2017-2018学年高一5月月考理科数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 把答案填在答题卡的相应位置）

1．ππ

2sin cos 1212

的值是 （ ）

A ．1

B

C ．12

D ．1

4

2. 已知)0,1(=a ，)1,(λ=b ，若+与垂直，则λ的值是( ) A ．1 B ．1- C ．0 D ．1±

3.设m ，n 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ∥n ，n α?，则m α∥ B ．m α?，n β?，αβ∥，则m n ∥

C. αβ∥，m α?，则m β∥ D ．m α?，n β?，m β∥，n α∥，则αβ∥ 4. 数列{n a }中，()1n

n a n =-，则1210a a a ++

+=（ ）

A . 5

B . 5-

C . 10

D . 10-

5.已知5

2

)tan(,21tan -=-=βαα，那)2tan(

βα-的值为（ ） A ．43 B ．89 C.89- D ．12

1

6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）

A ． 4

B ．2 C. 6+．7. 函数2()2sin log f x x x π=-的零点的个数是（ ） A. 2 B 3

C 4

D 5

8. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()

12log 7a f -=，

)3(log 2f b =，()0.6

0.2c f =，则,,a b c 的大小关系是( )

A ．c b a <<

B ．b c a <<

C ．b a c <<

D ．a b c <<

9. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，

到A 处测得公路北侧一山顶D 在西偏北30?（即 30BAC ∠=?）的方向上；行驶600m 后到达B 处， 测得此山顶在西偏北75?（即75CBE ∠=?）的方向 上，且仰角为30?．则此山的高度CD ＝( )

A ．

B ．

C ．

D ．

10. 三棱柱111A B C ABC -中，1A A ABC ⊥平面，AC BC ⊥ 1A A =1AC =、2BC =，则该三棱柱111A B C ABC -的外接球的体积 ( )

A ．

3 B ．3 C ．3

D ．8π

11. 如图，ABC ?的外接圆的圆心为O ,2AB =,3AC =,

BC =则?AO BC 等于( )

A .

3

2

B . 3

C . 2

D .

52

12. 已知函数21(0)

(),()(1)(0)

x x f x f x x a f x x -?-≤==+?->?若方程有且只有两个不相等的实数根,则实

数a 的取值范围为（ ）

A ．(,1)-∞

B ．(,1]-∞

C ．[0,1)

D ．[0,)+∞

第二部分（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分.）

13．已知第二象限的角α的终边与单位圆的交点1

(,)2

P m ，则tanα= ． 14. 已知数列{}n a ，11a =，1122n n n a a --=+, 则5a =__

15. 若向量a 与b 满足：||2,||2,||2a b a b ==+=，则a 与b 的夹角为________ 16. 如图所示，1111D C B A ABCD -为正方体，给出以下五个结论： ① //BD 平面11D CB ； ② 1AC ⊥平面11D CB ；

③ 1AC 与底面ABCD 所成角的正切值是2； ④ 二面角111C D B C --的正切值是2；

⑤ 过点1A 且与异面直线AD 和 1CB 均成70°角的直线有4条． 其中，所有正确结论的序号为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）

17. （本小题10分）已知)3,1(,4||-==. （1）若//，求的坐标；

（2）若与的夹角为0

120，求||-

18、（本小题12分）

已知函数R x x x x x f ∈++=,1cos sin 3cos )(2 （1）求)(x f 的最小正周期和最值 （2）设(,)123ππ

α∈，且21(),1210f πα+=求 cos(2)12π

α+的值。

19．（本小题12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2AD ＝2，PD ⊥底面

ABCD ，E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点． (1)求证：EF ∥平面PAD ；

(2)求证：平面PDE ⊥平面PEC .

20．（本小题12分）如图，在ABC ?中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=?，2PC =，

4AP AC +=．

（Ⅰ）求边AC 的长；

（Ⅱ）若APB ?的面积是sin BAP ∠的值．

21. （本小题12分）如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形ABCD ，沿着较短的对角线BD 对折，使得平面ABD BCD ⊥平面平面，O 为BD 的中点. （Ⅰ）求证：；平面BCD AO ⊥ （Ⅱ）求三棱锥D ABC -的体积；

（Ⅲ）求二面角D BC A --的余弦值.

22.（12分）已知函数2() 1 (,),,f x ax bx a b x =++∈R 为实数() (0)

() () (0)f x x F x f x x >?=?

-

（1）若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为),0[∞+ ,求)(x F 的表达式;

（2）在（1）的条件下, 当[2, 2]x ∈-时, kx x f x g -=)()(是单调函数, 求实数k 的取值范围;

（3）设0,

0m n ><, ,0>+n m 0>a 且)(x f 为偶函数, 判断)(m F ＋)(n F 能否大于零?请说明理由。

B O

C D A

13 . 14 . 80 15 . 23π 16 . ① ② ④ ⑤

17、解：（1）∵)3,1(-=，∴2||=b ，与共线的单位向量为)23

,21(|

|-±==b .

