第讲函数的凸性及图形描绘

第17讲 函数的凸性及函数图形的描绘

讲授内容

一、函数的凸性

1．定义 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点21,x x 和任意实数)1,0(∈λ总有

)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，则称f 为I 上的凸函数．反之，如果总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+则称f 为I 的凹函数．

如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数． 2．引理 f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点,321x x x <<总有

≤

--1212)()(x x x f x f 2

323)

()(x x x f x f -- （1） 证：[必要性] 记.)1(,3121

32

3

x x x x x x x λλλ-+=--=则由f 的凸性知道

),()()()1()())1(()(31

31

21132331312x f x x x x x f x x x x x f x f x x f x f --+--=

-+≤-+=λλλλ

从而有 )()()()()()()(3121223213x f x x x f x f x x x f x x -+-≤-，

),()()()()()()()(312123212223x f x x x f x x x f x x x f x x -+-≤-+-

整理后即得(1)式·

[充分性] 在f 上任取两点1x ，3x （1x <3x )，在[31,x x ]上任取一点

)1(12λλ-+=x x 3x ，.),1,0(1

32

3x x x x --=

∈λλ即由必要性的推导逆过程，可证得

),()1()())1((3131x f x f x x f λλλλ-+≤-+故f 为I 上的凸函数

同理可证，f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上任意三点21x x <<3x ，有

.)

()()()()()(2

32313131212x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--

3．可导函数凸性的等价命题

定理6.13 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价：

1 f 为I 上凸函数；

2 'f 为I 上的增函数；

3 对I 上的任意两点21,x x ，有))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥． (5)

证：( 21?) 任取I 上两点21,x x (21x x <)及充分小的正数h ．由于h x x x h x +<<<-2211，根据f 的凸性及引理有

.)

()()()()()(22121211h

x f h x f x x x f x f h h x f x f -+≤--≤--

由f 是可导函数，令+

→0h 时可得 )()

()()(21

2121x f x x x f x f x f '≤--≤

'，所以f '为I 上的递增函数．

( 32?) 在以)(,2121x x x x <为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和f '递增，有

))(())(()()(1211212x x x f x x f x f x f -'≥-'=-ξ．移项后即得(5)式成立，且当21x x >时仍可得到相同结论．

( 13?) 设以21,x x 为上任意两点，213)1(x x x λλ-+= 0<λ<1．由

3，并利用

)())(1(12322131x x x x x x x x -=---=-λλ与，

),)(()1()())(()()(213331331x x x f x f x x x f x f x f -'-+=-'+≥λ ).)(()())(()()(123332332x x x f x f x x x f x f x f -'+=-'+≥λ

分别用λ和λ-1乘上列两式并相加，便得))1(()()1()(2121x x f x f x f λλλλ-+≥-+．从而f 为I 上的凸函数．

注：论断

3几何意义：曲线)(x f y =总在它任一切线之上．这是可导凸函数的几何特征．

4．二阶可导函数凸性的充要条件

定理6．14 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸(凹)函数的充要条件是 I x x f x f ∈≤''≥''),0)((0)(．

例1讨论函数x x f arctan )(=的凸(凹)性区间。 解：由于2

2)

1(2)(x x

x f +-=

''，因而当0≤x 时，0;0)(≥≥''x x f 时0)(≤''x f ．从而在(0,∞-]上f 为凸函数，在[+∞,0)上f 为凹函数．

例2 若函数f 为定义在开区间(b a ,)内的可导的凸(凹)函数，则a x (0∈,)b 为f 的极小(大)值点的充要条件是0x 为f 的稳定点，即0)(0='x f ．

