劳斯判据总结
3-1 稳定性
1、稳定性的概念
2、判别系统稳定性的基本原则
线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。当有一个根落在右半部，系统不稳定。当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据
劳斯判据
劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：
553(0
0122110->=++???+++---a a S a S a S a S a n n n n n
检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。 可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。 2）按系统的特征方程式列写劳斯表
3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、
a 1、
b 1、
c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳
定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。 通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。 ※※ 劳斯判据特殊情况
· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表
如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。 · II ）劳斯表中出现全零行
表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
例如：控制系统的特征方程为
0161620128223456=++++++s s s s s s
列劳斯表
16
381662480
00
161220
1612216208101
23456S S S S S S S
由于3s 这一行全为0，用上一行组成辅助多项式
s s ds
s dF 248)
(3+=，由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S 右半平面上没有特征根。令F(s)=0，
)4)(2(2)86(216122)(222424=++=++=++=s s s s s s s s F
得1,23,4 2s s j =±=±. 求得两对大小相等、符号相反的根
2,2j j ±±，显然这个系统处于临界稳定状态。
《自动控制原理》典型考试试题
《 自动控制原理 》典型考试试题 （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 第二章：主要是化简系统结构图求系统的传递函数，可以用化简，也可以用梅逊公式来求 一、（共15分）已知系统的结构图如图所示。请写出系统在输入r(t)和扰动n(t)同时作用下的输出C(s)的表达式。 G4 H1G3 G1 G 2 N(s)C(s) R(s) - -+ + + 二 、（共15分）已知系统的结构图如图所示。 试求传递函数 )()(s R s C ，) () (s N s C 。 三、（共15分）已知系统的结构图如图所示。 试确定系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。 G1 G2 R(s) - + + C(s) - + 四、（共15分）系统结构图如图所示，求X(s)的表达式
G4(s)G6(s) G5(s)G1(s) G2(s) N(s) C(s) R(s) -- G3(s) X(s) 五、（共15分）已知系统的结构图如图所示。 试确定系统的闭环传递函数C(s)/R(s)和C(s)/D(s)。 G1 G2 R(s) - + + C(s) -+ D(s) G3G4 六、（共15分）系统的结构图如图所示，试求该系统的闭环传递函数 ) () (s R s C 。 七、（15分）试用结构图等效化简求题图所示各系统的传递函数 ) () (s R s C
一、（共15分）某控制系统的方框图如图所示，欲保证阻尼比ξ=0.7和响应单位斜坡函数的稳态误差为ss e =0.25,试确定系统参数K 、τ。 二、（共10分）设图（a ）所示系统的单位阶跃响应如图（b ）所示。试确定系统参数,1K 2K 和a 。 三、（共15分）已知系统结构图如下所示。求系统在输入r(t)=t 和扰动信号d(t)=1(t)作用下的稳态误差和稳态输出)(∞C 2/(1+0.1s) R(s) - C(s) 4/s(s+2) E(s) D(s) 四、（共10分）已知单位负反馈系统的开环传递函数为： 2()(2)(4)(625) K G s s s s s = ++++ 试确定引起闭环系统等幅振荡时的K 值和相应的振荡频率ω 五、（15分）设单位反馈系统的开环传递函数为 1 2 ) 1()(23++++=s s s s K s G α 若系统以2rad/s 频率持续振荡，试确定相应的K 和α值 第三章：主要包括稳、准、快3个方面 稳定性有2题，绝对稳定性判断，主要是用劳斯判据，特别是临界稳定中出现全零行问题。 相对稳定性判断，主要是稳定度问题，就是要求所有极点均在s=-a 垂线左测问题，就是将s=w-a 代入D(s)=0中，再判断稳定 快速性主要是要记住二阶系统在0<ξ<1时的单位阶跃响应公式以及指标求取的公式。 准确性主要是稳态误差的公式以及动态误差级数两方面
