电机数学模型(完整版)

电机数学模型

以二相导通星形三相六状态为例，分析BLDC 的数学模型及电磁转矩等特性。为了便于分析，假定：

a)三相绕组完全对称，气隙磁场为方波，定子电流、转子磁场分布皆对称； b)忽略齿槽、换相过程和电枢反应等的影响； c)电枢绕组在定子内表面均匀连续分布； d)磁路不饱和，不计涡流和磁滞损耗。 则三相绕组的电压平衡方程可表示为：

(1)

式中：为定子相绕组电压(V)

；为定子相绕组电流(A)；

为定子相绕组电动势(V)；L 为每相绕组的自感(H)；M 为每相绕组间的

互感(H)；p 为微分算子p=d/dt 。

三相绕组为星形连接，且没有中线，则有

(2) (3)

得到最终电压方程：

(4)

c

e c

图.无刷直流电机的等效电路

无刷直流电机的电磁转矩方程与普通直流电动机相似，其电磁转矩大小与磁通和电流幅值成正比

(5)

所以控制逆变器输出方波电流的幅值即可以控制BLDC 电机的转矩。为产生恒定的电磁转矩，要求定子电流为方波，反电动势为梯形波，且在每半个周期内，方波电流的持续时间为120°电角度，梯形波反电动势的平顶部分也为120°电角度，两者应严格同步。由于在任何时刻，定子只有两相导通，则：

电磁功率可表示为：

(6)

电磁转矩又可表示为：

(7)

无刷直流电机的运动方程为：

(8)

其中

为电磁转矩；为负载转矩；B 为阻尼系数；为电机机械转速；J 为电机的转动惯量。

传递函数：

无刷直流电机的运行特性和传统直流电机基本相同，其动态结构图可以采用直流电机通用的动态结构图，如图所示：

图2.无刷直流电机动态结构图

由无刷直流电机动态结构图可求得其传递函数为:

式中：

K1为电动势传递系数，，Ce 为电动势系数；

K2为转矩传递函数，，R 为电动机内阻，Ct 为转矩系数；

T m为电机时间常数，，G 为转子重量，D 为转子直径。

基于MATLAB的BLDC系统模型的建立

在Matlab中进行BLDC建模仿真方法的研究已受到广泛关注，已有提出采用节点电流法对电机控制系统进行分析，通过列写m文件，建立BLDC仿真模型，这种方法实质上是一种整体分析法，因而这一模型基础上修改控制算法或添加、删除闭环就显得很不方便；为了克服这一不足，提出在Matlab/Simulink中构造独立的功能模块，通过模块组合进行BLDC建模，这一方法可观性好，在原有建模的基础上添加、删除闭环或改变控制策略都十分便捷，但该方法采用快速傅立叶变换(FFT)方法求取反电动势，使得仿真速度受限制。本文提出了一种新型的BLDC建模方法，将控制单元模块化，在Matlab/Simulink建立独立的功能模块：BLDC本体模块、电流滞环控制模块、速度控制模块、参考电流模块、转矩计算模块和电压逆变模块，对这些功能模块进行有机整合，即可搭建出无刷直流电机系统的仿真模型。在建模过程中，梯形波反电动势的求取方法一直是较难解决的问题[27,28]，本文采用分段线性法成功地化解了这一难点，克服了建模方法存在的不足。

Matlab6.5针对电气传动控制领域所设计的工具箱SimPowerSystemToolbox2.3已提供了PMSM的电机模型，但没有给出BLDC的电机模型。因此，本文在分析无刷直流电机数学模型的基础上，借助于Matlab强大的仿真建模能力，在Matlab/Simulink中建立了BLDC控制系统的仿真模型。BLDC建模仿真系统采用双闭环控制方案：

下即为BLDC建模的整体控制框图，其中主要包括：BLDC本体模块、电流滞环控制模块、速度控制模块、参考电流模块、转矩计算模块和电压逆变模块。BLDC本体结构

(1)BLDCM本体模块

在整个控制系统的仿真模型中，BLDCM本体模块是最重要的部分，该模块根据BLDC电压方程式(4)求取BLDC三相相电流，结构框图如图所示

图.BLDCM本体模块结构框图及其封装形式

在整个控制系统的仿真模型中，BLDC本体模块是最重要的部分，该模块根据BLDC电压方程式(2-4)求取BLDC三相相电流，而要获得三相相电流信号ia，ib，ic，必需首先求得三相反电动势信号ea，eb，ec控制框图如图2-11所示。而BLDC 建模过程中，梯形波反电动势的求取方法一直是较难解决的问题，反电动势波形不理想会造成转矩脉动增大、相电流波形不理想等问题，严重时会导致换相失败，电机失控。因此，获得理想的反电动势波形是BLDC仿真建模的关键问题之一。本文采用了分段线性法，如图2-12所示，将一个运行周期0°～360°分为6个阶段，每60°为一个换相阶段，每一相的每一个运行阶段都可用一段直线进行表示，根据某一时刻的转子位置和转速信号，确定该时刻各相所处的运行状态，通过直线方程即可求得反电动势波形。分段线性法简单易行，且精度较高，能够较好的满足建模仿真的设计要求。因而，本文采用分段线性法建立梯形波反电动势波形。

