第九章应力状态与强度理论.
第九章应力状态与强度理论
教学目标：了解一点的应力状态；掌握一点应力状态主应力及主平面的计算。
重点、难点：一点应力状态主应力及主平面的计算。
学时分配：4学时。
（一） 一点的应力状态
通过受力构件内一点的所有截面上的应力情况称为一点的应力状态。
（二） 一点的应力状态的表示法一一单元体
围绕所研究的点，截取一个边长为无穷小的正六面体，
用各面上的应力分量表示周围材料对
其作用。称为应力单元体。
特点： 1单元体的尺寸无限小，每个面上的应力为均匀分布。
2?单元体表示一点处的应力，故相互平行截面上的应力相同。
（三） 主平面、主应力、主单元体
主平面单元体中剪应力等于零的平面。
主应力 主平面上的正应力。
可以证明：受力构件内任一点，均存在三个互相垂直的主平面。三个主应力用
厂、（T 2 和（T 3表示，且按代数值排列即 （T l > （T 2> b 3。
主单元体 用三对互相垂直的主平面取出的单元体。
（四）应力状态的分类
根据主单元体上三个主应力中有几个是非零的数值，可将应力状态分为三类:
只有一个主应力不等于零。 有两个主应力不等于零。
三个主应力都不等于零。 1
.单向应力状态 2 .二向应力状态 3 .三向应力状态
单向应力状态又称为简单应力状态，二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。单向及二向应力状态又称为平面应力状态。
（三）平面应力状态分析法
平面应力状态通常用单元体中主应力为零的那个主平面的正投影表示如图所示。
（四）任意斜截面成 a 的应力
（T x 、（T y 、（T xy ,则与I 轴成。角的斜截面上的应力分量为
~ 2 _ T Ky sin2vt
+ r xv cos2a
式中 正应力T 以拉应力为正；剪应力 T 以对单元体产生顺时针力矩者为正, 时针转向为正。
（五）主平面 主应力
主平面的方位角 a 0
主应力
考虑到单元体零应力面上的主应力为零，因此若已知一平面应力状态
a 角以逆
若"吟〉＞0、则"="彌，陀h扁⑴旳d 0 若厅论＞ O^min ＜讥则
斥=口唤心=0," = ff min 若＜0,ff niin＜ 0,则町0,出=叫逊心=巧皿
i
（六）主剪应力及其作用面
作用面方位角a i
数值
必须说明:
1 .主剪应力T xy主是单元体上垂直于零应力面所有截面上剪应力的极大值和极小值。并不一定是该点的最大和最小剪应力。
2 ?主剪应力作用面（主剪面）与主平面成45°角，即
aj = ao ± 45°
（七）强度理论的概念
1?材料破坏的两种类型
材料破坏型式不仅与材料本身的材质有关，而且与材料所处的应力状态、加载速度温度
环境等因素有关。材料在常温、静载荷下的破坏型式主要有以下两种：
脆性断裂材料在无明显的变形下突然断裂。
塑性屈服（流动）材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力。
2?强度理论。
在复杂应力状态下关于材料破坏原因的假设，称为强度理论。
研究强度理论的目的，在于利用简单应力状态下的实验结果，来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。（八）四个常用的强度理论
四个常用强度理论的强度条件可以统一地写成
tg2?]
