拓展课程 学生用书 形式美的奠基者：毕达哥拉斯学派
第？讲 形式美的奠基者：毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯，约公元前560—前480,古希腊数学家、哲学家（与我国儒家孔子处于同一时代）。毕达哥拉斯创立了一个研究哲学、数学、天文学、医学、美学的团体——毕达哥拉斯学派。他们认为宇宙万物的本源是“数”，
提出了“万物皆数”观点。毕达哥拉斯学派认为美的本质就是和谐，美在对称和比例，力求形式美。他们是古罗马美学的重要学派，也是西方美学史的开端。
◥通过学习毕达哥拉斯学派的成果，体会古希腊人追求的比例美、数字美、图形美、逻辑推理美，并以此为渊源，形成了东西方不一
样的人类文明；
◥了解毕达哥拉斯学派在音乐、图形数、毕达哥拉斯定理、无理数的发现上的成果；
◥通过画图、填空、思考等环节的参与，提高学习数学的兴趣.
学习目标
◥1.比例美：毕达哥拉斯学派与音乐
2500年前的一天，毕达哥拉斯外出散步，经过一家铁匠铺，发现里面传出的打铁声响要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。他认真研究发现了音响的和谐与发声体体积的一定比例关系。后来，他又在琴弦上做试验，世界上第一次发现了音乐和数学的联系。他将两根质料相同的弦水平放置，使它们绷紧，并保持相同的张力．假定一 根弦的长度为1，另一根弦的长度为前者的
3
2
，然后使两根弦同时发音。若前者发的音是C ，则后者发的音是比前者高五度的G ；再
取后者长度的
3
2
，就得到比比G 高五度的音d1；如果把新弦长放大一倍，就得到D 。若长为1的弦发音是C ，则取该弦长的4
3
时，就
得到比之高四度的音F 。
◥◥【画一画】 阅读材料，请在下面框中画出琴弦，标注发音. ◥2.数字美：毕达哥拉斯学派与图形数
毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子表示数。因为他们在图形中研究数，所以这些数被称为图形数。 ◥◥【填一填】
（1）三角形数
（2）正方形数
（3）五边形数
（4）六边形数
◥3.图形美：毕达哥拉斯学派与毕达哥拉斯定理（勾股定理）
问题1据说，有一天，毕达哥拉斯去朋友家作客，他在朋友家的这 块地砖中发现了与三角形三边相邻的正方形面积有一种特殊的关系. 你发现了吗
?
问题2 如图，由毕达哥拉斯定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形。因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。请问最外圈的四个正方形的面积和有什么特殊性？ ◥◥【画一画】 画出毕达哥拉斯树.
◥4.逻辑推理美：毕达哥拉斯学派与无理数的发现
毕达哥拉斯学派中有一个数学家叫希帕索斯。他发现，边长为1的正方形，它的对角线却不能用整数之比来表达，并且他还证明表示对角线的这个数不是有理
数。他的发现触犯了毕达哥拉斯学派的“万物皆数（有理数）”的信条。于是，有人规定了一条纪律：谁都不准泄露这个秘密。天真 的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害(相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，愤怒的门徒把希帕索斯抛入大海)。但是，真理没有随着希帕索斯的被害而沉入海底。2的存在很快就引起 了数学思想的大革命。科学史上把这件事称为"第一次数学危机"，也让数学向前大大发展了一步。
◥◥【想一想】 以下就是数学家希帕索斯证明2是无理数的 过程，让我们感受一下2500多年前古人逻辑推理的严谨性，并以此向先贤致敬！ 证明：用反证法证明.