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法 3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据 稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。 常用的稳定性分析方法有： 1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性. 2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。 3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。 4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。 一、稳定性的概念 稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
自动控制原理填空题九篇练习附答案
自动控制原理填空题复习（一） 1. 对于一个自动控制的性能要求可以概括为三个方面： 稳定性 、 快速性 、 准 确性 。 2. 反馈控制系统的工作原理是按 偏差 进行控制，控制作用使 偏差 消除或减小， 保证系统的输出量按给定输入的要求变化。 3. 系统的传递函数只与系统 本身 有关，而与系统的输入无关。 4. 自动控制系统按控制方式分，基本控制方式有：开环控制系统 、 闭环控制系统 、 混合控制系统 三种。 5. 传递函数G(S)的拉氏反变换是系统的单位 阶跃 响应。 6. 线性连续系统的数学模型有 电机转速自动控制系统。 7. ★系统开环频率特性的低频段，主要是由 惯性 环节和 一阶微分 环节来确 定。 8. 稳定系统的开环幅相频率特性靠近（-1，j0）点的程度表征了系统的相对稳定性， 它距离（-1，j0）点越 远 ，闭环系统相对稳定性就越高。 9. 频域的相对稳定性常用 相角裕度 和 幅值裕度 表示，工程上常用这里两个 量来估算系统的时域性能指标。 10. 某单位反馈系统的开环传递函数2 ()(5) G S s s = +，则其开环频率特性是 2- 2.0tan -)(1π ωω?-= ，开环幅频特性是4 2 4252)(A ω ωω+= ，开环对数 频率特性曲线的转折频率为 。 11. 单位负反馈系统开环传递函数为2 ()(5) G S s s = +，在输入信号r(t)=sint 作用下，， 系统的稳态输出c ss (t)= , 系统的稳态误差e ss (t)= . 12. 开环系统的频率特性与闭环系统的时间响应有关。开环系统的低频段表征闭环系统 的 稳定性 ；开环系统的中频段表征闭环系统的 动态性能 ；开环 系统的高频段表征闭环系统的 抗干扰能力 。 自动控制原理填空题复习（二） 1、反馈控制又称偏差控制，其控制作用是通过 输入量 与反馈量的差值进行的。 2、复合控制有两种基本形式：即按 参考输入 的前馈复合控制和按 扰动 的前馈复合控制。 3、两个传递函数分别为G 1(s)与G 2(s)的环节，以并联方式连接，其等效传递函数为()G s ，则G(s)为 G 1(s)+G 2(s) （用G 1(s)与G 2(s) 表示）。 5、若某系统的单位脉冲响应为0.20.5()105t t g t e e --=+， 则该系统的传递函数G(s)为 105 0.20.5s s s s +++。
3-4试用劳斯判据确定具有下列特征方程是的系统稳定性
3-4试用劳斯判据确定具有下列特征方程是的系统稳定性。 部根。不稳定。 变化两次，系统有两实劳斯表第一列元的符合解： 2001200209 10 200920)1(01 2 323S S S S S S S -=+++ 统稳定。 有有正部实根。所以系没有变化两次，系统没劳斯表第一列元的符合解： ）（55.135151685810 51618820 12 3 4 234S S S S S S S S S =++++ 部根。不稳定。变化两次，系统有两实劳斯表第一列元的符合解： ）（1612318165381261 310 1236301 2 3 4 52345S S S S S S S S S S S -=+++++ 3-5设单位负反馈系统的开环传递函数为 ) 12.0)(11.0()(++= S S K S G 试确定系统稳定时k 的取值范围。
1500002.03.03.002.03.03.0102.00 3.002.0)(:01 2 3 23<>--=+++=K K K K S K K S K S S K S S S S D 于是系统稳定，则有的闭环特征方程为： 又开环传递函数的系统解 3-6已知系统的闭环特征方程为 0)2)(5.1)(1=++++K S S S 试由劳斯判据确定使得系统闭环特征根的实部均小于-1的最大k 值。 （临界稳定）。 的最大值为依题意得程为： 此时系统的闭环特征方变换 解：根据题意可作线性75.0K 75.000 075.05.175.05.15 .0105.05.1)1)(5.0()(1 01 23231∴<>--=+++=+++=+=-=K K K K Z K Z K Z Z K Z Z Z K Z Z Z S D S Z Z S 3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数如下： (1) ) 12.0)(11.0(10)(++=S S G （2）()) 22)(1(450)(2++++=s s S S s S G （３）())15.0(120)(2++= S s S G (1)解：根据误差系数公式有：
