原码、补码、反码、有符号数、无符号数概念

原码、补码、反码、有符号数、无符号数

https://www.360docs.net/doc/b54514522.html,

原码、补码和反码

在计算机里如何表示整数？

整数有无穷多个，在计算机里，通常我们只能表示出其中的一部分。假如我们用n 个比特来表示一个整数。1 个比特有 2 个状态，n 个比特就有 2^n 个状态，把这 2^n 个状态的集合记为 A. 显然，用A，我们可以与 n 个整数建立起一一对应。我们还希望 A 所表示的整数能够象整数那样地运算---整数，象整数那样运算，这是不是一句废话？数学中的整数相加，仍然是一个整数，但 A 里两个整数相加，我们却无法保证它们的和仍在 A 中，用代数的术语来讲，叫做"不满足封闭性"，这是个很坏的性质。

一、补码

不过数学上有处理这个问题的成熟方案，如果我们能后退一步，让 A 表示的是模 |A| 的剩余类，则加法运算马上就封闭了。而且这个时候 A 不仅可以与 2^n 个整数对应起来，而且，在某种意义下，可以与整数环 Z 对应起来。用代数的观点，这个"某种意义"就是所谓的同态。

整数有两种封闭运算，一种是加法，另一种是乘法。A 作为模 2^n 的剩余类，也有加乘两种运算。定义 Z 到 A 的映射

f(x) = m mod 2^n

f 是一个同态，也就是说，f 满足这样的良好性质：

f(x+y) = f(x) + f(y)

f(xy) = f(x)f(y)

我们通常使用 10 进制数，在这个进制下，f(x) 并不容易计算，但是在计算机里，本质的表示是二进制，于是 f(x) 的运算变得出奇地简单。如果 x 小于 2^n，则x 的 2 进制表示就是 f(x)，如果 x>=2^n，则要求其模 2^n 的余数，这恰好是x 二进制表示的最低 n 位，换句话说，简单地把高位抛弃就行了。顺便指出，f(0)=0, f(1)=1.

我们来看一看 A 中的加法，f(x)+f(y), 若结果小于 2^n，则运算自然封闭，如果f(x)+f(y) >= 2^n，则取其最低的 n 位，用电路实现时，可以简单地扔掉高位，保留低位。

到目前为止，一切都很好，但是减法怎么办呢？对整数运算而言，减去 a 不过是加上 a 的相反数的同义语。只要对 A 中的每个元素，能容易计算出其相反数就可以了。理论上 f(x) 的相反数就是

f(-f(x))

不过这个好像不容易计算，因为我们现在并没有给出 A 中"负数"的概念，事实上 A 是模 2^n 的剩余类环，根本就没有所谓的负数。

这个困难也是容易处理的。作为 f(x) 的相反数，-f(x) 应该满足这样的性质：

-f(x) + f(x) = f(0) = 0

所以我们只要有在 A 中找一个元素，使得它与 f(x) 的和是 0 就可以了。但是f(x) 本身可能含有很多比特1，加上一个数能使它们变成 0 吗？考虑到 A 中的加法要模去一个 2^n，这个问题实际上很好办，只要让求出的和是 2^n 就可以了。所以难发现 -f(x) 就是把 f(x) 的比特"取反"---即 0 变1， 1 变0，并加上 1 就得到了 -f(x)。容易验证：

f(-x) = - f(x).

现在我们回过头来看前面的一句话，红色部分：

"我们通常使用 10 进制数，在这个进制下，f(x) 并不容易计算，但是在计算机里，本质的表示是二进制，于是 f(x) 的运算变得出奇地简单。如果 x 小于 2^n，则 x 的 2 进制表示就是 f(x)，如果 x>=2^n，则要求其模 2^n 的余数，这恰

好是 x 二进制表示的最低 n 位，换句话说，简单地把高位抛弃就行了。顺便指出，f(0)=0, f(1)=1."

