稳定性理论
引言
稳定一词的字面意思为坚持或保持。形容词“稳定的”的英语和法语stable、德语stabil均来源于拉丁语stbilis。最早见于罗马共和国末期的诗人和哲学家卢克莱修(Titus Lucretius Carus，约前99年-约前55年)所写的哲理长诗《物性论》([1] 140页)：
因为水就是这样动的，
一受到最微小的影响就波动，
由于它是由会滚动的小形粒子所构成；
但是相反地密的本性则是更稳定，
它的液汁更富于懒性，它流动更迟缓；
因为它的物质更牢结在一起，
因为，实在说，构成它的粒子，
不是这样地光滑，不是这样地小而圆。
在汉语中，“稳定”是舶来品，本土原先很少用，因此始编于1908年主要收录1840年以前的汉语词汇的《辞源》都没有收入“稳定”。罕见的一个古代使用例子见于《清史稿·列传一百七》，其中收有1814年河东河道总督栗毓美(1778-1840)上疏，论证用烧砖筑堤的必要性----能在水流冲击下不动，上年盛涨，较二年及十二年尤猛迅，砖坝均屹立不移。仪睢、中河两厅，河水下卸，塌滩汇坝，抢镶埽段，旋即走失，用砖抛护，均能稳定([2]11656页)。
传统汉语中，与稳定意思接近的词是“安稳”，意思是平安稳妥。除去天下局势太平、人心所向的引申含义外，主要用于说明行舟的平稳无惊。南朝宋临川王刘义庆(403-444)所撰《世说新语·排调》记载，东晋书法家、画家顾恺之(348-409)遇风浪后写信报平安，行人安稳，布帆无恙([3]438页)。这一故事也收入《晋书·列传第六十二》([4]2404页)。《宋史·志第一百四十八兵九》记载北宋抗金名臣李纲(1083-1140)的主张，水战之利，南方所宜。沿河、淮、海、江帅府、要郡，宜效古制造战船，以运转轻捷安稳为良。又习火攻，以焚敌舟([5]4869页)。。《清史稿·列传七十九》记载1723年江西巡抚裴幰度(?-1740)上疏设关榷税事宜，九江旧关，上有龙开河、官牌夹，下有老鹤塘、白水港，地势宽平，泊舟安稳([6]10311页)。
除行舟外，安稳还用于说明人的体态步态。《庄子·应帝王》中说，泰氏其卧徐徐，其觉于于，司马彪(?-306)注：徐徐，安稳貌([7]289页)。《潜夫论·相列》说人的相法，手足欲深细明直，行步欲安稳覆载([8]310页)。也用于说明车辆行走安定平稳。《晋书·志第十五》解释天子车的五牛旗的含义，牛之为义，盖取其负重致远而安稳也([9]754页)。
稳定性是个重要而基本的科学概念，在其发展过程中已经有含义丰富。我们先从最基本的平衡的稳定性谈起，随后说明运动稳定性。
1 稳定性的概念
物理学中有平衡的概念，物体受合力为零，就处于平衡状态。在惯性系(满足牛顿第一运动定律的参考系)中，若物体原先没有运动，平衡就意味着静止。一支铅笔，末端用一根细线吊起来，就处于平衡状态，因为细线对铅笔的拉力与铅笔自身的重力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，因此合力为零。如果
把铅笔笔尖朝下立在水平桌面上，理论上如果铅笔立的足够直，仍然有桌面对铅笔的支撑力与铅笔的重力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，合力为零，故铅笔可以保持直立状态。但事实上，这与我们的生活经验相悖，不论我们怎样努力地尝试，很难把铅笔笔尖向下直立在在桌面上。
从上面铅笔的例子中，我们知道平衡其实有两类。一类平衡是物理上有可能实现的，这种平衡称为稳定的。稳定平衡的特征是，如果初始受到扰动而偏离了平衡位置，只要初始的偏离足够小，对平衡位置的小偏离不会随着时间的推移而变大。另一类平衡是物理上很难实现的，这种平衡称为不稳定的。不稳定平衡的特征是，不论初始受到扰动的而偏离平衡位置多么小，对平衡位置的偏离在一定时间后总会大于事先给定的范围。因此，刻画平衡的稳定性其实包含两个基本度量，一个是初始偏离的幅值，另一个是随后时间中对平衡位置的最大偏离。对于学过数学分析的读者，可以联想到函数极限的e-d定义或者函数连续e-d的定义，从而给出更确切的数学描述。
仍以前面提到的铅笔为例。笔尖向下的铅笔之所以不可能直立在桌面上，是因为由于不可避免的扰动存在，例如铅笔周围空气的流动、桌面的轻微振动等，直立的位置要受到扰动而有所偏离；一旦偏离，重力作用线就不再过支撑点，重力对支撑点的力矩将使铅笔倾倒，这种偏离会迅速放大，导致平衡状态破坏；因此这种平衡是不稳定的。而末端用细线吊着的的铅笔，尽管也受空气流动、细线抖动等扰动而会偏离平衡位置；在重力作用线偏离捆绑点后，重力对细线捆绑点的力矩将是铅笔回到直立的位置；这种偏离不会扩大，因此能保持平衡状态；这种平衡是稳定平衡。
平衡只是要求初始的误差不扩大，但没有涉及初始的误差是不是减小。如果扰动导致的初始偏离不仅不增大，反而在时间足够大后能回到平衡位置，这种稳定性称为渐近稳定性。例如，一粒小米放在半球形的碗里，则碗的最低位置是平衡位置。被移开最低位置的小米不会走的更远，因此平衡是稳定的。若小米与碗没有摩擦，小米也不会回到平衡位置，而是在平衡位置周围振荡，因此平衡不是
渐近稳定的。若小米与碗之间存在模型，则小米最后会重新停在平衡位置上，这就是不仅是稳定而且也是渐近稳定了。
根据所涉及问题的需要，平衡的稳定性还可以进行更细致的刻画。如果平衡的稳定只是对很小的初始偏离成立，这种稳定性成为局部稳定性；如果对任意大的初始偏离都成立的稳定性成为全局稳定性。平衡意味着，对于任意时间的运动偏差范围，都存在一个初始偏差范围，在这个范围内，运动偏差幅值小于给定的值。一般而论，运动偏差幅值与初始偏差范围的对应数量关系，与初始时刻有关；如果这种对应关系与初始时刻的选择无关，相应的稳定性称为一致稳定性。稳定的各种性质可以累加，例如有全局一致渐近稳定。
回到开始铅笔能否以笔尖立住的问题。虽然在固定的桌面上铅笔不能直立，但如果把笔尖放在手指头上，手适当运动，还是有可能保证铅笔直立。当然，这需要练习以掌握技巧。这种通过主动输入使得原来不稳定的平衡变成稳定的过程，称为镇定。镇定是很典型的一类控制问题。
2 平衡稳定性的判断
无论在理论研究还是工程应用中，稳定性的判断都是一个重要的问题。建立稳定性的判据有两种途径。一种是发展一般的判别方法，并应用于具体系统。这方面的代表性工作是俄罗斯数学家和力学家李雅普诺夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov,1857-1918)1892年在其博士论文中提出的直接方法又称第二方法。他的博士论文是划时代的工作，其中给出了稳定性的严格数学定义，提出了利用线性化系统本征值判断稳定性的第一方法和构造后来一个专门函数判断稳定性的第二方法。《国际控制杂志》在该文发表100年后，重新发表该文英文译文([10])。另一种途径就是针对具体的物理系统，发展相应的判别方法。以下介绍后一类型工作的例子，所研究的具体系统是保守系统。
