高等代数知识点总结_第三版_王萼芳与石生明编

第四章矩阵

知识点考点精要

一．矩阵及其运算

1.矩阵的概念

（1）由s ?n 个数ij a （i=1，2…s ；j=1,2……n ）排成n 行n 列的数表1111

n s sn a a a a ??

? ???

K M O M L ，称为s 行n 列矩阵，简记为()ij sn A a =。

（2）矩阵的相等设()ij mn A a =，()ij lk B a =，如果m=l ，n=k ，且ij ij a b =，对i=1，2…m ；j=1,2……n 都成立，则称A 与B 相等，记A=B 。

（3）各种特殊矩阵行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单

位矩阵。 2.矩阵的运算（1）矩阵的加法

1111n s sn a a a a ??

? ? ???K M O M L +1111n s sn b b b b ??

? ? ???K M O

M L =11111111n n s s sn sn a b a b a b a b ++??

? ? ?++??

M O

M L 运算规律：

i) A+B=B+A

i)(A+B)+C=A+(B+C) iii) A+O=A iv ）A+(-A)=O （3）数与矩阵的乘法

11111111n n s sn s sn a a ka ka k a a ka ka ????

?= ? ? ? ?????

K K M O M M O

M L L 运算规律：

（k+l ）A=kA+lA ， k(A+B)=ka+kB k(lA )=(kl)A l g A=A.

（3）矩阵的乘法

111111111111n n n s sn s sn m mn a a b b c c a a b b c c ??????

?= ??? ? ??? ???????

K K K

M O M M O M M O

M L L L

其中1122........,1,2,....;1,2.....ij i j i j in nj c a b a b a b i s j m =+++== 运算规律：

i) （AB ）C=A(BC) i)A(B+C)=AB+AC iii) (B+C)A=BA+CA iv ）k(AB)=A (kB )=(kA)B 一般情况， AB ≠BA

AB=AC,A ≠0 ?B=C AB=0 ?A=0或B=0 （4）矩阵的转置

1111

n s sn a a A a a ??

?= ? ???K M O

M L A 的转置就是指矩阵111'1s n sn a a A a a ??

?= ? ???

K M O

M L 运算规律：

i ）''

()A A =

ii ）'''

()A B A B +=+ iii ）'

()AB B A = iv ）'

()kA kA = （5）方阵的行列式

设方阵1111

n s sn a a A a a ??

= ? ???

M O

M L A 的行列式为1111n s sn

a a A a a =K M O M L 运算规律：

i) 'A A = ii) n

kA k A =

iii) AB A B BA ==,这里A,B 均为n 级方阵。

二．矩阵的逆

1.基本概念

（1）矩阵可逆的定义

n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB=BA=E ，这里E 是单位矩阵。

（2）伴随矩阵

设ij A 是矩阵1111

n n nn a a A a a ??

? ???K M O M L 中元素ij a 的代数余子式，矩阵111*1n n nn A A A A A ??

= ? ???

K M O

M L 称A 的伴随矩阵。

2.基本性质

（1）矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化（0A ≠），而*

A A A

（2）如果矩阵A ，B 可逆，那么'A 与AB 也可逆，且

'11'()()A A --= 111()AB B A ---=

(3)设A 是s ?n 矩阵，如果P 是s ?s 可逆矩阵，Q 是n ?n 可逆矩阵，

那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）

三．分块矩阵

了解分块矩阵的概念及运算，特别是准对角矩阵的性质。对于两个有相同分块的准对角矩阵

100

l A A A ?? ?

= ? ???O

, 100l B B B ?? ?

= ? ???

O 如果它们相应的分块是同级的，则（1）110

l l A B AB A B ??

?= ? ???

（2）110

l l A B A B A B ??

?+= ? ?+??

（3）12....i A A A A =

（4）A 可逆的充要条件是12,....i A A A 可逆，且此时，111

0l A A A ---?? ?= ? ???