红色那句话简直是胡扯，因为没有考虑到负数的情况。但 f(x) 容易计算这句话

并没有错，因为当 x 为负数时，我们可以利用 f(x) = -f(-x)。由于 -x 是正的，f(-x) 容易计算，之后 -f(x) 也不过是取反加 1 而已。

好，到目前为止---在数学世界里，简直是完美的。但是回到现实， A 里头真的没有负数，怎么办？整数能比较大小，A 里头的数又怎么办？

这时候，我们可以用一个不太完美的方案，把 A 里头的元素再映射回整数 Z 中，如果只需要无符号的数，则变换为

g(u) = u, 0<= u <2^n-1

其实就是不把 A 中的元素模 2^n 的剩余类，而直接看成整数。不过这时的运

算就要考虑溢出了。如果是无符号的情形，运算的结果仍是模 2^n 的余数，外加一个溢出标志。

如果要考虑负数，如果没有特别的理由，则要求正负个数大致相等是自然的。可以考虑让 0 代表0， 1~2^{n-1}-1 代表正数，2^{n-1}+1～2^n-1 代表负数。丢掉一个 2^{n-1} 是因为希望正数和负数刚好配对，若 u 代表负数，则其落在

2^{n-1}+1~2^n-1 中，但它代表负几呢？当然是负 -u 了。从两个相反数之和为0 ,或 2^n 的观点，-u 就是 2^n-u, 而 u 则是 -(-u) 即 u-2^n。

2^{n-1} 是个麻烦，在 A 中，它的相反数就是自己，把它当正数，负数都不大

合理。出于完整性考虑，随便选一个好了。在这里我们让 2^{n-1} 为负数，理

由是它的最高位是1，跟其它"负数"长得比较象。

换个角度看，模 n 的剩余类，或者余数为0,1,...,2^{n-1}, 2^{n-1}+1, ..., 2^n-1. 这些余数也可以表示为：

0,1~2^{n-1}, 2^n-(2^{n-1}-1), ..., 2^{n}-1

我们刚才所做的就是把上面数列中 2^{n} -r （1<= r<= 2^{n-1}-1）类型的的数对应为负数 -r 而已。用代数的术语，就是在陪集中选取了不同的代表元。

于是我们定义 A 到 Z 的变换，使得

当0<= u <= 2^{n-1} 时，g(u) = u

当2^{n-1}

当然，这时运算起来有可能溢出,但结果仍可以看成模 2^n 的余数，外加一个溢出标记。

上面所说的就是补码。

二、反码

抽象地看，反码与补码只有一个区别，同样的 n 比特状态集合A，反码让这些元素表示模 2^n-1 的剩余类,而补码模 2^n。于是从 Z 到 A 的映射定义为

f(x) = x mod 2^n-1

不过且慢，A 的大小是 2^n，而模 2^n-1 的余数只有 2^n-1 个？是的，这是反码一个不完美的地方，它浪费了全 1 的码字，不过我们可以把全 1 的和全 0 的数看成一样的。

f 同样是个环同态，满足

f(x+y) = f(x) + f(y)

f(xy) = f(x)f(y)

俄且 f(0)=0, 或者全1， f(1) = 1.

f(x) 可以计算如下，设

x = 2^n q + r,

则由于2^n = 1 mod (2^n-1)，所以

x = q + r (mod 2^n -1)

若然 q+r 仍大于等于 2^n，则递归使用上述步骤。当然也可以直接去模 2^n-1，但上面的处理充分利用了二进制表示。而且当 x 为负数时，我们有两外的处理方法，见后面相反数的部分。

f(x) 能求出后，A 中的加法运算和乘法运算也就容易处理了，若 f(x)+f(y)<2^n，则不作特别处理，如果 f(x)+f(y) >=2^n，则结果为 f(f(x)+f(y)) 即把第 n+1 比特加到最低比特上。对于乘法，f(x)f(y) 可以多出n-1 位，处理方法是把第 n+i 比特加到第 i 比特上，或者说把高出 n 位的比特都右移 n 位并加在低位上, 如果仍然越界，则重复上述步骤。从这里可以看到反码的一个弱点，它的越界处理比较麻烦，而补码直接把越界的位丢掉就是了。

