第4课时--圆的面积公式应用——已知直径求面积圆的面积公式应用——已知直径求面积

圆的面积公式应用——已知直径求面积教学目标：

1．结合具体事例，经历灵活运用圆的面积公式解决简单实际问题的过程。

2．掌握已知直径求面积的计算方法，能解决生活中简单的实际问题。

3．感受数学与生活的密切联系，增强学生的应用意识，提高运用知识解决实际问题的能力。

教学重点：

正确并灵活的运用公式进行计算。

教学难点：

正确并灵活的运用公式解决生活中的问题

教师准备：圆规，多媒体课件一套。

学生准备：圆规，直尺。

教学过程：

（一）新课导入：

师：同学们，国庆长假期间，你们出去游玩了吗?把你认为最漂亮的地方给大家说一说吧。

学生回答。

师：同学们去的地方真多，下面我带着你们去一个地方。(多媒体出示本市市区休闲广场景象)

生：广场上喷泉真漂亮!

师：如果知道圆形喷水池的半径是5米，你能算出喷水池面积有多大吗?

学生回答，在练习本上书写解答过程。

3.14×52

＝3.14×25

＝78.5(平方米)

答：喷水池的面积是78.5平方米。

师：你们运用的公式是什么?

生：圆的面积计算公式S＝πr2。

(板书：S＝πr2)

师：同学们对上节课所学知识掌握得不错!今天我们继续学习圆的面积。

二、引导探究，解决问题

1．出示教材第50页草坪面积问题。(课件出示)

某公司要在办公大楼前建一个圆形草坪。

算一算：需要多少平方米草皮?(得数保留整数)

师：谁能说一说该怎么计算?

生：要先计算出草坪的半径是多少米。

师：怎样列式呢?

学生回答，指名板书：

11)2

3.14×(

＝3.14×30.25

≈95(平方米)

答：大约需要95平方米草皮。

11等于5.5，再计算5.52。

师：我们要注意，先计算

2．多媒体出示“水缸木盖”问题。

(1)读题：要给右面的水缸加一个圆形木盖，木盖的直径要比缸口直径长10厘米。木盖的面积是多少平方厘米?

(2)合作探究。

师：同桌间互相商量一下，要解决这个问题，需要哪些条件?先求什么，再算什么。用你自己喜欢的方式把它表示出来并解答。

(3)学生汇报。

生1：求木盖的面积是多少先求出木盖的半径，可以先求出水缸的半径90÷2＝45(cm)，然后加上木盖比水缸多的10厘米45＋10＝55(cm)，求出木盖的半径，然后就能求出木盖的面积了。

生2：我也是先求水缸的半径为90÷2＝45(cm)，但是木盖的半径比缸口半径多10÷2＝5(cm)。所以木盖的半径应是45＋5＝50(cm)。然后再利用圆的面积公式进行计算。

生3：我是先求木盖的直径是多少：90＋10＝100(厘米)，然后再求木盖的半径，最后利用圆面积公式求木盖的面积。

(4)比较算法。

师：他们的算法对吗?各有什么优缺点?(让学生进行讨论，通过比较判断对错，能发现哪种方法比较简便)

(5)对比小结。

师：刚才同学们都非常积极，谁来总结一下。

生1：第一位同学的解法是错误的，他误把多出的“直径”看作了半径。

生2：第二位同学和第三位同学的思路都是正确的。但第三位同学的方法比较简便。

师：的确如此，在解决较复杂的问题时，更要看清楚条件和问题，分析题中的数量关系，选取简便的方法来解答。

(请第三位同学按他的方法板书)

三、巩固练习

学生独立解决第51页“练一练”第1、2、3题。

四、课堂小结

通过今天的学习，大家有什么收获?

圆的面积计算

圆的面积计算教学内容：新课标数学六年级上册P67、68例1，圆的面积计算公式推导，圆面积计算的运用。教学目标： 1、通过动手操作、认真观察，让学生经历圆面积计算公式的推导过程，理解掌握圆面积公式，并能正确计算圆的面积。 2、学生能综合运用所学的知识解决有关的问题，培养学生的应用意识。 3、利用已有知识迁移，类推，使学生感受数学知识间的联系与区别。培养学生的观察、分析、质疑、概括的能力，发展学生的空间观念。 4、通过学生小组合作交流，互相学习，培养学生的合作精神和创新意识，提高动手实际和数学交流的能力，体验数学探究的乐趣和成功。教学重点：运用圆的面积计算公式解决实际问题。教学难点：理解把圆转化为长方形推导出计算公式的过程。教学准备：多媒体课件及圆的分解教具，学生准备圆纸片和圆形物品。教学过程：出示以下图形： 1、请同学们指出这些平面图形的周长和面积，并说说它们的区别。 2、你会计算它们的面积吗？想一想，我们是怎样推导出它们面积的计算公式的？（电脑课件演示）二、合作交流，探究新知。 1 出示圆：（1）让学生说出圆周长的概念，并指出来。（2）想一想：圆的面积指什么？让学生动手摸一摸。（揭示：圆所占平面的大小叫做圆的面积。）

