浙江大学小波变换及工程应用复习题

小波分析复习题

1、简述傅里叶变换、短时傅里叶变换和以及小波变换之间的异同。 答：三者之间的异同见表

2、小波变换堪称“数学显微镜”，为什么？ 答：这主要因为小波变换具有以下特点：

1）具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗及精地逐步观察信号；

2）也可以看成用基本频率特性为)(ωψ的带通滤波器在不同尺度a 下对信号作滤波；

如果)(t ϕ的傅里叶变换是)(ωψ，则)(a

t ϕ的傅里叶变换为)(||a

a ω

ψ，因此这组滤波

器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。a 越大相当于频率越低。

3）适当的选择基本小波，使)(t ϕ在时域上位有限支撑，)(ωψ在频域上也比较集中，便可以使WT 在时、频两域都具有表征信号局部特征能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。 4）如)(t x 的CWT 是),(τa WT x ，则)(λt

x 的CWT 是),(

λ

τ

λλa WT x ；0>λ

此定理表明：当信号)(t x 作某一倍数伸缩时，其小波变换将在τ,a 两轴上作同一比例的

伸缩，但是不发生失真变形。 基于上述特性，小波变换被誉为分析信号的数学显微镜。

3、在小波变换的应用过程中，小波函数的选取是其应用成功与否的关键所在，请列举一些选择原则。

答：选择原则列举如下：（也即需满足的一些条件和特性） 1）容许条件

当⎰∞

+∞-∞<=ωω

ωψϕd c 2

)

(时才能由小波变换),(τa WT x 反演原函数)(t x ，ϕc 便是对

)(t ϕ提出的容许条件，若∞→ϕc ，)(t x 不存在，由容许条件可以推论出：能用作基本小

波)(t ϕ的函数至少必须满足0)(0==ωωψ，也就是说)(ωψ必须具有带通性质，且基本小波

)(t ϕ必须是正负交替的振荡波形，使得其平均值为零。

2）能量的比例性

小波变换幅度平方的积分和信号的能量成正比。 3）正规性条件

为了在频域上有较好局域性，要求),(τa WT x 随a 的减小而迅速减小。这就要求)(t ϕ的

前n 阶原点矩为0，且n 值越大越好。也就是要求⎰

=0)(dt t t p ϕ，n p ~1:，且n 值越大越好，

此要求的相应频域表示是：)(ωψ在0=ω处有高阶零点，且阶次越高越好（一阶零点就是容许条件），即)()(01

ωψω

ωψ+=n ，0)(00≠=ωωψ，n 越大越好。

4）重建核和重建核方程

重建核方程说明小波变换的冗余性，即在τ-a 半平面上各点小波变换的值是相关的。 重建核方程：τττττϕ⎰

⎰∞

+∞

∞-=0

00200),,,(),(),(a a K a WT a

da a WT x x ；

重建核：><==

⎰)(),(1)()(1),,,(0000*

00t t c dt t t c a a K a a a a ττϕ

ττϕϕϕϕϕϕττ 4、连续小波变换的计算机快速算法较常用的有基于调频Z 变换和基于梅林变换两种，请用

框图分别简述之，并说明分别适合于什么情况下应用。 答：

1）基于调频Z 变换

),(2a j a n

j

e A e

W ππ--==

运算说明：

a ．原始数据及初始化：原始数据是)(k ϕ（1~0-=N k ）和a 值，初始化计算包括

a j e A π-=和a n

j

e

W π2-=。

ϕ ---

12)(2N k r )2(am N π 12~2--N

N

对应于：1~0-=N r

b ．计算)(k g 和)(k h ：

2

2)()(k k W

A k k g -⋅=ϕ，1~0-=N k ；

2

2)(k W

k h -=，1~1-+-=N N k 。

c ．为了调用FFT 程序把)(k g ，)(k h 改成L 点（L 是2的整幂，L>2N-1）的数组)('k g ，

)('k h ：

⎩⎨

⎧-+-=-==1~1 ,01~0

),()('N N k N k k g k g

⎪⎩

⎪

⎨⎧-+-=--=-==1~1),(~ ,01~0 ),()('L N L k k L h N L N k N k k h k h

延长到L 点并补零是为了使DFT 的圆周卷积计算结果等于所需要的线性卷积。 d ．调用L 点FFT 程序：

由)('k g 得到1~0),(-=L m m G ； 由)('k h 得到1~0),(-=L m m H ； e ．求1~0),()()(-==L m m G m G m Y ；

