、F2)合成的合力(F)的取值范围为：｜F1－F2｜≤F≤（F1＋F2）.

在两个分力大小一定的情况下，随着两分力夹角的增大，合力逐渐减小．当两分力夹角为零时，合力最大：F max=F1+F2；当两分力夹角为180°，合力最小：F min=｜F1-F2｜．

三、力的分解的方法

把一个已知力分解为两个互成角度的分力，如果没有条件限制，可以分解为无数对分力．力的分解能得到惟一解的条件是：已知两个分力的方向（且不在同一直线上）或已知其中一个分力的大小和方向．1．根据力的实际作用效果进行分解．

把一个力根据其效果分解的基本方法是：①先根据力的实际作用效果确定两个分力的方向；②再根据两个分力的方向作出力的平行四边形；③解三角形，计算出分力的大小和方向．

2．正交分解法．

所谓正交分解法，就是把物体受到的各个力都分解到互相垂直的两个方向上去．然后分别求这两个方向上的力的代数和，再根据平衡条件或牛顿定律进行列式求解．

正交分解法是一种特殊的处理问题的方法，它的本质还是等效替代．这种方法的突出优点是把复杂的力的矢量运算转化为互相垂直方向上的简单的代数运算．特别适用于多力（三个或三个以上的共点力）作用下的物体的平衡或加速问题．因此，对此方法应注意重点掌握．

四、几点说明

1．平行四边形定则是整个中学物理矢量运算的基本定则，物理学中的其他矢量如位移、速度、加速度、电场强度、磁感强度等矢量合成与分解亦遵从平行四边形定则．

2．一条直线上的矢量合成的运算：先规定正方向，将和正方向一致的矢量记作正，相反的矢量记作负，再直接加减．对未知矢量，可先假设其方向沿规定的正方向，若求解结果为正，表示其方向与规定的正方向一致，求解结果为负，负号则表示其方向与规定的正方向相反．

五、探究力合成的平行四边形法则

1．利用弹簧秤、橡皮条、细绳套、木板等器材探究力的合成的平行四边形定则的实验方法：

a.先用两个力作用在物体的同一点上，使它产生一定的效果，如把橡皮筋一端固定，拉另一端到某一点O；

b.再用一个力作用于同一点上，让它产生与第一次两个力共同作用相同的效果，即也把橡皮筋拉到点O．

c.记下各个力的大小、方向、画出各个力的图示．

d.探究合力F与分力F1、F2的关系

2．误差分析：

本实验误差的主要来源除弹簧秤本身的误差外，还有读数误差、作图误差，因此在使用弹簧秤前应注意将指针调零，使用时要使它与木板平行，读数时眼睛一定要正视，要按有效数字正确读数和记录；两个分力F1和F2间的夹角不宜太大或太小，在画力的合成图示时，要恰当选定标度．

【典型精析】

【例1】如图所示，轻质三角支架水平横杆的B 端与竖直墙面光滑铰接，用此支架悬挂重物，已知AB 杆所受的最大压力为2000N ，AC 细绳所受的最大拉力为1000N ，α 角为30o ．为了不使支架损坏，则所悬的重物应当满足什么要求？

变式训练：如图所示，轻杆BC 的C 点用光滑铰链与墙壁固定，杆的B 点通过水平细绳AB 使杆与竖直墙壁保持30°的夹角．若在B 点悬挂一个定滑轮（不计重力），某人用它匀速地提起重

物．已知重物的质量m =30kg ，人的质量M =50kg ，g 取10 m/s 2．试求：

（1）此时地面对人的支持力； （2）轻杆BC 和绳AB 所受的力．

【例2】如图所示的为曲柄压榨机结构示意图,A 处作用一水平力F ,OB 是竖直线.不计杆、活塞重力和杆转动摩擦,两杆AO 与AB 的长度相同,当OB 的尺寸为200,A 到OB 的距离为10时,求货物M 在此时所受的压力．

【例3】两人在两岸用绳拉小船在河流中行驶，如图所示,已知甲的拉力是200 N ，拉力方向与航向夹角为60°，且甲、乙两绳在同一水平面内,若要使小船受到的合力沿航行方向，在河流正中间沿直线行驶，则： （1）若乙的拉力大小为2003N ，乙用力的方向与航行方向的夹角θ应为多大?小船受到两拉力的合力为多大?

（2）乙在什么方向时用力最小？此时小船所受两拉力的合力多大?

A B C O

m M 30°

(例2图)

F

F 乙 v (例3图)

【例4】在“验证力的平行四边形定则”实验中，需要将橡皮条的一端固定在水平木板上，先用一个弹簧秤拉橡皮条的另一端到某—点并记下该点的位置；再将橡皮条的另一端系两根细绳，细绳的另一端都有绳套，用两个弹簧秤分别勾住绳套，并互成角度地拉橡皮条.