a
x
_ a
y
式中（T r称为相当应力，其表达式为
最大拉应力理论T r1 = T 1
（第一强度理论）
最大拉应变理论T r2 = T 1 —V （T l+ T 2）
（第二强度理论）
最大剪应力理论T r3 = T 1 —T 3
（第三强度理论）
形状改变比能理论
（第四强度理论）
[T]为材料的许用应力。
对于工程上常见的一种二向应力状态如图5—9—3所示，其特点是平面内某一方向
的正应力为零。设T y=0,则该点的主应力为
第三强度理论（最大剪应力理论）的相当应力为
九=丿詆+ 4吒
第四强度理论（形状改变比能理论）的相当应力为
最大拉应力理论、最大拉应变理论是关于脆性断裂的强度理论；最大剪应力理论、形状改变比能理论是关于塑性屈服的强度理论。
强度理论的选用
在三向拉应力作用下，材料均产生脆性断裂，故宜用第一强度理论；而在三向压缩应力
状态下，材料均产生屈服破坏，故应采用第三或第四强度理论。当材料处于二向应力状态作
-巾严十巧）2 +〔巧一6 IT
9
用下时：
脆性材料易发生断裂破坏，宜用第一或第二强度理论；
塑性材料易发生塑性屈服破坏，宜用第三或第四强度理论。
应力状态及强度理论
图8-1 第 8章 应力状态及强度理论 例8-1 已知应力状态如图7-1所示，试计算截 面m-m 上的正应力m σ与切应力m τ 。 解：由图可知，x 与y 截面的应力分别为 MPa x 100-=σ MPa x 60-=τ MPa y 50=σ 而截面m-m 的方位角则为 α= -30o 将上述数据分别代入式（7-1）与（7-2）， 于是得 ()()()()MPa m 5.11460sin 6060cos 250100250100-=?-?+?---++-=σ()()()MPa m 0.3560cos 6060sin 2 50100=?-?-?---=τ 例8-2 试用图解法解例8-1（图8-2a ）。 (a) (b) 图8-2 解：首先，在τσ-平面内，按选定的比例尺，由坐标(-100，-60）与(50，60)分别确定A 和B 点图7-2b ）。然后，以AB 为直径画圆，即得相应的应力圆。 为了确定截面m-m 上的应力，将半径CA 沿顺时针方向旋转α2=60o至CD 处，所得D 点即为截面m-m 的对应点。 按选定的比例尺，量得OE =115MPa （压应力），ED =35MPa ，由此得截面 m-m 的正应力与切应力分别为
MPa m 115-=σ MPa m 35=τ 例 8-3 从构件中切取一微体，各截面的应力如图8-3a 所示，试用解析法与图解法确定主应力的大小及方位。 (a) (b) 图8-3 解：1.解析法 x 和y 截面的应力分别为 MPa x 70-=σ，MPa x 50=τ，0=y σ 将其代入式 (7-3）与 (7-5），得 }{MPa MPa 2696502070207022max min -=+?? ? ??--±+-=σσ ?-=??? ??--=?? ? ??-- =5.6202650arctan arctan max y x o σστα 由此可见， MPa 261=σ，02=σ，MPa 963-=σ 而正应力1σ 的方位角 o α则为-62.5o(图8-3a ）。 2.图解法 按选定的在τσ-平面内，按选定的比例尺，由坐标(-70，50）与(0，-50)分别确定D 和E 点（图8-3b ）。然后，以DE 为直径画圆即得相应的应力圆。 应力圆与坐标轴σ相交于A 和B 点，按选定的比例尺，量得OA =26MPa ，
第7章-应力状态和强度理论03.
西南交it 大学应用力*与工程系材#^力学教研i 图示拉伸甄压缩的单向应力状态，材料的破 坏有两种形式： 塑性屈服；极限应力为0■力=<5；或bpO2 腌性斷裂；极限应力为O ■必= CJ\ 此时，4 O>2和偽可由实验测得.由此可建 互如下S 度余件： ^mai 其中n 为安全系数? 2）纯剪应力状态： 图示纯剪应力狀态，材料的破 坏有两 种形式： 塑性屈服：极限应力为 腌性斯裂：极限应力为5 = 5 %和昭可由实验测得.由此可建立如下 =(^■1 it §7.7强度理论及其相当应力 1、概述 1）单向应力状态: a. ＜亠［6 n 其中, ?度条件:
前述a 度条件对材料破坏的原因并不深究.例如 图示低碳钢拉（压）时的强度条件为： r V J - b, b|nw W — — — // n 然而，其屈服是由于 YnurJl 起的,对?示单向 应力状态，有： 「niu 依照切应力强度条件，有： 4）材料破坏的形式 常温、静栽时材料的破坏形式大致可分为: ?腌性斷裂型： 例如：铸铁：拉伸、扭转等； "钢：三向拉应力状态. -塑性屈月艮型： 例如：低碳钢：拉伸、扭转寻； 铸铁：三向压缩应力状态. 可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关. , 5）强度理论 根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不论材料处于何种应力状态，某种类型的破坏都是由同一因素引起，此即为强度理论. 常用的破坏判据有： 旎性断裂：5,磁可皿 ?性斷裂：V； 下面将讨论常用的-基于上述四种破坏判据的?虞理论. 7.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x ασσσσ σατα+-= + -=sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）max 261.82 x y MPa σσσ+= = min 38.22x y MPa σσσ+== MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 7.2扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。 