（3）对比圆的周长和面积，让学生感受他们的区别。同时引出课题——圆的面积。 2、推导圆面积的计算公式。（1）学生观察书本P67主题图，思考：这个圆形草坪的占地面积是多少平方米？也就是要求什么？怎样计算一个圆的面积呢？（2）刚才我们已经回顾了利用平移、割、补等方法推导平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式的方法，那能不能把圆也转化成学过的图形来计算？猜一猜，圆可以转化成什么图形来推导面积公式呢？你打算用什么方式进行转化？（3）请各小组先商量一下，你们想拼成什么图形，打算怎么剪拼，然后动手操作。 ①分小组动手操作，把圆平均分成若干(偶数)等份，剪开后，拼成其他图形，看谁拼得又快又好？ ②展示交流并介绍：小组代表给大家介绍一下你们组拼出来的图形近似于什么？是用什么方法剪拼的？为什么只能说是“近似”？能不能把拼出的图形的边变直一点？ ③当圆转化成近似长方形时，你们发现它们之间有什么联系？课件演示：

圆的面积公式03

《圆的面积》教学设计正定回民小学吴彦霞教材分析：本课是学生学习了其它平面图形的面积后教学的，是小学平面几何的最后阶段，教材通过直观的组合图形面积的计算，让学生操作、观察、比较推导出圆的面积计算公式来解决生活中的实际问题。学情分析：学生已经掌握长方形、正方形、三角形、梯形的面积计算公式，并有了将一个图形转化成另一个面积相等的图形的转化思想，在此基础上将圆转化成长方形学生是乐于接受的。教学目标：知识与技能: 让学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积计算公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题，构建数学模型。过程与方法：让学生进一步体会“转化”的数学思想方法，感情极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思维。情感态度价值观：让学生进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。教学重点：让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算

公式。教学难点：“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受。教学准备：平均分成16份的学具、课件。教学策略： 1、本课是在学生掌握了面积的含义及长方形、正方形等平面图形面积的计算方法，认识了圆，会计算圆的周长的基础上进行教学的，教学时要注意遵循学生的认识规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生的生活经验和已有的知识出发。 2、教学本课时，重点引导学生参与知识形成的过程，从而培养学生的创新意识、实践能力，并发展学生的空间观念提出将圆割拼成已学过的图形，组织学生动手操作，让学生主动。教学过程：一、复习导入，激发探索欲望 1.复习圆的周长计算方方法，圆周长的一半计算方法。 2.复习圆的面积，学生自己总结圆的面积是什么？ 3.复习已学的平面图形的计算方法。 4.我们先来回忆一下平行四边形的面积计算公式是怎样推导出来？我们遇到没学过的图形可以转化成学过的图形来计算,那能否把圆也转化成学过的图形来计算呢？【设计意图:复习铺垫，让学生能很快联系所学过的知识，很快就能进入新课的学习。】二、新课探究

圆的面积计算公式的推导(吴琼)

九年义务教育第十一册第94页圆的面积计算公式的推导江油市世纪奥桥小学吴琼设计意图：拓展学生的思路，培养学生的创新能力，多角度来推导圆的面积计算公式。教学目标：（一）知识与技能 1．知道圆面积的含义。 2．理解和掌握圆面积的计算公式。（二）过程与方法 1. 通过公式推导培养操作、观察、比较、分析、判断、推理、归纳概括能力，发展空间观念。 2．培养学生迁移类推能力。（三）情感态度价值观 1.通过对圆面积公式的推导，认识到事物在一定条件下可以互相转化，渗透转化和极限的思想和方法。 2.运用转化思考方法解决实际问题，探究过程： 1．回忆学过的图形面积公式的推导过程。 2．推导圆面积的计算公式。（1）教师指导转化。

将已分成16等份的圆用剪刀把每一份剪开，用这些近似等腰三角形的小纸片依次横着拼起来，并用固体胶粘在纸上，看能拼成什么图形？（2）学生动手操作。按照老师的示范，请同学们动手剪拼一下，看到底能拼成什么图形。（学生动手操作。）谁能向大家汇报一下，你把圆拼成了一个什么图形？（生答：拼成了一个近似的平行四边形。请把你拼好的图形放在实物投影上展示给大家看。）（3）课件演示过程。把圆分成16等份，这些小纸片可以拼成一个近似的平行四边形；把圆分成32等份，可以拼成一个近似的长方形；如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。）（4）推导面积公式。拼成的长方形与圆有什么联系？同位讨论。学生汇报讨论结果。生答师继续演示课件。生：拼成的长方形的面积与圆的面积相等。师：这个长方形的长和宽与圆的周长和半径有什么关系？生：长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径。因为长方形的面积＝长×宽所以圆的面积＝周长的一半×半径 S＝πr×r S＝πr2 [设计意图：动手操作是学生学习数学的重要方式，让学生经历公式的推导过程，

