高等代数 知识点

第一章

定义1 数域

定义2 数域P上的一元多项式

定义3 多项式相等

定义4 一元多项式环

带余除法

定义5 整除

定理1 r（x）=0

定义 6 最大公因式

定理 2 d（x）=u（x）f（x）+v（x）g(x);

(f(x),g(x))= u（x）f（x）+v（x）g(x)

定义7 互素(f(x),g(x))=1

定理 3 u（x）f（x）+v（x）g(x)=1

定理4 f ，g互素且f|gh，则f|h

推论f1|g，f2|g，且f1，f2互素，则f1f2|g，

定义8 不可约多项式

定理5 一个不可约多项式p，能够表达成P|fg，

则p|f或者p|g

因式分解及其唯一性定理数域P上的一个多项式f，都可以唯一的分解成数域P上的一些不可约多项式的乘积。

第四章

1 转轴----坐标系（x1，y1，z1）到（x2，y2，z2）的坐标变换矩阵是A，如果令X1=（x1，y1，z1）的转置，X2=（x2，y2，z2）的转置，则X1=AX2。

2单位矩阵E=数量矩阵为kE=

如：AE=A，EA=A

3矩阵的加法，乘法，减法，结合律，交换律，零矩阵

4 秩（A+B）秩A+秩B

5 如：A=则矩阵的数量乘积

kA=

6 矩阵的转置记作A的转置为A’。例如A=

则A’=

注意：转置的性质(A’)’=A (A+B)’=A’+B’( AB)’=B’A’

(kA)’=kA’

定理1 假设A B是数域P上的两个n n矩阵，那么|AB|=|A||B| 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积