（1）某同学认为在此过程中必须注意以下几项：

A. 两根细绳必须等长

B. 橡皮条应与两绳夹角的平分线在同一直线上

C. 在使用弹簧秤时要注意使弹簧秤与木板平面平行

D. 在用两个弹簧秤同时拉细绳时要注意使两个弹簧秤的读数相等

E. 在用两个弹簧秤同时拉细绳时必须将橡皮条的另一端拉到用一个弹簧秤拉时记下的位置

以上说法中正确的有(填入相应的字母)．

（2）某同学在坐标纸上画出了如图所示的两个已知力F1和F2，图中小正方形的边长表示

2 N，两力的合力用F表示，F1、F2与F的夹角分别为θ1和θ2，请你根据作图法，得出下列关系正确的有．

A. F1=4 N

B.F=12 N

C.θ1=45°

D.θ1＜θ2

【自我检测】

1．一个物体受到了同一个平面的三个共点力，这三个力的合力可能为零的是() A．5 N，10 N，15 N B．10 N，10 N，10 N

C．10 N，15 N，35 N D．2 N，10 N，8 N

2．作用在同一物体上的两个共点力F1、F2，F1>F2且F1、F2在同一条直线上，其合力为F，下列判断正确的是()

A．F1、F2同时增大一倍，F也一定增大一倍

B．F1、F2同时增大10 N，F也一定增大10 N

C．F1增大10 N、F2减小10 N，F一定不改变

D．在F1、F2中，若其中的一个力增大，F可能减小

3．在探究“力合成的平行四边形法则”的实验中，其中的三个实验步骤是：

（a）在水平放置的木板上垫一张白纸，把橡皮条的一端固定在木板上，另一端拴两根细线，通过细线同时用两弹簧互成角度地拉橡皮条，使它与细线的结点达到某一位置O点，在白纸上记下O点和两弹簧秤的读数F1和F2．

（b）在纸上根据F1和F2的大小，应用平行四边形定则作图求出合力F．

（c）只用一个弹簧秤通过细绳拉橡皮条，使它的伸长量与两个弹簧秤拉时相同，记下此时弹簧秤的读数F'和细绳的方向．

以上三个步骤中均有错误或疏漏，指出错在哪里？

在（a）中是__________________________．

在（b）中是__________________________．

在（c）中是__________________________．

【课后练习】

1．城市中的路灯、无轨电车的供电线路等，经常用三角形的结构悬挂．如图为这类结构的一种简化模型．图中硬杆OB 可绕通过B 点且垂直于纸面的轴转动，钢索和杆的重量都可忽略．如果悬挂物的重量为200N ，∠AOB =30°，硬杆OB 处于水平，钢索OA 对O 点的拉力为T 和杆OB 对O 点的支持为F ，则（ ） A ．T =200N B ．T =2003N

C ．F =2003N

D ．F =200N

2．如图所示吊床用绳子拴在两棵树上等高位置．某人先坐在吊床上，后躺在吊床上，均处于静止状态．设吊床两端系绳中的拉力为F 1、吊床对该人的作用力为F 2，则

A ．坐着比躺着时F 1大

B ．躺着比坐着时F 1大

C ．坐着比躺着时F 2大

D ．躺着比坐着时F 2大

3．如图所示，物体静止于光滑水平面M 上，力F 作用于物体O 点，现要使物体沿着OO ′方向做加速运动（F 和OO ′都在M 水平面内）.那么，必须同时再加一个力F ′，这个力的最小值是（ ） A ．Fcos θ B ．Fsin θ C ．Ftan θ D ．Fcot θ

4．用绳AC 和BC 吊起一重物处于静止状态,如图所示.若AC 能承受的最大拉力为150 N ，BC 能承受的最

大拉力为105 N ，那么,下列正确的说法是 0

(sin 370.6,cos370.8)== ( ) A ．当重物的重力为150 N 时，AC 、BC 都不断，AC 拉力比BC 拉力大 B ．当重物的重力为150 N 时，AC 、BC 都不断，AC 拉力比BC 拉力小 C ．当重物的重力为176 N 时，最终AC 不断，BC 断 D ．当重物的重力为176 N 时，最终AC 、BC 都会断

5．如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A ， A 的

左端紧靠竖直墙，A 与竖直墙之间放一光滑圆球B ，整个装置处于静止状态，若把A 向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则（ ） A ．球B 对墙的压力增大 B ．球B 对墙的压力减小

C ．物体A 与球B 之间的作用力减小

D ．物体A 对地面的压力增大

6．在利用弹簧秤、橡皮条、细绳套、木板等器材探究力的合成的平行四边形定则实验中，下列说法中正

(第4题图)

（第5题图）

A

B

O

30°

(第1题图)

确的是( )