f ．将)(m Y 作反演FFT ，且只取1~0-=L r 各点：

)()(r y m Y IFFT −−→−，只取1~0-=N r

g ．2),(22

2

N r m r y W am N r -==⎪⎭

⎫

⎝⎛πψ

⎪⎭

⎫

⎝⎛am N πψ2求得后，取共轭，与⎪⎭⎫

⎝⎛m N X π2逐点对应相乘，再作N 点IFFT 并乘以a 便得到所需要的1~0),(-=N k k a WT x ，。 2）基于梅林变换

),(τa x

分别计算)(τ+b

e

x ，）（b b e e ϕ对b 的IFT ，得到)(1βM 和)(*

2βM ，将两者相乘

后再对)()(*

21ββM M 作FT ，便可求得),(τa WT x ，即

)]()([),(*

21ββτM M FT a a WT x ⋅=

适用范围：

1）基于调频Z 变换：当需要对尺度a 作更细致的划分，此时a 又不是2的整幂，它可能是分数或无理数，这种情况下按2的整幂离散求和计算WT 是困难的，此时可以通过调频Z 变换来快速进行这一计算，所需原始数据只是原始采样序列)(),(n n x ϕ，无需插补新值。

2）基于梅林变换：在一段较短的时间内，通过比较x WT 多个尺度下的表现来表征)(t x 中持续时间较短的瞬态或信号某些奇异点，这主要由于梅林变换的算法，能一次算出某一固定时

刻0τ下一组不同尺度的),(0τn

x q a WT =，q 为某一常数，n=0，1，2，……

5、为什么说连续小波变换的信息是冗余的？为减小其信息的冗余度，可采用离散栅格的方法予以改善，但会带来信息失真的弊端，请问如何尽量避免这种失真？

答:这是因为对于任何一个尺度因子和平移因子τ的小波，与原信号内积，所得到的小波系数都可以表示成在a ，τ附近生成的小波投影后小波系数的线性组合，所以说连续小波变换的信息是冗余的。 可以通过标架进行原函数x 的重建：

1）小波标架的定义：当由基本小波)(t ϕ经伸缩与位移引出的函数族

],),2(2[2

Z k Z j k t t j j

jk ∈∈-=+--ϕϕ）

（具有下述性质时，便称],|[Z k Z j t jk ∈∈+）（ϕ构成一个标架：

∑∑≤><≤j

k

jk x B x x A 2

2

2

,ϕ，且∞<<

2）信号的重建，对于紧标架：

∑∑=>

k

jk x A x 2

2

,ϕ，则

∑∑∑∑=><=

j k

k j x k

j j k k j t k j WT A t x A t x )(),(1

)(,1)(,,,ϕϕϕ 又因为在),(00k j 处的WT 为dt t t x k j WT k j x ⎰

=)()(),(*0000ϕ

将上一式代入下一式子，得：

∑∑∑∑⎰⎰∑∑=

==j k

x j k k j j x j k jk x x k j WT k j k j K A dt t t k j WT A dt t t k j WT A k j WT k j ),(),;(1

