序列二次规划法在反应炉温度分布控制上应用

序列二次规划法在反应炉温度分布控制上的应用Katuhito ISHIMARU, Masami KONISHI, Jun IMAI and Tatsushi NISHI

摘要：最近，许多研究已经开始着手观查高炉炉内现象。但是，这些研究只限于炉性能的评价，对于设计炉控制的方法仍然存在着不足。本文提出了一种方法运用临界数据来估计反应炉的温度分布，由此来控制炉内部目标的温度分布。首先，建立一个简化的炉仿真程序来计算炉内气流、压力和温度的分布。接着，用该仿真来估计和控制炉内温度分布。在估计中，用炉仿真中的临界数据，比如温度和压力，在接近炉壁的地方测量。然后，为了控制炉内温度分布，需要提供在炉底的吹气和炉顶的供应负担的所需值。为了估计和控制炉内温度分布，采用了一种迭代优化的方法——序列二次规划法。在我们的方法中，估计炉内温度分布是确定炉控制变量的准备。通过数值试验，证明了我们方法的有效性，说明了炉的温度分布能够通过迭代控制操作调节到所需的值。

关键词：序列二次规划法，最优化，反应炉，温度分布。

1. 引言

反应炉和高炉一样在金属工业中发挥重要的作用。基于炉设备的改进，炉的尺寸有了显著的扩大。众所周知，反应炉内部现象十分复杂【1-4】，并且炉的操作依然依靠熟练操作工的经验和直觉。

由于各种可变因素，比如气流、化学反应、铁矿石的融化和融合以及炉内填料的移动十分的复杂，反应炉的内部反应仍然未知。同时，工厂里需要稳定和低成本的炉操作。并且在将来，希望炉的自动操作能减少熟练工人的数量以及减少寻找他们后继者的难度。

在本研究中，我们提出了一个反应炉温度分布控制系统的设计方法。就如前面所描述的，由于复杂的炉内现象，如化学反应，高压和高温，只有接近炉壁的值能测量。因此，我们设法通过使用接近炉壁的传感器测得的数据来估计炉内温度分布。在估计中，吹炼条件通过序列二次规划法（SQP）来调节，从而实测的值能够匹配炉中相应点计算出的值。在炉内温度分布的控制中，计算出的分布与期望的分布比较。为了使它们之间的相差最小，吹炼条件和供应负担条件被改变。同样SQP法被用来进行控制。

通过这些提议，建立了一个炉内气流和温度分布的仿真，在仿真中使用临界条件来作为控制变量。该仿真是通过先前的研究【5-7】进行简化来获得维持反应炉主要反应和热传递现象的快速计算。

简化的仿真包括SQP方法，即反应炉的温度分布控制是通过使用炉中能测得的临界值的SQP方法来进行估计。这里，能测得临界数据包括炉壁附近的温度、压力和气流。反应炉温度分布是通过调节在炉底多风口和炉顶供料的吹炼条件来进行控制。

2. 温度分布的控制方法

接下来描述的是一个反应炉温度分布的控制方法，该方法见图1。在图中，包括两部分，温度分布的估计部分和控制部分。

图1 反应炉温度分布的控制方法

首先，处理估计部分，为了知道反应炉温度分布，数学模型使用了总气流、材料耗费条件和临界条件作为它的输入。数学模型的建立见参考文献[8]。通过数学模型计算的温度和测量的温度进行比较，多风口气体的体积是确定的，从而减少这两个值之间的误差。所以，多风口的气体体积需要计算。SQP方法被用来估计温度分布。数学模型的描述见附录。

接下来，处理控制部分。炉的操作是为了使估计的反应炉温度分布符合确定的需要的温度分布。这里，反应炉温度分布是操纵炉底的多风口气流和炉顶的供料来实现。SQP方法也被用来控制温度分布。通过SQP方法，使得估计和控制的每个目标函数最小。这些目标函数由于要估计和控制炉内温度而被设计得不同。