自动控制原理题目参考答案
一、填空题 1 闭环控制系统又称为反馈控制系统。 2 一线性系统,当输入就是单位脉冲函数时,其输出象函数与 传递函数 相同。 3一阶系统当输入为单位斜坡函数时,其响应的稳态误差恒为 时间常数T 。 4 控制系统线性化过程中,线性化的精度与系统变量的 偏移程度 有关。 5 对于最小相位系统一般只要知道系统的 开环幅频特性 就可以判断其稳定性。 6 一般讲系统的位置误差指输入就是 阶跃信号 所引起的输出位置上的误差。 7 超前校正就是由于正相移的作用,使截止频率附近的 相位 明显上升,从而具有较大的 稳定裕度。 8 二阶系统当共轭复数极点位于 +-45度 线上时,对应的阻尼比为0、707。 9 PID 调节中的“P ”指的就是 比例 控制器。 10 若要求系统的快速性好,则闭环极点应距虚轴越_ 远 越好。 11 在水箱水温控制系统中,受控对象为_水箱 ,被控量为_水温 。 12 自动控制系统有两种基本控制方式,当控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时,称为_ 开环控制方式 ;当控制装置与受控对象之间不但有顺向作用而且还有反向联系时,称为_ 闭环控制方式 ;含有测速发电机的电动机速度控制系统,属于_ 开环控制方式 。 13 稳定就是对控制系统最基本的要求,若一个控制系统的响应曲线为衰减振荡,则该系统_ 稳定 _。判断一个闭环线性控制系统就是否稳定,在时域分析中采用_ 劳斯判据 _;在频域分析中采用_ 奈氏判据 _。 14、传递函数就是指在_ 零 _初始条件下、线性定常控制系统的_ 输入拉式变换 _与_ 输出拉式变换 _之比。 15 设系统的开环传递函数为2(1)(1) K s s Ts τ++,则其开环幅频特性为_ _,相频特性为 _-180-arctan(tw-Tw)/1+tTw _。 16 频域性能指标与时域性能指标有着对应关系,开环频域性能指标中的幅值穿越频率c ω对 应时域性能指标_ 调整时间t _,它们反映了系统动态过程的_快速性 _。 17 复合控制有两种基本形式:即按 输入 的前馈复合控制与按 扰动 的前馈复合控制。 18 信号流图由节点___与___支路_组成。 19 二阶衰减振荡系统的阻尼比ξ的范围为_(0,1)___。 20 两个传递函数分别为G 1(s)与G 2(s)的环节,以并联方式连接,其等效传递函数为()G s ,则G(s)为 G 1(s)+ G 2(s)(用G 1(s)与G 2(s) 表示)。 21 PI 控制器就是一种相位_比例积分___的校正装置。 22 最小相位系统就是指 S 右半平面不存在系统的开环零点与开环极点 。 23对于一个自动控制系统的性能要求可以概括为三个方面:快速性____、_稳定性___与准确性。 24如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间,则在这两个极点间必定存在_一个分离点 _。
自动控制原理实验用Matlab软件编制劳斯判据程序并解题(《学习辅导》例4.3.5)
上海电力学院 实验报告 自动控制原理实验课程 题目：用Matlab软件编制劳斯判据程序并解题(《学习辅导》例4.3.5)
班级： 姓名： 学号： 时间： 2012年11月4日 自动化工程学院自动化（电站自动化）专业实验报告目录 一、问题描述 (3) 二、理论方法分析 (3) 三、实验设计与实现 (3) 四、实验结果与分析 (5) 五、结论与讨论 (6) 六、实验心得体会 (6) 七、参考文献 (7)
八附录 (7) 一、问题描述 用MATLAB编制劳斯判据列出其劳斯矩阵并判断相对应系统的稳定性 二、理论方法分析 采用M文件实现Matlab编程。 1) M文件的建立与调用 从Matlab操作桌面的“File”菜单中选择“New”菜单项，再选择“M-file”命令，屏幕将出现Matlab文本编辑器的窗口。 在Matlab命令窗口的“File”菜单中选择“Open”命令，则屏幕出现“Open”对话框，在文件名对话框中选中所需打开的M文件名。 2) M文件的调试 在文件编辑器窗口菜单栏和工具栏的下面有三个区域，右侧的大区域是程序窗口，用于编写程序；最左面区域显示的是行号，每行都有数字，包括空行，行号是自动出现的，随着命令行的增加而增加；在行号和程序窗口之间的区域上有一些小横线，这些横线只有在可执行行上才有，而空行、注释行、函数定义行等非执行行的前面都没有。在进行程序调试时，可以直接在这些程序上点击鼠标以设置或去掉断点。 三、实验设计与实现 （1）程序
%RouthMatrix**劳斯矩阵(带参数的特征多项式)并判断对应系统稳定性** clear; syms k z q %定义变量k z q p=input('请输入特征多项式的参数 ='); %提示输入参数 n=length(p); %得到p的长度 for i=0:ceil(n/2)-1 %将多项式进行劳斯矩阵排序 a(1,i+1)=p(2*i+1); if 2*(i+1)>n a(2,i+1)=0; break end a(2,i+1)=p(2*(i+1)); end for k=3:n %计算从第三行开始劳斯矩阵内容 for j=1:ceil((n-k+1)/2) if a(k-1,1)==0 %判断是否有共轭虚根 disp('系统有共轭虚根') breaksign=1; break end a(k,j)=(a(k-1,1)*a(k-2,j+1)-a(k-1,j+1)*a(k-2,1))/a(k-1,1); end end disp('劳斯矩阵') %输出对应的劳斯矩阵 disp(double(a)) for i=3:k %用劳斯判据判断系统的稳定性 if a(i-1,1)<=0 %判断第一列元素是否不大于0 q=1;