园的面积公式一

一、复习旧知，导入新课 1、还记得这些平面图形的面积计算公式吗？ 2、平行四边形的面积公式推导过程还记得吗？我们是通过剪拼的方法把它转化成长方形的。小结：把圆转化成哪一个我们学过的平面图形，从而得到它的面积公式，这是今天我们要学习的内容。板书：圆的面积【设计意图】在复习引导中让学生回想一下什么叫面积，理解平面图形的面积，然后让学生回忆长方形的面积是怎样计算的，为学习圆的面积公式作铺垫，同时回忆平行四边形、三角形和梯形等图形的面积计算公式的推导过程。通过直观的演示，激发学生积极主动地学习。引导学生复习长方形的面积计算公式，渗透了要求圆的面积也需从转化的思想放手。二、教学实施（一）、定义： 1、请你摸一摸哪里是圆的面积？ 2、师：圆所占平面的大小就是圆的面积。（二）、渗透极限思想：师：圆与以前我们研究的平面图形有什么不同？不同之处：圆是由一条封闭曲线围成的平面图形，而以前学过的平面图形都是由几条线段围成的封闭图形。师：如何化曲为直呢？引导学生操作：师：（拿出一个圆片）我们怎么剪？圆的大小是由什么决定的？（直径、半径）生：（圆的大小由直径或半径决定。）沿直径或半径剪。师剪第一刀，再问:第二刀怎么剪？师:我们要把圆通过剪成多份并用拼的方法转化成学过的规则图形，为了计算上的方便，我们把圆平均分成多份。将一个圆分别平均分成2份、4分、8分、16份，分别罗列排好。请学生观察四组图。师：随着等分份数的不断增加，你有什么发现吗？ A：随着等分份数的不断增加，曲线越来越直。 B：随着等分份数的不断增加，每一小份越来越接近三角形。【设计意图】让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算公式是本节课的重点；由于圆与以前学习的直线图形性质有很大不同，对“曲线图形”转化为直线图形学生是第一次接触，对学生已有知识和经验都是一种挑战，因此，“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受是本节课的难点。（三）拼摆推导面积公式。 1、拼摆师：把圆转化成什么图形？我们来试一试。学生操作，演示学生的作品。师：转化后的图形面积与圆的面积有什么关系？面积不变。课件出示：把圆等分成不同等份时的图形的趋势。 2、推导面积公式

圆的面积(23)

《圆的面积》教学设计【教学内容】义务教育课程标准实验教科书第十一册P69～71例1、例2。【教学目标】 1、认知目标使学生理解圆面积的含义；掌握圆的面积公式，并能运用所学知识解决生活中的简单问题。 2、过程与方法目标经历圆的面积公式的推导过程，体验实验操作，逻辑推理的学习方法。 3、情感目标引导学生进一步体会“转化”的数学思想，初步了解极限思想；体验发现新知识的快乐，增强学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的兴趣。【教学重点】：掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。【教学难点】：理解圆的面积计算公式的推导。【教学准备】：相应课件;圆的面积演示教具【教学过程】一、情境导入出示场景?——《马儿的困惑》师：同学们，你们知道马儿吃草的大小是一个什么图形呀？生：是一个圆形。师：那么，要想知道马儿吃草的大小，就是求圆形的什么呢？生：圆的面积。师：今天我们就一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积） [设计意图：通过“马儿的困惑”这一场景，让学生自己去发现问题，同时使学生感悟到今天要学习的内容与身边的生活息息相关、无处不在，同时了解学习任务，激发学生学习的兴趣。] 二、探究合作，推导圆面积公式 1、渗透“转化”的数学思想和方法。师：圆的面积怎样计算呢？计算公式又是什么？你们想知道吗？我们先来回忆一下平行四边形的面积是怎样推导出来？生：沿着平行四边形的高切割成两部分，把这两部分拼成长方形师：哦，请看是这样吗？（教师演示）。生：是的，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。师：同学们对原来的知识掌握得非常好。刚才我们是把一个图形先切，然后拼，就转化成别

圆的面积计算公式

《圆的面积计算公式》课堂实录教学目标：知识与技能：掌握圆的面积计算公式，并能正确计算圆的面积。过程与方法：在合作交流、动手操作中提高同学们推理归纳能力，发展空间观念。情感态度与价值观：在学习新知中体验数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。教学重点、难点：圆的面积计算公式的推导。教学准备：多媒体课件、正方形纸片、正六边形纸片、剪刀。教学过程：一、体验“圆出于方” 师：今天老师给大家带来几个平面图形，看大家认不认识（课件依次展示正方形、正六边形、正十二边形、正二十四边形……，当课件展示到正二十四边形时同学们都回答是圆，这时教师把正二十四边形放大，让同学们观察到它确实是一个多边形，再依次展示其它正多边形。大家不难发现正多边形的边数越多它就越接近圆形。）师：如果正多边形有无数条边，它就变成了一个什么图形生：圆。师：（课件出示圆形）其实圆形就是一个有无数条边的正多边形，也就是我们常说的“圆出于方”。大家想一下我们都了解过圆的哪些知识