2.1 炉内温度分布的估计

由于反应炉的中心是高温和高压，所以很难测量那里的温度。事实上，只有反应炉外侧的温度能够被测量。在本研究中，反应炉内部的温度分布是通过使用能测量的数据来估计【9】。换言之，当在相同位置计算的温度值与测量数据符合时，反应炉计算的温度分布需要与被测

的温度分布符合。SQP 法就被用来作为使数据符合的方法。

这里，测量仪表的位置见图2。测量仪表装在反应炉壁上。温度计和压力计装在反应炉内侧壁上，而气流表则装在反应炉顶。

图2 测量仪表

这里，估计问题的建立如下：决定的值是从#1-#4入口进入的气体体积流量。当这些值确定了，反应炉的温度分布就能通过仿真计算出来。在估计中，目标函数通过方程（1）确定，即是温度、压力和气流估计值和测量值之差的加权和。方程（1）的变量f 需要最小。在该问题中，约束是气流的上下限和气体的总量方程见式（2）-（4）。

()()()222???t p v t

s s p v m m m f T T P P V V ααα=-+-+-∑∑∑ （1） 约束：

()1max 0h h c u u u =-≥ （2） ()2min 0h h c u u u =-≥ （3） ()()4310,:constant h h c u u

C C ==-=∑ （4）

其中，?s

T ，?P 和?V 分别是固体温度、压力、气流的估计值。u ，min u ，max u 分别是气流、气流的下限和气流的上限。s T ，P 和V 分别是固体温度、炉压、气体体积流量的测量值。t α，p α，v α是加权系数，t m ，p m ，v m 分别是温度、压力和气体体积流量的测量仪表的数量，参数h 是入口的数量。

2.2 控制变量的确定

反应炉的温度分布可以通过炉底风口的气流体积和炉顶的供料来控制。在本文中，一个温度控制系统包含反应炉模型和序列二次规划法（SQP ）。首先，在一个确定的时间，反应炉温度分布的估计值和需要的温度分布进行比较。然后在下一个间隔确定气体体积流量和供料的尺寸来使温度的相差最小。为了知道温度的差别，使用给定气体体积流量的反应炉仿真。通过迭代，下一个时间间隔的温度分不可以计算出来。反应炉的操作条件就通过这些迭代来确定。

这里，控制问题的建立如下：决定的值是每个时间间隔从#1-#4入口进入的炉底气体体积流量和从炉顶物料入口插槽#1-#2进入的供料尺寸。温度分布控制的目标函数通过式（5）确定，即温度差的平方和以及气体体积流量的约束。约束是气流的上下限和气体的总量以及供料尺寸的上下限。这些约束见式（6）-（10）。这里，式（5）-（10）中的l 就是控制的采样时间。控制间隔设定在20小时，是反应炉仿真时间步长的100倍。

()()()()()()(){}2112211211?,,max ,0l l l l d s h h i j f

w T i j T i j w u u a -===-+--∑∑ （5） 约束：

()()()1max 0l l h h c u u u =-≥ （6） ()()()()2min 0,

1,2,3,4l l h h c u u u h =-≥= （7） ()()()43

10l l h h c u u C ==-=∑ （8） ()()()4max 0l l c u Ds Ds ηη=-≥ （9）

()()()()5min 0,1,2l l c u Ds Ds ηηη=-≥= （10） d T ：需要的温度分布，1w ，2w ：加权系数，a ：常数，Ds ：供料尺寸，max Ds ：物料尺寸的上限，min Ds ：物料尺寸的下限，η：物料入口插槽，l ：时间间隔。