解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 2 στ τ 7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成 45方向上的正应变4 100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传 递的功率。 解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()113 1 1E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ= +V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成 60 方向上的正应变4 60101.4-?= ε，E=200GPa ，0.3υ=， 试求荷载P 。 解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P=36.2KN 40 MPa .word 可编辑 . 应力状态强度理论 1. 图示单元体，试求60100 MPa (1)指定斜截面上的应力； (2)主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解： (1) x y x y cos 2x sin 276.6 MPa 22 x y sin 2x cos232.7 MPa 2 3 1 (2)max xy( x y) 2xy281.98MPa39.35 min22121.98 181.98MPa，2 ，3121.98MPa 12 xy1200 0arctan()arctan39.35 2x y240 200 6060 2. 某点应力状态如图示。试求该点的主应力。129.9129.9解：取合适坐标轴令x25 MPa，x 由 120xy sin 2xy cos20 得 y 2 所以m ax x y ( xy ) 2xy 2 m in 22 129.9 MPa 2525 (MPa) 125MPa 50752( 129.9)250 150100 MPa 200 1 100 MPa，20 ，3200MPa 3. 一点处两个互成45 平面上的应力如图所示，其中未知，求该点主应力。 解：y150 MPa，x120 MPa .word 可编辑 . 由得45x y sin 2xy cos 2x 15080 22 x10 MPa 所以max xy(x y) 22 22xy min y x 45 45 45 214.22 MPa 74.22 1214.22 MPa，20 ， 45 374.22 MPa 4.图示封闭薄壁圆筒，内径 d 100 mm，壁厚 t 2 mm，承受内压 p 4 MPa，外力偶矩 M e 0.192 kN·m。求靠圆筒内壁任一点处的主应力。 0.19210 3 解： xπ(0.104 40.14)0.05 5.75MPa t 32 x y pd MPa 50 4t pd MPa 100 2t M e p M e max x y(x y ) 2 xy2 min22100.7 MPa 49.35 1100.7 MPa，249.35 MPa，3 4 MPa 5.受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使 x 100 MPa，x 20MPa40 MPa100 MPa xy x y 12020 MPa 22cos2x sin 2 第八章 应力状态和强度理论 8.1 图示矩形截面简支梁中的1、2、3、4、5、6点所对应的单元体。 1： ；2： ；3： ； 4： ；5： ；6： 。 图8.1 ( C ) 8.2由A3钢制成的圆杆受力如图所示。与危险截面A 上a 、b 、c 、d 点分别对应的单元体应是a ： ；b ： ；c ： ；d ： 。 ( D ) ( C ) ( B ) ( A ) 8.3分别写出与图示平面应力状态单元体上1、2、3、4斜截面对应的方位角：1α： ；2α： ；3α： ；4α： 。 8.4在图示四个切应力中，切应力为负的是（ ）。 图8.4 ( D ) ( C ) ( B ) ( A ) x 8.5在图示单元体中，x σ： ；y σ： ；x τ： ；y τ： 。 8.6图示平面应力状态的单元体及其应力圆如图所示。在图（b ）所示的应力圆上与ab 斜截面对应的点是 ，在图（c ）所示的应力圆上与ac 斜截面对应的点是 。 ( c ) ( b ) x ( a ) 图8.6 8.7单元体及其应力圆分别如图（a ）、（b ）所示，试在应力圆上标出与ab 、bc 斜截面所对应的点。 ( a ) 图8.7 x 8.8平面应力状态的单元体及其应力圆如图所示。ef 斜截面上的正应力和切应力应是（ ）。 （A ）与1D α对应，15MPa ασ=-，8.66MPa ατ= （B ）与2D α对应，25MPa ασ=-，8.66MPa ατ= （C ）与3D α对应，25MPa ασ=-，8.66MPa ατ=- （D ）与4D α对应，15MPa ασ=-，8.66MPa ατ=- 8.9作出图示单向应力状态单元体的应力圆。利用应力圆得出图示α斜截面的应力为ασ= ，ατ= ，以及max τ= ，max τ的作用面和x x 第五章应力状态分析与强度理论 1、内容提要 1.应力状态的概念 1.1一点的应力状态 通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。 1.2一点的应力状态的表示方法——单元体 研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一个无限小的正六面体，即单元体。若单元体各个面上的应力已知或已计算出，则通过该点的其他任意方位截面上的应力就可用解析法或图解法确定。 1.3主平面、主应力 单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。 过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。