假设2是有理数，那么2可以表示一个分数的形式，即b
a
=2，其中，b a ,是正整数且互质（不能再约分）. 由b
a =
2得：_____=a 等号两边同时平方，可得：222b a = 思考1 怎样说明2
a 是偶数？请写出理由 思考2 如果2
a 是偶数，那么a 也是偶数吗？
思考3 假设c a 2=，c 也是正整数.把c a 2=代入等式2
2
2b a =，可得： ，化简，得： 可以看出：b 是 思考4 你能得出与假设矛盾的地方吗？
证明毕达哥拉斯定理
证明毕达哥拉斯定理 制作：有丘直方 毕达哥拉斯定理 222BC AC AB =+ 或者可以这么说： 直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——是不是很烦？ 中国人称这条定理为“勾股定理”，他们把直角三角形的两条直边的长度分别叫做“勾”和“股”，斜边就叫“弦”。这就简单多了： 直角三角形中的勾乘自己得到的积和股乘自己得到的积相加的和等于弦乘自己得到的积。 甚至可以更简单，因为如果用“勾”、“股”和“弦”的话，就不用画图了。这又是因为“勾”、“股”和“弦”只在直角三角形中出现。 222弦股勾=+ 简单不？中国人就是聪明，因为勾股定理比毕达哥拉斯定理早发现好多年，而且更简单。 证明毕达哥拉斯定理 首先，我们画一幅图： 啊，真乱。让我们先把重要的部分先择出来。 我们现在需要证明图中用蓝色的线表示的HDEG JAHI ABCD □□□=+（因为ABCD □是2AD 、JAHI □是2AH 、HDEG □是2HD ）。其中，用蓝色的粗线表示的形状就是我们图中最最重要的部分——直角三角形。图中用绿色的线表示的诸线段是辅助线，用绿色的虚线表示的线段都是很少时候才用到的辅助线。 根据定理，我们只要证明XDEF ABCD □□=且HXFG JAHI □□=就能证明HDEG JAHI ABCD □□□=+，因为HDEG HXFG XDEF □□□=+（这是肯定的）。
我们先不看JH 、ID 、AG 和HF ，这些线段暂时用不到。我们先证明XDEF ABCD □□=。 因为ABCD BCD □△21=且XDFE DEF □△2 1=，所以我们只要证明出BCD DEF △△=就可以推出XDEF ABCD □□=。这又是因为等号两边同时缩小2 1倍，这个等式还是成立。 现在，让我们先岔开一下，看看两个角——你会知道为什么我们要提到它们的。这两个角是：CDH ∠和ADE ∠。先看CDH ∠，它被AD 分成了两个角：CDA ∠和ADH ∠；再看ADE ∠，它被HD 分成了两个角：HDE ∠和ADH ∠。所以，?+=90∠∠ADH CDH （CDA ∠是直角，所以用?90代替）且?+=90∠∠ADH ADE （HDE ∠是直角，所以用?90代替）。看看这两条等式，你会发现其实ADE CDH ∠∠=！这很重要！ 让我们再看看两个三角形——你会知道为什么我们要提到它们的。这两个三角形是：CDH △和ADE △。先看CDH △，它的两条蓝色的边的长度分别是AD 和HD （AD 其实是CD 的长度，因为他们标了全等标记，所以CD 可以用AD 表示）；再看ADE △，它的两条蓝色的边的长度分别是AD 和HD （HD 其实是DE 的长度，因为他们标了全等标记，所以HD 可以用DE 表示）。比较一下CDH △和ADE △，它们有两条对应的邻边相等！因为当两个三角形中有两条对应的边相等且这两条边之间的夹角相等则这两个三角形全等，所以ADE CDH ≌△△（因为它们之间的夹角ADE CDH ∠∠=）。 我们接下来先看看CDH △与BCD △之间的关系。你发现了没？它们的面积是相等的！因为两个三角形，如果它们的底和高相等，那么它们的面积相等。如果它们的底的长度都是CD ，那么高的长度就都是BC （因为平行线之间的线段长度相等且CD BH ∥，CD BH ∥又是因为BH 和CD 都垂直于BC ） 。再看看ADE △与DEF △之间的关系。它们的面积也是相等的！因为它们的底和高相等。如果它们的底的长度都是DE ，那么高的长度就都是FE （因为平行线之间的线段长度相等且DE AF ∥，DE AF ∥又是因为AF 和DE 都垂直于FE ）。 那么现在……ADE CDH △△=且BCD CDH △△=且DEF ADE △△=。通过这 三条等式我们就可以推出BCD DEF △△=！那么让它们都被2 1除，就能得到XDEF ABCD □□=了！
毕达哥拉斯学派美学思想
毕达哥拉斯学派盛行于公元前六世纪，他们都是些数学家，天文学家和物理学家，当时希腊哲学的主要对象还是自然现象，毕达哥拉斯学派以及稍后的赫拉克利特都主要是从自然科学观点去看美学问题的。在自然科学中当时哲学家们有一个普遍的企图，就是在自然界杂多现象之中，找出统摄一切的原则或原素。毕达哥拉斯学派大半都是数学家，便认为万物最基本的原素是数，数的原则统治着宇宙中一切现象。这样把事物的一种属性(数)加以绝对化，仿佛把它看成一种先于一切而独立存在的东西，这就是客观唯心主义的萌芽。这个基本观点也影响到毕达哥拉斯学派对于美的看法。 他们认为美就是和谐。他们首先从数学和声学的观点去研究音乐节奏的和谐，发见声音的质的差别(如长短，高低，轻重等)都是由发音体方面数量的差别所决定的。例如发音体(如琴弦)长，声音就长，震动速度快，声音就高，震动速度慢，声音就低。因此，音乐的基本原则在数量的关系，音乐节奏的和谐是由高低长短轻重各种不同的音调，按照一定数量上的比例所组成的。这派学者是用数的比例来表示不同音程的创始人，例如第八音程是1：2，第四音程是3：4，第五音程是2：3。 从音乐里数量关系的研究中，毕达哥拉斯学派找到了一个辩证的原则，这个原则由这派门徒波里克勒特在他的《论法规》里这样加以转述： 毕达哥拉斯学派说(柏拉图往往采用这派的话)，音乐是对立因素的和谐的统一，把杂多导致统一，把不协调导致协调。