这里，系数1w ，2w 的值和a 设为10-4，100和1。这是凭经验确定的均衡值。

3. 使用SQP 法的最优化算法

在本研究中，SQP 法是用来估计和控制温度分布。SQP 法是非线性规划问题的一种有

效的方法。下面是一种使用SQP 法的最优化算法。

3.1 关于SQP 法

这里是SQP 法的计算方法。

1. 设定初解()0x ，海森近似()0B 和罚参数0r >，并且0k =。

2. 一个二次规划问题由目标函数和约束条件来定义。当它被解决了，就能确定()()()1k k k d x x +=-和拉格朗日乘子()1k u +。

()()()1

min 2T k k T f x d d B d ?+→

（11） ()()()()0T k k c x c x d +?≥

（12） 3. 更新罚参数。这里，0σ>。

()

{}()

{}1max :1,2,,,

max :1,2,,,k i k

i u i m r if r u i m r else

σ+?=+??=?<=???

（13） 4. 一个线性查找完成，步长()0k t >，()()()()1k k k k x x t d +=+。

5. 通过BFGS 算法更新海森近似B 。

()()()()()()()()()()()()()

()()()()1T T k k k k k k

k k T T k k k k k y y B s s B B B y s s B s +=+-

（14） ()()()!k k k s x x +=- （15） ()()()1k k k y L +=?-?

（16） ()()()()()()()

()()()()()()()()()()()1,0.20.8,T T

k k k k k T k k k T T k k k k k if s y s B s s s B else

s B s s y θ?≥??=???-?

（17） ()()()()1k k k k y y B s θθ=+- （

18） 这里，1M

i i L f u c =?=?-?∑。

6. 当满足收敛条件，计算就会停止.否则，k =k +1，并返回2.

3.2 用SQP法估计温度分布

在实际的高炉中，除了反应炉的外侧，是不可能去测量反应炉的温度。因为上面这些情况，我们使用有限的测量仪表来建立估计系统。估计系统的方法见图3。估计是通过有限仪表的测量数据来建立。

图3 估计的流程图

首先，通过初始条件来建立初解和一些分布。每个风口的气体体积流量是通过SQP法确定，来使得在相同的位置，模型符合测量的数据。当寻找气体体积流量利用在一个反应炉模型上，就可以估计炉内温度分布。然后，估计直接可以跟测量值进行比较。当目标函数的值最小，迭代就结束了。否则，这过程将会继续迭代。

3.3 SQP法来确定操作条件

利用SQP法来确定气体流量。这里，通过SQP法的动态优化算法来决定气体流量见图4。

首先，设定气体流量的初值，温度分布和物料消耗情况。接着，通过SQP法来确定下一个时间间隔的气体流量和供料尺寸。这里的时间间隔定义为仿真的复数时间步长。决定的气体流量和供料尺寸运用在反应炉模型中。反应炉温度分布改变的结果与需要的温度分布进行比较。当温度分布计算的结果与期望的结果之间的差小于10摄氏度时，计算就结束。否则，继续迭代。这里，设定反应炉仿真的时间步长为12min，采样时间为炉仿真时间步长的100倍。因此，本文的控制的时间间隔设为20小时。

图4 控制流程图

4. 反应炉温度分布控制的仿真

4.1 二维模型

本文采用的宏观模型是使用控制因子，比如气体流量和物料尺寸作为计算的临界条件来计算二维宏观气流和温度分布。二维模型节点的分配见图5。

图5 二维模型

模型的x轴和y轴分别是反应炉的宽度和高度。在高炉中，炉的高度大约是其直径的两倍。所以x方向的节点数设为12而y方向的节点数设为21。这里，一个节点大约是两米。在模型的底部有四个风口，高温的气体从这里进入。此外，见图6，供料的区域包括15个

节点。可以看出，物料是在反应炉壁附近供给。

图6 供料的位置

4.2 仿真的求解

反应炉的温度分布是通过求解气体流量方程、气体温度方程、固体温度方程来计算。本文采用有限差分近似方法来计算气流和温度分布。计算的流程图见图7。

图7 仿真流程图

当输入的变量，比如每个风口的气体流量和供料尺寸是给定时，就可以计算反应炉的温度分布。这个过程会一直持续，直到满足收敛条件。收敛条件见式（19）。这里n 是反应炉仿真的时间步长数，设为12分钟。T 是时间步长的最大值。