四．初等变换与初等方阵

1.基本概念（1）初等变换

i)用一个非零的数k 乘矩阵的第i 行（列）记作()i i r k c k ??

ii)互换矩阵中i ，j 两行（列）的位置，记作()i j i j r r c c ←?→?

iii ）将第i 行（列）的k 倍加到第j 行（列）上，记作()j i j i r kr c kc +?称为矩阵的三种初等行（列）矩阵。

初等行，列变换称为初等变换所得到的矩阵。（2）初等方阵

单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。、 2.基本性质

（1）对一个s ?n 矩阵A 作一次初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s ?s 初等矩阵；对A

作一次初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n ?n 初等矩阵。

（2）任意一个s ?n 矩阵A 都与一形式为10000100001000000000?? ? ? ?

? ? ? ? ??

L L L L M

M O M M

L L L L L

的等价，它称为矩阵A 的标准型，主对角线上1的个数等于A 的秩。

（3）n 级矩阵A 为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积。

（4）两个s ?n 矩阵A ，B 等价的充分必要条件是，存在可逆的s 级矩阵P 与可逆的n 级矩阵Q ，使

B=PAQ 。

3.用初等变换求逆矩阵的方法

把n 级矩阵A,E 这两个n ?n 矩阵凑在一起，得到一个n ?2n 矩阵（AE ），用初等行变换把它的左边一半化成E ，这时，右边的一半就是1

A -。

第五章二次型

知识考点精要

1.二次型及其矩阵表示

（1）二次型

设P 是一数域，一个系数在数域P 中的12,,.....,n x x x 的二次齐次多项式

222

1211112121122222(,,)222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++L L L L 称为数域

P 上的一个n 元二次型。（2）二次型矩阵

设12(,,)n f x x x L 是数域P 上的n 元二次型，12(,,)n f x x x L 可写成矩阵形式

12(,,)n f x x x L 'X AX

其中x='12(,,)n x x x L ，A='

(),ij n n a A A ?=。A 称为二次型12(,,)n f x x x L 的矩阵。秩（A ）称为

二次型12(,,)n f x x x L 的秩。（3）矩阵的合同

数域P 上n ?n 矩阵A,B 称为合同的，如果有属于P 上可逆的n ?n 矩阵C ，使'

B C AC =

2．标准型及规范性

定理数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型222

1122n n d y d y d y +++L

用矩阵的语言叙述，即数域P 上任意一个对称矩阵合同于一个对角矩阵。

定理任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型222

12.....r z z z +++且

规范形是唯一的。

定理任意一个实系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型

2222

11.........p p p q z z z z ++++---且规范形是唯一的，其中p 称为此二次型的正惯性指数，q

称为此二次型的负惯指数，2p-q 称为此二次型的符号差。

3.正定二次型及正定矩阵

（1）基本概念

《高等代数一》知识点

高等代数知识点第一章多项式 1．数域的定义、常见数域 2．（系数在）数域P 上的多项式的定义 3．多项式相等 4．多项式的次数、零多项式和零次多项式 5．一元多项式的运算（加减乘）、运算律、多项式环、次数定理 6．整除的定义：()()g x f x ?()()()f x g x h x =（证明，不整除则用反证法）、因式和倍式 7．整除的性质：（1）一些特殊的整除性（0，常数，自身）（2）整除的反身性（3）整除的传递性（4）整除的组合性 8．带余除法()()()()f x q x g x r x =+、综合除法 9．整除的判定法则：余式为零 10．整除不受数域的影响 11．公因式及最大公因式的定义、()()(),f x g x ，()0,()()g x g x =，()0,00= 12．最大公因式的求法（辗转相除法）P44：5 13．最大公因式可以表示为()(),f x g x 的一个组合()()()()()d x u x f x v x g x =+——Ｐ45：8 14．互素的定义 15．互素的相关定理（证明）P45：12、14 （1） ()()(),11()()()()f x g x u x f x v x g x =?=+ （2） ()()()()()()()(),1,f x g x f x g x h x f x h x =? （3） ()()()()()()() ()()()121212,,,1,f x g x f x g x f x f x f x f x g x =? 16．不可约多项式的定义（次数大于等于1） 17．平凡因式、不可约等价于只有平凡因式 18．可约性与数域有关 19．不可约多项式的性质：（1） ()p x 不可约，则()cp x 也不可约（2） ()p x 不可约，()[],f x P x ?∈ ()()|(),(),()1p x f x or f x p x ?= （3） ()p x 不可约，()()()p x f x g x ()()()|(),p x f x or p x g x ? 20．标准分解式1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =

高等代数与中学数学的联系

目录摘要................................................................................ I Abstract........................................................................... I 1 引言 (1) 2 知识方面的联系 (1) 2．1多项式理论的应用 (1) 2．2行列式的应用 (2) 2．3柯西不等式的应用 (3) 2．4二次型的应用 (4) 3 思想方面的联系 (4) 3．1符号化思想 (4) 3．2分类思想 (5) 3．3化归与转化思想 (5) 3．4结构思想 (6) 3．5公理化方法 (6) 3．6坐标方法 (6) 3．7构造性方法 (7) 4 观念方面的联系 (7) 结束语 (8) 参考文献 (8)

致谢 (10)

摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合．关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用 Abstract: The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application

(完整版)高等代数知识点归纳

1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1 (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 范德蒙德行列式： ()12222 1211 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 分块对角阵相乘：11 112222,A B A B A B ???? == ? ???? ??11112222A B AB A B ??= ???,1122n n n A A A ?? = ??? 分块矩阵的转置矩阵：T T T T T A B A C C D B D ?? ??= ? ????? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 1 1A A --=. 分块对角阵的伴随矩阵：* * *A BA B AB ?? ??= ? ???? ?

知识点总结高等代数

第二章行列式知识点总结一行列式定义 1、n 级行列式1112121 22 212 n n ij n n n nn a a a a a a a a a a = （1）等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a （2）的代数和，这里12n j j j 是一个n 级排列。当12 n j j j 是偶排列时，该项前面带正号；当12 n j j j 是奇排列时，该项前面带负号，即： 12 1212 1112121222() 1212 (1)n n n n n j j j ij j j nj n j j j n n nn a a a a a a a a a a a a a τ= = -∑ 。 2、等价定义 121212() 12(1)n n n i i i ij i i i n n i i i a a a a τ = -∑和12 1211221212 ()() (1)n n n n n n i i i j j j ij i j i j i j n i i i j j j a a a a ττ+= -∑ 和 3、由n 级排列的性质可知，n 级行列式共有!n 项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。 4、常见的行列式 1）上三角、下三角、对角行列式 11 11 11 222222 112200nn nn nn nn a a a a a a a a a a a a *===* 2）副对角方向的行列式 111(1)21 2,1 2,1 2 12,111 1 1 0(1) n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----* ===-* 3）范德蒙行列式： 1222212 11 1112 111() (2) n n i j j i n n n n n a a a a a a a a a a a n ≤<≤---= -≥∏ 二、行列式性质 1、行列式与它的转置行列式相等。

高等代数行列式知识点总结

第一章行列式（ * * * ）一、复习指导：行列式在高等代数中是十分重要的，它不仅是每年必要的一道大题，而且还是一个基础章节，它与学好后面的章节也有一定的联系，是学习后面重要章节的基础。在首师大真题中，行列式往往会以求数字型n 阶行列式的值作为一道大题出现，分值15分。具体可以参考真题。二、考点精讲： (一）基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。定义2 逆序数—设n i i i Λ21是n ,,2,1Λ的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i Λτ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义3 行列式—称nn n n n n a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 21 22221112 11 = 称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D ΛΛΛ21212121) ()1(∑-= τ 。定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 21 22221112 11 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=) 1(为元素ij a 的代数余子式。（二）、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如 n a a a Λ ΛO ΛΛΛΛ0 00 02 1 称为对角行列式，n n a a a a a a ΛΛ ΛO ΛΛΛΛ21210 00 0=。

高等代数的知识结构

高等代数知识结构一、高等代数知识结构图高等代数线性代数工具线性方程组中心课题线性典范型研究范围线性空间行列式矩阵线性方程组向量相关性行列式的计算行列式的性质矩阵的秩矩阵的运算与逆矩阵的初等变换线性方程组的解法及判别定理线性方程组解的结构极大线性无关组线性相关和线性无关二次型线性流形线性函数若尔当典范性化为标准型（配方法，线性方程组法，正交法）对角化正定性，合同单线性函数对称双线性函数 J矩阵 II-C定理矩阵的可对角化线性空间欧式空间酉空间线性空间的性质与同构，子空间的判定线性变换坐标变换与基变换特征值与特征向量可对角化及不变子空间欧式空间的性质正交化与正交补的求法正交变换与正交矩阵酉空间的性质复数域上的正交变换