这是希腊辩证思想的最早的萌芽，也是文艺思想中“寓整齐于变化”原则的最早的萌芽。 毕达哥拉斯学派把音乐中和谐的道理推广到建筑，雕刻等其它艺术，探求什么样的数量比例才会产生美的效果，得出了一些经验性的规范。波里克勒特在前已提到的《论法规》里就记载了一些这样的规范。例如在欧洲有长久影响的“黄金分割”(最美的线形为长与宽成一定比例的长方形)就是这派发见的。他们也有时认为圆球形最美。这种偏重形式的探讨是后来美学里形式主义的萌芽。 这派学者还把数与和谐的原则应用于天文学的研究，因而形成所谓“诸天音乐”或“宇宙和谐”的概念，认为天上诸星体在遵照一定轨道运动之中，也产生一种和谐的音乐。苏联美学史家阿斯木斯在《古代思想家论艺术》的序论里评论这种概念说，“音乐和谐的概念原只是对一种艺术领域研究的结果，毕达哥拉斯学派把它推广到全体宇宙中去……因此，连天文学即宇宙学在这派看来，也具有美学的性质”。他们把天体看成圆球形，认为这也是最美的形体。这里可注意的是毕达哥拉斯学派把整个自然界看作美学的对象，并不限于艺术。 毕达哥拉斯学派还注意到艺术对人的影响。他们提出两个带有“神秘色彩的看法，一个是“小宇宙”(人)类似“大宇宙”的看法(近似中国道家“小周天”的看法)。他们认为人体就像天体，都由数与和谐的原则统辖着。人有内在的和谐，碰到外在的和谐，“同声相应”，所以欣然契合。因此，人才能爱美和欣赏艺术。另一个看法是人体的内在和谐可
关于毕达哥拉斯定理证明的论文
关于毕达哥拉斯定理的证明 业:XXXXX 姓名：XX 指导老师：XX 摘要:对于几何原本中毕达哥拉斯定理的证明过程，欧几里得以定义，公设，公理的方式进行推理，现将所有涉及毕达哥拉斯定理的证明命题提出。 关键词:毕达哥拉斯定理，定义，公设，公理。 正文： 定义：1.点是没有大小的东西 2. 线只有长度而没有宽带 3. 一线的两端是点 4. 直线是它上面的点一样地平放着的线 5. 面只有长度和宽带 6. 面的边缘是线 7. 平面是它上面的线一样地平放着 8. 平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度 9. 当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角. 10. 当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。 11. 大于直角的角称为钝角。 12 .小于直角的角称为锐角 13. 边界是物体的边缘 14. 图形是一个边界或者几个边界所围成的 15. 圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个 点所连成的线段都相等。 16. 这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。 17. 圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段， 且把圆二等分。 18. 半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。
19. 直线形是由直线围成的.三边形是由三条直线围成的，四边形是由四条直线围成的，多边形是由四条以上直线围成的? 20. 在三边形中，三条边相等的，叫做等边三角形；只有两条边相等的，叫做等腰三角形；各边不等的，叫做不等边三角形? 21. 此外，在三边形中，有一个角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；各边不等的，叫做不等边三角形? 22. 在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形；角是直角，但四边不全相等的，叫做长方形；四边相等，但角不是直角的，叫做菱形；对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的，叫做斜方形；其余的四边形叫做不规则四边形? 23. 平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.0 公理：1.等于同量的彼此相等 2. 等量加等量，其和相等； 3. 等量减等量，其差相等 4. 彼此能重合的物体是全等的 5. 整体大于部分。 公设: 1.过两点能作且只能作一直线； 2. 线段（有限直线）可以无限地延长； 3. 以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆； 4. 凡是直角都相等； 5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 作图证明： 1. 在一个已知有限直线上作一个等边三角形 设AB是已知直线 以A为圆心，以AB为距离画圆 以B为圆心，以AB为距离画圆 两圆交点C到A,B的来连线CA,CB ?/ AC=AB BC=BA ??? CA=CB=AB ???△ ABC是等边三角形
简述毕达哥拉斯定理的起源
