(完整版)初二三角形压轴题分类解析

B

A

O

D

C

E

图8

济南初中数学压轴--------姜姜老师

北师大版七年级下三角形综合题归类

一、双等边三角形模型

1. （1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角

形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；

（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

同类变式：如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.

(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；

(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.

图c

3. 如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，,

M N分别为,

EB CD的中点，易证：

CD BE

=，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD BE

=是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．

图9 图10 图11

C B

O

D

图7

A

E

同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =；

（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180o ，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.

（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．

5.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△；

（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．

C

G

A

E

D

B

F

二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等

1. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC

交CF 的延长线于D ．

求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．

2.（西安中考）如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C

在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。

图(1) 图(2) 图(3)

(1)试说明: BD=DE+CE.

(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD

(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由。

3. 直线CD经过BCA

∠的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且BEC CFAα

∠=∠=∠．

（1）若直线CD经过BCA

∠的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若90,90

BCAα

∠=∠=

o o，则EF AF

-（填“>”，“<”或“=”号）；

②如图2，若0180

BCA

<∠<

o o，若使①中的结论仍然成立，则α

∠与BCA

∠应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD经过BCA

∠的外部，BCA

α

∠=∠，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

A

B

C

E

F D

D

A

B

C

E F

A

D

F

C

E

B

图1 图2 图3

考点2：利用角相等证明垂直

1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系

2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． (1)求证：CD=BF ； (2)求证：AD ⊥CF ；

(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.

拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．

3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由

.

4.如图1，ABC ?的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ?的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =

（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；

（2） 将EFP ?沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP ?沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长

线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成

B

A

C

E

F

Q

P

D A

A

B

C

D

E F

图9

立，给出证明；若不成立，请说明理由.

三、 等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用

1. 如图，ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求

证：BE AF =，AE CF =．

2. 两个全等的含30o ，60o

角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，

取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ?的形状，并说明理由．

M

E

D C

B

A

压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ?中，AC BC =，90C ∠=?，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=?，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．

当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1

2DEF CEF ABC S S S ???+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC

不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ?，CEF S ?，ABC S ?又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

F

E

D

C

B

A

图1

A

E

C

F B

D

图2

A

E

C

F

B

D

图3

3. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H

是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。(1) BF =AC (2) CE =1

2

BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。

l

(1)

A B (F) (E) C P

A

B E

C F

P Q

(2)

l

A

B

C

D E F

考点2：等腰直角三角形（45度的联想）

1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F .

⑴ 如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：

① 通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ；

② 连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想.

⑵ 如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明

2. 在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 的中点，DG ⊥AC 交AB 于点G.

（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，点F 在线段DG 上，且DE=DF ，连结EF 与 CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ． ①求证：DG=DC

②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．

（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点，点F 在射线DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）

同类变式：（期末考试原题哦） 已知：△ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60o角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、C 重合），斜边与∠ACM 的平分线CF 交于点F （1）如图（1）当点E 在BC 边得中点位置时

○

1猜想AE 与EF 满足的数量关系是 . A

D E

图2

G H

F E

D

C

B

A

图1

○2连结点E 与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是 .

○

3请证明你的上述猜想； （２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF 有怎样的数量关系，并说明你的理由？

四、 角平分线问题

1. 如图：E 在线段CD 上，EA 、EB 分别平分∠DAB 和∠CBA, ∠AEB=90°,设AD ＝x , BC ＝y ，且,x y 满足2

2

68250x y x y +--+=

（1）求AD 和BC 的长；（2）你认为AD 和BC 还有什么关系？并验证你的结论；

（3）你能求出AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.

2. 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这

个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA

的平分线，AD 、CE 相交于点F 。请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你

在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB ⊥于E ，并且1

()2

AE AB AD =+，

则ABC ADC ∠+∠等于多少？

4. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.

（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.

图（1）

E

图（2）

A

C

B

D E

E

D

G

F

C

B

A

(第23题图)

O

P

A

M

N E

B C

D F

A

C

E

F

B

D

图①

图② 图③

E

D

C

B

A

五、中点问题

1. 在△ABC 中, D 为BC 的中点， 过D 点的直线GF 交AC 于F , 交AC 的平行线

BG 于点G 。DE GF ⊥, 并交AB 于点E . 连结EG .

（1）求证: BG CF =；

（2）请猜想BE CF +与EF 的大小关系, 并加以证明 2.

如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．

A

3. 已知ABC ?中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ?的AB 边上的中线．求证2CD CE

=（提示：倍长中线试试）

E

D

C

B A

附加思考题： 以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90BAD CAE ∠=∠=?.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．

⑴如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ；

线段AM 与DE 的数量关系是 ； ⑵将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转θ?(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

图①

N

M E

D

C

B A

图②

N

M E

D

C

B

A

24、已知：如图，矩形ABCD 中点G 为BC 延长线上一

点，连接

,DG BH DG H ⊥于，且GH DH =，点,E F 分别在,AB BC

上，且//EF DG 。

（1）若3,2AD CG ==，求DG 的长；

（2）若GF AD BE =+，求证：1

2

EF DG =

。