A 中的相反数如何求？-f(x) + f(x) = f(0) = 0, 加出一个全零比较难办，但加出一个全 1 不是问题，所以我们可以让 -f(x) 为 x 的取反，即 0 变成1， 1 变成0。于是求相反数的问题解决了。

同样，我们可以考虑在反码中引入正数，负数，这个与补码的类似，这里就不多说了。

有趣的是 2^n 几乎不可能是素数，而 2^n-1 有可能. 2^n-1 形的素数称为梅森素数。如果 2^n-1 是素的，则 A 中非零元素都可求逆。那么对应于 32 位和 64 位计算机的，将会是 31 位计算机和 61 位计算机，看上去很不错嘛，期待中。

三、原码

这个没有什么可说的，2^n 个状态直接表示0～2^n-1,如果要引入负数，则让最高位为 1 的表示负数, 所以 0x 代表x，而 1x 代表 -x.

原码最好的地方是它简单，最不好的地方在于它没有良好的代数结构。

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补码的原理及随想

越早在课堂上学的东西，越给我以简单的印象，忘得也越快。而事实上，它们往往是最富有智慧的，即便在我没忘的时候，也没有深刻地理解它们。

嘛是补码？不少书上扯一堆“取反加1”之类的规则，很不着重点，我觉得核心在于：

对于范围为[0,M)的整数计量系统，其模为M。和为M的两个数互为补数。

如果有两个整数a,b∈[0, M)，那么f(a-b)==f(a+c)，其中c= M-b，是b的补码, f是一个映射，定义为：

当0 <=x < M时,f(x)=x;

当x>= M时,f(x)=x % M;-------->此时就要消除溢出

当x <0时,f(x)=f(M +x).

其中%为取余运算(效果同编程语言中的取模运算)。

在计算机中，f是由溢出隐式实现的，所以天生就有a-b==a+c。这就把减运算转化成了加运算。

于是，为了便于执行减运算，计算机就把-b表示为其补码c。

假设机器字有n位，那么M=2n，c=2n-b。

人在纸上怎么计算2n-b的二进制值？2n的原码就是1后面跟了n个0，直接用它减b的原码不方便，先用2n-1的原码（n个1）减b的原码，得到的结果加上1就是2n-b的值了——这就是“取反加1”的由来。

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有符号数，无符号数

同样是年纪和工资，前者不需要有负值，但后者可能需要——至少所有的老板都这样认为。

那么，负数在计算机中如何表示呢？

这一点，你可能听过两种不同的回答。

一种是教科书，它会告诉你：计算机用“补码”表示负数。可是有关“补码”的概念一说就得一节课，这一些我们需要在第6章中用一章的篇幅讲2进制的一切。再者，用“补码”表示负数，其实一种公式，公式的作用在于告诉你，想得问题的答案，应该如何计算。却并没有告诉你为什么用这个公式就可以和答案？

另一种是一些程序员告诉你的：用二进制数的最高位表示符号，最高位是0，表示正数，最高位是1，表示负数。这种说法本身没错，可是如果没有下文，那么它就是错的。至少它不能解释，为什么字符类型的-1用二进制表示是“1111 1111”(16进制为FF)；而不是我们更能理解的“1000 0001”。（为什么说后者更好理解呢？因为既然说最高位是1时表示负数，那1000 0001不是正好是-1吗？）。

让我们从头说起。

1、你自已决定是否需要有正负。

就像我们必须决定某个量使用整数还是实数，使用多大的范围数一样，我们必须自已决定某个量是否需要正负。如果这个量不会有负值，那么我们可以定它为带正负的类型。

在计算机中，可以区分正负的类型，称为有符类型，无正负的类型（只有正值），称为无符类型。

数值类型分为整型或实型，其中整型又分为无符类型或有符类型，而实型则只有符类型。

字符类型也分为有符和无符类型。

比如有两个量，年龄和库存，我们可以定前者为无符的字符类型，后者定为有符的整数类型。

2、使用二制数中的最高位表示正负。

首先得知道最高位是哪一位？1个字节的类型，如字符类型，最高位是第7位，2个字节的数，最高位是第15位，4个字节的数，最高位是第31位。不同长度的数值类型，其最高位也就不同，但总是最左边的那位（如下示意）。字符类型固定是1个字节，所以最高位总是第7位。