最早的稳定性判据是意大利数学家、物理学家托里拆利 (Evangelista Torricelli,1608-1647)在1644年提出的。托里拆利是意大利物理学家、数学家、天文学家和哲学家伽利略(Galileo Galilei, 1564–1642)的学生和生命最后2年里的助手，并且在1642年伽利略逝世后继任的宫廷数学家和比萨学院数学教授职位。托里拆利提出，物体系统的重心处于最低位置是，该系统能保持静止。用现在的术语，就是处于稳定平衡状态。这与人们的物理直觉一致。如果重心不在最低文章，重力的作用就可能是重心下降，从而破坏系统的平衡。如前面所说铅笔的例子，用细线悬挂的铅笔重心在最低位置，任何扰动破坏平衡都使重心升高，因此这个平衡是稳定的。而直立在桌面上的铅笔，重心是在最高位置，任意小的扰动都能破坏平衡。中国古籍中也有类似说法。汉淮南王刘安 (前179－前122) 等所著《淮南子·说山训》有，下轻上重，其覆必易([11] 1109页)。说明末不可以强于本的哲理。玩具“不倒翁”就是利用低重心导致的稳定性。“不倒翁”的下半部分是个半球形，整个“不倒翁”的重心在半球形的球心下方，这样重心就处于最低位置，类似与悬挂的铅笔，不论怎样偏离直立的平衡位置，都不会扩大偏离而倒下。
中国的欹器，就是充分利用重心变化而改变稳定性的一种酒器。按古代文献记载，当欹器空的时候倾斜，液体装到一半时就会直立起来，而在装得基本满时又会倾斜。相传春秋五霸齐桓公(前716－前643年)总会在座位右侧放置欹器来警惕自己不要骄傲自满。在齐桓公逝世后，许多人争相效仿，但因欹器制作不易，后人多用金属器物上刻上铭文放于右侧代替。这也是座右铭来源的一种说法。《荀子·宥坐》记载，思想家和教育家孔子(前551-前479)曾借欹器说明满则覆的道理，孔子观于鲁桓公之庙，有欹器焉，孔子问于守庙者曰：“此为何器？”守庙者曰：“此盖为宥坐之器，”孔子曰：“吾闻宥坐之器者，虚则欹，中则正，满则覆。”孔子顾谓弟子曰：“注水焉。”弟子挹水而注之。中而正，满而覆，虚而欹，孔子喟然而叹曰：“吁！恶有满而不覆者哉！([12]520页)”类似记载也见于《孔子家语·三恕》([13] 76页)。欹器又称侑卮。据《文子·九守》，三皇五帝有戒之器，命有侑卮，其沖即正，其盈即覆([14]158页)。可惜现在尚未出土欹器
实物。
北宋科学家、政治家沈括(1031-1095)将重心低稳定性好的原理应用于车辆设计。他在《忘怀录》中写道，安车车轮不欲高，高则摇。《忘怀录》原书已经佚失，引文见于清代类书《古今图书集成·明伦汇编·人事典·游部》([15]62页)。
如果系统不仅受重力作用，还有其它有势力如弹簧力，被称为保守系统。对于保守系统，1788年，法国数学家和力学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange,1736-1813)在其经典著作《分析力学》(有英译本[16])中证明，势能取极小值，平衡稳定。其中涉及的平衡位置应该是孤立的，如前述铅笔线悬或直立的情形，都是孤立平衡位置。后来这个结果有一系列完善和发展。
3 运动稳定性
平衡的稳定性强调受扰动而产生初始误差是否随时间放大。从同样的观点，还可以考虑初始误差对随后运动的影响，即运动稳定性。一个系统，在给定的初始条件下做未受扰动运动；在初始时刻受到扰动，对应改变了的初始条件有受扰动运动。笼统说，运动稳定性是要求初始扰动充分小时未受扰动运动和受扰动运动足够接近。运动稳定性显然是非常有实际意义的研究课题。例如，所有运载工具，外太空中的宇宙飞船，地球附件天空中的喷气式飞机，地球表面陆地道路上的车辆，地球表面海洋湖泊上航行的船只，运行都必须平稳，不能受到微小的外部影响就显著改变原来的运动状态。
为对运动稳定性有感性认识，可以动手做个小实验。拿本稍微厚一些的精装书，例如字典。把书放在两手之间，书脊对着自己，让书绕其封面和封底的中心点连线旋转。中心点不准确也问题不大。这样你可以轻而易举地让书旋转几圈。现在把书脊对着你直立的书放倒，使书脊水平并仍对着自己，拿着书的顶边和底
边，绕顶边和底边中点连线旋转，书还是能转上几圈。最后把前面那种水平放置的书在水平面内转个直角，两手拿着书脊及其对边，绕书脊和对边中点的连线旋转，将会发现在与前面两种情形相同的角速度下，书很容易翻跌和扭歪，很难保持转动。前面两种情形的转动具有运动稳定性，而后面一种转动不稳定。这些现象可以用稳定性理论严格证明。
运动稳定性与平衡稳定性关系密切。一方面，平衡是运动的一种特殊情形，因此平衡稳定性可以视为运动稳定性的一种特殊情形。另一方面，如果选取以未受扰动运动方式运动的平动参考系，在平动参考系中研究受扰动的运动，原来的运动稳定性也可以视为在动参考系中的平衡稳定性。
前面讨论平衡稳定性和运动稳定性都是强调初始条件对所有时刻运动的影响。这种稳定性称为李雅普诺夫意义上的稳定性。稳定性问题的提法，与所研究的对象有关。例如，在天体力学中，人们往往不特别关注星体具体时刻的位置，而是考虑初始扰动对整个运动轨迹的影响，这样就有了轨道稳定性概念。法国数学家和力学家庞卡莱(Jules Henri Poincaré 1854-1912)在1892-1899年间出版的3卷本经典著作《天体力学新方法》(有英译本[17])中，对轨道稳定性做了系统研究。轨道稳定性要求在初始扰动充分小时受扰动轨道与未受扰动轨道足够接近。两种稳定性含义不同，李雅普诺夫稳定性要求受扰动和未受扰动轨道上同一时间两点间距离足够小，而庞卡莱的轨道稳定性要求轨道之间的法向距离足够小。天体力学中还有其它的稳定性定义。例如，拉格朗日稳定性，只要求受扰动运动保持有界。在1984年，在阿波罗登月计划中起关键作用的美国德克萨斯大学奥斯丁分校的工程讲席教授西贝赫利(Vector G. Szebehely 1921-1997)就总结过，与天体力学相关的稳定性概念就已经超过数十种之多( [18])。
4 结束语
除前面提到的平衡稳定性和运动稳定性外，还有其它类型的稳定性理论。例如，对扰动可以有更广泛的理解，除初始扰动外，数学建模过程中忽略的因素，也可以看作一种扰动；考察这种建模误差对运动的影响，就有了结构稳定性概念，又称为鲁棒性。稳定性理论也在学科交叉中发展；稳定性思想与计算方法结合，发展成了算法稳定性理论；稳定性思想与力学结合，发展成了弹性稳定性、流动稳定性等新理论；稳定性思想与控制理论结合，形成了输入-输出稳定性理论。
参考文献
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[18]V. Szebehely. Review of concepts of stability [J]. Celestial Mechanics, 1984, 34: 49-64.