()()1,max ,,n n s s i j T i j T i j and n στ+-<≥ （19） 这里σ和τ被设为0.5和100。

4.3 气流和温度的数值模拟

反应炉的温度分布通过前面介绍的方法来计算。所有风口的气体流量都设为2个单位，气体温度设为1200摄氏度，供料尺寸的直径设为0.045米。

仿真结果中气体流量分布见图8（a），固体温度分布见图8（b）。

图8 反应炉仿真结果

气体从炉底的风口进入，从炉顶的装置排出，固体的温度在反应炉的中心最高，并且逐渐得向炉壁减少。

5. SQP应用的数值试验

图9中，是估计和控制的流程图。在估计时，反应炉模型在SQP方法的回路中使用。知道反应炉的温度分布变成稳态，反应炉模型的计算是连续的。在控制时，反应炉模型在SQP优化的回路中使用。控制的一个采样时间的计算是通过反应炉模型执行。使用这些结果，能够计算温度分布，并为下一个控制间隔保存。

5.1 温度分布的估计

反应炉温度分布的估计是通过3.2章图3所示的方法来计算。通过数值实验测得的实际的测量数据见表1。这些数据在图2中所示的节点测得。温度、压力、气流在炉的第10、8、2点测得。这里，气流是一个向量值。通过这些数据，反应炉的温度分布就能被估计了。

仿真结果中。图10（a）是目标函数的变化，图10（b）是作为控制变量的气流的变化，图10（c）是温度分布的估计，图10（d）是估计值和期望值之间的温差。

图10 仿真结果

如图所示，目标函数的值在迭代中减少。在23次迭代后，它收敛在9.6。气流的变化如图所示，#4风口的气体流量变得比其它风口大。并且，温度分布的估计在中心的右边高。至于估计值和期望值之间的温差，在大多数点上，估计值和测量值相等。最大的温差是在反应炉的中心为7.2摄氏度，左边的温差比右边的温差大。接近测量仪表的位置，温差小。当远离测量仪表，温差变大。

5.2 温度分布的控制

反应炉温度分布控制是通过图4的方法来计算。图11和图12是初始的温度分布和期望的温度分布。

图11 初始的温度分布图12 期望的温度分布控制反应炉温度分布是为了通过改变各风口气体流量的操纵值和炉顶供料值来获得期望的温度分布。

仿真结果中，图13（a），13（b），13（c）分别是目标函数，作为控制变量的气流，作为控制变量的供料尺寸的变化。图13（d）是最优温度分布。图13（e）是期望温度分布和最优温度分布的温差。

图13 仿真结果

从风口气流的改变可以看出，风口#1和#4的气流缓慢减少，风口#2和#3的气流缓慢增加。比较风口#1和#4的气流。#4的气流比#1多。最终，所有风口的气流都接近两个单位。供料尺寸的变化如图所示，在早期，供料尺寸都变大。随着时间的变化，两边的供料尺寸都从0.067米减小到0.047米。每次迭代后，目标函数都减少。期望温度分布和最优温度分布的最大温差是6.5摄氏度。炉中4个点固体温度通过控制的变化见图14。如图所示，通过40个小时，这些点上的温度调节到期望值。

图14 四个节点上温度的变化

接下来，已经被控制的结果不是反应炉的估计温度分布获得的所有节点的温度，而是下面显示的测量温度。目标函数见式（20）。式（20）和式（5）的差别是获得温度的位置的数量。