理想情况下，二相导通星形三相六状态的BLDC定子三相反电动势的波形如图2-12所示。图中，根据转子位置将运行周期分为6个阶段：0～π/3，π/3～2π/3，2π/3～π，π～4π/3，4π/3～5π/3，5π/3～2π。以第一阶段0～π/3为例，A相反电动势处于正向最大值Em，B相反电动势处于负向最大值-Em，C相反电动势处于换相阶段，由正的最大值Em沿斜线规律变化到负的最大值-Em。根据转子位置和转速信号，就可以求出各相反电动势变化轨迹的直线方程，其它5个阶段，也是如此。据此规律，可以推得转子位置和反电动势之间的线性关系，如表2-1所示，从而采用分段线性法，解决了在BLDC本体模块中梯形波反电动势的求取问题。

Em e a 图.三相反电动势波形

Em Em -Em

-Em -Em e b e c

转子位置和反电动势之间的线性关系表

表中：K 为反电动势系数(V/(r/min)，pos 为角度信号，w 为转速信号，转数per=fix(pos/(2*pi))*2*pi ，fix 函数是实现取整功能。

根据上式，用M 文件编写反电势系数的S 函数如下： 反电动势 S 函数(emf.m)

%========================================================= %BLDCM 模型中反电动势函数

%========================================================= function [sys,x0,str,ts] =emf(t,x,u,flag)

switch flag

case 0, %初始化设置

[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;

case 3, %输出量计算

sys = mdlOutputs(t,x,u);

case {1,2,4,9} %未定义标志

sys = [];

otherwise%错误处理

error(['unhandled flag = ',num2str(flag)]);

end

%========================================================= %mdlInitializeSizes 进行初始化，设置系统变量的大小

%========================================================= function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes()

sizes = simsizes; %取系统默认设置

sizes.NumContStates = 0;

sizes.NumDiscStates = 0;

sizes.NumOutputs = 3;

sizes.NumInputs = 2;

sizes.DirFeedthrough = 1;

sizes.NumSampleTimes = 1;

sys = simsizes(sizes);

x0 = [];

str = [];

ts = [-1 0];

%========================================================= %mdlOutputs 计算系统输出

%========================================================= function sys=mdlOutputs(t,x,u)

global k;

global Pos;

global w;

k=0.060; % V/(r/min)反电动势系数

w=u(1); % 转速(rad/s)

Pos=u(2); % 角度(rad)

if Pos>=0 & Pos<=pi/3

sys=[k*w,-k*w,k*w*((-Pos)/(pi/6)+1)];

elseif Pos>=pi/3 & Pos<=2*pi/3

sys=[k*w,k*w*((Pos-pi/3)/(pi/6)-1),-k*w];

elseif Pos>=2*pi/3 & Pos<=pi

sys=[k*w*((2*pi/3-Pos)/(pi/6)+1),k*w,-k*w];

elseif Pos>=pi & Pos<=4*pi/3

sys=[-k*w,k*w,k*w*((Pos-pi)/(pi/6)-1)];

elseif Pos>=4*pi/3 & Pos<=5*pi/3

sys=[-k*w,k*w*((4*pi/3-Pos)/(pi/6)+1),k*w];

else Pos>=5*pi/3 & Pos<=2*pi

sys=[k*w*((Pos-5*pi/3)/(pi/6)-1),-k*w,k*w];

end

转矩计算模块

根据BLDC数学模型中的电磁转矩方程式，可以建立图5.7所示的转矩计算模块，模块输入为三相相电流与三相反电动势，通过加、乘模块即可求得电磁转矩信号Te 。

转矩计算模块结构框图及其封装形式

转速计算模块

根据运动方程式(2.4)，由电磁转矩、负载转矩以及摩擦转矩，通过加乘、积分环节即可得到转速信号，求得的转速信号经过积分就可得到电机转角信号，如图

转速计算模块结构框图及其封装形式

电流滞环控制模块

在这个仿真模块中采用滞环控制原理来实现电流的调节，使得实际电流随跟定电流的变化。模块结构框图如图5.10所示[40]，输入为三相参考电流和三相实际电流，输出为PWM逆变器控制信号。