自动控制原理_课后习题及答案
第一章绪论 1-1试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点. 解答：1开环系统 (1)优点:结构简单，成本低，工作稳定。用于系统输入信号及扰动作 用能预先知道时，可得到满意的效果。 (2)缺点：不能自动调节被控量的偏差。因此系统元器件参数变化， 外来未知扰动存在时，控制精度差。 2 闭环系统 ⑴优点：不管由于干扰或由于系统本身结构参数变化所引起的被控量 偏离给定值，都会产生控制作用去清除此偏差，所以控制精度较高。 它是一种按偏差调节的控制系统。在实际中应用广泛。 ⑵缺点：主要缺点是被控量可能出现波动，严重时系统无法工作。 1-2 什么叫反馈？为什么闭环控制系统常采用负反馈？试举例说明之。 解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反馈。 闭环控制系统常采用负反馈。由1-1中的描述的闭环系统的优点所证 明。例如，一个温度控制系统通过热电阻（或热电偶）检测出当前炉 子的温度，再与温度值相比较，去控制加热系统，以达到设定值。 1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属于何种类型（线性，非线性，定常，时变）？ （1） （2） （3） （4） （5）
（6） （7） 解答：（1）线性定常（2）非线性定常（3）线性时变 （4）线性时变（5）非线性定常（6）非线性定常 （7）线性定常 1-4如图1-4是水位自动控制系统的示意图，图中Q1，Q2分别为进水流量和出水流量。控制的目的是保持水位为一定的高度。 试说明该系统的工作原理并画出其方框图。 题1-4图水位自动控制系统 解答： (1) 方框图如下： ⑵工作原理：系统的控制是保持水箱水位高度不变。水箱是被控对象，水箱的水位是被控量，出水流量Q2的大小对应的水位高度是给定量。当水箱水位高于给定水位，通过浮子连杆机构使阀门关小，进入流量减小，水位降低，当水箱水位低于给定水位时，通过浮子连杆机构使流入管道中的阀门开大，进入流量增加，水位升高到给定水位。 1-5图1-5是液位系统的控制任务是保持液位高度不变。水箱是被控对象，水箱液位是被控量，电位器设定电压时（表征液位的希望值Cr）是给定量。
劳斯判据判定稳定性
劳斯判据 即Routh-Hurwitz判据 一、系统稳定的必要条件 判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。 要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件： 1）特征方程的各项系数都不等于零。 2）特征方程的各项系数的符号都相同。 此即系统稳定的必要条件。 按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。 二、系统稳定的充要条件 系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。 运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。 运用判据的关键在于建立表。建立表的方法请参阅相关的例题或教材。运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。 在应用判据还应注意以下两种特殊的情况： 1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。于是表的计算无法继续。为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。 2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。这样，表中的其余各元就可以计算下去。出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳
定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。 三、相对稳定性的检验 对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法： 1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。 2）利用判据对新的特征方程进行稳定性判别。如新系统稳定，则说明原系统特征方程所有的根均在新虚轴之左边，（越大，系统相对稳定性越好。
自动控制原理典型例题1
例1-1续1 如果操纵杆角仇改变了，而舟昔舵仍处于原位，则电位器 输出代工0,佟经放大后使电动机通过减速器连同船舵和输出电位计滑臂一起作跟随仇给定值的运动。当3(>=6,时，电动机停转，系统达到新的平衡状态，从而实现角位置跟踪的目的。 由上分析可见，操纵杆是输入装置，电位计组同时完成测量和比较功能，电压、功率放大器完成调节器工作，电动机和减速器共同起执行器的作用。 系统的原理方块图如下: ［例1-2］：“转速控制系统”之“开环控制系统”