二、高等代数知识结构内容（一）线性代数：工具：线性方程组 1.行列式： 1行列式的计算设有2n 个数，排成n 行n 列的数表 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 ，即n 阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积 n 21nj j 2j 1a a a ⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，，的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号．即 nn n n n n a a a a a a a a a 2 12222111211 =() ()n 21n 21n 21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-，这里∑n 21j j j 表示对所有n 级排列求和. a.行列式的性质：性质1.行列互换，行列式不变。性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数多项式理论整除理论因式分解理论多项式根的理论多元多项式/ 对称多项式最大公因式定理互素与同于因式分解唯一性重因式复数域实数域有理数域求法判定（爱绅斯坦因）根的判别式韦达定理

一高等代数与解析几何之间的关系

利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理一、高等代数与解析几何的关系代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学中国科大：陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011. 南开大学：孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007. 华东师大：陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008. 华中师大：樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004. 同济大学：高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社(2005-05出版) 兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性； 2、研究方法的公理性； 3、代数系统的结构性。四、高等代数一些概念的引入对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。

高等代数欧几里得空间知识点总结

第九章欧几里得空间（ * * * ）一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。二、考点精讲：三、首师大真题：（一）欧氏空间 1.设V 是是数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(,)αβ，特具有一下性质：（1）(,)(,)αββα=；（2）(,)(,)k k αβαβ= （3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；（4）(,)0αα≥，当且仅当α=0时(,)αβ=0.这里,,αβγ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。 2.α的长度，记为α。 3.非零向量的夹角,β规定为(,) ,arccos ,0,ααβαβπαβ =≤≤ 4.如果向量,αβ的内积为零，即(,)0αβ=，那么,αβ称为正交或互相垂直，记为αβ⊥。 5.设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基1,2,......,n εεε令 (,),(,1,2,....)ij i j a i j n εε==矩阵()ij n n A a ?= 称为基1,2,......,n εεε的度量矩阵。（1）度量矩阵是正定的；（2）不同基底的度量矩阵是合同的。 6.欧氏空间V 中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。（1）施密特正交化这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法. 以3个线性无关向量α1,α2,α3为例. ①令β1=α1, β2=α2- 11112) ,() ,(ββββα, β3=α3-11113),(),(ββββα-22223) ,() ,(ββββα. 此时β1,β2,β3是和α1,α2,α3 等价的正交非零向量组. （二）同构 1.实数域R 上欧氏空间V 与' v 称为同构，如果由V 到' v 有一个1-1上的映射σ，适合（1）()()()σαβσασβ+=+ （2）()()k k σασα=

高等代数知识点

第四章 1 转轴----坐标系（x1，y1，z1）到（x2，y2，z2）的坐标变换矩阵是A，如果令X1=（x1，y1，z1）的转置，X2=（x2，y2，z2）的转置，则X1=AX2。 2单位矩阵E=数量矩阵为kE= 如：AE=A，EA=A 3矩阵的加法，乘法，减法，结合律，交换律，零矩阵 4 秩（A+B）秩A+秩B 5 如：A=则矩阵的数量乘积 kA= 6 矩阵的转置记作A的转置为A’。例如A= 则A’= 注意：转置的性质(A’)’=A (A+B)’=A’+B’( AB)’=B’A’ (kA)’=kA’ 定理1 假设A B是数域P上的两个n n矩阵，那么|AB|=|A||B| 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积推论1 |A1A2An|=|A 1||A 2||An|

定义6数域P上的一个n n矩阵A，如果|A|0，称为非退化的，否则称为退化的推论2 假设A B是数域P上的两个n n矩阵，矩阵AB为退化的充要条件是A，B中至少有一个是退化的定理2 假设A是数域P上的n m矩阵，B是数域P上的m s 矩阵，于是秩（AB）min[秩A，秩B]。即乘积的秩不超过个因子的秩推论3 如果A=A1A2An，那么秩A min（秩Ai）定义7 如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，则n级方阵A称为是可逆的定义8 如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，那么B就称为A的逆矩阵，记作A-1 定义9 假设A ij是矩阵A=中a ij的代数余子式，矩阵A*=称为A的伴随矩阵。 A*A=AA*=dE 其中d=|A| 定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是A是非退化的，而A-1=A* 推论如果A，B可逆，那么AB与Ａ＇也可逆，且(A’)-1=(A-1)’,(AB)-1=B-1A-1