电流滞环控制模块结构框图及其封装

参考电流模块

参考电流模块的作用是根据电流幅值信号Is和位置信号给出三相参考电流，输出的三相参考电流直接输入电流滞环控制模块，用于与实际电流比较进行电流滞环控制。转子位置和三相参考电流之间的对应关系如表所示，参考电流模块的这一功能可通过S函数编程实现，程序如下

参考电流S 函数(mod.m)

function [sys,x0,str,ts] =mod(t,x,u,flag)

switch flag

case 0,

[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;

case 3,

sys = mdlOutputs(t,x,u);

case 2,

sys = [];

case 9,

sys = [];

otherwise

error(['unhandled flag = ',num2str(flag)]); end

function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes() sizes = simsizes;

sizes.NumContStates = 0;

sizes.NumDiscStates = 0;

sizes.NumOutputs = 1; sizes.NumInputs = 1; sizes.DirFeedthrough = 1;

sizes.NumSampleTimes = 1;

sys = simsizes(sizes);

x0 = [];

str = [];

ts = [-1 0];

function sys=mdlOutputs(t,x,u)

global Pos;

global w;

global Theta;

Theta=u;

b=fix(Theta/(2*pi));%取整

if Theta==0

sys=0;

else if (Theta/(2*pi))==b

sys=2*pi;

else

sys=Theta-b*2*pi;

end

end

Pos=sys; %位置

表5.2 转子位置和三相参考电流之间的对应关系表

5.2.5 位置计算模块

电机转角信号到电机位置信号的转换可通过S函数编程实现，程序如下位置计算S 函数(is.m)

function [sys,x0,str,ts] =is(t,x,u,flag)

switch flag

case 0,

[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;

case 3,

sys = mdlOutputs(t,x,u);

case 2,

sys = [];

case 9,

sys = [];

otherwise

error(['unhandled flag = ',num2str(flag)]);

end

function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes()

sizes = simsizes;

sizes.NumContStates = 0;

sizes.NumDiscStates = 0;

sizes.NumOutputs = 3;

sizes.NumInputs = 2;

sizes.DirFeedthrough = 1;

sizes.NumSampleTimes = 1;

sys = simsizes(sizes);

x0 = [];

str = [];

ts = [-1 0];

function sys=mdlOutputs(t,x,u)

global Is;

global Pos;

Is=u(1); %电流

Pos=u(2);%位置

if Pos>=0& Pos<=pi/3

sys=[Is,-Is,0];

elseif Pos>=pi/3& Pos<=2*pi/3

sys=[Is,0,-Is];

elseif Pos>=2*pi/3& Pos<=pi

sys=[0,Is,-Is];

elseif Pos>=pi& Pos<=4*pi/3

sys=[-Is,Is,0];

elseif Pos>=4*pi/3& Pos<=5*pi/3

sys=[-Is,0,Is];

else Pos>=5*pi/3& Pos<=2*pi

sys=[0,-Is,Is];

end

5.2.6 电压逆变器模块

逆变器对BLDC来说，首先是功率变换装置，也就是电子换向器，每一个桥臂上的一个功率器件相当于直流电动机的一个机械换向器，还同时兼有PWM

电流调节器功能。对逆变器的建模，本文采用Simulink的SimPowerSystem工具箱提供的三相全桥IGBT模块。由于在Matlab新版本(如Matlab7.0)中SimPowerSystem工具箱和Simulink工具箱不可以随便相连的，中间必须加上受控电压源(或者受控电压源、电压表、电流表)。本文给IGBT的A、B、C三相加三个电压表，输出的Simulink信号可以与BLDC直接连接，如图5.11所示。逆变器根据电流控制模块所控制PWM信号，顺序导通和关断，产生方波电流输出。

电压逆变器模块结构框图及其封装

基于Matlab/Simulink建立了BLDC控制系统的仿真模型，并对该模型进行了BLDC双闭环控制系统的仿真。仿真中，BLDC电机参数设置为：定子相绕组电阻R＝1Ω，定子相绕组自感L＝0.02H，互感M＝-0.061H，转动惯量J＝0.005kg·m2，阻尼系数B= 0.0002N·m·s/rad，额定转速n＝1000r/min，极对数p＝1，220V直流电源供电。

总体模型：

存在问题：仿真速度慢，且示波器值均为0