发表于：《力学与实践》2015年37卷第1期148-151页
微分方程稳定性理论简介
第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容： 一、 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 ()dx f x dt = （1） 右端不显含自变量t ，代数方程 ()0f x = （2） 的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解） 如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。 判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。 将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： 0'()()dx f x x x dt =- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论： 若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ （5） 其中C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212 () (,)()(,) dx t f x x dt dx t g x x dt ?=??? ?=?? （6） 右端不显含t ，代数方程组 1212 (,)0 (,)0f x x g x x =?? =? （7） 的实根0012 (,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00 012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞ = 20 2lim ()t x t x →∞ = （8） 则称平衡点00 012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐 近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 11112 22122 () ()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+??? ?=+?? （9） 系数矩阵记作 1 12 2a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： 2120()det p q p a b q A λλ?++=? =-+??=? （10） 将特征根记作12,λλ，则
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义.
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义 一、引言： 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。 在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。 二、稳定性定义： 1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。 稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。 绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。 （1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。 （2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。） （3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不稳定的。 实际上，物理系统的输出量只能增大到一定范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可以当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，从而使线性微分方程不再适用。因此，绝对稳定性是系统能够正常工作的前提。
结构失稳和整体稳定性分析
结构失稳和整体稳定性分析 失稳破坏是一种突然破坏，人们没有办法发觉及采取补救措施，所以其导致的结果往往比较严重。正因为此，在实际工程中不允许结构发生失稳破坏。 导致结构失稳破坏的原因是薄膜应力，也就是轴向力或面内力。所以在壳体结构、细长柱等结构体系中具有发生失稳破坏的因素和可能性。这也就是为什么在网壳结构的设计过程中稳定性分析如此被重视的原因。 下面根据本人多年来的研究及工程计算经验，谈谈个人对整体稳定性分析的一点看法，也算做一个小结。 1稳定性分析的层次 在对某个结构进行稳定性分析，实际上应该包括两个层次。（一）是单根构件的稳定性分析。比如一根柱子、网壳结构的一根杆件、一个格构柱（桅杆）等。单根构件的稳定通常可以根据规范提供的公式进行设计。不过对于由多根构件组成的格构柱等子结构，还是需要做试验及有限元分析。（二）是整个结构的稳定分析。比如整个网壳结构、混凝土壳结构等结构整体的稳定性分析。整体稳定性分析目前只能根据有限元计算来实现。 2整体稳定性分析的内容 通常，稳定性分析包括两个部分：Buckling分析和非线性“荷载-位移”全过程跟踪分析。 （1）Buckling分析 Buckling分析是一种理论解，是从纯理论的角度衡量一个理想结构的稳定承载力及对应的失稳模态。目前几乎所有的有限元软件都可以实现这个功能。Buckling分析不需要复杂的计算过程，所以比较省时省力，可以在理论上对结构的稳定承载力进行初期的预测。但是由于Buckling分析得到的是非保守结果，偏于不安全，所以一般不能直接应用于实际工程。 但是Buckling又是整体稳定性分析中不可缺少的一步，因为一方面Buckling 可以初步预测结构的稳定承载力，为后期非线性稳定分析施加的荷载提供依据；另一方面Buckling分析可以得到结构的屈曲模态，为后期非线性稳定分析提供结构初始几何缺陷分布。 另外本人认为通过Buckling分析还可以进一步校核单根构件截面设计的合理性。通过Buckling分析得到的屈曲模态，我们可以看出结构可能发生的失稳破坏是整体屈曲还是局部屈曲。如果是局部屈曲，那么为什么会发生局部屈曲？局部屈曲的荷载因子是否可以接受？是否是由于局部杆件截面设计不合理所导致？这些问题希望能引起大家的注意。 （2）非线性稳定分析 前文已经讲过，Buckling分析是一种理论解。但是由于加工误差、安装误差、温度应力、焊接应力等因素的存在，现实中的结构多少都会存在一些初始缺陷，其稳定承载力与理论解肯定存在一定的差别。另外，由于Buckling分析是线性的，所以它不可以考虑构件的材料非线性，所以如果在发生屈曲之前部分构件进入塑性状态，那么Buckling也是无法模拟的。所以必须利用非线性有限元理论对结构进行考虑初始几何缺陷、材料弹塑性等实际因素的稳定性分析。 目前应用较多的是利用弧长法对结构进行“荷载-位移”全过程跟踪技术，来达到计算结构整体稳定承载力的目的。
【结构稳定理论概念问题(考试)】
结构稳定理论基本概念 态。 2. 什么是结构的第一类稳定问题（分支点失稳），什么是结构的第二类稳定问题（极值点失稳）？两者最明显的区别是什么？ 第一类稳定问题：失稳前后平衡形式发生．． 变化的失稳现象。 第二类稳定问题：失稳前后变形形式不发生．．． 变化的失稳现象。 划分：按照结构或构件在失稳前后变形形式是否发生质变。 特征：第一类稳定-结构在失稳前后的变形产生了性质上的改变，即原来的平衡形式不稳定后，可能出现与原来平衡形式有本质区别的新平衡形式，这种改变是突然性的。 第二类稳定-结构在失稳前后变形的性质不变，只是原来的变形大大发展直到破坏，不会出现新的变形形式。 3. 判断结构平衡的稳定性准则有哪些？ 静力准则、能量准则、动力准则 4. 什么是静力准则？ 处于平衡的结构体系，收到微小扰动力后， 若在体系上产生正恢复力，当扰动除去后结构恢复到原来的平衡位置，则平衡是稳定．． 的； 若产生负恢复力，则平衡是不稳定．．． 的； 若不产生任何作用力，则体系处于中性．． 平衡，处于中性平衡状态的荷载即临界荷载。 （静力法只能求解临界荷载，不能判断结构平衡状态的稳定性） 5. 什么是能量准则？ 当0>?p E ，则总势能是增加的（p E 为最小值），说明初始平衡位置是稳定．． 的； 当0