高等代数知识点与解题方法笔记

《高等代数知识体系及解题方法概述》姓名：*** 学院：理学院专业：数学与应用数学学号：20********1 课程：高等代数 2020年6月23日

第一章：多项式知识体系：解题方法： 1，判定数域:关于加减乘除封闭。 2，求最大公因式： (1) 多项式分解成标准分解式; (2) 辗转相除法; 3，求多项式的标准分解式： ① 利用辗转相除法求出())(),(x f x f '； ② 把f(x)单因式化 ())()()()(),() (2 1x p x p x cp x f x f x f s Λ='； ③ 得出重因式的次数，将次数加到f(x)的单因式上去。 4，判定多项式整除：带余除法余式为零。 5，判定重因式并求重因式： (1) ()1)(),(≠'x f x f ； (2) 带余除法。 6，求方程的有理根： (1) 带余除法； (2) 整系数多项式的根为r/s;若是s|an,r|a0。根据多项式猜想所有可能根，代入方程验证。 7，判定不可约多项式： (1) 艾森斯坦因判别法；多项式一元多项式整除带余除法最大公因式互素因式分解定理重因式复、实系数多项式因式分解有理系数多项式多项式函数多元多项式对称多项式对称多项式基本定理

(2)反证法，得出矛盾。 8，证明一多项式因某条件而为简单多项式思路： ①设多项式； ②设多项式次数，比较等式两边多项式次数； ③设特殊值，比较等式两边系数。 9，多项式按某一次因式的方幂和展开式:综合除法第二章：行列式知识体系：解题方法： 1，行列式的计算： (1)行列式的定义； (2)降阶法； (3)按某一行或某一列的代数余子式展开（一般是按零较多的行或列展开），高阶行列式一般需要进行递推； (4)若每一行或每一列的元素相同，相加到第一行或第一列提取公因数后进行降级处理； (5)若行列式形似范德蒙德行列式，则构造对应范德蒙德行列式。求出范德蒙德行列式的多项式系数，要求的行列式一般与多项式的系数密切相关2，解线性方程组：克拉默法则（非齐次）第三章：线性方程组知识体系：

高等代数复习提纲

高等代数复习提纲一．多项式 1. 带余除法—->辗转相除法- 1uf vg +=的运用 2. 不可约多项式，标准分解式，特别是实数域和复数域情形。 3. 根与标准分解式（复数域），重因式判定。 4. 有理根计算。Eisenstein 判别法变形运用。二．行列式基本性质与算法，行列式仅是后继高代内容的研究工具。三．线性方程组核心内容。线性相关性判定及线性组合方式计算是两个核心概念。 1. 消元法：初等行变换是代数最基本方法。 2. 向量组线性相关性概念，秩的计算，矩阵非零r 级子式计算，极大无关组的求法。 3. 方程组三种等价形式的运用。 4. 线性方程组有解判别定理与向量组秩关系。 5. 解的结构与极大无关组。四．矩阵 1. 矩阵乘积的秩。 2. 逆矩阵计算 3. 初等变换与初等矩阵：左乘变行，右乘变列。 4. 分块的思想：与矩阵乘积，方程组关系等。五．二次型 1. 二次型几何意义。 2. 二次型矩阵，标准型计算。合同概念。 3. 规范形几何意义。特别是实二次型。 4. 正定性的判定。与向量内积关系等：例如： ()();T r A r A A =T A A 正定当且仅当0AX =只有零解，其中A 不必是方阵。六线性空间 1. 线性空间定义。 2. 基（维数），坐标，同构.n V P ? 3. 向量组线性相关性判定?同构坐标向量组相关性? 线性方程组。 4. 子空间的交与和基的计算，维数公式。 5. 直和：交为{0}. 七．线性变换 1. 线性变换矩阵表示：线性变换=矩阵（基固定），这一相等保持线性关系和乘

