人教版八年级下册数学菱形同步练习题

菱形

一、1.菱形和矩形一定都具有的性质是( )

A.对角线相等

B.对角线互相平分

C.对角线互相垂直

D.每条对角线平分一组对角

2.下列条件能判定四边形是菱形的是( )

A.对角线相等的四边形

B.对角线互相垂直的四边形

C.对角线互相垂直平分的四边形

D.对角线相等且互相垂直的四边形

3.菱形的两条对角线长分别为6 cm、8 cm,则它的面积为( )

A.6 cm2

B.12 cm2

C.24 cm2

D.48 cm2

4.如图,在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则

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（1）AB=AD=_______________=_______________，即菱形的_______________相等.

（2）图中的等腰三角形有________________________，直角三角形有______________，△AOD≌________________≌_______________≌_______________，由此可以得出菱形的对角线_______________，每一条对角线_______________.

（3）菱形是轴对称图形，它的对称轴是_______________.

二1.如图,已知菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC,交BC于点E,AD=6 cm,则OE的长为( )

A.6 cm

B.4 cm

C.3 cm

D.2 cm

2.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是( )

A.梯形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

3.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( )

A.等腰梯形

B.正方形

C.矩形

D.菱形

4.菱形的一个内角是120°，一条较短的对角线的长为10，则菱形的周长是______________.

5.如图所示,在菱形ABCD中,AC、BD相交于O,且AC∶BD=1∶,若AB=2.求菱形ABCD的面积.

6.如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.

7.如图,在一张长12 cm、宽5 cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？

三、课后巩固(30分钟训练)

1.下列结论正确的是( )

A.邻角相等的四边形是菱形

B.有一组邻边相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

2.菱形的周长为32 cm,一个角的度数是60°,则两条对角线的长分别是( )

A.8 cm和cm

B.4 cm和cm

C.8 cm和cm

D.4 cm和cm

3.在平面上,一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是( )

A.90°

B.180°

C.270°

D.360°

4.在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足为E、F,且BE=EC,CF=FD,则∠AEF等于( )

A.120°

B.45°

C.60°

D.150°

5.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC=4,BD的长为( )

A. B. C. D.8

6.如图,在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由.

7.如图,已知过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.

8.北京101中学的学生为迎接2008年奥运会,美化校园,在周长为12 m,夹角为60°的菱形花坛里栽十株花.试证明:不论如何安排,至少有两株花的距离小于m.

9.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证:四边形AFCE是菱形.

参考答案

一、课前预习(5分钟训练)

1.菱形和矩形一定都具有的性质是( )

A.对角线相等

B.对角线互相平分

C.对角线互相垂直

D.每条对角线平分一组对角

答案：B

2.下列条件能判定四边形是菱形的是( )

A.对角线相等的四边形

B.对角线互相垂直的四边形

C.对角线互相垂直平分的四边形

D.对角线相等且互相垂直的四边形

答案：C

3.菱形的两条对角线长分别为6 cm、8 cm,则它的面积为( )

A.6 cm2

B.12 cm2

C.24 cm2

D.48 cm2

解析：S菱形=×6×8=24(cm2).

答案:C

4.如图,在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则

（1）AB=AD=_______________=_______________，即菱形的_______________相等.

（2）图中的等腰三角形有________________________，直角三角形有______________，△AOD≌________________≌_______________≌_______________，由此可以得出菱形的对角线_______________，每一条对角线_______________.

（3）菱形是轴对称图形，它的对称轴是_______________.

答案:（1）BC CD 四条边

（2）△ABD、△ABC、△ADC、△BCD △AOB、△BOC、△COD、△DOA △AOB △COB △COD 垂直平分平分一组对角

（3）对角线所在的直线

二、课中强化(10分钟训练)

1.如图,已知菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC,交BC于点E,AD=6 cm,则OE的长为( )

A.6 cm

B.4 cm

C.3 cm

D.2 cm

解析：OE是Rt△BOC的斜边BC上的中线,故OE=BC=AD=3 cm.

答案:C

2.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是( )

A.梯形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

解析：连结矩形的两条对角线，则相邻两边中点的连线是三角形的中位线.由三角形的中位线等于第三边的一半及矩形两条对角线相等可得中点四边形的各边都相等，故顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形.

答案:C

3.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( )

A.等腰梯形

B.正方形

C.矩形

D.菱形

解析：因为等边三角形的三条边都相等，所以用它拼成的四边形的四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形，因此选D.

答案:D

4.菱形的一个内角是120°，一条较短的对角线的长为10，则菱形的周长是______________.