生：周长、半径、直径…… 师：有哪位同学能说一下圆周长的计算公式：生：C=2πr、C=πd. 师：很正确，我们了解了圆的这么多知识，大家还想研究一下圆的哪些知识生：圆的面积。师：你知识什么是圆的面积吗生：圆所占平面的大小叫圆的面积。师：你回答的可真不错，下面我们就一起来研究一下圆的面积。（通过本环节，让同学们感受圆出于方的变化过程、复习圆周长的计算公式、认识圆的面积，都为下面圆的面积公式的推导做好准备。）二、动手操作、合作探究圆的面积计算公式。 1．推导正方形的面积计算公式。师：刚才我们已经知道圆就是一个有无数条边的正多边形，我们研究圆的面积就从最简单的正多边形开始研究。（课件出示正方形）拿出学具袋中的正方形，要求它的面积需要知道什么生：边长。师：下面我们小组合作，抛开以前求正方形面积的方法，利用我们学过的知识和学具袋中的工具看看能不能再探究出一种求正方形面积的方法。（小组合作时教师可适当引导，最后汇报总结。）

圆的面积公式推导教案

圆的面积公式推导教案教学目标; 1、通过操作，使学生理解圆的面积公式推导过程，掌握圆的面积的方法并能正确计算。 2、激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。 3、渗透转化的数学思想和极限思想教学重点： 1、理解圆的面积公式的推导过程。 2、掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。教学难点：理解圆的面积公式的推导过程。教具准备：多媒体课件，圆片，剪刀。学具准备：分成十六等分的圆硬片，剪教学过程：一、故事导入【设计意图】引起学生学习兴趣，同时也让学生明白这个故事与所要学习的内容有联系。【出示课件1、2】二、出示学习目标【出示课件3】【设计意图】让学生清楚学习的重点，难点是什么？也提醒老师要有的放矢。三、学习新知（一）、定义： 1、摸一摸哪里是圆的面积？圆所占平面的大小就是圆的面积。【出示课件4】（二）、小组交流【出示课件5】圆与以前我们研究的平面图形有什么不同？不同之处：圆是由一条封闭曲线围成的平面图形，而以前学过的平面图形都是由几条线段围成的封闭图形。如何化曲为直呢，推导出它的面积公式呢？（三）复习旧知，渗透极限思想【出示课件6】

1、还记得这些平面图形的面积计算公式吗？ 2、平行四边形的面积公式推导过程还记得吗？（我们是通过剪拼的方法把它转化成长方形的。）【出示课件7、8】小结：把圆转化成哪一个我们学过的平面图形，从而得到它的面积公式。（四）小组合作学习【出示课件9、10、11、12、13、14】（1)老师引导学生将圆化曲为直，先将圆沿直径剪开，然后沿半径再把圆平均分成偶等份。然后把剪成多份并用拼的方法将其转化成学过的规则图形。 (2)请学生观察四组图。随着份数的不断增加，有何发现？【出示课件15】（3）转化后的图形面积与圆的面积有什么关系？【出示课件16】（4）长方形各部分相当于圆的什么？【出示课件17】 (5）试着推导出圆的面积公式。【出示课件18】（五）风采展示 1、学生汇报推导过程。 2、学生齐读圆面积公式。并说一说圆的面积大小与什么有关系？【设计意图】这两个环节是在教师的引导和启发中，每个学生都动口，动手，动脑，培养学生学习的主动性和积极性。（六）当堂测试与应用 1、做课件图示，求半径为2分米的圆的面积【出示课件19】 2、做课前出示的圆形花坛的面积。【出示课件20】 3、根据下面所给的条件，求圆的面积。【出示课件21】（1）、半径2分米（2）、直径10厘米 4、一个雷达屏幕的直径是40厘米，它的面积是多少平方厘米？ 5、判断对错：（1）圆的半径越大，圆所占的面积也越大。（）（2）圆的半径扩大3倍，它的面积扩大6倍。（）【设计意图】在当堂测试与应用中设计了基本练习与综合练习。基本练习主要是加强学生对圆面积的认识，并能计算圆的面积。综合练习是培养学生的综合应用

《圆的面积计算公式》教学设计

《圆的面积计算公式》教学设计（一）课标分析《义务教育数学课程标准》在“学段目标”的“第二学段”中提出“探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征；体验简单图形的运动过程，能在方格纸上画出简单图形运动后的图形，了解确定物体位置的一些基本方法；掌握测量、识图和画图的基本方法”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值”。《义务教育数学课程标准》在“课程内容”的“第一学段”中提出“能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形”“会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图”；又在“第二学段”中指出“通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆”“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题”“通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形”“能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案”。（二）教材分析本单元教材在各知识板块的编排中，都体现了上述的理念与内容，即以实践性的活动让学生“做”起来，在“做”的过程中，引发学生的“思考”，进而主动探索，最终理解概念（或得出结论）。在实际教学中，教师应注意多让学生动手操作，通过画一画、剪一剪、围一围、拼一拼等多种形式，帮助学生认识圆的基本特征，探索圆的周长、面积计算公式。（三）学生分析 1.学生认知水平和能力状况本课时是在学生掌握了常规规则图形的面积计算的基础上教学的，主要是利用长方形的面积公式对圆的面积计算公式进行推导，正确计