几何学中，有着无数定理，毕达哥拉斯定理是其中最诱人的一个。毕达哥拉斯定理的历史最悠久、证明方法最多、应用最广泛，它是人类科学发现中的一条基本定理，对科技进步起了不可估量的作用。中世纪德国数学家、天文学家开普勒称赞说：“几何学中有两件瑰宝，一是毕达哥拉斯定理，一是黄金分割律。”在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。数学公式中常写作a2+b2=c2 “勾三股四弦五”是我们现在耳熟能详的“勾股定理”中的一个特例，它早在西汉的数学著作《周髀算经》中就已经出现，遗憾的是我们的祖先没有从这一特例中发现普遍意义，而拱手将这一定理的发现权及冠名权让给了古希腊著名数学家和哲学家毕达哥拉斯。他第一个用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。因而这条定理在西方以他的名字命名，被称为“毕达哥拉斯定理”。 大约在公元前572年，毕达哥拉斯出生在爱琴海的萨摩斯岛。自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学，后来因对东方的向往，游历了巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明，大约在公元前550年才返回希腊，创建了自己的学派。此后他一边从事教育，一边从事数学研究。 毕达哥拉斯定理是毕达哥拉斯一个最具代表的数学成就，关于这一定理的发现还有一个有趣的故事。相传，毕达哥拉斯应邀参加一次豪华聚会，不知道什么原因，大餐迟迟不上桌。善于观察和理解的毕达哥拉斯没有注意这些，而是被脚下规则、美丽的方形石砖所深深吸引，他不是在欣赏它们的美丽而是在思考它们和“数”之间的关系。于是，在大厅广之下，他蹲在地板上，拿了画笔在选定的一块石砖上以它的对角线为边画一个正方形，结果惊奇的的发现这个正方形的面积恰好等于两块砖的面积和。开始他以为这只是巧合，但当他爸两块砖拼成的矩形之对角线做另一个正方形时，这个正方形面积相当于5块砖的面积。这也就是说它等于以两股为边作正方形面积之和。后来，他又做了进一步演算，最终证明了“毕达哥拉斯定理”。 这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。历史上，印度、阿拉伯、日本、美国等许多国家和地区的数学家对毕达哥拉斯定理都有独到的研究。在探索定理证明的人海中，不但有数学家，还有物理学家、画家、政治家，甚至还有一位美国总统。美国第20届总统加菲尔德，在他当选总统的前5年还是一位议员。1876年，他在和其他议员一起做“思维体操”时，想出了一种证明毕达哥拉斯定理的方法，他的这一证法后来发表在《新英格兰教育月刊》上。总统证明毕达哥拉斯定理，成了数学史 上的一段佳话。 20世纪最伟大的科学家之一爱因斯坦，在中学时代对几何学 也是情有独钟。18岁的时候，爱因斯坦找到了毕达哥拉斯定理的 两种新证法。 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
试比较毕达哥拉斯学派、赫拉克利特和德谟克利特的美学思想
试比较毕达哥拉斯学派、赫拉克利特和德谟克利特的美学 思想 西方美学史的开端是古希腊罗马美学。古代的希腊罗马是欧洲文明的摇篮。西方近现代文化的各种观念，包括美学在内，都能在古代希腊罗马找到它的源头。古希腊罗马美学对整个西方美学的历史发展有着巨大而深远的影响。最早提出和研究美学问题的古希腊哲学家主要有毕达哥拉斯学派、赫拉克利特和德谟克利特等，他们对文艺发展做出了理论性的概括。 一、毕达哥拉斯学派的美学思想 毕达哥拉斯学派是由毕达哥拉斯于公元前6世纪在意大利南部的克罗顿创立的。主要贡献在哲学、数学、天文学、医学、美学等方面。其基本哲学观念是宇宙万物的本源是“数”，数虽然是无形的，但却能由心灵体会。他们认为数的原则是一切事物的原则，任何事物都可以用数描述出来并体现着某种数学关系，整个天体也体现着一种数的和谐，没有数便不能解释和认识这一切。从这个基本观点出发，毕达哥拉斯学派研究了艺术和美学，提出了美的本质就是和谐、美在对称和比例，以及音乐理论和艺术的心理净化作用等问题，建立了最早的美学理论。他们美学思想的主要特点就是从数量比例上着力探求艺术的形式美，从数的哲学出发对一切美学问题作出宇宙论的解释。 首先，他们提出了“和谐说”，毕达哥拉斯是一个几何学家,他把数看作事物生成和组织的原则，事物由数而显得美。数有比例、对称、节奏、韵律等和谐的特性,因此他认为,美来自和谐。“和谐是许多混杂要素的统一，是不同要素的相互一致”。秩序和匀称都是美的和有用的，无秩序和不匀称是丑的、无用的。“没有一门艺术不与比例有关，而比例正是存在于数之中。”他们特别重视音乐的和谐。在他们看来，凭借医学能够实现肉体，凭借音乐能够实现净化灵魂。音乐对人类来讲
勾股定理的证明方法
初中数学综合实践活动课 一、实践活动主题：勾股定理的证明方法 二、实践活动背景： 1、背景说明：此内容为学生提供自主活动、自主探索的机会，有助于积累数学活动经验、培养创新意识,从而获取知识与技能. 2、课题的意义：勾股定理的数学教育价值绝不仅仅是公理体系中的一环，一般的几何定理教学环节包括：发现定理、证明定理和应用定理。而勾股定理承载了太多，它是一个引导学生与数学史上智者们对话的绝佳契机。通过勾股定理的学习能够了解知识背后的数学文化和数学史，体验数学美，感受数学的无穷魅力。而且，勾股定理的研究是我国古代杰出数学研究成果之一，为世界所瞩目，获得高度评价，在勾股定理的学习过程中感受到能够感受到民族自豪感，激发爱国热情。 3、课题介绍:本次实践活动所研究的勾股定理，是直角三角形的一条非常重要的性质，它也是几何学中重要的定理之一。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。通过探索勾股定理的活动，体验由特殊到一般地探索数学问题的方法，尝试用数形结合来解决数学问题的思想。 三、实践活动目标： 1. 理解勾股定理的内容，知道勾股定理的五种重要证明方法，（赵爽弦图法、毕达哥拉斯证法、总统证法、青朱出入图法、欧几里得法）了解与勾股定理有关的一些数学史，体会数形结合. 2. 在勾股定理证明方法的赏析过程中感受数学文化，拓展思维，培养数学兴趣，感受数学美. 3. 在对勾股定理的独立自学、小组合作、展示交流过程中，逐步提高综合实践能力. 四、实践活动时间 五、学生特征分析 勾股定理的证明方法很多，本节课采用的是面积证法。首先由于前面没有系统学习面积证法，这种证明方法学生感到很陌生，尤其是觉得推理根据不明确不像证明，没有教师的启发引领，学生不容易独立想到。