相应的主应力用、、来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即。是最大主应力，是最小主应力，它们分别是过一点的所有截面上正应力中的最大值和最小值。 1.4应力状态的分类 （1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主应力均为零；（2）二向或平面应力状态，两个主应力不为零，另一个为零； （3）三向或空间应力状态，三个主应力都不为零。 单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。 2.平面应力状态分析的解析法 在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等于零，即为主平面，其上主应力为零。可将单元体用平面图形表示，如图5-1所示。 2.1任意斜截面上的应力 当已知、、时，应用截面法，可得 （5-1） 式中，正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任意点的矩为顺时针转向为正，反之为负；为斜截面外法线与x平面外法线即x 轴间的夹角，角从x轴量起，反时针转向为正，反之为负。 2.2主应力 （5-2） 式中，和分别表示单元体上垂直于零应力面的所有截面上正应力的最大值和最小值。它们是三个主应力中的两个，而另一个主应力为零。三个 (2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解：(1) MPa 6.762sin 2cos 2 2 =--+ += ατασσσσσα x y x y x MPa 7.322cos 2sin 2 -=+-=ατασστα x y x (2) 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=98.12198.81-=MPa 98.811=σMPa ，02 =σ，98.1213-=σ MPa 35.3940 200 arctan 21)2arctan( 2 10== --=y x xy σστα 2. 解：取合适坐标轴令25=x σ MPa ，9.129-=x τ由02cos 2sin 2 120 =+-= ατασστxy y x 得125-=y σMPa 所以2 2m in m ax )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-± += 200 100 15050)9.129(755022-= ±-=-+± -= MPa 1001=σ MPa ，02=σ，2003-=σ MPa 3. 一点处两个互成 45平面上的应力如图所示，其中σ未知，求该点主应力。 解：150=y σ MPa ，120-=x τ MPa 由 ατασστ2cos 2sin 2 45 xy y x +-= 802 150 -=-= x σ 得 10-=x σ MPa 所以 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= 22 .7422.214-= MPa 22.2141=σ MPa ，02=σ，22.743-=σ 4. 图示封闭薄壁圆筒，内径100=d mm ，壁厚2=t mm ，承受内压4=p MPa ，外力偶矩192.0=e M kN ·m 。求靠圆筒内壁任一 点处的主应力。 解：75.505.032 ) 1.0104.0(π1019 2.0443 =?-?= x τ MPa 504==t pd x σ MPa 1002==t pd y σ MPa 35.497.100)2 (22 2min max =+-±+=xy y x y x τσσσσσσ MPa 7.1001=σ MPa ，35.492=σ MPa ，43-=σ MPa 5. 受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使100=x σMPa ，20=x τ α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ' 45-M e 8-9 矩形截面梁如图所示，绘出1、2、3、4点的应力单元体，并写出各点的应力计算式。 解：(1)求支反力R A =1.611KN,R B =3.914KN (2)画内力图如图所示。 x Pl (-)(+) Pl x σ x σ （4) M kN ·m) P P P '-P P ' P' a a l-2a A y τττσ x x σ B y (-) (-) (+) （1) （2) h /4 P b P z h 1 2 34 V kN) 题8-9图 (3) 求梁各点的正应力、剪应力： (4)画各点的应力单元体如图所示。 9-1 试用单元体表示图示构件的A 、B 的应力单元体。 （a ）解：（1）圆轴发生扭转变形，扭矩如图所示。 111max 222222333333max 442330,22(')[()]448 11 4()12 12 00(0, 0) 16 Z Z Z Z z V p A b h h h h P P b M V S Pl h y I I b b h b h b M S M Pl W b h σττστστστ==-=-? =-??-?? ?-?= ?=? = =??????=====- =- =?? 9-1a ττ y A y τ τ y τ τ A B τ τ y τ τ y B y τ τ80kN ·m B A 160kN ·m A B - + 160 80 200 80kN ·m 240kN ·m A T (kN ·m ) B （2）绘制A 、B 两点的应力单元体： A 、 B 两点均在圆轴最前面的母线上，横截面上应力沿铅垂方向单元体如图所示： 331601020.216 80510.216 A A t b B t T Pa kPa W T Pa kPa W τπτπ= ==?===-? （b ）解：（1）梁发生弯曲变形，剪力、弯矩图如图所示。 