原理图方块图 系统的给定输入量是比，扰动输入量是负载干扰M, 输出量是电动机转速n,被控对象是电动机。 作原理：将电压％经功率放大后获得百，由％驱动电动机旋转。5和n具有一一对应的关系，如当Ug=Ug［, n=n i°但是，当电动机的负载改变时，U° = U。］时，&可能n=n i+An,也就是说，比和n的关系是不准确的。——开环系统的输出易受到扰动的影响而无能为力。
［例1-2］续：“转速控制系统”之“闭环控制系统” 原理图方块图 工作原理：当负载扰动变化时（如变大），则4,^1, Ue = Ug-w\,n\o可见，该系统可以自动地进行转速调节, 以减小或消除偏差仏O ［例1-3］：用原理方块图表示司机沿给定路线行驶时观察道路正确驾驶的反馈过程。
司机根据眼睛观察到的汽车行驶路线、障碍物和汽 车的前进方向，估计汽车的前进路线。再由实际道路与 估计的前进路线的差距指挥手来操纵方向盘，以使汽车 实际 正确地沿道路前进。原理方块图如下: 道路 该系统中，输入量是道路信息，输出量是实际的行 车路线。大脑是控制器，手、方向盘和驱动机构是执行 元件，车体是被控对象。眼和大脑作为反馈装置。
劳斯判据总结
3-1 稳定性 1、稳定性的概念 2、判别系统稳定性的基本原则 线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。 由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。 显然，稳定性与零点无关。当有一个根落在右半部，系统不稳定。当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。 3-2 劳斯稳定判据 劳斯判据 劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程： 553(0 0122110->=++???+++---a a S a S a S a S a n n n n n 检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。 可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。 2）按系统的特征方程式列写劳斯表 3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、
a 1、 b 1、 c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳 定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。 通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。 ※※ 劳斯判据特殊情况 · I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表 如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。 · II ）劳斯表中出现全零行 表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。 例如：控制系统的特征方程为 0161620128223456=++++++s s s s s s 列劳斯表
劳斯法分析系统稳定性及不稳定性的改进方法
邢台学院物理系 《自动控制理论》 课程设计报告书 设计题目：劳斯法分析系统的稳定性及不稳定性的改进 措施 专业：自动化 班级：＿ 学生姓名: 学号: 4 指导教师： 2013年3月24日
邢台学院物理系课程设计任务书 专业：自动化班级： 2013 年 3 月 24 日
摘要 劳斯判据，Routh Criterion，又称为代数稳定判据。劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。由此劳斯获得了亚当奖。劳斯判据，这是一种代数判据方法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性，由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。 劳斯稳定判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系数正，负符号的变化情况来判别系统的稳定性。 本次课程设计以劳斯判据为例，研究控制系统的稳定性分析问题，并对结构性不稳定系统的改进措施进行分析。 关键词：劳斯判据特征方程式正根稳定性劳斯表系数结构性
目录 1 劳斯稳定判据 1.1 劳斯稳定判据原理 1.2 实际例题分析 1.3 全零行与临界稳定 2 结构性不稳定系统的改进措施 2.1 改变环节的积分性质 2.2 加入比例微分环节 3 总结及体会 参考文献