积，从而一切关于线性变换问题完全等价于一个矩阵问题。 2. 基变换前后矩阵相似。 3. 特征值，特征向量的计算和性质。注意特征向量和特征向量坐标的区别：首先计算的是特征向量坐标！ 4.可对角化判定。值域与核的基的计算，“维数公式“。八．λ矩阵 1. 初等变换注意事项。 2. 标准型计算：简便算法。 3. 行列式因子，不变因子，初等因子，Jordan块之间对应关系。九．欧氏空间 1. 定义和基本性质。 2. 标准正交基。 3. Schmidt正交化方法。 4. 正交矩阵，正交变换。 5. 实对称矩阵标准型 5. 正交补。 6.内射影计算。 7.同构.n ? V R

高等代数知识点总结_第三版_王萼芳与石生明编

第四章矩阵知识点考点精要一．矩阵及其运算 1.矩阵的概念（1）由s ?n 个数ij a （i=1，2…s ；j=1,2……n ）排成n 行n 列的数表1111 n s sn a a a a ?? ? ? ??? K M O M L ，称为s 行n 列矩阵，简记为()ij sn A a =。（2）矩阵的相等设()ij mn A a =，()ij lk B a =，如果m=l ，n=k ，且ij ij a b =，对i=1，2…m ；j=1,2……n 都成立，则称A 与B 相等，记A=B 。（3）各种特殊矩阵行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。 2.矩阵的运算（1）矩阵的加法 1111n s sn a a a a ?? ? ? ???K M O M L +1111n s sn b b b b ?? ? ? ???K M O M L =11111111n n s s sn sn a b a b a b a b ++?? ? ? ?++?? K M O M L 运算规律： i) A+B=B+A i)(A+B)+C=A+(B+C) iii) A+O=A iv ）A+(-A)=O （3）数与矩阵的乘法 11111111n n s sn s sn a a ka ka k a a ka ka ???? ? ?= ? ? ? ????? K K M O M M O M L L 运算规律：（k+l ）A=kA+lA ， k(A+B)=ka+kB k(lA )=(kl)A l g A=A. （3）矩阵的乘法 111111111111n n n s sn s sn m mn a a b b c c a a b b c c ?????? ?? ? ?= ??? ? ??? ??????? K K K M O M M O M M O M L L L

高等代数与中学数学的联系

目录摘要I Abstract I 1 引言1 2 知识方面的联系1 2．1多项式理论的应用1 2．2行列式的应用2 2．3柯西不等式的应用3 2．4二次型的应用4 3 思想方面的联系4 3．1符号化思想4 3．2分类思想5 3．3化归与转化思想5 3．4结构思想6 3．5公理化方法6 3．6坐标方法6 3．7构造性方法7 4 观念方面的联系7 结束语8 参考文献8 致谢10

摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合．关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用 Abstract:The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application

高等代数复习

第一章基本概念 1.1集合 Z表示全体整数的集合 Q表示全体有理数的集合 R表示全体实数的集合 C表示全体复数的集合。德.摩根（De Morgan）律对于任意集合ABC来说第一：集合C减去集合A与集合B的交集等于集合C减去集合A与集合C减去集合B的并集用数学符号表示为C-(A∩B)=(C-A) ∪（C-B）第二：集合C减去集合A与集合B的并集等于集合C减去集合A与集合C减去集合B的交集用数学符号表示为C-(A∪B)=（C-A）∩（C-B）元素属于集合用”∈”\符号，集合属于集合用符号 1.2映射映射：设AB是两个非空集合，A到B的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中每一个元素x，有集合B中唯一确定的元素y与之对应。（映射可以多对一，但是不允许一对多）满射：设f是A到B的一个映射，如果f(A)=B，那么就称f是A到B的一个满射。单射：设f：A到B是一个映射，如果对于A中任意两个元素x1,x2只要有x1≠x2，就有f(x1)≠f(x2)，那么就称f是A到B的一个单射。映射之间是可以合成的，具体不做解释。双射：如果一个映射既是满射，又是单射，那么我们将这个映射称为双射。本单元的题型大多为证明双射，所以这里要注意。证明双射的步骤：第一步首先证明满射，将x用y来表示，然后将用y表示的x代入原方程中。如果得到的结果等于y，那么即可证明该映射为满射。第二步证明单射，将x1和x2代入方程中，并将含x1和x2的两个方程联立，如果解得x1等于x2，那么即可证明该映射为单射。第三步，既是满射又是单射的映射即为双射，命题得证。 1.3 数学归纳法数学归纳法的原理是最小数原理最小数原理：正整数集N*的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个数a ∈S，对于任意c∈S都有a≤c。需要注意的是最小数原理并不是对于所有集合成立的。例如全体整数集Z就没有最小数。分数组成的集合也没有最小数。然后就是本节的重点数学归纳法。数学归纳法：设有一个与正整数n有关的命题，如果（1）当n=1时，命题成立；（2）假设n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n都成立。