在圆的面积公式S

(1) 在圆的面积公式S=πr 2中，常量是----------，变量是---------。 (2) 某村的耕地面积是108m 2,这个村人均占有耕地面积ym 2随这个村的人数x 人和变化而变化，其中常量是--------，变量是----------。 (3) 下列变量之间的系中，是函数关系的是( ) A.人的体重与年龄 B,正方形的周长与边长 C.长方形的面积与长 D.y=±x 中，y 与x (4)李教师讲完“变量与函数”这节知识后，让同学们说出实际生活中有函数关系的实例，并指出其中的常量与变量，自变量及函数。甲生说:“如果设路程为s （千米），速度为v （千米/时），时间为t （时），当路程s 为一定值时，s 为常量，v,t 为变量，v,是自变量，t 是v 的函数。” 乙生说：“甲生所举实例中，t 是自变量，v 是t 的函数。” 丙生说：“四生所举实例中，当v 为一定值量，v 为常量，s ，t 是变量，t 为自变量，s 是t 的函数。” 你认为哪位同学的说法正确？（）（5）函数1 1+x 中，自变量x 的取值范围是（）（6）函数y= 2-x 中，自变量x 的取傎范围是（）（7）函数y=31 -x 中，自变量x 的取傎范围是（） (8) 函数y=2x 2-3x-1中，自变量x 的取傎范围是（）（9）如图，等腰△ABC 的周长为10，腰长为x ，底边长为y ，则y 与x 的函数关系式及自变量的取值范围是？ A A.y=10-2x(x>0) B.y=10-2x(0

圆面积公式的各种证明方法刘晓丽李小龙

圆面积公式的各种证明方法刘晓丽李小龙 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

圆面积公式的各种证明方法证明方法1：转化（小学段）（1）拼成平行四边形，4份，8份，16份。（2）拼成长方形。近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。长方形的面积 = 长×宽圆的面积 = πr × r 所以，圆的面积公式是：S =πr2 （3）拼成两层平行四边形（两层）近似平行四边形的面积 = 底×高圆的面积 = 1 2 C × 2r = 1 2πr × 2r 所以，圆的面积公式是： S =πr2（4）用三角形（小）拼三角形的面积 = 1 2×底×高圆的面积 = 1 2×（ 1 16× C ）× r ×16 所以，圆的面积公式是：S =πr2（5）拼成梯形梯形的面积 = 1 2（上底+下底）×高圆的面积 = 1 2×（ 5 16 + 3 16）× C × 2r 所以，圆的面积公式是：S =πr2

拼成三角形（大）（6）三角形的面积 = 1 2底×高圆的面积 = 1 2×（ 1 4× C ）× 4r 所以，圆的面积公式是：S =πr2 证明方法2：半径为r的圆的圆周长为2πr 1.先将圆周等分成n份:每份长为2πr/n. 2.连接每个分点与圆心,并且连接各个分点,组成三角形. 3.那么,根据三角形面积公式,该圆的面积近似等于:(n-1)·r·(2πr)/n/2.(因为在n充分大时,各个三角形的高近似等于r,并且有n-1个三角形,所以有该公式) 取极限:l im (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2,因为lim(n→+∞)(n-1)/n=1 所以lim (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2=πr^2 证明方法3：极限法（高中段: 以圆的正n边形表示圆的面积: 设圆的半径为r,内接一个正n边形,它的任意一边所对的圆心角为2π/n,先算出其中一个三角形的面积(用两边夹角的公式S=(1/2)a*b*sinC),然后得到这个正n六边形的面积: Sn=(n/2)r2sin(2π/n) 当n无限增大时,内接正n边形的形状无限接近于圆,它的面积也无限接近圆的面积.求这个极限要用一高等数学中一个重要的极限公式(函数的极限): 当x→0时,lim[(sinx)/x]=1 [题外话:这个极限的几何意义是,当x无限减小时,y=sinx的图象与直线y=x是重合的,在这种情况下,我们可以用x的值来代替sinx,以在某些领域做近似计算]

圆的面积公式

最佳答案长方形的周长（长+宽）X2 正方形的周长=边长X4 长方形的面积=长X宽正方形的面积=边长X边长三角形的面积=底X高吃平行四边形的面积=底乂高梯形的面积=（上底+下底）X咼吃直径=半径X2半径=直径吃圆的周长=圆周率X直径= 圆周率X半径X2 圆的面积=圆周率X半径X半径长方体的表面积= （长X宽+长X高+宽X咼）X2 长方体的体积=长X宽X高正方体的表面积=棱长X棱长X6 正方体的体积=棱长X棱长X棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长X咼圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积X高圆锥的体积=底面积X高七长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积X高平面图形名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C = 4a S = a2 长方形a和b —边长 C = 2（a+b） S = ab 三角形a,b,c —三边长 h—a边上的高s —周长的一半 A,B,C —内角其中s= (a+b+c)/2 S = ah/2 =ab/2 ?inC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2s in Bsi nC/(2s inA) 四边形d,D —对角线长 a—对角线夹角S = dD/2 ? sin a 平行四边形a,b —边长 h —a边的高 a—两边夹角S = ah =absin a 菱形a —边长 a—夹角 D—长对角线长 d —短对角线长S = Dd/2 =a2sin a 梯形a和b —上、下底长 h —高 m —中位线长S = (a+b)h/2

