高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业

课时作业(九十一)

1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换???

x ′＝5x ，

y ′＝3y 后，曲线C 变为

曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为

( )

A ．25x 2＋9y 2＝1

B ．9x 2＋25y 2＝1

C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 2

9＝1

答案 A

2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为 ( )

A ．(2，π

3，3) B ．(2，2π

3，3) C ．(2，4π

3，3) D ．(2，5π

3，3)

答案 C

3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为 ( )

A ．一条射线和一个圆

B ．两条直线

C ．一条直线和一个圆

D ．一个圆

答案 C

4．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为 ( )

A ．(x ＋12)2＋y 2＝1

4 B ．x 2＋(y ＋12)2＝1

4 C ．x 2＋(y －12)2＝1

4 D ．(x －12)2＋y 2＝1

4

答案 D

解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 5．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是 ( )

A ．(1，π

2) B ．(1，－π

2) C ．(1,0) D ．(1，π)

答案 B

解析 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆

心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1，－π

2)，故应选B.

6．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，π

6)作曲线C 的切线，则切线长为

( )

A ．4 B.7 C ．2 2 D ．2 3

答案 C

解析 ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点(4，π

6)化为直角坐标为

(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理，切线长为

(23)2－22＝2 2.

7．(2013·西城期末)在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是

( )

A ．ρ＝cos θ

B ．ρ＝sin θ

C ．ρcos θ＝1

D ．ρsin θ＝1

答案 C

解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，所以其极坐标方程为ρcos θ＝1，故选C.

8．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0

解析 由?????

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ?cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋

4cos θ，得ρ＝2y ρ＋4x

ρ?ρ2＝2y ＋4x ?x 2＋y 2－4x －2y ＝0.

9．在极坐标系中，点P (2，－π6)到直线l ：ρsin(θ－π

6)＝1的距离是________． 答案

3＋1

解析 依题意知，点P (3，－1)，直线l 为x －3y ＋2＝0，则点P 到直线l 的距离为3＋1.

10．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为(3，π3)，(4，π

6)，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．

答案 3

解析 由题意得S △AOB ＝12×3×4×sin(π3－π

6) ＝12×3×4×sin π6＝3.

11．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π

4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 答案 4 3

解析 直线ρsin(θ＋π

4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式，得

2

r 2－d 2＝2

42－(222

)2

＝4 3.

12．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π

4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．

答案 (1,0) (2，π

4)

解析 ρ＝2cos θ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)．

当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．

13．(2013·西安五校)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．

答案 (2，3π4)

解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1.

联立方程，得????? x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得?????

x ＝－1，

y ＝1，

即两曲线的交点为(－1,1)．又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为(2，3π

4)．

14．(2013·沧州七校联考)在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．

答案 ? ?

?

??2，3π4

解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0化为直角坐标方程为x －y ＋2＝0，曲线C ：ρ＝2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.如图，直线被圆截得弦AB ，AB 中点为M ，则|OA |＝2，|OB |＝2，从而|OM |＝2，∠MOx ＝3π

4.

∴点M 的极坐标为? ??

??2，3π4. 15．已知点M 的极坐标为(6，11π

6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．

答案 (－33，－3)

解析 ∵点M 的极坐标为(6，11π

6)， ∴x ＝6cos 11π6＝6cos π6＝6×3

2＝33，

y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×1

2＝－3. ∴点M 的直角坐标为(33，－3)．

∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．

16．在极坐标系中，点P (2，3π

2)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．

答案 1

解析 在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程为3x －4y －3＝0，所

以P 到l 的距离d ＝|3×0－4×(－2)－3|

32

＋4

2

＝1.

17．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.

(1)求点P 的轨迹方程；

(2)设R 为l 上的任意一点，试求RP 的最小值． 答案 (1)ρ＝3cos θ (2)1

解析 (1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)， M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.

∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．

(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为3

2的圆，易得RP 的最小值为1.

18．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝2

2. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．

解析 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.

直线l ：ρsin(θ－π4)＝2

2，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.

(2)由????? x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得?????

x ＝0，

y ＝1.

故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．