高等代数知识结构

高等代数知识结构 The latest revision on November 22, 2020

高等代数知识结构

二、高等代数知识结构内容（一）线性代数工具：线性方程组1.行列式1n 21nj j 2j 1a a a ⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，，的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号．即 nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211 = () () n 21n 21n 21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-，这里 ∑ n 21j j j 表示对所有n 级排列求和. a.行列式的性质：性质1.行列互换，行列式不变。性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。性质3.如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。性质4.如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同) 性质5.如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。性质6.把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性质7.对换行列式中两行的位置，行列式反号。 2.矩阵： a.矩阵的秩：矩阵A 中非零行的个数叫做矩阵的秩。 b.矩阵的运算定义同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵．

矩阵相等：设n m ij a A ?=)(,n m ij b B ?=)(, 若 ij ij b a =),,2,1;,,2,1(n j m i ==, 称 B A =. 线性运算：n m ij a A ?=)(,n m ij b B ?=)( 加法：??? ? ????++++=+=+?mn mn m m n n n m ij ij b a b a b a b a b a B A 11111111)( 数乘：??? ? ????==?mn m n n m ij a k a k a k a k a k kA 1111)( 负矩阵：n m ij a A A ?-=-=-)()1( 减法：??? ? ????----=-=-?mn mn m m n n n m ij ij b a b a b a b a b a B A 11111111)( 矩阵的乘法定义：设 s m ij a A ?=)(,n s ij b B ?=)( ?? ? ? ????=ms m s a a a a AB 1111? ????????sn s n b b b b 1111??? ?????=mn m n c c c c 1111其中元素[]is i i ij a a a c 2 1 =???? ??????? ?sj j j b b b 21sj is j i j i b a b a b a +++= 2211),,2,1;,,2,1(n j m i == A 的列数 = B 的行数。 AB 的行数 = A 的行数； AB 的列数 = B 的列数． A 与B 的先后次序不能改变． (5)矩阵的初等变换矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去。 3.线性方程组一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为 ()i 式中(1,2,,)i xi n =代表未知量，(1,2,,;1,2,,)i j a i s j n ==称为方程组的系数，( 1,2,,)j b j n =称为常数项. 线性方程组)(i 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120 s bb b ====. 令

高等代数北大版第四章矩阵知识点总结

第四章矩阵（ * * * ）一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。二、考点精讲：（一）基本概念及其运算 1.基本概念矩阵—形如???? ?? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ21 22221 11211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ?=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。（2）对n m ij a A ?=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。（3）称??? ? ? ??=11 O E 为单位矩阵。（4）对称矩阵—设n n ij a A ?=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij Λ==，称A 为对称矩阵。（5）转置矩阵—设??????? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ21 22221 11211，记?????? ? ??=mn n n m m T a a a a a a a a a A Λ ΛΛΛΛΛ Λ212221212111 ，称T A 为矩阵A 的转置矩阵。（6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。（7）伴随矩阵—设n n ij a A ?=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记????? ? ? ??=*nn n n n n A A A A A A A A A A Λ ΛΛΛΛΛΛ2122212 12111 ，称为矩阵A 的伴随矩阵。 2.矩阵的三则运算

高等代数知识点总结_第三版_王萼芳与石生明编

《高等代数一》知识点

高等代数与中学数学的联系

(完整版)高等代数知识点归纳

知识点总结高等代数

高等代数行列式知识点总结

高等代数的知识结构

一高等代数与解析几何之间的关系

高等代数欧几里得空间知识点总结

高等代数 知识点

高等代数知识点与解题方法笔记

高等代数复习提纲

高等代数知识点总结_第三版_王萼芳与石生明编

高等代数与中学数学的联系

高等代数复习

高等代数知识结构

高等代数北大版第四章矩阵知识点总结

高等代数知识点