(红色为最高位)

单字节数：1111 1111

双字节数：1111 1111 1111 1111

四字节数：1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

当我们指定一个数量是无符号类型时，那么其最高位的1或0，和其它位一样，用来表示该数的大小。

当我们指定一个数量是无符号类型时，此时，最高数称为“符号位”。为1时，表示该数为负值，为0时表示为正值。

3、无符号数和有符号数的范围区别。

无符号数中，所有的位都用于直接表示该值的大小。有符号数中最高位用于表示正负，所以，当为正值时，该数的最大值就会变小。我们举一个字节的数值对比：

无符号数：1111 1111 值：255 1* 27 + 1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20有符号数：0111 1111 值：127 1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20

同样是一个字节，无符号数的最大值是255，而有符号数的最大值是127。原因是有符号数中的最高位被挪去表示符号了。并且，我们知道，最高位的权值也是最高的（对于1字节数来说是2的7次方=128），所以仅仅少于一位，最大值一下子减半。

不过，有符号数的长处是它可以表示负数。因此，虽然它的在最大值缩水了，却在负值的方向出现了伸展。我们仍一个字节的数值对比：

无符号数：0 ----------------- 255

有符号数：-128 --------- 0 ---------- 127

同样是一个字节，无符号的最小值是 0 ，而有符号数的最小值是-128。所以二者能表达的不同的数值的个数都一样是256个。只不过前者表达的是0到255这256个数，后者表达的是-128到+127这256个数。

一个有符号的数据类型的最小值是如何计算出来的呢？

有符号的数据类型的最大值的计算方法完全和无符号一样，只不过它少了一个最高位（见第3点）。但在负值范围内，数值的计算方法不能直接使用1* 26 + 1* 25的公式进行转换。在计算机中，负数除为最高位为1以外，还采用补码形式进行表达。所以在计算其值前，需要对补码进行还原。这些内容我们将在第六章中的二进制知识中统一学习。

这里，先直观地看一眼补码的形式：

以我们原有的数学经验，在10进制中：1 表示正1，而加上负号：-1 表示和1相对的负值。

那么，我们会很容易认为在2进制中（1个字节）： 0000 0001 表示正1，则高位为1后：1000 0001应该表示-1。

然而，事实上计算机中的规定有些相反，请看下表：

二进制值（1字节） 十进制值

1000 0000 -128

1000 0001 -127

1000 0010 -126

1000 0011 -125

... ...

1111 1110 -2

1111 1111 -1

首先我们看到，从-1到-128，其二进制的最高位都是1（表中标为红色），正如我们前面的学。

然后我们有些奇怪地发现，1000 0000 并没有拿来表示 -0；而1000 0001也不是拿来直观地表示-1。事实上，-1 用1111 1111来表示。

怎么理解这个问题呢？先得问一句是-1大还是-128大？

当然是 -1 大。-1是最大的负整数。以此对应，计算机中无论是字符类型，或者是整数类型，也无论这个整数是几个字节。它都用全1来表示 -1。比如一个字节的数值中：1111 1111

表示-1，那么，1111 1111 - 1 是什么呢？和现实中的计算结果完全一致。1111 1111 - 1 = 1111 1110，而1111 1110就是-2。这样一直减下去，当减到只剩最高位用于表示符号的1以外，其它低位全为0时，就是最小的负值了，在一字节中，最小的负值是1000 0000，也就是-128。

我们以-1为例，来看看不同字节数的整数中，如何表达-1这个数：

字节数 二进制值 十进制值

单字节数 1111 1111 -1

双字节数 1111 1111 1111 1111 -1

四字节数 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

-1

可能有同学这时会混了：为什么 1111 1111 有时表示255，有时又表示-1？所以我再强调一下本节前面所说的第2点：你自已决定一个数是有符号还是无符号的。写程序时，指定一个量是有符号的，那么当这个量的二进制各位上都是1时，它表示的数就是-1；相反，如果事选声明这个量是无符号的，此时它表示的就是该量允许的最大值，对于一个字节的数来说，最大值就是255。

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