()()()()()()(){}

2112?,,max ,0t l l l l d s h h m f w T i j T i j w u u a -=-+--∑

（20） 仿真结果中，仿真条件和前面相同。图15（a ），15（b ），15（c ）分别是目标函数，作为控制变量的气流，作为控制变量的供料尺寸的变化。图15（d ）是最优温度分布。图15（e ）是期望温度分布和最优温度分布的温差。

如图15（a ）所示，直到第20次迭代后，计算才能满足收敛条件。如图11和12，开始时，反应炉的温度比期望的温度高。在图15（b ）中，装在接近测量仪表的风口#1和#4的气体流量减少来降低炉的热量。图15（c ）中，供料尺寸在相同情况下变大。在三次迭代后，温差减少。但是由于热量传递大的纯滞后，内部温度降低的更多。接着，风口#1和#4的气流增加，供料尺寸减少来增加炉的热量。在过程中，风口#2，#3的气流减少，反应炉中心

部分的温度比期望温度低。因而，如图15（e）所示，温差在中心部分最大，有91.4摄氏度。如图15（d）所示，炉中心部分的温度与期望值不同。

总之，通过实验可以发现需要温度分布的估计来控制反应炉中大范围的温度分布。

图15 不含估计的控制结果

6. 总结

在本文中，提出了炉内温度分布的估计和多风口气体流量以及供料的控制来获得期望温度分布的方法。对于这些假设，作为解决非线性规划问题的一种有效的方法——SQP方法被用来估计反应炉的温度分布，以及确定控制值。通过数值试验，证明了炉中温度分布能被估计，尽管与测量数据有一些差别。接下来，能确定控制变量，比如气流和供料，来获得期望的温度分布。反应炉温度分布的时间最优控制将会留到将来的研究中。

参考文献

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9) K. Ishimaru, M. Konishi, J. Imai and T. Nishi: CAMP-ISIJ, 17 (2004), 174.

10) K. Ishimaru, M. Konishi, J. Imai and T. Nishi: Proc. of 46th JACC, ISCIE, Kyoto, (2003), 54. 附录，数学模型

接下来将会介绍用在反应炉模型中的数学方程。

气体流量模型

在气体流动中，热量会随着液体的流动而传递。换言之，当液体快速流动时，大量的热量会沿着该方向传递。由于反应炉内具有相同的条件，风口的气流会对热量的扩散有很大的影响。这里将解释发现气流分布的数学模型。

在Ergun 方程中采用流变应力来获得气流分布，见式（1）。

()1212Re

V p f f V V V t ?=-?-++?? （A-1） 其中V 是空气的流速，p 是压力，Re 是雷诺数，1f 和2f 是Ergun 方程的系数。 ()2

1132311150, 1.75p p

f f D D εμεμεε--== （A-2） 其中ε为炉料的分散性，ρ为气体的密度，μ为气体的绝对粘滞性，p D 为物料颗粒的直径。 温度模型

我们通过气体和固体层来找到反应炉内部温度分布的结果，见式（A-3）。

()()g

g g g g s T V T T h T T t λ?=-??+?--? （A-3）

其中g T 是气体温度，s T 是固体温度，g λ是气体热导率，h 是气相和固相之间的热传导系数。式（A-3）的建立是基于热传导加上对流传热的关系，以及气相和固相之间的热传导。 反应炉固相温度分布的方程见式（A-4）。

()s s s g s T T k Q h T T t

λ?=?+?+-? （A-4） 其中，s λ是气体热导率，Q 是原料反应热，k 是反应系数。式（A-4）的建立也是基于热传导平衡。

方程的参数

通常，原料反应开始时具有高的温度，从而使反应系数k 达到较高的值。然而，原料中的铁矿石会在1300至1400摄氏度时融化。反应系数k 的定义见式（A-5）。它包括了物料的尺寸和反应炉的温度。

'exp p g E k Vk D R T αβ??=?-? ? ????

（A-5） (){}'1

1exp 1700/g k T γ=+- （A-6）

R 是气体常数，E 是活化能，α，β，γ是常数。