=mh 圆r—半径 d 一直径 C = nd= 2 n r S = n r2 =n d2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C = 2r + 2n r X (a/360) S = n r2 X (a/360) 弓形I—弧长 b —弦长 h —矢高 r—半径 a—圆心角的度数S= r2/2 ? ( na /-S8l? a ) =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =na r2/360- b/2 [r2-(b/2)2]1/2 =r(I-b)/2 + bh/2 ~ 2bh/3 圆环R—外圆半径 r —内圆半径 D—外圆直径 d —内圆直径S = n (R2-r2) =n (D2-d2)/4 椭圆D —长轴 d —短轴S = n Dd/4 立方图形名称符号面积S和体积V 正方体a —边长S = 6a2 V = a3 长方体a-长 b —宽 c—高S= 2(ab+ac+bc) V= abc 棱柱S—底面积 h 一高V = Sh 棱锥S—底面积 h —高V = Sh/3 棱台S1和S2 —上、下底面积 h —高V = h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3

圆的面积计算公式的推导及应用

学习目标： 1.通过动手操作，让学生能推导出圆面积的计算公式，并能运用公式解答一些简单的实际问题。 2.激发学生学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。 3.渗透转化的数学思想。学习内容：《新课程标准》指出：要让学生经历探索物体与图形基本性质、变换、位置关系的过程，掌握圆的基本性质。圆的面积是本单元的教学重点，也是今后进一步学习圆柱、圆锥等知识的基础。本课是在学生已经掌握长方形面积的基础上，通过直观演示，把圆分割成若干等份，再拼成一个近似的长方形，然后由长方形面积公式推导出圆面积的计算公式。通过本节课的教学，不仅要使学生掌握圆面积的计算公式的推导，而且还能应用公式进行有关圆的面积计算。教学重点：利用圆面积计算公式正确计算圆的面积。教学难点：圆面积计算公式的推导。教具学具准备：多媒体课件、圆的面积公式学情分析：本课是在学生已经掌握长方形面积的基础上，通过直观、演示，把圆分割成若干等份，再拼成一个近似的长方形，然后由长方形面积公式推导出圆面积的计算公式。

圆的面积是本单元的教学重点，也是今后进一步学习圆柱体，圆锥体等知识的基础，本节课的教学目的要求是：１．通过学生操作、观察推导出圆面积的计算公式，并能运用公式正确计算圆的面积。２．通过教学培养学生初步的空间观念。３．渗透转化数学思想。本节课的教学重点是观察操作总结圆面积公式。难点是理解公式的推导过程。关健是弄清圆与转化后的近似长方形之间的关系。本课教学，采用直观演示和学生动手操作等方法，充分运用电教媒体辅助教学，由圆转化为近似的长方形，总结出圆的面积公式，并能在实际中加以运用。教学过程一、导入明标： 1、复习导入：为了激发兴趣，课件出示图片：一片草地中间拴着一只小狗，这只小狗的最大活动范围有多大?让学生明白小狗的最大活动范围就是一个圆。这个圆所占平面的大小又叫什么？ 2、板书课题："圆的面积"。 3、出示学习目标：二、自学质疑：独立阅读课本并自学例１，自己尝试完成圆的面积公式推导。并利用推导出的圆的面积计算公式做例题1。三、小组交流：小组4人交流圆的面积公式推导过程，并说说各字母所代表的意义。四、展示点拨：

圆面积公式的三种推导方法

圆面积公式的三种推导方法圆是个封闭的曲线图形，用面积单位度量求面积是行不通的，要么用初等数学中的剪拼的方法把圆转化为学过的简单图形计算面积，要么用高等数学定积分的方法求解。笔者就初等方法谈几点粗浅的认识，对于提高数学思维能力不无裨益。下面就将圆分别剪拼成三角形、平行四边形（长方形）、梯形来计算面积的方法作具体详细的分析。在剪拼的过程中，图形的大小没有发生变化，只是形状改变了。圆的面积等于拼成的近似图形的面积。一、将圆剪拼成三角形的方法把圆平均分成四份，得到四个小扇形，再把小扇形如下图拼成一个近似三角形。若圆的半径为r ，近似三角形的底可以看作两个扇形的弧长之和r π24 2?，高可以看作是两个半径r 2，则近似三角形的面积为22)24 2(21r r r S ππ=???=，即圆的面积为2r π。把圆平均分的份数越多，拼成的图形就越近似于三角形。要拼成三角形，分的份数只能是2n （22≥n 的整数）份，将圆2n 等份后，拼成的三角形叠了n 层扇形，最后一层有12-n 个扇形，其中扇形的顶点向上的是n 个扇形，向下的是 1-n 个扇形，故近似三角形的底为n r n r n ππ222=?，高为nr ，则近似三角形的面积为2221r nr n r S ππ=??=，即圆的面积为 2r π= S 。下面是把圆9等份的剪拼图示，