证：下面只证明f 为凸函数的情形． 必要性已由费马定理可出，现在证明充分性． 由定理6．13，任取(b a ,)内的一点

)(0x x ≠，它与0x 一起有).)(()()(000x x x f x f x f -'+≥

因0)(0='x f ，故),(b a x ∈?有)()(0x f x f ≥，即0x 为f 的极小值点(且为最小值点)．

例3(詹森(Jensen)不等式) 若f 为],[b a 上凸函数，则对任意，],[b a x i ∈，),,2,1(0n i i =>λ且

,11

=∑=n

i i

λ

则有 ).()(1

1

i n

i i n i i i x f x f ∑∑==≤λλ

证：应用数学归纳法．当2=n 时，命题显然成立．设k n =时命题成立．即对任意],[,,,21b a x x x k ∈ 及 ,1,

,2,1,01

==>∑=n

i i

i a

k i a 都有).()(1

1

i k

i i i k i i x f a x a f ∑∑==≤

现设],[,,,121b a x x x x k k ∈+ 及1),

1,,2,1(01

1

=+=>∑+=k i i

i k i λ

λ

令1,,,2,1,11

1==-=∑=+k

i i k i

i a k i a 则 λλ．由数学归纳法假设可推得

)(112211++++++k k k k x x x x f λλλλ ???

? ??+-+++-=++++111221111)

1(k k k k

k k x x x x f λλλλλλ

).

()()(1)(1)(1)1()

()]()()()[1()()()1(1)1(1

1111212

1111112211112211111122111i k i i k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k

k k x f x f x f x f x f x f x f a x f a x f a x f x a x a x a f x x x x f ∑+=++++++++++++++++=+??

????-++-+--=++++-≤++++-≤???

? ??+-+++-=λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ 这就证明了对任何正整数)2(≥n ，凸函数f 总有不等式(8)成立． 例4 应用詹森不等式证明：设11(1,2,)a i n >=

12n

a a a n

++

+≤

.

证：（1）设()ln f x x =-，则21

()0f x x

''=

>，故()f x 在()0,+∞内为凸函数。取()()1

0,,,1,2,,,i i i x a i n n

λ=∈+∞=

=，由詹森不等式得 ()12121ln ln ln ln .n n a a a a a a n n +++-≤----也就是()13

121

ln ln ,n

n

a a a a a a n

n

+++≥

12n

a a a n +++≤.

例5 证明不等式c b a c b a c b a abc ≤++3

)(，其中c b a ,,均为正数

证：设

.0,ln )(>=x x x x f 由)(x f 的一阶和二阶导数,1ln )(+='x x f x

x f 1

)(=

''可见，x x x f ln )(=在0>x 时为严格凸函数，依詹森不等式有(),)()()(3

1

3c f b f a f c b a f ++≤??? ??++

从而

),ln ln ln (313ln 3c c b b a a c b a c b a ++≤++++即c b a c

b a

c b a c b a ≤++++)3

(。 又因,3

3

c

b a ab

c ++≤

所以 .)(3

c b a c b a c b a abc ≤++

二、函数的拐点

定义2 设曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处有穿过曲线的切线．且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点．

由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点．

例l 中的点)0,0(为y =arctan x 的拐点．正弦曲线y =sin x 有拐点k k ),0,(π为整数．

定理6．15 若f 在0x 二阶可导，则))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点的必要条件是0)(0=''x f

定理6．16 设f 在0x 可导，在某邻域)(0x U 内二阶可导．若在)(

0x U +和)(0x U -上)(x f ''的符号相

反，则()(,00x f x )为曲线)(x f y =的拐点．

注：若()(,00x f x )是曲线)(x f y =的一个拐点， )(x f y =在0x 的未必可导．如：函数y=3x 在x =0的情况．

三、函数图象的描绘

作函数图象的一般程序是：

1．求函数的定义域；2．考察函数的奇偶性、周期性；3．求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点；4．确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；5．考察渐近线；6．综合以上讨论结果画出函数图象．

例 讨论函数3231)(+--=x x x x f 的性态，并作出其图象

解：由于,1)1(1)(3323

23+?-=+--=x x x x x x f 可

见此曲线与坐标轴交于(1，0)，(—1，0)，(0，1)三点，求出导数：

,)1(13

1)

1()

1(311132)(3

32

3232

33+?-+

=+-?+-+='x x x x x x x x f

由此得到稳定点3

1-=x ，不可导点=x ±1．但因函数在1±=x 处连续，1|±='x y ∞=，所以在x =±1处有垂直切线．再求二阶导数，可得.)

1()1(98

)(335

4

+?--=''x x x f

另外，曲线123+--=

x x x y 有渐近线3

-=x y .