z y 160kN 0.5m 0.5m 0.5m 0.5m 80kN ·m 50 50 120kN 40kN 120 200 - + 120 V kN) 40 M kN ·m) + 120 4020 60 x στx τA B A A σx x ττx x στx τσx B B 题9-1（b ） 已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x MPa ασσσσσατα+-= + -= sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）2 2max 261.82 2x y x y x MPa σσσσστ+-??= += ??? 2 2 min 38.222x y x y x MPa σσσσστ+-??=+= ??? MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。 解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 100100 200 60T α A 2 σ1 στ τ 用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成 45方向上的正应变 4100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传递 的功率。 解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()11311E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ=+V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成 60方向上的正应变460101.4-?= ε，E=200GPa ，0.3υ=，试求荷载P 。 解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P= 45A 80120 60 A P 建 筑 力 学 刘国华 阚小妹主编 电子工业出版社 第八章应力状态和强度理论 【知识目标】 ●了解平面及空间应力状态的概念 ●熟悉平面应力状态的分析方法 ●熟悉空间应力状态最大剪应力的大小及分布 ●掌握强度理论的概念及其适用范围 【能力目标】 ●能熟练运用解析法和应力圆法求解一点处的应力状态 ●能求解空间应力状态下一点处的最大剪应力 ●能写出四个强度理论的相当应力及强度条件 ●能正确选择强度理论对构件危险点处进行强度校核 第一节平面应力状态下的应力分析 一、平面应力状态的概念 由构件的应力分析可知，在受力构件的同一截面上不同点的应力是不同的，一般都既有正应力，又有切应力（如对称弯曲中，构件横截面上距中性轴为某一距离的任一点处）。受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。 为了研究受力构件内某一点处的应力状态，可以围绕该点取出一个单元体。例如，研究图8—1（a）所示矩形截面悬臂梁内A点处的应力状态，可用三对相互垂直的平面，围绕 图8—1 若单元体有一对平面上的应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内，则称为二向或平面应力状态。如受扭圆轴除轴线以外各点处及横力弯曲梁上下边缘以外各点 处均为平面应力状态。平面应力状态的普遍形式如图8—2（a）所示，即在其它两对平面上分别有正应力和切应力（σσxx，ττxx和σσyy，ττyy）。现研究在普遍形式的平面应力状态下，根据单元体各面上已知的应力分量来确定其任一斜截面上的未知应力分量，并从而确定该点处的最大正应力及其所在截面的方位。 二、解析法 （一）斜截面上的应力 已知一平面应力状态单元体上的应力为σσxx，ττxx和σσyy，ττyy，如图8—2（a）所示。如前所述，由于其前、后两平面上没有应力，可将该单元体用平面图形来表示（图8—2（b））。为求该单元体与前、后两平面垂直的任一斜截面上的应力，可应用截面法。设斜截面eeee的外法线nn与xx轴间的夹角（方位角）为α（图8—2（b）），简称为α截面，并规定从xx轴到外法线nn逆时针转向的方位角α为正值。截面上的应力分量用σσαα和τταα表示。 图8—2 利用截面法，沿斜截面eeee将单元体切成两部分，并取其左半部分eeeeee为研究对象。设斜截面eeee的面积为dA，则截面eeee和eeee的面积分别为ddddddddddαα和ddddddss nnαα。这样，微体eeeeee的受力如图8—2(c)所示，由该微体沿斜截面法向和切向的平衡方程，即∑FF nn=0和∑FF tt=0可得 σσααdddd+(ττxx ddddddddddαα)ddss nnαα?(σσxx ddddddddddαα)ddddddαα+ ?ττyy ddddddss nnαα?ddddddαα??σσyy ddddddss nnαα?ddss nnαα=0 ττααdddd?(ττxx ddddddddddαα)ddddddαα?(σσxx ddddddddddαα)ddss nnαα+ ?ττyy ddddddss nnαα?ddss nnαα+?σσyy ddddddss nnαα?ddddddαα=0 由切应力互等定理可知，ττxx和ττyy的数值相等(其指向已表示在图8—2（c）中)。由此可得任一斜截面（α截面）上的应力分量为 σσαα=σσxx+σσyy2+σσxx?σσyy2dddddd2αα?ττxx ddss nn2αα (8—1) 知识点9：应力状态理论和强度理论 一、应力状态理论 （一）应力状态的概念 １．一般情况下，受力构件内各点的应力是不同的，且同一点的不同方位截面上应力也不相同。过构件内某一点不同方位上总的应力情况，称为该点的应力状态。 ２．研究一点的应力状态，通常是围绕该点截取一个微小的正六面体（即单元体）来考虑。