∵b a a //,4||=，∴)32,2(||-==c a a 或)32,2(-.

（2）∵0120,,2||,4||>=<==，∴4,cos ||||->=<=?，

∴

282)(2

22

=+?--=-，∴72||=-b a .

18、解：(1)12sin 2

3

212cos )(+++=x x x f ………………………………..2分

2

32sin 232cos 21++=x x 2

3

)62sin(++=πx ………………………………………………………………..4分

)(x f 函数∴的最小正周期是π，最大值为25，最小值为2

1

…………………..6分 （2）21(),1210f πα+=

则321sin 2()126210ππα?

?+++=???? 则3

sin(2)35πα+=

……………….7分

(,)123ππα∈，2(,)32

ππ

απ∴+∈ 4cos(2)35πα∴+=-……………….8分

又cos(2)cos[(2)]1234

πππ

αα+

=+- ……………….10分

cos(2)12πα∴+

cos(2)cos sin(2)sin 3434

ππππ

αα=+++……………….11分

43()55210

=-+=-

……………………………..12分

19．证明 (1)如图1，取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，

所以GF ∥DC ，且GF ＝1

2

DC .

又E 是AB 的中点，所以AE ∥DC ，且AE ＝1

2

DC ，

所以GF ∥AE ，且GF ＝AE ，

所以四边形AEFG 是平行四边形，故EF ∥AG . 又AG ?平面PAD ，EF ?平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .

图1

AD AE ∴= B C B E = 045AED BEC ∴∠=∠= DE CE ∴⊥

20． 解（Ⅰ）在APC ?中，设AC x =，则4AP x =-由余弦定理得：

2222cos PC AC AP AC AP PAC =+-∠g

即：22

14(4)2(4)2

x x x x =+--??-?

解之得：122x x == 即边AC 的长为2

（Ⅱ）由（1）得APC ?为等边三角形 作AD BC ⊥于D ，则sin603AD PA =?=

∴1322

APB S PB AD ?=

?=33

2PB = 故4PB = 2

3

BPA π∠=

∴在ABP ?中，由余弦定理得：

222

2cos 3

AB PB PA PB PA π=+-?27=∴在中由正弦定理得：

sin sin PB AB BAP BPA =∠∠

∴4sin BAP =∠

∴sin 7BAP ∠==

21. （1）证明 AO BD ⊥

ABD BCD D ⊥又

平面平面且交线为B AO ABD ?平面

AO D ∴⊥平面BC …………….3分

（Ⅱ）324

3

2=?=

?BCD S , D ABC A BCD V V --=

11

133

D BCD BCD V S AO -∴=?== ……………….6分

（Ⅲ）解法一：过E BC OE O 连结于作,⊥，连接

AE ， BCD AO 平面⊥ ，

OE BCD AE 上的射影为

在平面∴ BC AE ⊥∴

的平面角为二面角D BC A AEO --∠∴ ….9分

2

tan 23

3==∠∴==?OE AO

AEO OE AO AEO RT ，

，中，在

5

5

cos =∠∴AEO …….11分

即二面角D BC A --的余弦值为5

5

. …….12分

22.（12分）已知函数2() 1 (,),,f x ax bx a b x =++∈R 为实数() (0)

() () (0)f x x F x f x x >?=?

-

（1）若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为),0[∞+ ,求)(x F 的表达式;

（2）在（1）的条件下, 当[2, 2]x ∈-时, kx x f x g -=)()(是单调函数, 求实数k 的取值范围;

（3）设0,

0m n ><, ,0>+n m 0>a 且)(x f 为偶函数, 判断)(m F ＋)(n F 能否大于零?请说明理由。

22. （1） ∵0)1(=-f , ∴10a b -+= ①

又函数()f x 的值域为),0[∞+ , 所以0a ≠

且由224()24b a b y a x a a -=++知2

404a b a

-=即240a b -= ②

由①②得 1,2a b ==

∴22)1(12)(+=++=x x x x f . ∴????

?<+->+=)

0( )1()0( )1()(2

2

x x x x x F

（2） 由（1）有1)2(12)()(22+-+=-++=-=x k x kx x x kx x f x g

2

22(2)()124k k x --=++-

, 当222k -≥或222

k -≤-时,

即6k ≥或2k ≤-时, ()g x 是具有单调性.

（3） ∵()f x 是偶函数

∴,1)(2+=ax x f ∴2

21 (0)() 1 (0)

ax x F x ax x ?+>?=?

--

∵0,0,m n ><设,m n >则0n <.又0, 0,m n m n +>>->

∴|| ||m n >-

∴)(m F ＋)(n F 2222()()(1)1()0f m f n am an a m n =-=+--=->,

∴()F m ＋()F n 能大于零.