二、将圆剪拼成平行四边形的方法把圆平均分成四份，得到四个小扇形，再把小扇形如图拼成一个近似平行四边形。同样，圆的半径为r ，近似平行四边形的底可以看作2个扇形并成的为r π24 2?，高可以看作是小扇形的半径r ，则近似平行四边形的面积为222r r r S ππ=??=，即圆的面积为2r π= S 。同样的把圆平均分的份数越多，拼出来的图形越接近平行四边形，当分的份数无限大时，拼出的图形也可以看作是长方形。要拼成平行四边形，分的份数只能是n 2（2≥n 的自然数）份，将圆n 2等份后，拼成的平行四边形（叠了一层）的底为n r n 22π?，高为半径r ，则平行四边形的面积为222r r n r n S ππ=??=，即圆的面积2r π= S 。同样可以考虑叠2层，3层等。下面是把圆8等份后，由两层扇形拼成平行四边形的图示；

圆的面积公式

最佳答案长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长 h－a边的高

α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4 椭圆D－长轴 d－短轴S＝πDd/4 立方图形名称符号面积S和体积V 正方体a－边长S＝6a2 V＝a3 长方体a－长 b－宽 c－高S＝2(ab+ac+bc)

圆的面积计算公式教学设计

【教学目标】 1、认知目标使学生理解圆面积的含义；掌握圆的面积公式，并能运用所学知识解决生活中的简单问题。 2、过程与方法目标经历圆的面积公式的推导过程，体验实验操作，逻辑推理的学习方法。 3、情感目标引导学生进一步体会“转化”的数学思想，初步了解极限思想；体验发现新知识的快乐，增强学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的兴趣。【教学重点】：掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。【教学难点】：理解圆的面积计算公式的推导。【教学准备】：相应课件;圆的面积演示教具【教学过程】一、情境导入出示场景?——《马儿的困惑》师：同学们，你们知道马儿吃草的大小是一个什么图形呀？生：是一个圆形。师：那么，要想知道马儿吃草的大小，就是求圆形的什么呢？生：圆的面积。师：今天我们就一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积） [设计意图：通过“马儿的困惑”这一场景，让学生自己去发现问题，同时使学生感悟到今天要学习的内容与身边的生活息息相关、无处不在，同时了解学习任务，激发学生学习的兴趣。] 二、探究合作，推导圆面积公式 1、渗透“转化”的数学思想和方法。师：圆的面积怎样计算呢？计算公式又是什么？你们想知道吗？我们先来回忆一下平行四边形的面积是怎样推导出来？生：沿着平行四边形的高切割成两部分，把这两部分拼成长方形师：哦，请看是这样吗？（教师演示）。生：是的，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。师：同学们对原来的知识掌握得非常好。刚才我们是把一个图形先切，然后拼，就转化成别的图形。这样有什么好处呢？生：这样就把一个不懂的问题转化成我们可以解决的问题。师：对，这是我们在学习数学的过程当中的一种很好的方法。今天，我们就用这种方法把圆转化成已学过的图形。师：那圆能转化成我们学过的什么图形？你们想知道吗？（想） 2、演示揭疑。师：（边说明边演示）把这个圆平均分成16份，沿着直径来切，变成两个半圆，拼成一个近似的平行四边形。师：如果老师把这个圆平均分成32份，那又会拼成一个什么图形？我们一起来看一看（师课件演示）。

圆的面积公式探索

数学有形思想无痕 ——圆的面积公式的探索董文华一、在折剪中悟“极限” 师：在前几节课的学习中，我们知道了圆是最美丽的平面图形。现在我们举行一个“小巧手”比赛，每小组都备有纸和剪刀，想办法剪一个圆，比一比谁剪的最漂亮（小组活动后交流）小组1：（举起两个纸片）我们小组先是随意剪，怎么也剪不圆。对折一次再剪，剪了半圈，这次剪得好多了，但是仍不太圆。小组2：我们小组把纸对折了两次，剪了圆弧的四分之一，剪起来比较接近圆。小组3：（举着剪好的像花瓣一样的纸片）我们小组遇到了麻烦，把纸对折三次，剪了一刀展开后像一朵花一样。师：其他小组有没有这种情况小组4：我们小组刚开始也出现了这些问题，试了几次后发现了窍门，纸片折好后应该尽量剪直线，这样才能避免剪出花瓣形状。师：这个发现很重要，大家可以再尝试着剪一剪。（学生再次尝试，不断发出惊喜的声音。每个小组纷纷把最得意的作品展示在黑板上。）