Lyapunov稳定性理论概述
Lyapunov Lyapunov稳定性理论概述稳定性理论概述稳定性理论概述 稳定性理论是19 世纪80 年代由俄国数学家Lyapunov创建的，它在自动控制、航空技术、生态生物、生化反应等自然科学和工程技术等方面有着广泛的应用，其概念和理念也发展得十分迅速。通过本学期“力学中的数学方法”课程的学习，我对此理论的概况有了一些认识和体会，总结于本文中。 一， 稳定性的概念稳定性的概念 初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题 ax dt dx = ， x(0)=x 0 , t≥0，x 0≥0 (1) 的解为e x at t x 0 )(= ，而x=0 是(1)式的一个解。当a f 0时，无论|x 0|多小，只要 |x 0| ≠ 0 ,在t→+∞时，总有x（t）→ ∞，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大，而当a ?0时，e x at t x 0 )(= 。与零解的误差不会超过初始误差x 0，且随 着t 值的增加很快就会消失，所以，当|x 0|很小时，x(t)与零解的误差也很小。 这个例子表明a f 0时的零解是“稳定”的。下面，我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。 设微分方程 ),(x t f dt dx =， x(t 0)=x 0 , x ∈R n (2) 满足解存在唯一定理的条件，其解x(t)=x(t，t 0，x 0)的存在区间是),(+∞?∞，f(t，x)还满足条件： f (t ，0)=0 (3) (3)式保证了x(t) = 0 是(2)式的解，我们称它为零解。 这里给出定义1：若对任意给定的ε > 0，都能找到δ=δ(ε,t 0),使得当||x 0||<δ时的解满足x ( t,x 0 , x 0 ) || x ( t, t 0 , x 0 ) || <ε, t ≥ t 0 , 则称(2)式的零解是稳定的，否则称(2)式的零解是不稳定的。
稳定性
稳定性 (stability) 系统受到扰动后其运动能保持在有限边界的区域内或回复到原平衡状态的性能。稳定性问题是自动控制理论研究的基本问题之一。稳定性分为状态稳定性和有界输入-有界输出稳定性。 状态稳定性如果充分小的初始扰动只引起系统偏离平衡状态的充分小的受扰运动，则称系统是稳定的。如果当时间趋于无穷大时，所有这些受扰运动均回复到原平衡状态，则称系统是渐近稳定的。如果对任意初始扰动引起的受扰运动，系统都能随时间趋于无穷大而回复到平衡状态，则称系统是全局或大范围渐近稳定的。 有界输入－有界输出稳定性如果对应于每个有界的输入，系统的输出均是有界的,就称系统是有界输入-有界输出稳定的，简称BIBO稳定。一个向量信号称为有界，是指组成信号的每一个分量的函数值都为有限值。对于可用常系数线性微分方程描述的系统，在系统是联合能控和能观测时（见能控性和能观测性），BIBO稳定等价于全局渐近稳定。在线性控制理论中，系统稳定即指其平衡状态是全局渐近稳定。 稳定性的判别判定系统稳定性主要有两种方法：①李雅普诺夫方法：它同时适用于线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统。对于线性定常系统，这种方法在使用上并不简便（见李雅普诺夫稳定性理论。②基于对系统传递函数的极点分布的判别方法：只适用于线性定常系统。传递函数的极点即是其分母多项式为零的代数方程的根。这种方法在应用上比较简便。其中按代数方法进行判
别的为代数稳定判据，如劳思稳定判据和胡尔维茨稳定判据；按复变函数方法进行判别的有奈奎斯特稳定判据和米哈伊洛夫稳定判据；按图解方法通过研究极点随增益的变化关系来进行判别的为根轨迹法。除此之外，在研究某些类型的稳定性问题时，也常采用波波夫稳定判据。而泛函分析和微分几何的方法也已在研究稳定性问题中得到应用。 稳定性 (stability) 在一定条件下，物体在偏离平衡位臵后能恢复到原来平衡位臵的性能。如塔式起重机一般要加适当的配重，使其承受各种载荷时重心始终在支承点周围的范围内而不翻倒。液压缸的活塞杆、压力机的丝杆、起重机钢结构的受压弦杆等细长杆，都要进行稳定性校核。焊接箱形结构的腹板存在薄板稳定性问题。薄壁压力容器受外压或抽真空时，需要考虑容器形状的稳定性，如失稳便会发生凹凸变形。 失稳及其形式物体偏离平衡位臵后不能恢复到原来位臵叫失稳。如细长杆或薄壁结构在过大的压应力作用下，原来的平衡形式突然改变，发生显著变形，杆变弯，容器的曲率半径发生显著变化，细长杆或薄壁结构就产生失稳。结构失稳的形式有：①压杆的载荷超过临界值时，原来的直线平衡形式失去稳定性，可能转为弯曲平衡形式，载荷逐渐加大时，实际弯曲变形也随之加大，但并未丧失承载能力。②受外压的球形薄壁容器失稳变形后所能承受的力已小于临界力，即结构丧失了原有的承载能力。③扁拱形薄板零件或扁壳形零件，其凸面承受压力时逐渐产生变形，当压力达到临界值时便失去稳定，其平衡位臵发生跳跃，突然变
系统的稳定性
系统的稳定性 系统能在实际生活中应用的必要条件是系统要稳定。分析系统稳定性是经典控制理论的重要组成部分。经典控制理论对于判定一个线性定常系统是否稳定提供了多种方法。 一、系统稳定性的初步了解 了解不稳定现象发生的原因，对于建立系统的数学模型的建立稳定性概念是很有帮助的。线性系统的不稳定现象有如下几点值得注意。 首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。再次，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在与有初始状态不为零时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的，也可以说是讨论系统初始状态为零时，系统脉冲响应是收敛还是发散的。 二、稳定的定义和条件 若系统在初始状态下（不论是无输入时的初态，还是输入引起的初态，还是这两者之和）的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（回到平衡位置），则称该系统为稳定的；反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。 系统稳定的充要条件为：系统的全部特性根都具有负实部；反正若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统必不稳定。
三、关于稳定性的一些提法 1、李亚普诺夫意义下的稳定性 指对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。主要涉及稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定和不稳定。 ① 稳定 用 S(ε)表示状态空间中以原点为球心以ε为半径的一个球域，S(δ)表示另一个半径为δ的球域。如果对于任意选定的每一个域S(ε),必然存在相应的一个域S(δ)，其中δ<ε，使得在所考虑的整个时间区间内，从域 S(δ)内任一点 x0出发的受扰运动φ(t；x0，t0)的轨线都不越出域S(ε)，那么称原点平衡状态 xe=0是李雅普诺夫意义下稳定的。 ② 渐近稳定 如果原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的,而且在时间t趋于无穷大时受扰运动φ(t；x0，t0)收敛到平衡状态xe=0,且此过程中，都不脱离S（ε），则称系统平衡状态是渐近稳定的。从实用观点看，渐近稳定比稳定重要。在应用中，确定渐近稳定性的最大范围是十分必要的，它能决定受扰运动为渐近稳定前提下初始扰动x0的最大允许范围。 ③ 大范围渐近稳定
结构动力稳定性的分析方法与进展_何金龙