1 劳斯判据 1.1 劳斯判据原理 劳斯判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系统正，负号的变化情况来判断系统稳定性。 根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表。 c c a a c c c c a a c c c c a a c c s a a a a a c a a a a a c a a a a a c s a a a s a a a s n n n n 13 4317133413 33 15132413 23 1313143 1 7061331 5 041231 3 0211325311420-=-=-=-=-=-=--- 若特征方程式的各项系数都大于零（必要条件），且劳斯表中第一列元素均为正值，则所有的特征根均位于s 左半平面，相应的系统是稳定的。否则系统为不稳定或临界稳定，实际上临界稳定也属于不稳定。劳斯表中第一列元素符号改变的次数等于该特征方程的正实部根的个数。 1.2 实际例题分析 例题1：某系统的特征方程为：0100s 24s 8s )s (D 23=+++=，判断系统稳定性。 解：系统的特征方程为 0100s 24s 8s )s (D 23=+++= 劳斯表： s 3 1 24 s 2 8 100 s 1 92 s 0 100 第一列同号，所以系统稳定。 例题2：设闭环系统传递函数为5 4322017123)(2 34523++++++++=s s s s s s s s s G ，判定该系统是否稳定。 解：系统特征方程为054322345=+++++s s s s s 劳斯表 ： s 5 1 1 4
试用劳斯判据确定具有下列特征方程是的系统稳定性
3-4试用劳斯判据确定具有下列特征方程是的系统稳定性。 部根。不稳定。 变化两次，系统有两实劳斯表第一列元的符合解： 2001200209 10 200920)1(01 2 323S S S S S S S -=+++ 统稳定。 有有正部实根。所以系没有变化两次，系统没劳斯表第一列元的符合解： ）（55.135151685810 51618820 12 3 4 234S S S S S S S S S =++++ 部根。不稳定。变化两次，系统有两实劳斯表第一列元的符合解： ）（1612318165381261 310 1236301 2 3 4 52345S S S S S S S S S S S -=+++++ 3-5设单位负反馈系统的开环传递函数为 ) 12.0)(11.0()(++= S S K S G 试确定系统稳定时k 的取值范围。
1500002.03.03.002.03.03.0102.00 3.002.0)(:01 2 3 23<>--=+++=K K K K S K K S K S S K S S S S D 于是系统稳定，则有的闭环特征方程为： 又开环传递函数的系统解 3-6已知系统的闭环特征方程为 0)2)(5.1)(1=++++K S S S 试由劳斯判据确定使得系统闭环特征根的实部均小于-1的最大k 值。 （临界稳定）。 的最大值为依题意得程为： 此时系统的闭环特征方变换 解：根据题意可作线性75.0K 75.000 075.05.175.05.15 .0105.05.1)1)(5.0()(1 01 23231∴<>--=+++=+++=+=-=K K K K Z K Z K Z Z K Z Z Z K Z Z Z S D S Z Z S 3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数如下： (1) ) 12.0)(11.0(10)(++=S S G （2）()) 22)(1(450)(2++++=s s S S s S G （３）())15.0(120)(2++= S s S G (1)解：根据误差系数公式有：
自动控制原理习题与解答
第六章习题及解答 6-1 试求下列函数的z 变换 T t a t e =)()1( ()()223e t t e t =- 21 )() 3(s s s E += ) 2)(1(3)() 4(+++= s s s s s E 解 （1）∑∞ =---=-= = 1 11)(n n n a z z az z a z E （2）[]3 22 ) 1() 1(-+=z z z T t Z 由移位定理： [ ] 3 33323333232)() ()1()1(T T T T T T t e z e z ze T ze ze ze T e t Z -----+=-+= （3）221 11)(s s s s s E +=+= 2)1(1)(-+-=z Tz z z z E （4）2 1)(210++++=s c s c s c s E 21 )1(3lim 21 2 )2(3lim 2 3 )2)(1(3lim 221100= ++=-=-=++== +++=-→-→→s s s c s s s c s s s c s s s 22112 23+++-=s s s ) (22)1(23)(2T T e z z e z z z z z E ---+---= 6－2 试分别用部分分式法、幂级数法和反演积分法求下列函数的z 反变换。