单元体各面上的应力假设是均匀分布的，并且每对互相平行截面上的应力，其大小和性质完全相同，三对平面上的应力代表通过该点互相垂直的三个截面上的应力。当单元体三个互相垂直截面上的应力已知时，可通过截面法确定该点任一截面上的应力。截取单元体时，应尽可能使其三个互相垂直截面的应力为已知。 ３．单元体上切应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。过受力构件内任一点，一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单元 体，称为主单元体。它的三个主应力通常用σ １，σ ２ 和σ ３ 来表示，它们按代数值 大小顺序排列，即σ １＞σ ２ ＞σ ３ 。 ４．一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据三个主应力的情况可分为三类：只有一个主应力不等于零时，称为单向应力状态；有两个主应力不等于零时，称为二向应力状态（或平面应力状态）；三个主应力都不等于零时，称为三向应力状态。其中二向和三向应力状态称为复杂应力状态，单向应力状态称为简单应力状态。 5．研究一点的应力状态是对构件进行强度计算的基础。 （二）平面应力状态的分析 １．分析一点的平面应力状态有解析法和图解法两种方法，应用两种方法时都必须已知过该点任意一对相互垂直截面上的应力值，从而求得任一斜截面上的应力。 ２．应力圆和单元体相互对应，应力圆上的一个点对应于单元体的一个面，应力圆上点的走向和单元体上截面转向一致。应力圆一点的坐标为单元体相应截面上的应力值；单元体两截面夹角为α，应力圆上两对应点中心角为２α；应力圆与σ轴两个交点的坐标为单元体的两个主应力值；应力圆的半径为单元体的最大切应力值。 ３．在平面应力状态中，过一点的所有截面中，必有一对主平面，也必有一对与主平面夹角为４５?的最大（最小）切应力截面。 ４．在平面应力状态中，任意两个相互垂直截面上的正应力之和等于常数。 图9-1（a ）所示单元体为平面应力状态的一般情况。单元体上，与x 轴垂直的平面称为x 平面，其上有正应力σx 和切应力τxy ；与y 轴垂直的平面称为y 平面，其上有正应力σy 和切应力τyx ；与z 轴垂直的z 平面上应力等于零，该平面是主平面，其上主应力为零。平面应力状态也可用图9-1（b ）所示单元体的平面图来表示。设正应力以拉应力为正，切应力以截面外法线顺时针转90?所得的方向为正，反之为负。 （a ） （b ） （c ） 图9-1 图9-1（c ）所示斜截面的外法线与x 轴之间的夹角为α。规定α角从x 轴逆时针向转到截面外法线n 方向时为正。α斜截面上的正应力和切应力为： ??? ??? ? +-=--++=ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy y x xy y x y x 最大正应力和最小正应力 2 2 min max 22xy y x y x τσσσσσσ+??? ? ? ?-±+= 第七章 应力状态和强度理论 习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A 点和B 点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a ）] 解：A 点处于单向压应力状态。 2244 12d F d F F A N A ππσ-=-== [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 331616 1d T d T W T P A ππτ-=== MPa mm mm N 618.798014.3108163 36=????= [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 0=∑A M 04.028.02.1=?--?B R )(333.1kN R B = A σ A τ )(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa m m m m m m N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa m m m m m m N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa m m m m N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa m m m m N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。 解：A F x = σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/30030022==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于0 60 ~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ，且这一拉杆 A τ B τ B σA τA σ 第九章应力状态理论基础 一、教学目标 通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。 二、教学内容 1、应力状态的概念； 2、平面应力状态分析--数解法 3、平面应力状态分析—图解法 4、三向应力状态下的最大应力； 5、广义胡克定律?体应变； 6、复杂应力状态的比能； 7、梁的主应力?主应力迹线的概念。 三、重点难点 重点： 1、平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大 剪应力的计算。 2、广义胡克定律及其应用。 难点： 1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力情况。 