结构动力稳定性的分析方法与进展 何金龙1,法永生2 (1.卓特建筑设计有限公司,广东佛山528322;2.上海大学土木工程系,上海200074) 【摘 要】 就目前结构动力稳定性问题这一研究领域的若干基本问题,常用的处理方法,判别准则与实验研究方法以及目前取得的主要成果作了简要总结和综述,并且对结构动力稳定性分析与研究今后的发展方向进行了展望。 【关键词】 结构; 动力稳定性; 处理方法; 判别准则; 实验研究 【中图分类号】 T U311.2 【文献标识码】 A 根据结构承受荷载形式的不同,可以将结构稳定问题分为静力稳定和动力稳定两大类。动力载荷作用下结构的稳定性问题是一个动态问题,由于时间参数的引入,使问题变得极为复杂。对于结构动力稳定性的定义一直难以确切给出,这是因为结构自身动力特性具有复杂性使得其在数学意义上的定义很难予以准确表达[1]。长期以来,力学工作者致力于结构稳定性问题的研究,在发展了经典稳定性理论的同时也极大地推动了动力稳定理论研究的前进。如稳定性判定准则的建立、临界载荷的确定、初缺陷的影响或后分叉分析等。理论分析和实验研究逐渐增多,使得这门学科不仅在理论上形成了一个庞大而复杂的体系,而且具有重要的实用价值。可以说,现在的结构动力稳定性研究分析已经是结构动力学、有限元法、数值计算方法及程序设计等诸多学科相互交叉、有机结合的产物,属于现代工程结构研究领域中的一个重要分支。 1 结构动力稳定性的分类及主要的研究问题 结构动力稳定性就其承载的动力形式大致可以分为三类。 (1)结构在周期性荷载作用下的动力稳定性。在简谐荷载等周期性荷载作用下,当结构的自振频率与外载荷的强迫振动频率非常接近时,结构将产生强烈的共振现象;当结构的横向固有振动频率与外荷载的扰动频率之间的比值形成某种特定的关系时,结构将产生强烈的横向振动,即参数振动。对于这类问题,前苏联学者符华·鲍络金(Bolito n)在其著作《弹性体系的动力稳定》中给出了较全面的分析和论述。他们导出的区分稳定区和不稳定区的临界状态方程是一个周期性方程,即M athieu-Hill方程。在周期相同的解之间存在着不稳定区域,便把问题归结为确定微分方程具有周期解的条件,从而解决了稳定的判别问题。但是对于大变形的几何非线形结构,结构的刚度矩阵需要经过迭代,微分方程非常复杂,这些理论将难以成立。 (2)结构在冲击荷载作用下的动力稳定性。在这种情况下,结构的动力稳定性与冲击类型密切相关,而且首要问题在于合理、实用的判别准则,它不仅要在逻辑上站得住脚,又要在实际上可行,遗憾的是这个问题至今未能形成一致的看法。目前对结构承受瞬态冲击作用下的冲击稳定性的试验和理论研究主要集中在理想脉冲以及阶跃荷载下的动力稳定性。在脉冲荷载作用下发生的动力屈曲称为脉冲屈曲,已有的研究表明[2][3][4],脉冲屈曲是一类响应式屈曲或者动力发展型屈曲。阶跃荷载是一类具有恒定幅值和无限长持续时间的载荷形式。在试验或者实际当中,固体与固体之间的冲击引起的屈曲就可看作脉冲冲击。 (3)结构在随动荷载作用下的动力稳定性。所谓随动荷载是指随着时间的变化荷载的幅值保持不变而方向发生变化的作用力,它是非保守力。它的分析将极其复杂,目前还难以见到可借鉴的动力稳定性分析文献。因此,许多学者通常采用结构动力学响应分析常用的手段,将这类荷载作为确定性荷载进行分析。通过对结构的动力平衡路径全过程进行跟踪,根据结构的各参数在动力平衡路径中的变化特性,对结构的动力稳定性进行有效的判定[5]。 综上所述,目前国内外动力稳定性研究的现状大致为:对周期荷载下的参数动力稳定性问题、在冲击荷载作用下的冲击动力稳定性问题和阶跃荷载下的参数阶跃动力稳定性问题研究较多,并取得了满意的效果[6][7][8]。恒幅阶跃载荷及矩形脉冲载荷或其它冲击载荷作用下杆的动力稳定问题也有很多研究,并从不同的角度建立了一些稳定性判定准则。但冲击载荷作用下板的动力稳定问题还没有获得广泛和深入的研究。对于较为复杂的冲击荷载作用下结构的动力稳定性问题,目前的研究主要集中于理想脉冲载荷和阶跃载荷作用下结构的动力稳定问题。在这类问题的分析中,最常采用的屈曲准则有B-R准则、Simitses总势能原理和放大函数法。对非周期激振、参数激振和强迫激振耦合引起的动力稳定问题研究较少;对弹性基本构件和简单模型研究较多(如周期激励下的柱子、梁、拱及壳等已得到了成功的分析),对复杂工程结构研究较少。对于在地震、风荷载等任意动力荷载作用下的具有较强的几何非线性的结构的动力稳定性问题,国内外这方面的文献资料虽然最近几年也有一些,但距离真正地合理解决这类动力稳定性问题还有许多工作要做。 [收稿日期]2006-06-12 [作者简介]何金龙(1962～),男,工学学士,一级注册结构工程师,主要从事工业与民用建筑设计工作。 155 ·工程结构· 四川建筑 第27卷2期 2007.04
定性和稳定性理论简介
第5章定性和稳定性理论简介 在十九世纪中叶,通过Liouville等人的工作,人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解.这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而从微分方程本身来推断其性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家Poincare(1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家Liapunov(1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程解的情况下,直接根据微分方程本身的结构与特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. 第一讲§5.1 稳定性（Stability）概念(5课时) 一、教学目的：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳 定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零 解的稳定和渐近稳定性。 二、教学要求：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分 方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 三、教学重点：简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 四、教学难点：如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程：
1．稳定性的定义 考虑微分方程组 (,)dx f t x dt = （5.1） 其中函数(,)f t x 对n x D R ∈?和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部Lipschitz 条件。 设方程（5.1）对初值01(,)t x 存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x =。现在的问题是：当01x x -很小是，差0001(,,)(,,) x t t x t t x ?-的变化是否也很小？本章向量12(,,,)T n x x x x =L 的范数取12 21 n i i x x =??= ??? ∑。 如果所考虑的解的存在区间是有限区间，那么这是解对初值的连续依赖性，在第二章的定理2.7已有结论。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生了Liapunov 意义下的稳定性概念。 定义 5.1 如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>,使得只要01x x δ-<，就有0001(,,)(,,)x t t x t t x ?ε-< 对一切0t t ≥成立，则称（5.1）的解01(,,)x t t x ?=是稳定的。否则是不稳定的。 定义5.2 假定01(,,)x t t x ?=是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要011x x δ-< ，就有 0001lim((,,)(,,))0t x t t x t t x ?→∞-= ，则称（5.1）的解01(,,)x t t x ?=是渐近稳定的。 为了简化讨论，通常把解01(,,)x t t x ?=的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,)x t x t t x =01()(,,)t t t x ??=作如下变量代换. 作如下变量代换.