)()(),(1)(])(),([1),(0,0**00000

00ϕϕϕϕϕ

式中，⎰

>=<=)(),()()(),;(0000*0,0t t dt t t k j k j K k j jk k j jk ϕϕϕϕϕ

当),(),;,(0000k k j j k j k j K --=δ时，信息没有冗余，此时各)(t jk ϕ互相正交。

6、请利用函数空间剖分理论说明从第j-1级到j 级分辨率的信号分解过程，并建立同小波变换之间的关系。

答：1）函数空间逐级剖分：

把空间做逐级二分解，产生一组逐级包含的子空间：……，110W V V ⊕=，221W V V ⊕=，

……，11++⊕=j j j W V V ，j 是从∞-到∞+的整数，j 值越小空间越大，而且剖分是完整的。

当-∞→j 时，)(2

R L V j →，包含整个平方可积的实变函数空间。在逐级包含的条件

下，上式等效于：

z

j j

R L V

∈=)(2

当+∞→j 时，〉〈→0j V ，即空间剖分最终到空集为止。在逐级包含的条件下，上式

等效于：

z

j j

V

∈〉〈=0

上述剖分方式显然保证了空间j V 与空间j W 正交，且各j W 之间也正交：

j j W V ⊥

进一步要求剖分还具有以下两项特性：

（1）位移不变性：函数的时移不改变其所属空间。即：j V t x ∈)(，则

j V k t x ∈-仍)(

（2）二尺度伸缩性：如j V t x ∈)(，则1)2

(+∈j V t

x ，1)2(-∈j V t x 。

2）对各子空间内的结构做进一步分析

（1）子空间0V ：设0V 中有低通的平滑函数)(t φ，他的整数位移集合>

∈-

)'()'(),(k k k t k t -=〉--〈δφφ或)'()(),('00k k t t k k -=〉〈δφφ。

式中)(0t k φ是)2(2

1)(2

/k t t j j jk -=-φφ在0=j 时的退化形式，也就是)(k t -φ。

0V 中的任意函数必可表示为>∈

投影，则必有：∑=

k

k

k t x

t x P )()(0)0(0φ，由此可得

〉〈=〉〈=)(),()(),(000)0(t t x t t x P x k k k φφ

子空间1V ：)'()(),('11k k t t k k -=〉〈δφφ，∑=

k

k

k t x

t x P )()(1)

1(1φ，那么

〉〈=〉〈=)(),()(),(111)1(t t x t t x P x k k k φφ

子空间1W ：1W 中任意函数可表示为>∈

k

k k t d

t x )()(1)1(ϕ，且权重〉〈=〉〈=)(),()(),(111)1(t t x t t x D d k k k φφ。

3）以上讨论可以推广到1-j V 与j V ，j W 之间，即：

〉∈-=〈-z k k t t j j jk );2(21)(2

/φφ必是j V 中的正交归一基。

〉∈-=

〈-z k k t t j

j jk );2(2

1

)(2

/ϕϕ必是j W 中的正交归一基。 也就是)'()(),()(),(''k k t t t t jk jk jk jk -=〉〈=〉〈δϕϕφφ，且 〉〈==-----∑)(),(,)()(,1)

1(,1)1(1t t x x t x t x P k j j k k

k j j k j φφ

〉〈==∑)(),(,)()(,)()(t t x x t x t x P k j j k k

jk j k j φφ

〉〈==∑)(),(,)()()()(t t x d t d t x D jk j k k

jk j k j φφ

又

)()()(1t x D t x P t x P j j j +=-

)(t x P j 是)(t x 在j V 中的投影，也就是)(t x 在分辨率j 下的平滑逼近，）

（j k x 是其离散逼近。

)(t x D j 是)(t x 在j W 中的投影，反映)(1t x P j -，)(t x P j 两平滑逼近间的细节差异。而且离散

值)

(j k d 就是小波变换),(k j WT x 。 4）建立与小波变换之间的关系

多分辨率分析核心是0V ，0W 空间的正交归一基z k k t k t ∈--),(),(ϕφ，只要他们是

已知的，就可逐级进行，要找到这两租正交归一基，其关键是找到合适的尺度函数)(t φ和小波函数)(t ϕ。

二尺度差分方程：

10-⊂∈j j j V V φ，（正交归一基）{

}z k k j ∈-,,1φ，k j z

k k j h ,100-∈∑=φφ得，

∑∈--=z

k j k j k h t )21

(2)2(

10φφ。

10-⊂∈j j j V W ϕ，k j z

k k j h ,110-∈∑=φϕ，于是)21

(2)2(

11k h t j z

k k j -=-∈∑φϕ 当j=1时，有

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-=-=∑∑∈∈z k k

z

k k k t h t k t h t

)

(2)2

()(2)2(10φϕφφ推得⎩⎨⎧〉〈=〉〈=k k k k h h 01010100,,φϕφφ

7、列举双通道多采用滤波器的理想重建条件，请问为什么？ 答：双通道多采样滤波器组分解与重建过程中的典型环节如下：

其输入与输出之间的关系：

)()]()()()([2

1

)()]()()()([21)()()(1100110010z X z G z H z G z H z X z G z H z G z H z Y Z Y z Y --+-++=+=