2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。 3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。 4、广义胡克定律及其应用。 四、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 五、计划学时 6学时 六、实施学时 七、讲课提纲 本章与前几章在研究对象上的不同之处。 回顾：内力图：N F 、n M 、Q F 、M --一根（杆、轴、梁） 强度计算??? ??一面（危险截面）一段—、—、max max max max M F M F Q n N 本章：应力状态— 一点。 (一)应力状态的概念 一、为什么要研究一点的应力状态？ 简单回顾： 拉压： 图9-1 强度条件：[]?????=≤= n n A F b s N σσσσ 扭转： 图9-2 强度条件：[]?????=≤=n n W M b s n n ττττmax 弯曲： 图 11-3 《工程力学》第7次作业（应力状态与强度理论） 2009－2010学年第2学期3系、5系各班 班级学号姓名成绩 一、填空题 1．过构件内某点各个截面中的最大正应力和最小正应力就是该点处的。 2．最大切应力作用面与主应力作用面成度角。 3．研究点的应力状态，通常是该点取单元体，由于单元体尺寸为，所以可认为单元体每个侧面上的应力是；两相互平行的侧面上相应的应力大小是的，符号是的。 4．若单元体某一截面上的，则该截面称为主平面；主平面上的称为主应力。一个单元体上有相互的三对主平面，因此有三个主应力，它们按代数值大小的排列顺序是。 5．人们把从生产实践和力学试验中观测到的材料失效现象与构件的应力分析相结合，提出了一些解释材料在复杂应力状态下失效原因的假说，这些假说称为。材料失效的现象尽管多种多样，但其主要形式不外乎两种：一是，二是。 6．第一强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。 7．第三强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。 8．第四强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。 二、问答题 1、什么叫一点处的应力状态？为什么要研究一点处的应力状态？如何研究一点处的应力状态？ 2、.什么叫单元体？什么叫主平面和主应力？主应力与正应力有什么区别？ 三、计算题 1、试画出图示简支梁上点A和B处的应力单元体，并算出这两点的主应力数值。 2、试求各单元体中指定斜截面上的正应力和切应力。 3、对于下列所示的单元体，试求： （1）求出主应力和主平面方位； （2）画出主单元体； （3）最大切应力。 4、如图所示的圆轴，直径30=d mm ，如拉力50=F KN ，扭矩2.0=M KN·m ， []120 =σMPa 。试按第三和第四强度理论，校核其强度。 第八章 应力状态分析 1．矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ） 所示。关于他们的正确性，现有种答案： （A ）点1、2的应力状态是正确的；（B ）点2、3的应力状态是正确的； （C ）点3、4的应力状态是正确的；（D ）点1、5的应力状态是正确的； 正确答案是 。 2．已知单元体AB 、BC 面上只作用有剪应力 τ ，现关于AC 面上应力有下 列四种答案： （A ）2/ττ=AC ，0=AC σ； （B ）2/ττ=AC ，2/3τσ=AC ； （C ）2/ττ=AC ，2/3τσ-=AC ； （D ）2/ττ-=AC ，2/3τσ=AC ； 正确答案是 。 3．在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力 βασσ= 成立的充分 必要条件，有下列四种答案： （A ）y x σσ=，0≠xy τ； （B ）y x σσ=，0=xy τ； （C ）y x σσ≠，0=xy τ； （D ）xy y x τσσ==； 正确答案是 。 C τ (a) (b) 4．对于图示三种应力状态（a ）、（b ）、（c ）之间有下列四种答案 ： （A ）三种应力状态均相同； （B ）三种应力状态均不同； （C ）（b ）和（c ）相同； （D ）（a ）和（c ）相同； 正确答案是 。 5．直径为d 的圆截面杆，两端受扭转力偶m 作用。设 ?=45α，关于下列结 论（E 、v 分别表示材料的弹性模量和泊松比） 1） 在A 、B 、C 点均有0==y x εε； 2） 在点C 处，() 3 /16d m πσα-=； 3） 在点C 处，)]/(16[]/)1[(3 d m E v πεα?+-=； 现有四种答案： （A ）1）、2）正确； （B ）2）、3）正确； （C ）1）、3）正确； （D ） 全正确； 正确答案是 。 6．广义虎克定律适用范围，有下列四种答案： （A ）仅适用于脆性材料； （B ）仅适用于塑性材料； （C ）适用于材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D ）适用于任何材料； 正确答案是 。 m A C τ (a) (b) (c) 第七章 应力状态和强度理论习题 一、单项选择题 1、第三强度理论和第四强度理论适合于何种材料？ A 、塑性材料， B 、脆性材料 C 、金属材料， D 、非金属材料 2、第一强度理论和第二强度理论适合于何种材料？ A 、塑性材料， B 、脆性材料， C 、金属材料， D 、非金属材料。 二、 填空题 1、 对于单元体，切应力等于零的平面叫做 ，该平面上的正应力叫做 。 2、第一、二强度理论适合于 材料；第三、四强度理论适合于 材料。 3、第三强度理论的相当应力为 。 4、单元体上只有一对主应力数值不等于零的应力状态称为 应力状态。 5、单元体上只有二对主应力数值不等于零的应力状态称为 应力状态。 6、单元体上三对主应力数值都不等于零的应力状态称为 应力状态。 