《结构与稳定性》教案
《结构与稳定性》教案 教材分析:本节内容是苏教版《技术与设计2》章第二节稳固结构的探析第1课时的内容。教学内容为影响结构的稳定性的因素，主要包括重心位置的高低、与地面接触所形成的支撑面的大小、结构的形状等。本节内容有承上启下的作用，可以使学生对前面学习的结构的基本知识有更深的认识和巩固，也为下一节课时结构与强度和功能的学习，为后续的简单结构的设计和经典结构的欣赏学习做好铺垫，本课是在感性的认识基础上进一步探究结构的重要性质之一的稳定性，可使学生对如何构建一个稳定的结构有更深的认识，并最终为解决实际问题能设计出成功的结构奠定了良好的基础。 教学目标： 知识与技能：理解结构稳定性的含义。 过程与方法：通过试验，分析总结出影响结构稳定性的主要因素。 情感态度与价值观：激发学生结构探究兴趣和欲望，培养学生的思想和意识。 教学重点和难点： 重点：影响结构稳定的主要因素。 难点：1、影响结构稳定的主要因素在不同结构中的体
现。 能从影响结构稳定性的多个因素综合探讨典型结构的稳定性。 教学策略手段： 采用直观教学法。通过试验、举例、图片和实物展示，采用直观教学方法让学生亲身体会和感受，激发学生的学生的学习兴趣和促进对相关概念的理解。 采用探究式教学方法。通过纸板屏风的小实验，结合案例分析，激发学生探究热情，提高学生掌握相关知识的稳定性。 立足学生的直接经验和亲身经历。通过做中学，以学生的亲历情境、亲手操作、亲身体验为基础，学生自己能发现问题、提出问题、分析问题，并将所学知识应用于实际问题的解决。 学情学法： 通过节的学习，学生认识了常见的结构，会从力学的角度理解结构的概念，会简单的分析结构的受力，使得学生有了学习本课时的基础。学习本课可以使学生对结构特性有更深入的认识，并为后续的结构设计教学奠定基础。 因为教学内容以及概念的具体性，需要在课堂上通过对具体实例的探究，学生才会建立起比较稳定的结构与稳定性相关概念，也有利于提高学生的理解技术、运用技术的能力。
控制系统的稳定性分析
精品 实验题目控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1．观察系统的不稳定现象。 2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。 二、实验仪器 1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 2．计算机一台 三、系统模拟电路图 系统模拟电路图如图3-1 图3-1 系统模拟电路图R3=0～500K； C=1μf或C=0.1μf两种情况。 四、实验报告 1．根据所示模拟电路图，求出系统的传递函数表达式。 G(S)= K=R3/100K,T=CuF/10 2．绘制EWB图和Simulink仿真图。
精品 3．根据表中数据绘制响应曲线。 4．计算系统的临界放大系数，确定此时R3的值，并记录响应曲线。 系统响应曲线 实验曲线Matlab （或EWB）仿真 R3=100K = C=1UF 临界 稳定 （理论值 R3= 200K） C=1UF
精品 临界 稳定 （实测值 R3= 220K） C=1UF R3 =100K C= 0.1UF
精品 临界 稳定 （理论 值R3= 1100 K） C=0.1UF 临界稳定 （实测值 R3= 1110K ） C= 0.1UF
精品 实验和仿真结果 1．根据表格中所给数据分别进行实验箱、EWB或Simulink实验，并进行实验曲线对比，分析实验箱的实验曲线与仿真曲线差异的原因。 对比： 实验曲线中R3取实验值时更接近等幅振荡，而MATLAB仿真时R3取理论值更接近等幅振荡。 原因： MATLAB仿真没有误差，而实验时存在误差。 2．通过实验箱测定系统临界稳定增益，并与理论值及其仿真结果进行比较（1）当C=1uf，R3=200K(理论值)时，临界稳态增益K=2， 当C=1uf，R3=220K(实验值)时，临界稳态增益K=2.2，与理论值相近（2）当C=0.1uf，R3=1100K(理论值)时，临界稳态增益K=11 当C=0.1uf，R3=1110K(实验值)时，临界稳态增益K=11.1，与理论值相近 四、实验总结与思考 1．实验中出现的问题及解决办法 问题：系统传递函数曲线出现截止失真。 解决方法：调节R3。 2．本次实验的不足与改进 遇到问题时，没有冷静分析。考虑问题不够全面，只想到是实验箱线路的问题，而只是分模块连接电路。 改进：在实验老师的指导下，我们发现是R3的取值出现了问题，并及时解决，后续问题能够做到举一反三。 3．本次实验的体会 遇到问题时应该冷静下来，全面地分析问题。遇到无法独立解决的问题，要及时请教老师，
结构稳定理论
结构稳定理论
—拉普森方法上加以改进的一种更利于求解收敛的迭代法，引入了一个附加的未知项一荷载因子λ，其迭代过程如图2-1所示。 图2-1 弧长法 非线性屈曲分析比线性屈曲分析更精确。主要步骤设置：（1）考虑几何非线性，激活大变形效应；（2）材料模型定义。材料非线性由材料屈服准则、流动准则、强化准则定义；(3）施加荷载；(4)求解设置。定义荷载步、子步数、平衡迭代数，定义收敛准则，指定程序终止选项。划分的子步数对屈服荷载的预测准确性有很大的影响，荷载增量不宜过大；(5)采用弧长法。不指定荷载步TIME 值，也不能使用线性搜索、时间步长预测、自适应下降和自动时间步长。可以减小初始半径和降低弧长半径的下限来克服收敛困难；（6）结果。观察结构屈曲变形和相对应力分布；得到结构上任意节点的荷载—变形曲线。 3 多层钢框架整体稳定性分析 6层钢框架，横向(Y)为3跨，柱间距为6m ，纵向(X)为6跨，柱间距为4m ，层高4m ，楼面活荷载标准值为2kN/m ，沿轴线方向的所有梁上施加均布的水平线荷载q 。 钢框架梁为H 形截面，截面尺寸为w f H B t t ???=350×200×20×10，柱
图3-1 Beam188单元 图3-2 Shell181单元 3.1.2网格划分、边界条件和加载 定义单元截面、材料性质，创建几何实体模型，有限元模型网格划分的优劣直接影响结构计算的准确性，本文对钢框架的梁柱网格进行了细划分。为了反映多层钢框架在实际应用中的受力状态，在框架柱脚节点约束了所有方向的自由度，即假定框架柱脚与地面为理想刚接。按照实际情况考虑混凝土楼板以及框架梁柱的重力荷载，楼面的活荷载作用，沿轴线方向所有梁上作用均布水平线荷载q，方向与Ｙ轴的正方向一致。 有限元模型如图3-3所示。