推论1 |A1A2An|=|A 1||A 2||An|

定义6数域P上的一个n n矩阵A，如果|A|0，称为非退化的，否则称为退化的

推论2 假设A B是数域P上的两个n n矩阵，矩阵AB为退化的充要条件是A，B中至少有一个是退化的

定理2 假设A是数域P上的n m矩阵，B是数域P上的m s 矩阵，于是秩（AB）min[秩A，秩B]。即乘积的秩不

超过个因子的秩

推论3 如果A=A1A2An，那么秩A min（秩Ai）

定义7 如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，则n级方阵A称为是可逆的

定义8 如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，那么B就称为A的逆矩阵，记作A-1

定义9 假设A ij是矩阵A=中a ij的代数余子式，矩阵A*=称为A的伴随矩阵。

A*A=AA*=dE

其中d=|A|

定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是A是非退化的，

而A-1=A*

推论如果A，B可逆，那么AB与Ａ＇也可逆，

且(A’)-1=(A-1)’,(AB)-1=B-1A-1

注意：对于一个线性方程组，系数矩阵为A，X=(x1,x2,)’等号后面的B=（b1，b2b n）’，那么AX=B, X=A-1B,则X是

线性方程组的唯一解

定理4 A是一个s矩阵，如果P是s s可逆矩阵，Q是n 可逆矩阵，那么秩A=秩PA=秩AQ，（利用的是乘积的秩

小于等于各因子的秩）

性质AB＝０的充分必要条件是Ｂ列向量是ＡＸ＝０的解

矩阵的分块的性质对于相n的A矩阵和m的矩阵，如果A的行的分法与B的猎德分法相同，那么，分块矩阵

的乘法运算和非分块矩阵的运算一样。

矩阵B的行向量B1B2Bm，那么B=，那么AB=。有上面的AB可得，

AB的行向量是B1B2Bm的线性组合。

注意：D=，那么D-1=（）

（）（）

定义对角矩阵的形式如下A=，只有对角线上的数不全是零，其余地方的数全是零

准对角矩阵的形式如下A=，这是分块矩阵的一种特殊形式。而对角矩阵是准对角矩阵的一种特殊形式

对于有相同分块的两个准对角矩阵，如果他们相应的分块

是同级的，那么它们的加法，乘法所得的结果仍然是准对

角矩阵

定义10 由单位矩阵经过一系列的初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

注意：1 P（i，j）表示互换E的i，j行互换E的i，j列；P（i（c））表示用数域P的一个非零的常数c乘E的i行或i列；

P（i，j（k））表示把矩阵E的j行乘k加到i行上，或

者是表示矩阵E的i列乘k加到j列上。

2 P（i，j）-1= P（i，j），P（i（c））-1= P（i（c-1）），

P（i，j（k））-1= P（i，j（-k））

定义11 如果B可以由A经过一系列的初等变换得到，那么就称A与B等价

定理5 任意一个s×n的矩阵A都与一形式为的矩阵等价，那么它就称为A的标准形，其中1的个数等于

A的秩1的个数可以是0。

等价的性质如果两个s×m的矩阵A，B，他么人呢等价的充要条件是他们的秩相等。

注意；矩阵A，B等价A，B的秩相等A，B的标准形相同存在初等矩阵P1P2Ps，Q1Q2…Qm，使得

A=P1P2PsB Q1Q2…Qm

定理6 n级矩阵A为可逆的充要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积的形式，即A= Q1Q2…Qm。A与E等价。

推论1 两个s×m的矩阵A B等价的充要条件是存在可逆的s×s矩阵P，m×m矩阵Q使得A=PBQ

推论2 可逆矩阵一定能经过一系列初等变换转换成单位矩阵推论2 的应用；n级可逆矩阵A与n级单位矩阵E合成一个新的n×2n矩阵（A E），Q1Q2…Qm（A E）=（E A-1）单位矩阵的分块相应的得到初等分块矩阵

(以上5个仅仅是行变换得到的，另外列变换还有5个)

特例；n=，n=

课本P198第二题的（7）（8）

定义如果AB=BA那么矩阵B就称为与A可交换

性质1与对角矩阵可交换的矩阵仍然是对角矩阵

2假设A是n×n矩阵，证明：存在一个n×n非零的矩阵B 使得AB=0的充要条件是|A|=0

3 n×n矩阵A，B，满足A

B=0，那么秩A+秩B

注意：求A-1的方法 1 直接假设A-1的矩阵，使得A与假设的矩阵相乘得E，利用矩阵对应元素相等得出A-1

方法2 利用A-1 =1/d A*

方法3 利用（A，E）得出（E，A-1）

第五章二次型

二次型的形式：

f(x1,x2)=a11x12+2a12x1x2++2a1n x1x n+a22x22+2a2n x2x n+…..