三、填空题 1、求图示单元体的三个主应力和最大切应力 （图中应力单位：Mpa ）。 答：单元体的三个主应力和最大切应力分别为： σ1= Mpa, σ2= Mpa, σ3= Mpa, τmax = Mpa 。 2、求图示单元体的三个主应力和最大切应力 （图中应力单位：Mpa ）。 答：单元体的三个主应力和最大切应力分别为： σ1= Mpa, σ2= Mpa, 图 7.3.1 图 7.3.2 σ3= Mpa, τmax = Mpa 。 3、已知应力状态如图所示，应力单位为MPa 试求：（1）主应力大小；（2）最大切应力。 4、已知应力状态如图所示，应力单位为MPa 。 试求：（1）主应力大小；（2）最大切应力。 1、A 2、B 二、填空题 1、主平面 主应力 2、 脆性 塑性 3 、r313s s s =- 4、单向 5、二向 6、三向 二、填空题 1、 2、 3、解： （1）应力分量 50020x y x MPa MPa σστ===- max min 57.0507.022x y MPa MPa σσσσ+??===??-?? MPa MPa 0.70 0.57321-===∴σσσ （2）最大剪应力 MPa 0.3220 .70.572 3 1max =+= -= σστ 第七章应力状态和强度理论习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a）] 解：A点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d F F A N Aπ π σ- = - = = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1d T d T W T P Aπ π τ- = = = MPa mm mm N 618 . 79 80 14 .3 10 8 16 3 3 6 = ? ? ? ? = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 = ∑A M 4.0 2 8.0 2.1= ? - - ? B R ) ( 333 .1kN R B = A σ A τ )(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa mm mm mm N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa mm mm mm N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mm N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa mm mm N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。 解：A F x =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 0x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/3003002 2 ==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于0 60 ~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ，且这一拉杆 第七章 应力状态和强度理论习题答案 一、单项选择题 1、A 2、B 二、填空题 1、主平面 主应力 2、 脆性 塑性 3、主平面 主应力 4 、eq313 s s s =- 5、主平面 主应力 6、单向 7、二向 8、三向 二、填空题 1、解： （1）应力分量 MPa MPa xy y x 200 50-===τσσ max min 57.0507.022x y MPa MPa σσσσ+??==±=??-?? MPa MPa 0.70 0.57321-===∴σσσ （2）最大剪应力 MPa 0.3220 .70.572 3 1max =+= -= σστ 2、解： （1）应力分量 MPa MPa MPa xy y x 253060-===τσσ max min 74.2603015.822x y MPa MPa σσσσ+??+=±= ±=???? 08 .152.74321===∴σσσMPa （2）最大剪应力 MPa 1.3720 2.742 3 1max =-= -=σστ 三、计算题 1、 解 简化力系 () ()() [] 200m m d 32 109.11025.1W T M m 25KN .12 1 5.22D F -2F M 9.5KN 522.52F F F F 3 2 62 6Z 2 Max 2Max r3P ≈≤?+?= +=?=?===++=++=解出总σπσd 2、解 由题 () ()() [] σπσ≤≈?+?= +=-=??=??=?=≤≤?-==??=??=?=∑MPa d W T M M T m m N L X X F Z r AB 12932 104.1105.1105.1150101L F M 0M 0M mm N 104.1140101L F M 3 2 52 52 2353AB Max 1A 53BC 所以符合强度 3、解： （1）外力分析，将作用在胶带轮上的胶带拉力F1、F2向轴线简化，结果如图 传动轴受竖向主动力： kN 1436521=++=++=F F G F ， 此力使轴在竖向平面内弯曲。 附加力偶为： ()()m kN 8.16.03621?=?-=-=R F F M e ， 此外力偶使轴发生变形。 故此轴属于弯扭组合变形。 （2）内力分析 分别画出轴的扭矩图和弯矩图如图。 危险截面上的弯矩m kN 2.4?=M ，扭矩m kN 8.1?=T （3）强度校核第7章 应力状态和强度理论 (答案)
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