毕达哥拉斯美学是什么
[键入文字] 毕达哥拉斯美学是什么 毕达哥拉斯美学是从毕达哥拉斯学派的核心思想：万物的本原是“数”延伸出来的。它的总体要义表现在：数的和谐。所以，追求和谐成为了毕达哥拉斯学派的最高美学思想，这也是影响了西方和谐思想数百年的精神源泉。 由于其源于数的美学思想，所以毕达哥拉斯美学有一种理性的思想在里面。它将世间万物用一种数学的方式来表达，用数学之间的数字关系，比例关系。来创造或者说是规定一种美的现象。 就如毕达哥拉斯美学里的音乐，也是用一种数学的关系来表现音乐的和谐和优美。毕达哥拉斯用一种数学的关系来规定音乐的长短、粗细和音高的关系。并创造了一种音乐方面的学问——音程学。在音乐的这门学问中，毕达哥拉斯美学发现了弦长和音乐的数字关系，并因此得到了一种准确的音乐的协调搭配的功能和关系。对于之后的音乐学的发展起到了很好的指导作用。 同时，毕达哥拉斯学派的美学体现也应用在了建筑、天体上。毕达哥拉斯的黄金比例分割理论、勾股定理等理论对于在建筑、天文学等领域都有很好的指导，而其美学的和谐思想更加体现在人与自然和共融和谐上。因为毕达哥拉斯认为，人只有和自然、和艺术和谐了，人们才会懂得自然之美，懂得艺术之美。而自然和艺术的美丽也在一定程度上陶冶和熏陶了人们，达到了一种和谐的促进作用。 古希腊毕达哥拉斯主义 毕达哥拉斯主义主要是毕达哥拉斯流派里的一种宗教哲学观点。毕达哥拉斯早年在埃及、古巴比伦、古印度等地留学。深受各地的宗教思想的影响，在其游学回归故乡之后创立了毕达哥拉斯学派，并且将其在外所见所闻也带了回来，并将其思想、哲学等广为传播，成为后世所称的毕达哥拉斯主义。 毕达哥拉斯的学派教义在于其性质是一种用意在于改革社会道德价值观的一种宗教 1
勾股定理毕达哥拉斯定理及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理 命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 。 勾股定理的逆定理 命题2如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 【证法1】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每 个直角三角形的面积等于2 1ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB. ∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o， ∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o. ∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于. ∴ ∴. 【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等. 即，整理得. 【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC. ∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o. ∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于 .又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于
毕达哥拉斯
毕达哥拉斯 毕达哥拉斯 毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC?—497 BC?)古希腊数学家、哲学家。无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及（有争议），吸收了阿拉伯文明和印度文明(公元前480年)。 数的艺术 毕达哥拉斯学派认为“1”是数的第一原则，万物之母，也是智慧；“2”是对立和否定的原则，是意见；“3”是万物的形体和形式；“4”是正义，是宇宙创造者的象征；“5”是奇数和偶数，雄性与雌性和结合，也是婚姻；“6”是神的生命，是灵魂；“7”是机会；“8”是和谐，也是爱情和友谊；“9”是理性和强大；“10”包容了一切数目，是完满和美好。 毕达哥拉斯的黄金分割：(a:b=
毕达哥拉斯
毕达哥拉斯及其美学思想 【摘要】：毕达哥拉斯作为欧洲史上著名的哲学家，在美学和数学方面有很深的造诣，作出重大贡献，对后世影响深远。 【关键词】：毕达哥拉斯学派，美学，数与世界，和谐，宇宙，音乐 毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC?—497 BC?)古希腊数学家、哲学家，是西方最早提出勾股定理的人。他广招门徒，建立合宗教、哲学、政治为一体的团体——毕达哥拉斯同盟，毕达哥拉斯学派。他主张万事皆数，将数看做世界的本原。无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学，万事万物背后都有数的法则在起作用的。 一、数与世界 一般认为，数是非物质性的。但是，在毕达哥拉斯看来，数是先于人们认识的东西，数虽然不能独立存在，但感性实体却由它构成。数不仅是事物的本质，也是事物的实体，是真正的实在。万物的本原是1。从1产生出2，1则是原因，2是从属于1的不定的质料。从完满的1与不定的2中产生出各种数。从数产生出点：·，一元；从点产生出线：——，二元；从线产生出面：△，三元；从面产生出体：?，四元；从体产生出四种元素：水、火、土、气。