组合数学函授试题答案

1. 一人每天至少看1h 电视，总共看7周，但每周最多看11h ．试证明存在连续若干天，在此期间他恰好看电视20h （假设看电视时间是整数个小时）.

2. 今有12只鸽子飞进5个笼子，则必有有一个笼子，该笼子里至少有几只鸽子

3. 1）由两个英文字母后接四个数字来组成汽车牌照，问不同的牌照有多少种？ 2）如果两个英文字母必须不同，组成的牌照又有多少种 （1）262×104 （2）P(26,2) ×104

4. 10 男生 5 女生围圆桌聚餐，任何两个女生不相邻的坐法有多少种 解

男生先坐好，有 9！种坐法。

固定一种男生坐法，然后让女生插入10 个空档，女生之间还存在排序问题，故有 P (10, 5) 种排法

所以，共有 9! P (10, 5) 种坐法。

5. n 对夫妻围圆桌就坐，要求每对夫妻不相邻，问有多少种入座方式

11211135m n --????

+=+=????????

解 将n 个丈夫记为，他们的妻子分别记为，设性质pi 表示xi 与yi 相邻，其中i =1,2,…,n .令S 为2n 个人的全体环排列构成的集合，S 的满足性质pi 的子集Ai ，i =1,2,…,n .那么有

由包含排斥原理得到

6. 证明

7. 求1到1000之间不能被5 ，6 ，或8整除的自然数的个数 解：用{a 1,a 2,…,a n }表示n 个整数a 1,a 2,…,a n 的最小公倍数。

设S ={1,2,…,1000}，令A ,B ,C 分别为1~1000中能被5,6,8除尽的整数集合。显然，其补集代表不具备被整除性质的集合。根据题意有

证明：

将等式两边对x 从0到1积分得

()

()()()

==++=+=+=+=+=++-=++∑∑??∑∑0

1100

01

1

110

00

1

(1)(1)(1)1

121111n

n

k

k n n

k k n k n

k n n k n x x k n x dx x dx

k x x

n k n k n

k n k 212||(21)!

||2(22)!,1,2,...,||2(23)!1......

||2(1)!

i i j n n S n A n i n A A n i j n A A A n =-=-==-≤<≤=-I I I L I 23(21)!2(22)!2(23)!2(24)!......(1)2(1)!

123n n

n n n n N n n n n n n ????????=---+---++-- ? ? ? ?????????111121

1 (122311)

n n n n n n n +??????-++++= ? ? ?++????????????

=======??????

??????????

====????

????????

====????

????=-+1000100010001000,200,166,1255681000100033,41,lcm{5,6}lcm{6,8}1000100025,8lcm{8,5}lcm{5,6,8}1000(200|S||A||B||C||A B||B C||C A||A B C||A B C|I I I I I I I ++++-=166125)(334125)8600

根据容斥原理，不能被5,6,8中任何一个数整除的数目为

8. 试确定多重集的 组合数

解：把S 的r -组合分成两类：

包含a 1的r -组合：这种组合数等于{∞*a 2,…,∞*a k }的(r ?1)-组合数，即

N 1=C ((k -1)+(r -1)-1, r -1)=C (k+r-3, r -1).

不包含a 1的r -组合：这种组合数等于{∞*a 2,…,∞*a k }的r -组合数，即

N 2=C ((k -1)+ r -1, r )=C (k +r -2, r ).

由加法法则，所求的r ?组合数

N=N 1+N 2=C (k+r -3, r -1)+C(k+r -2, r ).

9.一糕点店生产8种糕点，若一盒内装有12块各种糕点，并且可认为每种糕点无限多，则你能买到多少种不同的盒装糕点（假设装盒与顺序无关） 这是一个组合问题，即 的12-可重组合,所以

10. 确定 T = {3a , 4b , 5c }的 10 组合数。

123={1,,,,}

k S a a a a ?∞?∞?∞?L {}

1238,,,,s a a a a =∞?∞?∞?∞?L 12811950388

1212N +-????=== ? ?????

1031121211

||661022S +-?????===

= ? ?????

解法1（用容斥原理）令 T *

= {

a ,

b ,

c }，

S 为 T * 的 10 组合的集合，

A 1 为至少有 4 个 a 的 T * 中 10 组合的集合， A 2 为至少有 5 个 b 的 T * 中 10 组合的集合， A 3 为至少有 6 个 c 的 T * 中 10 组合的集合。

Mathematics Modeling

Lianyungang

。1525

6264134组合数4的组合数

10的个6的至少有||组合，10的个6组合得到至少有4的加到个6将；2126

7275135组合数5的组合数

10的个5的至少有||组合，10的个5组合得到至少有5的加到个5将；2827

8286136组合数6的组合数

10的个4的至少有||组合，10的个4组合得到至少有6的加到个4将**3***2***1*=?=???? ??=???? ?

?-+====?=???? ??=???? ?

?-+====?=???? ??=???? ?

?-+===T c T A c T c T b T A b T b T a T A a T a

11. 用四种颜色（红、蓝、绿、黄）涂染四台仪器A,B,C 和D ．规定每台仪器只能用一种颜色并任意两台仪器都不能相同．如果B 不允许用蓝色和红色，C 不允许用蓝色和绿色，D 不允许用绿色和黄色，问有多上种染色方案

解：由题意，可得棋盘如右图，其中有阴影的格子表示禁区。

求得禁区多项式R

)=1+6x +10x 2+4x 3，

即r 1=6，r 2=10，r 3=4，故所求方案数为 4!-6×3!+10×2!-4×1!=4

12.解递推关系 （ ）

解：对应的特征方程为

：特征根分别： ,原递推关系的通解为： , 把 ， 代入

解得：

A B C D

G L W Y

1201564,9.

n n n a a a a a --=-??==?，

1223n n

n a c c =+12124239

c c c c +=??

+=?122,3x x ==014,9a a ==12

3

1c c =??

=?2n ≥2

560x x -+=

原递推关系的通解为：

13.解递推关系

解：因为特征方程为 ,得特征根为2,3 ,所以原递推式对应的齐次递推

式： ，有通解为： , 设原递推式有特解 ,代入原递推式得C=1,D=2,因此原递推式有通解为 ,再将 ,代入通解得 A=2,B=1,所以

14. 求 的生成成函数．（ ） 解：设

323n n

n a =?+()

12015623,

5,10.2n n n a a a n a a n --=-+-??

==≥?256x x =-1256n n n a a a --=-23

n n

n a A B =+g g n a Cn D

=+232

n n n a A B n =+++015,10a a ==12

32n n

n a n +=+++5n a n =+0

n ≥0

()n

n n A t a t ∞

==∑000

()(5)(1)4n

n

n

n n n A t n t n t t ∞∞∞

====+=++∑∑∑212

144(1)4(1)(1)t

t t t --+-=-+-=

-2

54(1)t t -=

-