解析：由菱形的邻角互补，可知菱形的另一组内角是60°，60°内角所对的对角线是较短的.根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可推出菱形边长是10，因此菱形周长是40.

答案:40

5.如图所示,在菱形ABCD中,AC、BD相交于O,且AC∶BD=1∶,若AB=2.求菱形ABCD的面积.

解：菱形两对角线将其分割为四个全等的直角三角形.

设AO=x,因为四边形ABCD为菱形,所以AO=CO,BO=DO,AC⊥BD.

又因为AC∶BD=1∶,所以AO∶BO=1∶,BO=.

在Rt△ABO中,因为AB2=BO2+AO2,所以AB2=()2+x2=22.所以x=1.

所以AO=1,BO=.所以AC=2,BD=.

所以菱形的面积为×2×=.

6.如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.

答案:证明：∵∠ACB=90°，DE是BC的中垂线，

∴E为AB边的中点.

∴CE=AE=BE.

∵∠BAC=60°，

∴△ACE为正三角形.

在△AEF中，∠AEF=∠DEB=∠BAC=60°，而AF=CE，

又CE=AE,

∴AE=AF.

∴△AEF也为正三角形.

∴∠CAE=∠AEF=60°.

∴AC EF.

∴四边形ACEF为平行四边形.

又CE=AC，∴平行四边形ACEF为菱形.

7.如图,在一张长12 cm、宽5 cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？

解：（方案一）S菱形=S矩形-4S△AEH=12×5-4××6×=30（cm2）.

（方案二）设BE=x，则CE=12-x,

∴AE=.

因为四边形AECF是菱形，则AE2=CE2,

∴25+x2=(12-x)2.

∴x=.

∴S菱形=S矩形-2S△ABE=12×5-2××5×≈35.21(cm2).

经比较可知，(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大.

三、课后巩固(30分钟训练)

1.下列结论正确的是( )

A.邻角相等的四边形是菱形

B.有一组邻边相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

解析：根据菱形的判定定理:对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

答案:D

2.菱形的周长为32 cm,一个角的度数是60°,则两条对角线的长分别是( )

A.8 cm和cm

B.4 cm和cm

C.8 cm和cm

D.4 cm和cm

解析：因菱形四边相等,所以每边都为8,其对角线平分一组对角,根据一个角是60°,可求得.

答案:C

3.在平面上,一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是( )

A.90°

B.180°

C.270°

D.360°

解析：由菱形为中心对称图形可知B正确.

答案:B

4.在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足为E、F,且BE=EC,CF=FD,则∠AEF等于( )

A.120°

B.45°

C.60°

D.150°

解析：因为AE垂直平分BC,所以AB=AC.

又因为AB=BC,

所以△ABC为等边三角形.

∠BAC=60°,∠EAC=30°.

同理可证∠FAC=30°,△AEF是等边三角形,所以∠AEF=60°.

答案:C

5.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC=4,BD的长为( )

A. B. C. D.8

解析：∵ABCD为菱形,∴AB=BC.

又∵∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形.

∴AB=BC=AC=4,∠ABO=30°,∠AOB=90°.

在△AOB中,OB==.

∴BD=BO+OD=.

答案:B

6.如图,在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由.

解：添加条件：对角线相等.

理由：连结AC、BD.在△ABC中，

∵AE=BE，BF=CF，

∴EF为△ABC的中位线.

∴EF=.

同理可得FG=，GH=，HE=.

又∵AC=BD（添加条件）,

∴EF=FG=GH=HE.

故四边形EFGH为菱形.

7.如图,已知过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.

答案:证明：在ABCD中，OD=OB，OA=OC，AB∥CD，

∴∠OBG=∠ODE.

又∵∠BOG=∠DOE，

∴△OBG≌△ODE.

∴OE=OG.

同理OF=OH.

∴四边形EFGH是平行四边形.

又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH是菱形.

8.北京101中学的学生为迎接2008年奥运会,美化校园,在周长为12 m,夹角为60°的菱形花坛里栽十株花.试证明:不论如何安排,至少有两株花的距离小于m.

答案:证明：如图,把菱形花坛分成9个菱形,由此可得至少有一个小菱形里要栽两株花,因为小菱形的对角线长为m,所以至少有两株花的距离小于m.

9.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证:四边形AFCE是菱形.

答案:证明：∵EF垂直平分AC,

∴EF⊥AC,AO=CO.

∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC.∴∠AEO=∠CFO.

∴△AOE≌△COF.

∴OE=OF.

∴四边形AECF是平行四边形. 又∵AC⊥EF,

∴四边形AFCE是菱形.