中考数学复习指导：实际问题中的仰角和俯角问题.doc

实际问题中的仰角和俯角问题

在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知

仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度.

梳理总结：（1）仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同

位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽

象为数学问题.

⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把

每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就

得到这座山的高度.

例1如图2 ,甲、乙两栋高楼的水平距离〃〃为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部力点的仰

角Q为30。，测得乙楼底部〃点的俯角0为60。，求甲乙两栋高楼各有多高？（计算过程和结果

都不取近似值.

分析:过点C作CE±AB于点E,在RUBCE和R2ACE中，BE和AE可用含CE（即为水平距离）

的式子表示出来,从而求得两楼的高.

解:作CE丄AB于点E,

?/CE||DB, CD||AB,且zCDB二90°,二四边形BECD 是矩形.??CD二BE, CE=BD.

< CZJ

CZ3甲

匸

1—1

%

%

X

■= = %%Q \ %□

A

o o

在Rt^BCE 中，n 0 二60°, CE=BD=90 米.

tan P = , .*.BE=CE ? tan /? = 90x tan 60° = 90\/3 （米）.

CE

.?.CD二BE二90VJ （米）.

在Rt^ACE 中，za = 30°,CE=90 米.

AE

T tan a —-- .

CE

「.AE二CE tan^ = 90xtan30° =90x—= 30^3 （米）.

3

.?.AB二AE+BE二30^3 + 90^3 = 120^3 （米）.

答:甲楼高为90A/3米，乙楼高为120侖米.

反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型，作辅助线构造直角三角形（一般同时得到两个直角三角形）并解之是解决这类问题的常用方法.

例2如图3 ,小山上有一棵树.现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离AB.

要求：⑴画出测量示意图；

⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）；

⑶根据（2）中的数据计算.

分析：要测量底步不能到达的物体的高度，要转化为双直角三角形问题,测量方案如图

2,计算的关键是求AE,可设AE二x,则在RZAGF和R2AEF中，

利用三角函数可得HE =」一，EF = ——，再根据HE-FE二CD二in tan

a tan p

建立方程即可.

ra A

解：（1 ）测量图案（示意图）如图4所示

（2 ）测量步骤：第一步：在地面上选择点C安装测角仪，测得此时树尖A的仰角ZAHE = a;

第二步：沿CB前进到点D，用皮尺量出C, D之间的距离CD = m ;

第三步：在点D安装测角仪，测得此时树尖A的仰角乙AFE = ?

第四步：用皮尺测出测角仪的高力.

（3 ）计算:

令AE=x,则tan a — -^―,得HE =—-—,又tan 0 = -^―,得EF = —,

HE tan a EF tan 0 ?.?HE—FE二HF二CD二m.二-- =m.

反思：在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的

1.如图5 , —游人由山脚A沿坡角为30°的

山坡行走600m ,到达一个景点B，再由B沿

关系（包括三角函数关系、相等关系）,运用方程求解，有时可起到事半功倍之效.

自主练习：

山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观

测到景点3的俯角为45°，则山高CD等于（结果用根号表示）

2.如图6,某幢大楼顶部有一块广告牌CD,

甲乙两人分别在相距8米的A、B两处测得D点和

C点的仰角分别为45°和60°,且A. B. E三点

C D □□□□□□□□

在一条直线上，若BE二15米，求这块广告牌的高度.（取術~1.73,计算结果保留整数）

参考答案：

1.(300 + 100>/2)m.

2.?.?AB = 8, BE=15, AAE = 23,在RtAAED 中，ZDAE=45° , ???DE=AE=2

3.

在RtABEC 中，ZCBE=60° ,

???CE=BE ? tan60° =15^3 ,.?.CD=CE—DE= 15能一23?2. 95?3.

即这块广告牌的高度约为3米.