结构稳定理论复习思考题
结构稳定理论复习思考题 1、平衡稳定性的三个基本准则是什么？根据这三个准则，求结构稳定临界荷载方法有哪些？求解临界荷载是在结 构原来的位图上求解还是在变形后位图上求解？ 答：三个基本准则：静力准则、能量准则、动力准则。 求临界荷载方法：静力平衡法、能量方法、动力方法。 必须采用结构产生变形后的计算图形来建立平衡方程和其总势能表达式。P11 2、结构稳定问题有哪些类型？ 答：稳定问题根据荷载-位移和荷载-变形曲线不同分为两类： 1）第一类稳定问题，具有平衡分枝点的稳定问题。 属于这类稳定问题的有：轴压杆的弯曲屈曲、轴压杆和压弯杆件的弯扭屈曲、在腹板平面内受荷的梁的侧扭屈曲以及在板平面内受轴压荷载和剪切荷载的薄板的弯曲屈曲等。 在临界荷载Pcr以前，属稳定平衡；在临界荷载Pcr以后，进入不平衡状态。 2）第二类稳定问题，无平衡分枝的稳定问题。 属于这类稳定问题的有：压弯杆件在弯矩作用平面内的稳定。 上升段是稳定的，下降段是不稳定的，转折点即不稳定平衡的临界状态，用极限荷载Pn表示。 3）跌越失稳 3、结构稳定问题与结构强度问题的有何区别？ 答：1）强度问题，是指结构或单个构件在稳定平衡状态下由荷载所引起的最大应力（或内力）是否超过建筑材料的极限强度，因此是一个应力问题。 2）稳定问题，主要是要找出外荷载与结构内部抵抗力间的不稳定平衡状态，即变形开始急剧增长的状态，从而设法避免进入该状态，因此，它是一个变形问题。 3）强度问题可以采用一阶或二阶分析结构内力，而稳定问题必然是二阶分析，其外荷载与变形间呈非线性关系，叠加原理不能应用。 4、理想轴压杆小挠度理论和大挠度理论有哪些不同？根据你的理解，理想轴压杆大挠度理论最适合用于分析夏志 斌教授《结构稳定理论》书中P29图1-5中哪个阶段的轴压杆的力学行为？ 答：从P/P E-δ/l关系曲线分析不同点： 1）大挠度理论，在P/P E>1,时，与小挠度理论的差别是能得到相应于屈曲后强度的曲线； 2）小挠度理论的分枝荷载代表了由稳定平衡到不稳定平衡的分枝点，而大挠度理论的分枝荷载则是由直线稳定平衡状态到曲线稳定平衡状态的分枝点。 3）大挠度理论，荷载较临界荷载略有增加，就将导致较大的挠度，在挠度很小的范围内，小挠度理论代替大挠度理论完全可行。 4）在弹性工作阶段，一般都可采用小挠度理论。 AB段？B-C? 5、初弯曲、初偏心以及残余应力对压杆稳定承载力有哪些影响？ 答：1）初始缺陷（几何缺陷、荷载缺陷）将降低柱的承载能力，缺陷越大，荷载降低得越多。受荷初期，挠度增长较慢，当P P E时，挠度显著增加。欧拉荷载是实际压杆承载力的一个上限。 2）初弯曲和初偏心两个缺陷对柱子稳定性产生的影响相似，可以用其中一个缺陷来模拟两个缺陷都存在的实际压杆。 3）残余应力降低比例极限，使柱子提前出线弹塑性屈曲，并降低了临界荷载或临界应力。 6、结构稳定计算方法中能量方法是精确方法吗？为什么能量方法得出的结果往往是近似的？ 答：是精确方法。P69 1）变形连续体是由无数个介质点所组成，基于能量方法的近似解法用有限个自由度的体系来代替。 2）预先假定的位移函数与真是的位移函数存在一定的误差，带来计算的近似性。 7、结构稳定分析有限元法与结构静力分析有限元法有哪些区别？ 答：(1)稳定问题有限元法中轴向力对单元刚度有影响，而静力问题有限元则忽略轴向力对刚度的影响；（2）求pcr 时，在稳定问题有限元法中，初应力对其有影响，而在静力问题有限元中不考虑。稳定问题有限元法中的单元刚度矩阵由两部分组成（1）普通受弯杆单元的刚度矩阵，与杆件截面特性相关，与轴力P无关，（2）轴向荷载对刚度的影响当轴力P为压力时，将减小杆件的刚度，当为拉力时，将增加杆件的刚度，它与截面的特性无关，称为初应力刚度或几何刚度矩阵。静力问题有限元中的单元刚度只由第一部分组成，不受轴向荷载的影响。
结构稳定概述(结构稳定原理)
第1章结构稳定概述 工程结构或其构件除了应该具有足够的强度和刚度外，还应有足够的稳定性，以确保结构的安全。结构的强度是指结构在荷载作用下抵抗破坏的能力；结构的刚度是指结构在荷载作用下抵抗变形的能力；而结构的稳定性则是指结构在荷载作用下，保持原有平衡状态的能力。在工程实际中曾发生过一些由于结构失去稳定性而造成破坏的工程事故，所以研究结构及其构件的稳定性问题，与研究其强度和刚度具有同样的重要性。 1.1 稳定问题的一般概念 结构物及其构件在荷载作用下，外力和内力必须保持平衡，稳定分析就是研究结构或构件的平衡状态是否稳定的问题。处于平衡位置的结构或构件在外界干扰下，将偏离其平衡位置，当外界干扰除去后，仍能自动回到其初始平衡位置时，则其平衡状态是稳定的；而当外界干扰除去后，不能自动回到其初始平衡位置时，则其平衡状态是不稳定的。当结构或构件处在不稳定平衡状态时，任何小的干扰都会使结构或构件发生很大的变形，从而丧失承载能力，这种情况称为失稳，或者称为屈曲。 结构的稳定问题不同于强度问题，结构或构件有时会在远低于材料强度极限的外力作用下发生失稳。因此，结构的失稳与结构材料的强度没有密切的关系。 结构稳定问题可分为两类： 第一类稳定问题（质变失稳）—结构失稳前的平衡形式成为不稳定，出现了新的与失稳前平衡形式有本质区别的平衡形式，结构的内力和变形都产生了突然性变化。结构丧失第一类稳定性又称为分支点失稳。 第二类稳定问题（量变失稳）—结构失稳时，其变形将大大发展（数量上的变化），而不会出现新的变形形式，即结构的平衡形式不发生质的变化。结构丧失第二类稳定性又称为极值点失稳。 无论是结构丧失第一类稳定性还是第二类稳定性，对于工程结构来说都是不能容许的。结构失稳以后将不能维持原有的工作状态，甚至丧失承载能力，而且其变形通常急剧增加导致结构破坏。因此，在工程结构设计中除了要考虑结构的 116
判断系统稳定性