A ．分别用两只弹簧秤和用一只弹簧秤拉橡皮筋时，结点必须拉到同一点

B ．实验过程中，弹簧的轴线必须与纸面平行

C ．弹簧秤不能超过木板的边界

D ．作力的平行四边形时，不同拉力的标度应该相同

7．在“探究力的合成的平行四边形定则”的实验中，使b 弹簧测力计按图所示的位置开始沿顺时针方向缓慢转动，在这一过程中保持O 点位置不变和a 弹簧测力计的拉伸方向不变，则在整个转动过程中关于a 、b 弹簧测力计的读数变化情况是 ( ) A. a 增大，b 减小 B. a 减小，b 减小

C. a 减小，b 先增大后减小

D. a 减小，b 先减小后增大

8．如图所示，是一表面光滑、所受重力可不计的劈尖(AC=BC ,∠ACB =θ)

插在缝间，并施以竖直向下的力F ，若劈对左、右接触点的压力大小分别是F 1、F 2，则( )

A ．12sin

2

F F θ

=

B ．12sin

2

F F θ

=

?

C ．22sin

2

F F θ

=

D ．22

sin

2

F F θ

=

?

9．如图所示，一根轻绳上端固定在O 点，下端拴一个重为G 的钢球，球处于静止状态．现对球施加一个

方向向右的外力F ，使球缓慢偏移，如果外力F 方向始终水平，最大值为2G ，试求轻绳张力T 的大小取值范围．

10．如图所示，楔形物倾角为θ=30°，放在水平地面上，轻质硬杆下端带有滑轮，上端顶有1000N 的物体，则当作用于楔形物上的水平推力多大时，才能将重物顶起？并讨论此装置能省力的条件．（不计竖直槽与硬杆之间的摩擦及滑轮与楔形物间的摩擦）

(第8题图)

（第9题图）

§2．2 力的合成与分解、探究力的合成平行四边形定则

【典型精析】

【例1】若F AB 达到最大值2000N ，则F AC =F AB /cos30°=3

3

4000 ＞1000N.故要保证支架不损坏，应使F AC ≤1000N,

故 max 2sin 30500o

G F N ≤=

变式训练：（1）F N =Mg-mg =200N

（2）T BO =2mg =600N

N,320030==ο

tan T F BO AB

N 34002==AB BC F F

【例2】力F 的作用效果是对AB 、AO 两杆产生沿杆方向的压力F 1、F 2，如图甲所示，而F 1的作用效果

是对M 产生水平推力F ′和竖直向下的压力F N ，如图乙所示．

由图可得tan α=10100

=10，F 1=F 2=2cos F α

，

而F N =F 1sin α，则F N =tan 2

F α

=5F ．

【例3】（1）取船航向为x 轴,与船航向垂直为y 轴建立坐标系.如图所示，将F

甲

、F 乙沿两坐标轴正交分解，有F 甲x =F 甲cos 60°=200×

2

1

N=100 N ，F 甲y =F 甲sin 60°=200×

3

2

N=1003 N ，F 乙x =F 乙co s θ，F 乙y =F 乙sin θ．要使小船受到的合力沿航行方向，则必须满足F 乙y =F 甲y =1003 N ，即F 乙sin θ=1003N ，θ=30°； F 乙x =F 乙cos θ=300 N ，小船所受甲乙的合力F 合=F 甲x +F 乙x =(100+300）N=400 N ． （2）当θ=90°时，F 乙有最小值F min =1003N ，方向为垂直于船的航向，此时两拉力的合力为F ′合=F 甲x =100 N ． 【例4】（1）CE (2)BC

【自我检测】

1．ABD 2．AD

3． (1) （a ）漏记了两细线的方向 （b ）必须依据两力的大小和方向才能作图 （c ）必须将橡皮条拉到原来的O 点

【课后练习】

1．C 2．A 3．B （为使物体在水平面内沿着OO ′做加速运动，则F 与F ′的合力方向应沿着OO ′，为使F ′最小，F ′应与OO ′垂直，如图所示，故F ′的最小值为F ′=Fsin θ，B 选项正确．） 4．AD 5．BC 6．ABD 7． D 8． AC

9．当水平拉力F=0时轻绳处于竖直位置，绳子张力最小G T =1

F AB

(例2答图)

(例3答图)

当水平拉力F=2G 时，绳子张力最大G G G T 5)2(222=+= 因此轻绳的张力范围是G T G 5≤≤

10． Gtan θ；θ<45°（先对硬质杆及下面滑轮进行受力分析，受上端物体的压力，大小等于物体的重力G ，斜面的支持力N=G/cosθ，及槽水平向右的作用力F=Gtanθ．再对楔形物进行受力分析，易知所求推力的大小和竖直槽水平向右的作用力F 相等，且θ越小越省力．）