这四种元素以各种不同的方式相互转化，产生出感觉所及的一切形体，于是创造出有生命的、精神的、球形的世界。 这里所描述的宇宙发生过程，似乎只是一种逻辑的推演，类似于数学的演算。凡数所具有的特性，万事万物也应该具有。例如，土为立方体，火为4面体，气为8面体，水为24面体。人类的精神方面也构成了一些数的关系，例如：理性为1，正义为4，爱情为8。数有奇偶，奇数不能用2整除。因此，奇数与偶数的关系，也构成了一种有限与无限的本质关系。凡数以1为基础，1即绝对的和谐，也就是神，是奇偶数，2是对立的关系（有限与无限、奇与偶、一与多、左与右、阴与阳、静与动、直与曲、明与暗、善与恶、正方与长方）。 一切其他事物都表明，其整个的本性乃是对数的模仿。在整个自然界，数是第一位的。所以他们便认为数的元素就是万物的元素，这个天界不过是和谐与数而已。一切可认识的事物都包含着数；没有数任何事物都不可能被思维或被认识。 二、和谐（harmony）是宇宙的本质特征 宇宙的本质是和谐，宇宙自身应该是以和谐的方式构成的，而合乎规律与和谐的形状是球形：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”所以，宇宙就应该是球形的。在所有数字中，10是个极为玄妙、神圣、完满的数字。因为：1+2+3+4=10。按照这个等式，如果我们用10个石子从1开始，每行递增，排成4行，就形成一个完满的“三角形”数。 另外，在音乐中1比2得8度音，2比3得5度，3比4得4度，他们认为这三种和谐的比例：1：2，2：3，3：4，正好与1+2+3+4=10这个等式有种数字上的相符，因此这三种和谐统一于10这个数中。由此，他们认为我们的宇宙应该是符合10这个最完满的数目。 他们根据当时的天象观察和天文学理论，认为宇宙的中心是中心火（或称“世界的炉灶”等），火能够给整个大地以生命，使冷却了的东西再温暖起来。其余
2017中考数学考前突击：毕达哥拉斯定理
2017中考数学考前突击：毕达哥拉斯定理 2017中考数学考前突击：平面几何的六十个定理1、勾股定理(毕达哥拉斯定理) 2、射影定理(欧几里得定理) 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、三角形的三条高线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四
边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 精心整理，仅供学习参考。
毕达哥拉斯
毕达哥拉斯 最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派、他们特别重视数学，企图用数来解释一切、宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探究自然的奥秘、他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五那个数、这在今天看来是特别平常的事，但在当时的哲学和有用数学界，这确实是一个巨大的进步、在有用数学方面，它使得算术成为可能、在哲学方面，那个发明促使人们相信数是构成实物世界的基础、毕达哥拉斯定理——勾股定理 毕达哥拉斯本人以发明勾股定理(西方称毕达哥拉斯定理)著称于世、这定理早已为巴比伦人和中国人所知(在中国古代大约是战国时期西汉的数学 著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话、商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五、”商高那段话的意思确实是说：当直角三角形的两条直角边分别为3〔短边〕和4〔长边〕时，径隅〔确实是弦〕那么为5、以后人们就简单地把那个事实说成“勾三股四弦五”、这确实是中国闻名的勾股定理.)，只是最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯、他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理(勾股定理)、 整数的变化 毕达哥拉斯和他的学派在数学上有特别多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣、例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28，496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数；将小于其因数之和的数称为亏数、 几何的其他贡献 在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发明了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体、
关于毕达哥拉斯定理证明的论文