() ()()()11012E z z z z = -- 2 11 213)()2(---+-+-=z z z z E 解 （1）) 2)(1(10)(--=z z z z E ① 部分分式法 ) 12(10210110)() 2(10)1(10)(2 10 110)2)(1(10)(-=?+?-=-+--=-+--=---=n n nT e z z z z z E z z z z z z E ② 幂级数法：用长除法可得 Λ Λ +-+-+-=+++=+-=--= ---)3(70)2(30)(10)(7030102310)2)(1(10)(*3212T t T t T t t e z z z z z z z z z z E δδδ ③ 反演积分法 [][]) ()12(10)() 12(10210110)(210110lim )(Re 10 210lim )(Re 0 * 221 111 nT t t e nT e z z z z E s z z z z E s n n n n n n z z n n z z n --=-=?+?-=?=-=?-=-=?∑∞ =→→-→→-δ （2） 2 221) 1() 13(12)13(213)(-+-=+-+-=+-+-=--z z z z z z z z z z z E ① 部分分式法 ∑∑∞ =∞=---=-??????--=?--=----=----=--=0 0* 2 22) ()32()(32)() (132)(13)1(2)(1 3)1(2)1(31)(n n nT t n nT t nT T t e t t T t e z z z z z E z z z z z z E δδ
自动控制原理典型习题含答案
自动控制原理习题 一、(20分) 试用结构图等效化简求下图所示系统的传递函数 ) ()(s R s C 。 解： 所以： 3 2132213211)()(G G G G G G G G G G s R s C +++= 二．（10分）已知系统特征方程为06363234=++++s s s s ，判断该系统的稳定性，若 闭环系统不稳定，指出在s 平面右半部的极点个数。(要有劳斯计算表) 解：劳斯计算表首列系数变号2次，S 平面右半部有2个闭环极点，系统不稳定。 三．（20分）如图所示的单位反馈随动系统，K=16s -1,T=0.25s,试求： （1）特征参数n ωξ，； （2）计算σ%和t s ; （3）若要求σ%=16%，当T 不变时K 应当取何值 解：（1）求出系统的闭环传递函数为： 因此有： （2） %44%100e %2 -1-=?=ζζπ σ （3）为了使σ%=16%，由式
可得5.0=ζ，当T 不变时，有： 四．（15分）已知系统如下图所示， 1．画出系统根轨迹（关键点要标明）。 2．求使系统稳定的K 值范围，及临界状态下的振荡频率。 解 ① 3n =，1,2,30P =，1,22,1m Z j ==-±，1n m -= ②渐进线1条π ③入射角 同理 2?2135sr α=-? ④与虚轴交点，特方 32220s Ks Ks +++=，ωj s =代入 222K K -0=1K ?= ，s = 所以当1K > 时系统稳定，临界状态下的震荡频率为ω 五．（20分）某最小相角系统的开环对数幅频特性如下图所示。要求 （1） 写出系统开环传递函数； （2） 利用相角裕度判断系统的稳定性； （3） 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。
习题例题离散控制系统
《自动控制理论》多媒体网络课件 各章重点主要内容习题/例题精选重要公式及推导学习讨论教学大纲 -> 习题/例题精选 -> 第七章习题/例题
第八章例题 8-1 求单位阶跃函数1(t)的z变换.... 8-2 求下列函数的z变换.... 8-3 求下列函数的z变换.... 8-4 求下列函数的z变换.... 8-5 设已知... 8-6 试求当k=0,1,2,3,4,时的f(kT)值。.... 8-7 试用留数法求f(kT).... 8-8 求图7-7所示系统的脉冲传递函数.... 8-9 求图7-8所示系统的脉冲传递函数.... 8-10 试求两种连接形式的脉冲传递函数.... 8-11 求系统的脉冲传递函数.... 8-12 求系统的闭环脉冲传递函数.... 8-13 求系统的闭环脉冲传递函数.... 8-14 程序ex714.m.... 8-15 求系统的的单位脉冲响应.... 8-16 判断闭环离散系统的稳定性.... 8-17 用变换代入.... 8-18 画出其频率特性，并以此对系统进行分析....
求单位阶跃函数1(t)的z变换 注意:只要函数z变换的无穷级数F(z)，在z平面某个区域内敛，则在 应用时，就不需要指出F(z)的收敛域。 回例题目录 回第八章相应例8-2 求下列函数的z变换。 (t<0) (t≥0) 解： 回例题目录 回第八章相应
求下列函数的z变换 (t<0) (t≥0) 解： 回例题目录 回第八章相应例8-4 求下列函数的z变换： 解: 先将F(s)展开成部分分式。 其中,[或1(t)]相应的z 变换为 ,而[即e-t 应的z变换为 则： 回例题目录回第八章相应
自动控制原理课后答案(精选题)
第二章课堂练习 系统的结构图如下，求传递函数．
第三章课堂练习(一) 解（1） (3)已知超调量为16.3,调节时间ts=1s ，则由图3-12可知 -------------------------------------------------------------------------------------------- 第三章课堂练习(二) 一、已知系统结构图如图，试用劳斯判据确定能使系统稳定的反馈参数 的取值范围 劳思阵为： 则系统要稳定，满足： -------------------------------------------------------------------------- 解: (1)先判断系统的稳定性，系统的开环传递函数为： 特征方程为： 由劳思判据，得： (2)求稳态误差，方法一： (2)求稳态误差，方法二： 2505250ττ?+>? +>? 1 ＞- 时系统稳定5τ∴2211 0.152= =≤?