只要该典型环节的输入输出能满足)()(k n x n y -=，也就是k

z

z X z Y -=)()(，则重建

后除有一延迟外，重建波形没有失真。而且这样的典型环节多级嵌套后，只要各路引入适当

延迟，波形仍不会失真。

于是，

1）为了消除映像)(z X -引起的混叠，则由)(z X 与)(z Y 之间的关系，得

0)()()()(1100=-+-z G z H z G z H

2）为了使)(z Y 成为)(z X 延迟，则k

cz

z G z H z G z H -=+)()()()(1100，式中c 是一个无

关大局的常数，k 是整数，当各滤波器的冲击响应阶次N 都相等时，常取k=N 。

8、信号分解在Mallat 算法使用下的基本过程，以及实际应用中应注意哪些事，谈谈尺度加密的策略。（P58&&P62） 答：基本过程：

1）导出)

0(k x 与)

1(k x ，)

1(k d 间的基本关系：

)(n y

离散平滑逼近：∑-=

n

n

k n k x

h

x )

0()2(0)

1(，

离散信号细节（也就是小波变换）：∑-=n

n

k n k x

h

d )

0()2(1)

1(，

其中，

⎰-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

〉〈=dt k t t t t h k k )(221)(),(*

0100φφφφ； ⎰-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

〉〈=dt k t t t t h k k )(221)(),(*

0101φϕφϕ 2）导出由)

0(k x 与)

1(k x ，)

1(k d 的网络结构：

该图表示0V 到1V ，1W 的分解过程，)1(k d 就是),(k j WT x 。 3）逐级引申：

可以对)

1(k x 作由1V 到2V ，2W 的类似分解，得到)

2(k x 和)2(k d ，而且可以证明所需电路的

结构不变，且滤波器的系数不变。类似结构可以重复推演下去。 应注意的问题：

1）初始化问题，即如何求出)

0(k x 。

最初输入的)

0(k x 如何得到，如根据Shannon 采样定理，)(t x 与各采样值)(n x 的关系

是：∑-=

n

n t c n x t x )(sin )()(，由此可得

∑⎰∑⎰--=--=n

n

k dt k t n t c n x dt k t n t c n x x )()(sin )()()(sin )()0(φφ

但是此式严格计算)

0(k x 过于繁琐。一种折中的近似办法是把c sin 函数近似看成δ函数，可

将上式蜕化成：∑∑⎰-=--=

n

n

k k n n x dt k t n t n x x )()()()()()

0(φφδ。

2）离散栅格的加密，即如何求出)

0(k x 和τ,a 的加密：

（1）由于每一级后数据减少一半，因此j 越大，)(j k x ，)

(j k a 数据越稀以致难以看清波形

的全貌；

（2）20=a ，意味着以2为分频基数，实际工作时往往需要加大尺度方向的栅格密度。

)1(k

)

1(k

尺度加密的策略：令)1,1,0(2

-⋯==-

M m a M

m j ，，只要计算出M

m a 2

=，

1,1,0-⋯=M m ，各点处的小波变换（基于梅林变换的CWT 快速算法可以可用来实现这一

目的）。时间间隔τ∆并不随M

m a 2=而变，用的始终是j a 2=情况下的时间间隔。

论文相关：

1、为什么实施小波分析？ 答：利用超声显微镜来检测半导体的裂纹及分层是常用的非破坏性的检测方法。但是对于封装非常小的半导体芯片，其印模的顶层和底层的超声回波会产生叠加。利用解卷积技术可以解决这一问题，但是解卷积技术只有在发射回波和反射回波相似时才适用。所以这里主要在解卷积之前使用小波分析。

2、如何实施小波分析？

答：先用小波变换，对反射信号进行树形分解。这样，反射信号就被分解成若干概貌和若干个细节。我们可以选择一个概貌，对其进行反卷积，由于所选择的概貌部分的波形都是彼此相似的，所以这里可以有效地适用反卷积技术。这里所使用的母小波类似于实际传输的SAM 信号。