+a nn x n x n

定义1 非退化的线性替换

注：1二次型的矩阵都是对称的

2 f(x1,x2)=X’AX=

3 非退化线性替换X=CY, 则X’AX=Y’C’ACY=Y’BY

定义 2 合同----满足存在数域P上的可逆的n级矩阵使得B=C’AC（其中A不一定是对称的矩阵）

合同的性质：反身性，对称性，传递性

注意：二次型经过非退化的线性替换，新的二次型的矩阵与原来的二次型矩阵是合同的

定理1 数域P上若任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换转化成平方和的形式

定理2 在数域P上，任何一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵

二次型转化成标准形后的矩阵是对角矩阵

二次型的规范性完全被它的秩确定

定理3 任意一个复系数的二次型，规范性唯一

任意一个对称矩阵合同于，两个复数对称矩阵合同的充要条件是他们的秩相等

定理4 任意一个实数域的二次型的规范性唯一

定理5 任意一个实对称矩阵合同于

定义3 正惯性指数p，负惯性指数q，符号差p-q。

其中p+q=二次型的秩

标准形中正的平方项的个数与规范性中正的平方项的个数相等

定义4 正定二次型

定理6 正定二次型的正惯性指数等于n

定义5 如果X’AX是正定的，那么实对称矩阵A是正定的

性质实对称矩阵正定当且仅当它与E合同

推论正定矩阵的行列式大于零

定义6 顺序主子式

定理7 二次型正定充要条件是全部的顺序主子式大于零

定义7 负定，半正定，半负定，不定

定理8 二次型半正定正惯性指数=秩有可逆矩阵C使得C’AC=其中di≥0所有的主子式都≥0

有实矩阵C使得A=C’C

A是正定的，那么所有的主子式都大于零

A是正定矩阵，那么A-1也是正定的

A是一个实矩阵，那么秩A’A=秩A

第六章

1 集合就是作为整体看的一堆东西，组成集合的东西称为元素，集合之间的交并包含于以及元素与集合间的属于和不属于。

2 映射就是运算法则

3 恒等映射或者单位映射：即

（）（）=（

5 原像，像，单射，满射，双射，

6 1M=（）1M’=

定义1 线性空间：如果加法与数量乘法满足下述规则

加法满足下面四条规则

1=

2（）

3在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有，0+=（具有这个性质的元素0称为零元素）

4 对于V中每一个元素，都有V中的元素使得

数量乘法满足满足

5 1=

6 k（p）=（kp）

数量乘法与加法满足

7 （k+l）=k+l

8 k（）=k

（在以上的规则中，常数属于数域P，向量属于集合V中的任意元素）

8 数域P上的一元多项式环P[x]，构成数域P上的相形空

间，如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上

零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P[x]n 元素属于数域P的的m×n矩阵，记作P m×n

分量属于数域P的全体n元数组构成数域P上的线性空间，

这个线性空间记作P n

9 线性空间的元素叫做向量，线性空间又称为向量空间

定义2 线性组合

定义3 向量组的等价

定义4 线性相关，线性无关

定义5 线性空间的维数：最多有n个线性无关的向量，那么线性空间的，如果能找到任意多个，就称为线

性空间是无限维的

定义6 n维线性空间V中的一组基任意一个向量都可以用它们表示a=

其中a1,a2….an 是被a和唯一确定的，这

组数a1,a2….an 就称为在基的坐标，记作

（a1,a2,….an）

定理1 如果线性空间中有n个线性无关的向量，且V中的任意一个向量都可以用它们表示，那么V是n维的，而是V的一组基

10 基变换与坐标变换（）= A

其中A=，A称为由基，到

的过度矩阵

11 同一个向量在不同基下的坐标

定义7 线性子空间（满足加法封闭和数乘封闭，即：如果

W包含a，那么它就包含a的倍数，如果a，b属于W，那么，a+b也属于W）

定理2 线性子空间

注：零子空间，平凡子空间，非平凡子空间

由a1,a2….ar向量生成的子空间记作L（a1,a2….ar）

定理3 1）两个向量组生成的子空间相同的充要条件是两向量组等价2）L（a1,a2….ar）的维数等于a1,a2,,,,,,,ar的秩定理4 任意一个子空间的基一定能扩充为整个空间的基定理5 如果Ｖ１Ｖ２是Ｖ的线性子空间，那么Ｖ１∩Ｖ２也是Ｖ的线性子空间

定义V1与V2的和记作V1+V2={a+b|a∈V1，b∈V2}、

定理6 如果V1，V2是V的线性子空间，那么它们的和V1+V2也是V的子空间

性质L(a1,a2,…ar)+L(b1,b2….bs)=L(a1,a2,…ar,b1,b2,…bs)

定理7 如果V1，V2是V的线性子空间，那么，维V1+维V2=维（V1+V2）+维（V1∩V2）

推论如果n维的线性空间V中的两个子空间V1，V2的维数之和大于n，那么V1，V2一定含有非零的公共向量

定义9 如果和中的每个向量a，都有分解式a=a1+a2，a1∈V1，a2∈V2，分解式是唯一的，这个和就称为直和记作

V1◎V2

定理8 和V1+V2是直和的充要条件是等式a1+a2=0，a1∈

V1，a2∈V2，只有在a1，a2全为零时成立

简称：零向量的分解式是唯一的

推论和V1+V2是直和的充要条件是V1∩V2={0}

定理9 和W=V1+V2是直和的充要条件是维W=维V1+维V2 定理10 假设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使得V=U◎