关于毕达哥拉斯定理的证明 专业：××××× 姓名：×× 指导老师：×× 摘要：对于几何原本中毕达哥拉斯定理的证明过程，欧几里得以定义，公设，公理的方式进行推理，现将所有涉及毕达哥拉斯定理的证明命题提出。 关键词：毕达哥拉斯定理，定义，公设，公理。 正文： 定义：1. 点是没有大小的东西 2.线只有长度而没有宽带 3.一线的两端是点 4.直线是它上面的点一样地平放着的线 5.面只有长度和宽带 6.面的边缘是线 7.平面是它上面的线一样地平放着8. 平面角是在一平面内但不在一条 直线上的两条相交线相互的倾斜度. 9. 当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角. 10. 当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。 11. 大于直角的角称为钝角。 12. 小于直角的角称为锐角 13. 边界是物体的边缘 14. 图形是一个边界或者几个边界所围成的 15. 圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。 16. 这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。 17. 圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。 18.半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。
19.直线形是由直线围成的.三边形是由三条直线围成的,四边形是由四条直线围成的,多边形是由四条以上直线围成的. 20.在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形. 21.此外,在三边形中,有一个角是直角的,叫做直角三角形;有一个角是钝角的,叫做钝角三角形;各边不等的,叫做不等边三角形. 22.在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形. 23.平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.0 公理：1.等于同量的彼此相等 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等 4.彼此能重合的物体是全等的 5.整体大于部分。 公设: 1.过两点能作且只能作一直线； 2.线段(有限直线)可以无限地延长； 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆； 4.凡是直角都相等； 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 作图证明： 1.在一个已知有限直线上作一个等边三角形 设AB是已知直线 以A为圆心，以AB为距离画圆 以B为圆心，以AB为距离画圆 两圆交点C到A,B的来连线CA,CB ∵AC=AB BC=BA ∴CA=CB=AB ∴△ABC是等边三角形
毕达哥拉斯之和谐理论
毕达哥拉斯讲的和谐最基本的意思是指音乐里面的那种和谐，像两个相隔八度的乐音连在一起，听起来就觉得很和谐，还有四度和音、五度和音等等。毕达哥拉斯觉得，既然音乐能打动人的灵魂，那么灵魂里面也应该有同样的和谐，而灵魂又具有理解整个宇宙以及其中的一切事物的能力，所以整个宇宙和宇宙万物也必定是具有同样的和谐性的。所以他认为，如果能够揭示出音乐里面的这种和谐的根源，那也就发现了宇宙万物的和谐的根源，人们就可以凭借这个根源更好地理解一切事物，从而更好地治理城邦，让所有人过上更好的生活。于是他致力于研究音乐，他发现，如果把一条琴弦分成两部分，这两部分的比例可以表达为两个整数的比，那么这两部分发出的声音就是和谐的，比如说八度音就是1:2的比例，四度音是4:3，五度音是3:2。因此，毕达哥拉斯认为和谐的根源就是数的比例关系，由此他提出了著名的“万物皆数”的论断，认为宇宙万物都是数，所以万物的关系都是数的比例关系，因而是和谐的。他用数的比例关系去解释一切自然现象和社会现象，比如行星的运动、人体的健康、城邦的治理等等，取得了很多成果。毕达哥拉斯的和谐思想是人类历史上最早的一种企图用数学去解释自然的思想体系，后来对近代自然科学的诞生起到了非常重要的推动作用。 四、和谐的数量关系与宇宙美的生成机制 毕达哥拉斯学派认为，数量关系是先于现实世界而存在，是一种超验的存在，是属于彼岸世界的东西。它为现实是和艺术世界提供原则、数据、模式、范形，使之生成和谐之美。也就是说，在毕达哥拉斯学派那里，此岸是和彼岸世界的同构性、对应性统一，是一种根本性的、整体性的和谐，是审美的极致。而彼岸世界的数的原则、数量关系是神规定的，此岸世界的事物具备协调、适宜的数量关系是神的安排与旨意。在毕达哥拉斯学派的美学理论体系中，神的概念超越数的概念成为最高层次，成为和谐的终极根源。于是，和谐的数量关系就潜在地框架与预定了万物的和谐。这点，其实是在谈万物和数的关系：万物究竟是如何由数派生的？神规定了数，而数又是万物的范型，万物是数的摹本。一定的数目，构成一定数量关系的框架，成为和谐的数目范型，供万物模仿，进而造成万物的贺喜饿。如：5：8的数量关系构成一种和谐的数目范式即黄金分割定律的范式，它物一经模仿就生成了和谐。具有和谐的数量关系的数目范式，作为一种文化的、审美的原型，是先于摹本而存在的，这点与后来柏拉图的理念说说有很大的相似之处。 于上，我们可以知道，毕达哥拉斯学派认为：数量关系的和谐是造就一切美、一切和谐事物的普遍规律。自然的、人的、艺术的以及审美主体与审美对象的和谐莫不如是。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a 2 + b 2= c 2的正整数组(a ,b ,c )。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。 勾股定理的逆定理 命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。 【证法1】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 2 1 ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于 . ∴ ∴ . 【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即， 整理得 .