师：想一想，圆是个曲线图形，为什么要“直着剪”展开后才会更圆学生1：受刘徽的“割圆术”的启示，正多边形最接近圆，“直着剪”其实就是剪了一个圆内的正多边形。学生2：剪的时候，要尽量的多对折，剪出的边越多越接近圆。师：认真观察黑板上我们的作品，你有什么发现学生1：我们刚才剪“圆”时，对折时留下了许多折痕，其实就是圆的半径，和圆弧围成了许多近似的小三角形，折的次数越多的作品越接近三角形。学生2：圆其实可以看成是由一些近似的等腰三角形组成的。二、在探究中巧“转化” 师：如何求圆的面积能不能像推导三角形、平行四边形的面积公式那样推导出圆的面积计算公式（小组活动后交流）小组1：我们把圆对折三次平均分成8个小三角形，三角形的底是圆周长的1 8，三角形的高也就是圆的半径r，推出圆的面积公式：1 8×2∏r×r÷2×8＝∏r2；小组2：折的次数越多分的份数就越多，我们可以这样想

【原创】圆的面积公式证明

圆的面积公式的证明山东省莱芜市陈毅中学初四八班郑康杰作设f(x)= r 2?x 2(r>0) 证明之前，我们需要明确f(x)= r 2?x 2(r>0)的图形一定是一个半径为r 半圆，为什么是个半圆？这么基础的问题你们就自己考虑吧。我们只需要证明| f x dx|=πr 22r ?r 即可（为什么积分的上下限分别为r 和-r ，想想这个函数与x 轴的两个交点的坐标），我们想要计算定积分 f x dx r ?r ，就必须要计算出F(x),使得 F ’(x)=f(x),怎么计算呢？用不定积分去计算即可，计算过程：设x=rsint f x dx = r 2?x 2dx = r 2? rsint 2d(rsint)= r 1? sint 2d(rsint) = rcost d rsint = r ?cost ?rcost dt = r 2? cost 2dt =r 2? cost 2dt =r 2? 1+cos 2t dt =r 2? 1+cos2t dt =r 2? 1 dt + cos2t dt =r 2? t +sin 2t =r 2t +r 2?sin 2t （为了计算简便，我省去了常数C ） ∵x=rsint ∴sint=x r ∴t=arcsin(x r ) 将t=arcsin(x r )代入r 2t 2+r 2?sin 2t 4得， ∴F x =r 2arcsin(x r )2+r 2 ?sin2?arcsin(x r )4 接下来，再用微积分基本定理计算 f x dx r ?r 即可。 f x dx r ?r =F r ?F ?r = r 2arcsin r r 2+r 2?sin 2?arcsin r r 4 ? r 2arcsin ?r r 2+r 2?sin 2?arcsin ?r r 4

(完整word版)六年级圆的面积计算

圆的面积计算【基础知识】【知识点一】圆的面积的意义圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。【知识点二】圆的面积计算公式圆面积公式的推导：（1）、用逐渐逼近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。圆的半径 = 长方形的宽圆的周长的一半 = 长方形的长因为：长方形面积 = 长×宽所以：圆的面积 = 圆周长的一半×圆的半径 S圆 = πr × r = πr2 r2 = S ÷π圆的面积公式： S 圆例： 1cm 1.5cm 半径不同的两个圆，他们的大小不同，在平面上所占的大小也不同。【知识点三】圆的面积与周长的区别圆的面积是指圆所占平面的大小；圆的周长是指围成圆的曲线的长度。

概念计算公式单位圆的面积圆所占平面的大小S=πr 面积单位长度单位圆的周长围成圆的曲线的长度C=πd 或： C=2πr 【知识点四】圆环的意义 1、圆环：以同一点为圆心，画出两个半径不相等的圆，两个圆之间的部分就是圆环，也叫环形。 2、各部分的名称例：知识点五、环形的面积的计算环形的面积：一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．） = πR 2－πｒ22或 S 环环形的面积公式： S = π（R2－ｒ2）。环例：常用各π值结果：

常用平方数结果 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 知识点六、关于圆的面积的各种类型题【例1】在一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路。求路面的面积。【举一反三】（1）环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积。（2）公园里有一个圆形花坛，直径是16米，在它的周围修建一条2米宽的环形便道。（圆周率取值为3）①这条便道的面积是多少？②沿着环形便道的外边缘每隔5米装一盏地灯，一共要安装多少盏灯？【例2】一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。（1）在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径扩大（）倍，周长扩大（）倍，面积扩大（）倍。（2）圆的半径增加1 4 ，圆的周长增加（），圆的面积增加（）。（3）大圆的半径等于小圆的直径，大圆的面积是小圆面积的（）。（4）一个圆的周长扩大3倍，面积就扩大（）倍。（5）大圆半径是小圆半径的3倍，大圆面积是84.78平方厘米，则小圆面积为（）平方厘米。（6）大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多12平方厘米，小圆面积是（）平方厘米。【例3】两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。例：（1）两个圆的半径比是2:3，那么这两个圆的直径比是（），周长比是（），面积比是（）. （2）有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的6倍，小圆与大圆周长的比是