定义10 假设V1，V2，V3。。。。Vs是线性空间V的子空间，如果和V1+V2+。。。。+Vs中的向量a的分解式

a=a1+a2+……....+as,其中ai属于Vi是唯一的

定理11 V1，V2，。。。Vs是V的线性子空间，下面的条件是等价的

1）W=V1+V2+。。。+Vs是直和

2）零向量的分解式是唯一的

3）Vi∩={0}

4）维W=维

定义11 数域P上的两个线性空间V 和V’称为同构的，如果有V到V’有一个双射，具有以下性质：

）

2）)

这样的映射称为同构映射

性质V中的向量组a1，a2，。。。as线性相关的充要条件是它们的像线性相关。同构的线性空间有相同的维数。同构映射的

逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。数域P上任意两个n维线性空间都同构

定理12 数域P上的两个有限维线性空间同构的充要条件它们有相同的维数

性质：假设a1,a2…an是n维线性空间的一组基，A是一个n ×s矩阵，（b1,b2,…bs）=(a1,a2,…an)A则L(b1,b2,…bs)的维数等于A的秩

注意：求直和时要先求是不是和，然后再看是不是直和求同构映射时要先看是不是双射，再看是不是满足法则求维数时要充分利用线性相关，齐次线性方程组的性质做题时要谨记定义，利用定义解题，牢记性质，还要注意知识点的连接

技巧：AB=C，那么ABX=CX ，利用ABX=CX=0，其实X 就是解，利用基础解系的个数与秩的关系，求出AB 与C的秩的关系

第七章

定义1 线性空间V的一个变换称为线性变换，如果对于线性空间V中的任意元素和数域P中的任意常数k 都有=k

注意它与同构映射，映射，线性子空间的比较、

恒等变换或单位变换，零变换

数乘变换

经过线性变换，保持线性关系，线性组合式不变

线性变换把线性相关的向量组变为线性相关的向量组线性变换的运算

单位变换和E的性质差不多，，如果满足

那么线性变换是可逆的

线性变化的性质1线性变换的乘积还是线性变化 2 线性变换的乘积也适合结合律 3 线性变换的乘法一般不适合交换 4 线性变换的和还是线性变换线性变换的加法适合结合律和交换律5 如果线性变换是可逆的，那么它的逆变换也是线性变换 6 线性变换的多项式记作

f()=a n n +。。。。+a0

7 假设是i线性空间的一组基，如果两个线性变换线性变换在这组基上的作用效果相同，即（i）=（i），那么；对于任意一组向量

，一定有一个线性变换使得（）=i

定理1 设是i线性空间V的一组基，。。。。是v 中任一n个向量，存在唯一的线性变换使得（）=i

定义2假设是i线性空间的一组基，是V中的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表示出来，

用矩阵表示就是

（，，）=()

=()A 其中A=，矩阵A称为

线性变换在基的下的矩阵，并且矩阵是唯一的（线性变换和基一旦确定矩阵A就被唯一确定，同样，基和A被确定，那么也会被唯一确定）

定理2在相同基下，1）线性变换的和对应矩阵的和2）线性变换的乘积对应矩阵的乘积

3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积

4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵

定理3假设线性变换

在基下的矩阵是，向量在这组基下的坐标

则在这组基下的坐标是（y1,y2…..yn）可以按公式（y1,y2…..yn）’=A

定理4 假设线性空间V中的线性变换在两组基

a1,a2..an;b1,b2…bn

下的坐标分别为A ，B，从a1..an到b1,…bn的过度矩阵是X，那么B=X-1AX

定义3假设AB是数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=X-1AX，就说A 相似于B，记作A∽B

相似的性质1）反身性2）对称性3）传递性

定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看做同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵

性质：如果B=X-1AX，且f（x）是数域P上的一个一元多项式，那么，f（B）=X-1f（A）X

定义4 设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中的一个数0，存在一个非零的向量，使得，那么，0称为的一个特征值，而称为的属于特征值0的一个特征向量

性质：1 如果是线性变换的属于特征值0的特征向量，那么，的任意非零倍数也是线性变换的属于0的特征向量，所以特征向量不是被特征值唯一确定的，相反，特征值却被特征向量唯一确定，因为一个特征向量只属于一个特征值

2 线性变换在基下的矩阵A，特征向量在这组基下的坐标是（x1,x2,......x n）,特征值是0，那么，

可以化成A（x1,x2,......x n）’=0（x1,x2,......x n）’或者写成（0E—A）（x1,x2,......x n）’=0，那么的坐标满足齐次

线性方程组

定义5 设A是数域P上的一个n级矩阵，是一个文字，矩阵E-A的行列式称为A的特征多项式，这是数域P

上的一个n次多项式

注意：特征值及其特征向量的求法步骤1）假设一组基，然后写出线性变换在这组基下的矩阵A 2）求出A的特征多项式3）令特征多项式等于零，所得的解就是特征值4）将特征值带入齐次线性方程组，解得基础解系，这组基础解系就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量

定义1特征子空间--------线性变换的任意一个特征值，全部适合条件的向量所组成的集合，也就是的属于的全部特征向量再添上0向量所组成的集合，是V的一个线性子空间，称为的一个特征子空间，记为V k。显然，V k的维数就是属于k的线性无关的特征向量的最大个数，V k={，}

2 A的全部特征值的和为a11+a22+…+ann（称为A的迹），而A的全部特征值的积等于|A|。

定理 6 相似的矩阵具有相同的特征多项式

注意：特征多项式与基的选取无关，一个线性变换在任意一组基下的矩阵的特征多项式是相同的，都成为线性变换的特征多项式

哈密顿—凯莱定理假设A是数域P上的一个n×n矩阵，f（）=E-A|是A的特征多项式，则，f（A）=A n —（a11+a22+…+ann）A n-1+…+(-1)n|A|E=O

定理7 线性变换在一组基下的矩阵是对角矩阵的充要条件是线性变换有n个线性无关的特征向量

定理8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的

推论 1 如果在n维线性空间V中，线性变换的特征多项式在数域P中有n个不同的根，即有n个不同的特征值，那么，线性变换在某组基下的矩阵是对角形的

推论2 在复数域上的线性空间中，如果线性变换的特征值没有重跟，那么线性变换在某组基下的矩阵是对角形的

定理9 等价于定理8

性质：线性变换在一组基下的矩阵是对角形的充要条件是线性变换的特征子空间的维数之和等于空间的维数注意：这里主要是求对角矩阵，方法步骤1）先确定一组基，2）令线性变换在这组基下的矩阵为给出的矩阵A 3）求出A的特征多项式4）求出A的特征值5）带入齐次线性方程组求出基础解系6)用假设的基表示基础解系7）线性变换在基础解系下的矩阵就是对角矩阵，对角线上的数就是特征值（理解，这里主要是利用同一线性变换下的矩阵是相似的，相似的矩阵的特

征值是相同的）

定义6 线性空间V的一个线性变换，的全体像组成的集合称为的值域，用表示。所有被变成零向量的向量组成的集合称为的核，记为-1（0）

性质：线性变换的值域和核都是V的子空间。

值域的维数称为的秩，-1（0）的维数称为的零度

定理10 假设是线性空间V的一个线性变换， 1 n是V的一组基，在这组基下的矩阵是A，则1）的值域是由基像组成的子空间2）的秩=A的秩（的秩等于基像组的秩）

定理11 值域基的原像以及核的一组基构成V的一组基，且的秩+-1（0）的零度=V的维数=n

推论对于有线维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是它是满射

注意：虽然值域的维数+零度=n，但是-1（0）并不一定是整个空间，下图表示了这种关系