费尔马大定理及其证明
费尔马大定理及其证明 近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。 300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。 费尔马大定理的由来 故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。 1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程 x^2＋ y^2 ＝z^2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。” 费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如x^n+y^n=z^n的方程，当n大于2时没有正整数解。 费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。是的一个特例。约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。“”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。(3,4,5)就是。也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理 命题1如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 。 勾股定理的逆定理 命题2如果的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 【证法1】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每 个直角三角形的面积等于2 1ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB. ∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o， ∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o. ∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于. ∴ ∴. 【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等. 即，整理得. 【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC. ∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o. ∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于 .又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ∴.∴.
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派 目录 什么是毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯学派的研究方向 毕达哥拉斯的科学影响 毕达哥拉斯学派起源 毕达哥拉斯学派发展史 毕达哥拉斯学派的学术研究历史 毕达哥拉斯学派的当代研究 Pythagorean [编辑本段] 毕达哥拉斯学派亦称“南意大利学派”，是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织。古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立。产生于公元前6世纪末，公元前5世纪被迫解散，其成员大多是数学家、天文学家、音乐家。它是西方美学史上最早探讨美的本 质的学派。 [编辑本段]
毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万 物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序；由此他们提出了“美是和谐”的观点，认为音乐的和谐是由高低长短轻重不同的音调按照一定的数量上的比例组成，“音乐是对立因素的和谐的统一，把杂多导致统一，把不协调导致协调。”这是古希腊艺术辩证法思想的萌芽，也包含着艺术中“寓整齐于变化”的普遍原则。他们认为天体的运行秩 序也是一种和谐，各个星球保持着和谐的距离，沿着各自的轨道，以严格固定的速度 运行，产生各种和谐的音调和旋律，即所谓“诸天音乐”或“天体音乐”。他们还认为，外在的艺术的和谐同人的灵魂的内在和谐相合，产生所谓“同声相应”，认为音乐大致有刚柔两种风格，对人的性格和情感产生陶冶和改变，强调音乐的“净化”作用。 他们偏重于美的形式的研究，认为一切平面图形中最美的是圆形，一切立体圆形 中最美的是球形。据说他们最早发现了所谓“黄金分割”规律，而获得关于比例的形式 美的规律。 毕达哥拉斯学派的美学观点是客观唯心主义的，对柏拉图、新柏拉图主义及文艺[编辑本段] 复兴时期的艺术家产生了深远影响。 提起“勾股定理”。人们便很容易与毕达哥拉斯联系起来，西方数学界一般把“勾股定理”叫做“毕达哥拉斯定理”。但据本世纪对于在美索不达米亚出土的楔形文字泥板书所进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前1000多年的古代巴比伦人就已经知道