≥ssr v e K K K 26 满足要求的取值范围：5≤ 典型例题分析 例3.1 已知单位反馈系统的开环传递函数为 )5)(1()1()()(+-+=s s s s K s G a a )2)(1)(5.0(25.11)()(+++=s s s s G b b 试确定系统的稳定性或求系统稳时K 的取值范围。 解 （1）系统(a)的K 的稳定域 解法一（应用赫尔维茨判据） 由1+G a (s)=0,可得系统(a)的特征方程为 0)5(423=+-++K s K s s 应用赫尔维茨判据则可求得系统稳定的充要条件为 ???>>?????>-=-=>>-3/20502035140052K K K K K D K K 即 故K 的稳定域为K ＞20／3。 解法二（应用劳斯判据） 由特征方程可构造劳斯阵列如下： K s K s K s K s 01 23420345 1-- 要使系统稳定，其第一列的元素必须全为正。同样也可以求得K 的稳定域为K ＞20／3。 (2)系统(b)的稳定性 解法一（应用赫尔维茨判据） 由1+G a (s)=0,可得系统(b)的特征方程为 025.125.35.323=+++s s s 由于特征方程的系数全为正的，而 05.3125.125.32==D 故可判断该闭环系统是不稳定的。 解法二（应用劳斯判据） 由特征方程可构造劳斯表如下： 25.127/)(7 )0(0 25.125.3)(25.125.35 .3101223s s ds s dA s s s A s s =←=+=→辅助方程 可见其第一列的元素不变号，故系统没有极点在右半开平面上。而由辅助方 程 )05.3(025.125.3)(22=+=+=s s s A 或 可解得系统有一对纯虚根p 1，2=±j1.87。于是应用长除法由系统的特征方程 0))(5.3())()((25.125.35.33232123=-+=---=+++p s s p s p s p s s s s 第六章练习题 一、选择题 1. 利用乃奎斯特稳定性判据判断系统的稳定性时，Z P N =-中的Z表示意义为（）（2001.23真题） A.开环传递函数零点在S左半平面的个数 B.开环传递函数零点在S右半平面的个数 C.闭环传递函数零点在S右半平面的个数 D.闭环特征方程的根在S右半平面的个数 【答案】D 【知识点】第六章 【解析】该题考查考生乃奎斯特稳定性判据。答案为D。 2. 关于劳斯—胡尔维茨稳定性判据和乃奎斯特稳定性判据，以下叙述中正确的是（）（2001.24真题） A.劳斯—胡尔维茨判据属代数判据，是用来判断开环系统稳定性的 B.乃奎斯特判据属几何判据，是用来判断闭环系统稳定性的 C.乃奎斯特判据是用来判断开环系统稳定性的 D.以上叙述均不正确 【答案】B 【知识点】第六章 【解析】该题考查考生关于劳斯—胡尔维茨稳定性判据和乃奎斯特稳定性判据。答案为 B 。 3. 一单位反馈系统的开环传递函数为 G s K s s K ()()= +，则该系统稳定的K 值范 围为（ ）（2001.26真题） A.K ＞0 B.K ＞1 C.0＜K ＜10 D. K ＞－1 【答案】A 【知识点】第六章 【解析】该题考查考生劳斯稳定判据。闭环 传递函数为： ()K sK s K s G ++=+2 11， 特征方程为：02 =++K sK s 列劳斯表：S 2 1 K S 1 K S 0 K 由劳斯稳定判据可得：想要系统稳定，必须满足K ＞0。答案为A 。 4. 以下性能指标中不能反映系统响应速度的指标为（ ）（2001.28真题） A.上升时间t r B.调整时间t s C.幅值穿越频率ωc D.相位穿越频率ωg 【答案】D 【知识点】第六章 【解析】该题考查考生反映系统响应速度的 已知最小相位系统得开环对数幅频特性与串联校正装置得对数幅频特性如图所示: (１)写出原系统得开环传递函数G(S),并求其相角裕度; (2)写出校正装置得传递函数; (3) 画出校正后系统得开环对数幅频特性,并求其相角裕度。 如图示系统结构图１,试用结构图化简方法求传递函数、 设原控制系统得开环传递函数为,采用传递函数为得串联校正装置,试: 1、画出校正前系统得乃氏曲线(要求有简单步骤),并判断系统得稳定性(说明理由)、 2。绘出校正前、后系统得对数幅频特性图。 3.说明采用得就是何种校正方案,该校正方案对系统有何影响。 已知系统方框图如图所示,试计算传递函数、、、。 某控制系统得方框图如图所示,欲保证阻尼比＝0.７与响应单位斜坡函数得稳态误差为=0、２5,试确定系统参数Ｋ、。 典型二阶系统得开环传递函数得标准形式有哪几种,绘出欠阻尼情况下得阶跃响应曲线,标出必要得动态性能指标、 试述非线性系统得特点,并写出饱与特性得输入与输出得关系式。 试述非线性系统得稳定性判据。 描述函数法分析非线性控制系统必须满足什么条件? １)线性部分必须具有较好得低通特性;２)非线性得输出必须就是奇函数或半波对称函数,保证直流分量为０;３)非线性部分输出得基波分量最强;4)非线性系统可化成典型得结构形式、若一非线性二阶系统以坐标原点作为奇点,且该二阶非线性系统线性化后得奇点类型为稳定得焦点、节点鞍点,试绘出该奇点附近得相轨迹。 某系统得特征方程为,则其大小相等符号相反得虚数极点对为___＿_＿______、__＿＿________。 离散系统结构图如图所示,采样周期。 （1）写出系统开环脉冲传递函数; （2）确定使系统稳定得值范围; （3）取,计算作用时系统得稳态误差。 注:ｚ变换表 ; ; 。 控制系统如图2所示,系统单位阶跃响应得峰值时间为３s 、超调量为20％,求K,a值。 已知最小相位系统Bode图如图所示 ,试求系统传递函数。自动控制典型例题分析3
第六章 练习题
自动控制理论习题及答案