摘要 现今数字信号处理理论与应用已成为一门很重要的高新科学技术学科，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，既使我们对数字信号处理的理论知识能够有更加深厚的解也提高了动手能力，实践并初步掌握了MATLAB 的使用。 根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。 本课题中给出了系统函数，对其稳定性进行分析我们可以通过MATLAB画零极图观察极点的分布，另外还可以通过MATLAB分析系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应、幅频相频特性的图形更加具体的对系统进行分析。 关键字：离散系统函数、MATLAB、零极点分布、系统稳定性。
一、设计原理 1.设计要求 （1）：根据系统函数求出系统的零极点分布图并且判断系统的稳定性。 （2）：求解系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。（3）：求系统的单位脉冲响应，并判断系统的稳定性 （4）：求出各系统频率响应，画出幅频特性和相频特性图（zp2tf,zplane，impz等） 2、系统稳定性、特性分析 进行系统分析时我主要利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图、单位脉冲响应图、单位阶跃响应图等。采用MATLAB
软件进行设计时我调用了软件本身的一些函数来对课题进行绘图和分析。诸如zplane、impz、stepz、freqz等。 对系统函数的零极图而言：极点在单位圆,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。当极点处于单位圆，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。由以上的判据配合图形对系统的稳定性进行分析，达到我们的课程要求。 系统函数H（z）的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。 因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性： (1)系统单位样值响应h(n)的时域特性； (2)离散系统的稳定性； (3)离散系统的频率特性； 二、MATLAB绘图分析 MATLAB功能丰富，可扩展性强。MATLAB软件包括基本部分和专业扩展两大部分的功能。基本部分包括：矩阵的运算和各种变换；代数和超越方程的求解；数据处理和傅立叶变换；数值部分等等，可以充分满足大学理工科本科的计算需要。扩展部分称为工具箱。它实际上是用MATLAB的基本语句辩称的各种子程序
结构与稳定性说课稿.docx
结构与稳定性说课稿 一、课题：章第二节结构与稳定性 二、课型：新授课 三、说教学目标： 知识与技能理解结构的稳定性和稳定结构的概念，明确 结构在静止或运动状态下稳定条件的不同。 过程与方法能通过演示、案例、技术试验分析影响结构 稳定性的主要因素并写出简单试验报告。 情感态度与价值观通过分析讨论、试验等方法得出结 论，培养学生的观察、思维能力，主动参与意识，体验学习 乐趣。渗透安全教育、德育教育。 四、说教学分析： 教材分析本单元内容属于《技术与设计 2》的个主题，该主题总的设计思路是：认识结构——探析结构——设计结 构——欣赏结构，“结构”和“设计”共同构成本单元两个 核心概念。结构体现了“空间”的概念，而结构的稳定性又 是结构的重要性质之一，因此，本节内容在《结构与设计》 中起到举足轻重的作用，所以教材通过马上行动、案例分析、探究、小试验及阅读等手段引导学生理解结构的稳定性、稳 定结构的含义，探究影响结构稳定性的主要因素，这样不仅 可以使学生对结构的含义有更深的认识，而且也为以后结构
的强度、结构的设计等奠定了良好基础。 教学对象分析学生通过节“常见结构的认识”的学习，对 结构的概念，结构的受力、及结构的一般分类有了初步的认识，这部分内容对于他们来说难度不大，因此对哪些主要因素影响 结构的稳定性会产生浓厚的兴趣，也有了一定探究的欲望。因 此采用激趣法，合理引导，通过典型案例、小试验、多媒体等 方法，学生完全能够达到本节内容的学习目标。 说教学重点、难点及技术点 重点对结构稳定性的理解以及分析影响结构稳定性的 主要因素。 难点利用所学知识分析有关结构稳定性的实际案例。 技术点通过各种试验，探究影响结构稳定性的主要因 素。 五、说教学策略设计 采用激趣法，一开始利用学生演示试验，导入新课。紧接 着播放视频资料，介绍 07 年夏天我国东南沿海地区遭受台风“圣帕”袭击，很多结构受到破坏，通过四幅台风过后的结构 图片，让学生亲身感受到结构被破坏的情景，引出结构的稳定性。再结合不倒翁演示试验，引起学生对影响结构稳定性因素 的兴趣。接下来结合学生熟悉的、身边的生活事例，借助于演 示及分组试验，引导学生探究影响结构稳定性的主要因素。通 过分析比萨斜塔和运动中自行车的稳定性，
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义
一、引言： 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。 在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。 二、稳定性定义： 1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。 稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。 绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。 （1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。 （2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。） （3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不